مشتق جهتی یا مشتق سویی — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

۱۰۴۱۱ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۳ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۵۷ دقیقه
مشتق جهتی یا مشتق سویی — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در راستای ارائه مفاهیم مرتبط با مشتق، در این مطلب قصد داریم تا مشتق جهتی یا سویی را توضیح دهیم. در حقیقت گرادیان یک تابع نمونه‌ای از مشتق جهتی محسوب می‌شود. پیشنهاد می‌شود قبل از مطالعه این مطلب،‌ مطالب مشتق جزئی و گرادیان مطالعه شوند.

997696
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

مقدمه

در ابتدا دو مشتق جزئی fx(x,y) { f _ x } \left ( { x , y } \right ) و fy(x,y) { f _ y } \left ( { x , y } \right ) را در نظر بگیرید. این مشتق‌ها به ترتیب نشان دهنده سرعت تغییرات f نسبت به x (در حالتی که y ثابت است) و y (در حالتی که x ثابت است) هستند. حال این سوال پیش می‌آید که چگونه می‌توان تغییرات تابع f را نسبت به یک جهت دلخواه بدست آورد؟

سوال این جا است که مسیر‌های بسیاری را می‌توان تعریف کرد. بنابراین چطور بایستی مسیر مشتق‌گیری را تعریف کرد؟ به منظور پاسخ به این سوال در ابتدا فرض کنید که هدف، محاسبه تغییرات تابع f در نقطه (x0,y0) \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) است. هم‌چنین فرض کنید که هر دو متغیر x و y افزایش یافته و سرعت افزایش x، دو برابر سرعت y باشد.

از مفاهیم مربوط به معادله خط می‌دانیم که می‌توان با استفاده از بردار هادیِ یک خط، شیب آن را توصیف کرد. نهایتا بردار هادی خطی که سرعت افزایش x در آن ۲ برابر سرعت افزایش y باشد، به صورت زیر بیان می‌شود.

v=2,1\large \overrightarrow v = \left \langle { 2 , 1 } \right \rangle

بنابراین صورت سوال این است که تغییرات تابع f در راستای بردار v=2,1 \overrightarrow v = \left \langle { 2 , 1 } \right \rangle چقدر است؟ توجه داشته باشید که هر برداری که مضربی از v=2,1 \overrightarrow v = \left \langle { 2 , 1 } \right \rangle باشد، جهتی مشابه با v را نشان می‌دهد. برای نمونه جهت بردار‌های زیر یکسان ولی اندازه آن‌ها متفاوت است.

v=15,110v=6,3v=25,15\large \overrightarrow v = \left \langle { \frac { 1 } { 5 },\frac { 1 } { { 1 0 } } } \right \rangle \,\hspace { 0.25 in }\,\,\,\overrightarrow v = \left \langle { 6 , 3 } \right \rangle \hspace { 0.25 in } \overrightarrow v = \left \langle { \frac { 2 } { { \sqrt 5 }},\frac{1}{{\sqrt 5 } } } \right \rangle

تعریف مشتق جهتی

به منظور محاسبه تغییرات تابعی هم‌چون f، از قالبی واحد برای محاسبه تغییرات استفاده می‌کنیم. در حقیقت برداری به عنوان بردار هادی در نظر گرفته می‌شود که اندازه آن برابر با ۱ باشد. در نتیجه از میان گزینه‌های فوق، بردار v=25,15 \overrightarrow v = \left \langle { \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } ,\frac { 1 } { { \sqrt 5 } } } \right \rangle به منظور محاسبه تغییرات در نظر گرفته می‌شود.

همان‌طور که در مطلب بردار‌ها نیز عنوان شد، اندازه برداری به صورتِ v=a,b,c \overrightarrow v = \left \langle { a , b , c } \right \rangle برابر است با:

v=a2+b2+c2\large \left \| { \overrightarrow v } \right \| = \sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } }

در برخی از موارد می‌توان تغییرات x و y را بر حسب زاویه بیان کرد. برای نمونه بردار واحد تغییرات تابع f در زاویه θ=π3 \theta = \frac { \pi } { 3 } برابر است با:

u=cosθ,sinθ \overrightarrow u = \left \langle { \cos \theta ,\sin \theta } \right \rangle

حال که با تعریف و مفهوم جهت مشتق‌گیری آشنا شدیم، زمان آن رسیده تا مشتق تابع f در راستای بردار u=a,b \overrightarrow u = \left \langle { a , b } \right \rangle را تعریف کنیم.

