مشتق جهتی یا مشتق سویی – از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

مقدمه

سوال این جا است که مسیر‌های بسیاری را می‌توان تعریف کرد. بنابراین چطور بایستی مسیر مشتق‌گیری را تعریف کرد؟ به منظور پاسخ به این سوال در ابتدا فرض کنید که هدف، محاسبه تغییرات تابع f در نقطه $$\left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right )$$ است. هم‌چنین فرض کنید که هر دو متغیر x و y افزایش یافته و سرعت افزایش x، دو برابر سرعت y باشد.

از مفاهیم مربوط به معادله خط می‌دانیم که می‌توان با استفاده از بردار هادیِ یک خط، شیب آن را توصیف کرد. نهایتا بردار هادی خطی که سرعت افزایش x در آن ۲ برابر سرعت افزایش y باشد، به صورت زیر بیان می‌شود.

$$\large \overrightarrow v = \left \langle { 2 , 1 } \right \rangle$$

بنابراین صورت سوال این است که تغییرات تابع f در راستای بردار $$\overrightarrow v = \left \langle { 2 , 1 } \right \rangle$$ چقدر است؟ توجه داشته باشید که هر برداری که مضربی از $$\overrightarrow v = \left \langle { 2 , 1 } \right \rangle$$ باشد، جهتی مشابه با v را نشان می‌دهد. برای نمونه جهت بردار‌های زیر یکسان ولی اندازه آن‌ها متفاوت است.

$$\large \overrightarrow v = \left \langle { \frac { 1 } { 5 },\frac { 1 } { { 1 0 } } } \right \rangle \,\hspace { 0.25 in }\,\,\,\overrightarrow v = \left \langle { 6 , 3 } \right \rangle \hspace { 0.25 in } \overrightarrow v = \left \langle { \frac { 2 } { { \sqrt 5 }},\frac{1}{{\sqrt 5 } } } \right \rangle$$

تعریف مشتق جهتی

به منظور محاسبه تغییرات تابعی هم‌چون f، از قالبی واحد برای محاسبه تغییرات استفاده می‌کنیم. در حقیقت برداری به عنوان بردار هادی در نظر گرفته می‌شود که اندازه آن برابر با ۱ باشد. در نتیجه از میان گزینه‌های فوق، بردار $$\overrightarrow v = \left \langle { \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } ,\frac { 1 } { { \sqrt 5 } } } \right \rangle$$ به منظور محاسبه تغییرات در نظر گرفته می‌شود.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که در مطلب بردار‌ها نیز عنوان شد، اندازه برداری به صورتِ $$\overrightarrow v = \left \langle { a , b , c } \right \rangle$$ برابر است با:

$$\large \left \| { \overrightarrow v } \right \| = \sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } }$$

در برخی از موارد می‌توان تغییرات x و y را بر حسب زاویه بیان کرد. برای نمونه بردار واحد تغییرات تابع f در زاویه $$\theta = \frac { \pi } { 3 }$$ برابر است با:

$$\overrightarrow u = \left \langle { \cos \theta ,\sin \theta } \right \rangle$$

حال که با تعریف و مفهوم جهت مشتق‌گیری آشنا شدیم، زمان آن رسیده تا مشتق تابع f در راستای بردار $$\overrightarrow u = \left \langle { a , b } \right \rangle$$ را تعریف کنیم.

$$\large {D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y } \right ) = \mathop { \lim } \limits _ {h \to 0 } \frac { { f \left ( { x + a h,y + b h } \right) - f \left( { x , y } \right ) } } { h }$$

در عمل محاسبه حد فوق مشکل است. لذا بایستی برای آن رابطه‌ای آسان‌تر یافت. برای درک نحوه بدست آوردن فرمولِ مشتق جهتی، تابعی تک متغیره را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

$$\large g \left ( z \right ) = f \left( { { x _ 0 } + a z , { y _ 0 } + b z } \right )$$

در رابطه بالا $${ y _ 0 }$$، $${ x _ 0 }$$ و b اعدادی ثابت بوده و z متغیر است. حال تعریف بنیادی مشتق عنوان می‌کند:

$$\large g ^{\prime} \left ( z \right ) = \mathop { \lim } \limits _ { h \to 0 } \frac { { g \left ( { z + h } \right ) - g \left( z \right ) } } { h }$$

با توجه به رابطه فوق، مشتق تابع g در نقطه z=0 برابر است با:

$$\large g ^{\prime} \left ( 0 \right ) = \mathop { \lim } \limits _ { h \to 0 } \frac { { g \left ( h \right ) - g \left ( 0 \right ) } } { h }$$

با استفاده از تابع g، رابطه فوق به صورت زیر در خواهد آمد.

$$\large \begin {align*} g ^ { \prime } \left ( 0 \right ) & = \mathop { \lim } \limits _ { h \to 0 } \frac { { g \left ( h \right ) - g \left ( 0 \right ) } } { h } \\\\ & = \mathop { \lim } \limits _ {h \to 0 } \frac { { f \left ( { { x _ 0 } + a h , { y _ 0 } + b h } \right ) - f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) } } { h } \\\\ & = { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \end {align*}$$

رابطه بالا می‌گوید مشتق تابع g در z=0 برابر است با:

$$\begin {equation} g ^{\prime} \left ( 0 \right ) = { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \end {equation}$$
رابطه ۱