به نرخ تغییرات تابع f(x,y) f \left( { x , y } \right ) در راستای بردار u=a,b \overrightarrow u = \left \langle { a , b } \right \rangle ، مشتق جهتی گفته شده و با نماد Duf(x,y) { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y } \right ) نشان داده می‌شود. هم‌چنین اندازه Duf(x,y) { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y } \right ) برابر است با:

Duf(x,y)=limh0f(x+ah,y+bh)f(x,y)h\large {D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y } \right ) = \mathop { \lim } \limits _ {h \to 0 } \frac { { f \left ( { x + a h,y + b h } \right) - f \left( { x , y } \right ) } } { h }

در عمل محاسبه حد فوق مشکل است. لذا بایستی برای آن رابطه‌ای آسان‌تر یافت. برای درک نحوه بدست آوردن فرمولِ مشتق جهتی، تابعی تک متغیره را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

g(z)=f(x0+az,y0+bz)\large g \left ( z \right ) = f \left( { { x _ 0 } + a z , { y _ 0 } + b z } \right )

در رابطه بالا y0 { y _ 0 } ، x0 { x _ 0 } و b اعدادی ثابت بوده و z متغیر است. حال تعریف بنیادی مشتق عنوان می‌کند:

g(z)=limh0g(z+h)g(z)h\large g ^{\prime} \left ( z \right ) = \mathop { \lim } \limits _ { h \to 0 } \frac { { g \left ( { z + h } \right ) - g \left( z \right ) } } { h }

با توجه به رابطه فوق، مشتق تابع g در نقطه z=0 برابر است با:

g(0)=limh0g(h)g(0)h\large g ^{\prime} \left ( 0 \right ) = \mathop { \lim } \limits _ { h \to 0 } \frac { { g \left ( h \right ) - g \left ( 0 \right ) } } { h }

با استفاده از تابع g، رابطه فوق به صورت زیر در خواهد آمد.

g(0)=limh0g(h)g(0)h=limh0f(x0+ah,y0+bh)f(x0,y0)h=Duf(x0,y0) \large \begin {align*} g ^ { \prime } \left ( 0 \right ) & = \mathop { \lim } \limits _ { h \to 0 } \frac { { g \left ( h \right ) - g \left ( 0 \right ) } } { h } \\\\ & = \mathop { \lim } \limits _ {h \to 0 } \frac { { f \left ( { { x _ 0 } + a h , { y _ 0 } + b h } \right ) - f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) } } { h } \\\\ & = { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \end {align*}

رابطه بالا می‌گوید مشتق تابع g در z=0 برابر است با:

g(0)=Duf(x0,y0) \begin {equation} g ^{\prime} \left ( 0 \right ) = { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \end {equation}
رابطه ۱

رابطه فوق مشتق جهتی تابع f را در نقطه (x0,y0) ( x _ 0 , y _ 0 ) به ما می‌دهد. برای بدست آوردن Duf(x,y) { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y } \right ) می‌توان از مشتق‌گیری زنجیره‌ای استفاده کرد. به منظور استفاده از مشتق‌گیری زنجیره‌ای در ابتدا g(z)=f(x,y) g \left ( z \right ) = f \left( { x , y } \right ) را در نظر می‌گیریم. توجه داشته باشید که در این فرض، $$ x = {x_0} + az{\mbox{ , }}y = {y_0} + bz $$

g(z)=dgdz=fxdxdz+fydydz=fx(x,y)a+fy(x,y)b\large g ^{\prime} \left ( z \right ) = \frac { { d g } } { { d z } } = \frac { { \partial f } } { { \partial x } } \frac { { d x } } { { d z } } + \frac { { \partial f } } { { \partial y } } \frac { { d y } } { { d z } } = {f _ x } \left ( { x , y } \right ) a + { f _ y } \left ( { x , y } \right ) b

بنابراین با استفاده از مشتق‌گیری زنجیره‌ای رابطه زیر بدست آمده است.

g(z)=fx(x,y)a+fy(x,y)b\large \begin {equation} g ^{\prime} \left ( z \right ) = { f _ x } \left ( { x , y } \right ) a + { f _ y } \left ( { x , y } \right ) b \end {equation}

حال می‌توان با قرار دادن z=0 در رابطه بالا، g(0)g^{\prime}(0) را به‌صورت زیر بدست آورد.

g(0)=fx(x0,y0)a+fy(x0,y0)b\large \begin {equation} g ^{\prime} \left ( 0 \right ) = { f _ x } \left ( { x _ 0 , y _ 0 } \right ) a + { f _ y } \left ( { x _ 0 , y _ 0 } \right ) b \end {equation}

با برابر قرار دادن عبارت فوق و رابطه ۱، به رابطه زیر می‌رسیم.

Duf(x0,y0)=g(0)=fx(x0,y0)a+fy(x0,y0)b\large { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) = g ^{\prime} \left( 0 \right ) = { f _ x } \left ( { { x _ 0 }, { y _ 0 } } \right ) a + { f _ y } \left( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) b

با استفاده از رابطه فوق می‌توان مشتق تابع f(x,y) f ( x , y ) را در نقطه  (x0,y0)  ( x _ 0 , y _ 0 ) بدست آورد. به منظور محاسبه مشتق جهتی در نقطه دلخواه (x,y) ( x , y ) کافی است نقطه مذکور را به جای (x0,y0) ( x _ 0 , y _ 0 ) در رابطه فوق قرار داد. در نتیجه شکل کلی مشتق تابع f به صورت زیر است.

Duf(x,y)=fx(x,y)a+fy(x,y)b\large \boxed {{ D _ { \overrightarrow u } } f \left( { x , y } \right ) = { f _ x } \left( { x , y } \right ) a + { f _ y } \left ( { x , y } \right ) b}

به همین صورت اگر تابع f(x,y,z) f \left( { x , y , z } \right ) ، سه متغیره باشد، از رابطه زیر به منظور محاسبه مشتق جهتی در راستای بردار u=a,b,c \overrightarrow u = \left \langle { a , b , c } \right \rangle استفاده می‌شود.

Duf(x,y,z)=fx(x,y,z)a+fy(x,y,z)b+fz(x,y,z)c\large \boxed {{ D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y , z } \right ) = { f _ x } \left( { x , y , z } \right) a + {f _ y } \left ( { x , y , z } \right ) b + { f _ z }\left ( { x , y , z } \right ) c}

در ادامه مثال‌هایی ذکر شده که به منظور یادگیری عمیق‌تر، مناسب هستند.

مثال ۱

حاصل هریک از مشتقات جهتی ارائه شده در زیر را بدست آورید.

  1. Duf(2,0) { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { 2 , 0 } \right ) که در آن رابطه f به صورت f(x,y)=xexy+y f \left ( { x , y } \right) = x { { \bf { e } } ^ { x y } } + y بوده و بردار u \overrightarrow u نیز در زاویه θ=2π3 \displaystyle \theta = \frac { { 2 \pi } } { 3 } قرار گرفته است.
  2. Duf(x,y,z) { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y , z } \right ) در حالتی که f برابر با f(x,y,z)=x2z+y3z2xyz f \left ( { x , y , z } \right ) = { x ^ 2 } z + { y ^ 3 } { z ^ 2 } - x y z بوده و مشتق‌گیری در جهت v=1,0,3 \overrightarrow v = \left \langle { - 1, 0 , 3 } \right \rangle انجام شود.

۱. به منظور مشتق‌گیری از تابع f، بایستی گفت که بردار هادی در نظر گرفته شده، در زاویه θ=2π3 \displaystyle \theta = \frac { { 2 \pi } } { 3 } نسبت به محور افقی قرار گرفته است. بنابراین بردار یکه در این راستا برابر است با:

u=cos(2π3),sin(2π3)=12,32\large \overrightarrow u = \left \langle {\cos \left( { \frac { { 2 \pi } } { 3 } } \right),\sin \left( { \frac{ { 2 \pi } } { 3 } } \right ) } \right \rangle = \left \langle { - \frac{ 1 } { 2 },\frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right \rangle

در نتیجه مشتق جهتی تابع فوق به‌ صورت زیر بدست می‌آید.

Duf(x,y)=(12)(exy+xyexy)+(32)(x2exy+1)\large { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y } \right) = \left ( { - \frac { 1 } { 2 } } \right ) \left ( { { { \bf { e } } ^ { x y } } + x y { { \bf { e } } ^ { x y } } } \right ) + \left( { \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) \left ( { { x ^ 2 } { { \bf { e } } ^ { x y } } + 1 } \right )

حال با جایگذاری نقطه (2,0) در آن، مشتق جهتی f در راستای مذکور برابر می‌شود با:

Duf(2,0)=(12)(1)+(32)(5)=5312\large { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { 2 , 0 } \right ) = \left ( { - \frac { 1 } { 2 } } \right ) \left ( 1 \right ) + \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) \left ( 5 \right ) = \frac { { 5 \sqrt 3 - 1 } } { 2 }

۲. برای مشتق‌گیری در این حالت نیز در ابتدا بایستی از ۱ بودن اندازه بردار هادی اطمینان حاصل کنید. بنابراین اندازه بردار v=1,0,3 \overrightarrow v = \left \langle { - 1 , 0 , 3 } \right \rangle برابر است با:

v=1+0+9=101\large \left \| { \overrightarrow v } \right \| = \sqrt {1 + 0 + 9 } = \sqrt { 1 0 } \ne 1

همان‌طور که در بالا محاسبه شد، اندازه بردار فوق برابر با ۱ نیست،‌ لذا بایستی مولفه‌های آن را به اندازه‌اش تقسیم کرده و اندازه آن را برابر با ۱ کنیم. در نتیجه بردار مشتق‌گیری به صورت زیر بدست می‌آید.

u=1101,0,3=110,0,310\large \overrightarrow u = \frac { 1 } { { \sqrt { 1 0 } } } \left \langle { - 1 , 0 , 3 } \right \rangle = \left \langle { - \frac { 1 } { { \sqrt { 1 0 } } } , 0 , \frac { 3 } { { \sqrt { 1 0 } } } } \right \rangle

نهایتا مشتق جهتی در راستای بردار فوق برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

Duf(x,y,z)=(110)(2xzyz)+(0)(3y2z2xz)+(310)(x2+2y3zxy)=110(3x2+6y3z3xy2xz+yz)\large \begin{align*}{D_{\overrightarrow u}}f\left( {x,y,z} \right) & = \left( { - \frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)\left( {2 x z - y z } \right ) + \left( 0 \right) \left( { 3 { y ^ 2 } { z ^ 2 } - xz} \right) + \left( { \frac { 3 } { { \sqrt {10} } } } \right) \left ( { { x ^ 2 } + 2 { y ^ 3 } z - x y } \right)\\ & = \frac { 1 } { { \sqrt {1 0 } } } \left( { 3 { x ^ 2 } + 6 { y ^ 3 } z - 3 x y - 2 x z + yz} \right)\end{align*}

تعریف مبتنی بر ضرب داخلی

احتمالا با مطالعه مثال ۱ با نحوه بدست آوردن مشتق جهتی آشنا شده‌اید. در این قسمت می‌خواهیم شکل‌های دیگر روابط مشتق جهتی را توضیح دهیم.

با توجه به مفهوم ضرب داخلی، مشتق جهتی را می‌توان به صورت ضرب داخلی نیز بیان کرد.

Duf(x,y,z)=fx(x,y,z)a+fy(x,y,z)b+fz(x,y,z)c=fx,fy,fza,b,c\large \begin {align*} { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y , z } \right ) & = { f _ x } \left ( { x , y , z } \right ) a + {f_y}\left( {x,y,z} \right ) b + { f _ z } \left( { x , y , z } \right ) c\\ & = \left \langle { { f _ x }, { f _ y }, { f _ z } } \right\rangle \small \bullet \left \langle { a , b , c } \right \rangle \end{align*}

در رابطه فوق، fx,fy,fz\begin{align*} \left \langle { { f _ x } , { f _ y } , { f _ z } } \right \rangle \end{align*} برداری سه مولفه‌ای است که برابر با گرادیان تابع f است. بنابراین:

$$\large \nabla f = \left \langle { { f _ x } , { f _ y }, { f _ z } } \right \rangle \hspace { 0.25in } { \mbox { , } } \hspace { 0.5in } \nabla f = \left \langle { { f _ x } , { f _ y } } \right \rangle$$

البته می‌توان از نماد زیر نیز برای بیان کردن گرادیان استفاده کرد:

$$\large \nabla f = { f _ x }\,\overrightarrow i + { f _ y } \overrightarrow j + { f _ z } \,\overrightarrow k \hspace { 0.5in } {\mbox{ , } } \hspace { 0.5in } \nabla f = { f _ x }\,\overrightarrow i + { f _ y } \overrightarrow j$$

بنابراین مشتق جهتیِ تابع f را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

Duf=fu\large { D _ { \overrightarrow u } } f = \nabla f \small \bullet \overrightarrow u

در ادامه مثالی ارائه شده که در آن با استفاده از مفهوم گرادیان، مشتق جهتی یک تابع در راستایی مشخص ارائه شده است.

مثال ۲

حاصل مشتق توابع زیر را در جهات خواسته شده بدست آورید.

  1. Duf(x) { D _ { \overrightarrow u } } f \left( { \overrightarrow x } \right ) در حالتی که f(x,y)=xcos(y) f \left( { x , y } \right ) = x \cos \left ( y \right ) بوده و بردار هادی برابر با v=2,1 \overrightarrow v = \left \langle { 2 , 1 } \right \rangle باشد.
  2. Duf(x) { D _ { \overrightarrow u } } f \left( { \overrightarrow x } \right ) در حالتی که f(x,y,z)=sin(yz)+ln(x2) f \left ( { x , y , z } \right ) = \sin \left ( { y z } \right) + \ln \left ( { { x ^ 2 } } \right ) بوده و جهت مشتق‌گیری در راستای بردار v=1,1,1 \overrightarrow v = \left \langle { 1 , 1 , -1 } \right \rangle (بردار هادی) باشد. هم‌چنین حاصل مشتق سویی این تابع را در نقطه v=1,1,π \overrightarrow v = \left \langle { 1 , 1 , \pi } \right \rangle نیز بدست آورید.

۱. در اولین قدم گرادیان تابع f را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

f=cos(y),xsin(y)\large \nabla f = \left \langle { \cos \left ( y \right ) , - x \sin \left ( y \right ) } \right \rangle

همان‌طور که پیش‌تر نیز دیدیم، بردار واحد را می‌توان با تقسیم کردن بردار به اندازه‌اش، به صورت زیر بدست آورد.

u=25,15\large \overrightarrow u = \left \langle { \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } , \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } } \right \rangle

بنابراین مشتق جهتی تابع برابر است با:

Duf(x)=cos(y),xsin(y)25,15=15(2cos(y)xsin(y))\large \begin{align*}{D_{\overrightarrow u}}f\left( {\overrightarrow x} \right) & = \left\langle {\cos \left( y \right), - x\sin \left( y \right)} \right\rangle \small \bullet \left\langle {\frac{2}{{\sqrt 5 }},\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right\rangle \\ & = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( {2\cos \left( y \right) - x\sin \left( y \right)} \right)\end{align*}

۲. مشابه با تابع شماره ۱ در این حالت نیز دقیقا همین قدم‌ها تکرار می‌شوند. بنابراین گرادیان تابع f برابر است با:

f(x,y,z)=2x,zcos(yz),ycos(yz)f(1,1,π)=21,πcos(π),cos(π)=2,π,1\large \begin{align*} & \nabla f \left ( { x , y , z } \right ) = \left \langle { \frac { 2 } { x } , z \cos \left ( { y z } \right ) , y \cos \left( { y z } \right ) } \right \rangle \\ &\rightarrow \nabla f \left( { 1 , 1 , \pi } \right ) = \left \langle { \frac { 2 } { 1 } , \pi \cos \left( \pi \right) , \cos \left ( \pi \right ) } \right \rangle = \left \langle { 2 , - \pi , - 1} \right \rangle \end {align*}

هم‌چنین بردار واحد برابر است با:

v=3u=13,13,13\large \left\| {\overrightarrow v} \right\| = \sqrt 3 \hspace{0.5in}\overrightarrow u = \left \langle { \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } , \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } , - \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right \rangle

نهایتا مشتق سویی تابع f در راستای بردار u برابر می‌شود با:

Duf(1,1,π)=2,π,113,13,13=13(2π+1)=3π3\large \begin {align*} { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { 1 , 1 ,\pi } \right) & = \left\langle { 2 , - \pi , - 1 } \right \rangle \small \bullet \left \langle { \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } , \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } , - \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right \rangle \\ & = \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } \left ( { 2 - \pi + 1 } \right )\\ & = \frac{ { 3 - \pi } } { { \sqrt 3 } } \end{align*}

قبل از اینکه به ادامه مطلب بپردازیم لازم است بدانید که مشتق جهتی، نوعی خاص از مشتق جزئی است. برای نمونه fx { f _ x } برابر با مشتق جهتی تابع f در راستای بردار u=1,0 \overrightarrow u = \left \langle { 1 , 0 } \right \rangle یا u=1,0,0 \overrightarrow u = \left \langle { 1 , 0 , 0 } \right \rangle است. همین قاعده را در مورد مشتقات جزئی fy { f _ y } و fz { f _ z } نیز می‌توان بیان کرد.

این مطلب را با بیان دو ویژگی پرکاربرد از مشتق جهتی به پایان می‌رسانیم. ویژگی اول به ما بیشترین تغییرات تابع f را در نقطه‌ای خاص نشان می‌دهد. در حقیقت برای تابعی دومتغیره در یک بینهایت مسیر را می‌توان به منظور یافتن تغییرات در نظر گرفت. این در حالی است که با استفاده از ویژگی اول می‌توان مسیری را یافت که در آن بیشترین تغییرات رخ می‌دهد.

قضیه اول

بیشترین مقدار مشتق جزئیِ Duf(x) { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { \overrightarrow x } \right ) یا به عبارتی بیشترین تغییرات تابع f در یک نقطه خاص برابر با گرادیان تابع f در آن نقطه (f(x) \nabla f \left ( { \overrightarrow x } \right ) ) است.

اثبات

اثبات قضیه بیان شده در بالا بسیار سهل است. اگر تغییرات تابع به صورت برداری نوشته شود، خواهیم داشت:

Duf=fu=fucosθ=fcosθ { D _ { \overrightarrow u } } f = \nabla f \small \bullet \overrightarrow u = \left \| { \nabla f } \right \| \, \, \left \| { \overrightarrow u } \right \| \cos \theta = \left\| {\nabla f} \right\| \cos \theta

بدیهی است که مقدار فوق زمانی ماکزیمم است که راستای بردار گرادیان و بردار u \overrightarrow { u } در یک جهت باشند. در راستای بیان شده، θ=0 \theta = 0 بوده، در نتیجه cosθ=1 \cos \theta = 1 بدست می‌آید.

مثال ۳

تصور کنید ارتفاع یک کوه مطابق با رابطه z=10000.01x20.02y2 z = 1000 - 0 . 0 1 { x ^ 2 } - 0 . 0 2 { y ^ 2 } قابل توصیف باشد. اگر شما در نقطه (60,100) \left ( { 6 0 , 1 0 0 } \right ) ایستاده باشید، بیشترین نرخ تغییرات ارتفاع در نقطه در چه جهتی و به چه مقدار است؟

در ابتدا گرادیان تابع f را به‌صورت زیر بدست می‌آوریم.

f(x)=0.02x,0.04y \large \nabla f \left( { \overrightarrow x } \right ) = \left \langle { - 0 . 0 2 x , - 0 . 0 4 y } \right \rangle

بنابراین بیشترین نرخ افزایش ارتفاع در نقطه (60,100)\left( {60,100} \right) برابر است با:

f(60,100)=(1.2)2+(4)2=17.44=4.176 \left \| { \nabla f \left ( { 6 0 , 1 0 0 } \right ) } \right \| = \sqrt { { { \left ( { - 1 . 2 } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( 4 \right ) } ^ 2 } } = \sqrt { 1 7 . 4 4 } = 4 . 1 7 6

بدین ترتیب مشخص می‌شود که با توجه به نقطه‌ای که شما در آن قرار گرفته‌اید، بیشترین نرخ تغییرات ارتفاع با بردار (1.2,4)(-1.2,-4) به دست می‌آید. با توجه به اینکه مقدار بردار در راستای عمودی و افقی منفی است یعنی هر چه شما از نقطه‌ای که در آن قرار دارید به سمت پایین و مرکز کوه حرکت کنید نرخ تغییرات ارتفاع بیشتر است تا اینکه به سمت بالا و افزایش فاصله از مرکز حرکت نمایید.

قضیه دوم

بردار گرادیان f(x0,y0) \nabla f \left( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) به منحنی f(x,y)=k f \left( { x , y } \right ) = k در نقطه (x0,y0) \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) و بردار f(x0,y0,z0) \nabla f \left( { { x _ 0 }, { y _ 0 } , { z _ 0 } } \right ) به سطح f(x,y,z)=k f \left ( { x , y , z } \right ) = k در نقطه (x0,y0,z0) \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } , { z _ 0 } } \right ) عمود است.

اثبات

قضیه دوم را در حالت سه‌بعدی ( R3 { \mathbb { R } ^ 3 } ) اثبات می‌کنیم. روش اثبات را می‌توان به حالت دوبعدی (R۲ { \mathbb { R } ^ ۲ } ) نیز تعمیم داد. برای اثبات در ابتدا سطح S را در نظر بگیرید به نحوی که توسط رابطه f(x,y,z)=k f \left ( { x , y , z } \right ) = k توصیف شود. هم‌چنین نقطه P به مختصات P=(x0,y0,z0) P = \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } , { z _ 0 } } \right ) را روی سطح S تصور کنید.

حال فرض کنید C خمی است که نقطه P را در خود دارد. بدیهی است که می‌توان بینهایت خم را در نظر گرفت که از نقطه مفروض عبور می‌کند. اگر خم C را به صورت برداری بنویسیم،‌ t0 { t _ 0 } را برابر با مقداری در نظر بگیرید که نقطه P را به شما می‌دهد. در حقیقت مقدار t0 رابطه r(t0)=x0,y0,z0 \overrightarrow r \left ( { { t _ 0 } } \right ) = \left \langle { { x _ 0 } , { y _ 0 } , { z _ 0 } } \right \rangle را به شما می‌دهد. از آن‌جایی که خم C روی سطح S قرار گرفته، بنابراین مولفه‌های تابع برداری r در رابطه زیر صدق می‌کنند. بنابراین می‌توان نوشت:

f(x(t),y(t),z(t))=k f \left ( {x \left ( t \right ) , y \left ( t \right) , z \left ( t \right ) } \right ) = k

حال با استفاده از مشتق‌گیری زنجیره‌ای از تابع f می‌توان گفت:

fxdxdt+fydydt+fzdzdt=0 \frac { { \partial f } } { { \partial x } } \frac { { d x } } { { d t } } + \frac { { \partial f } } { { \partial y } } \frac { { d y } } { { d t } } + \frac { { \partial f } } { { \partial z } } \frac { { d z } } { { d t } } = 0

حال حاصل‌ضرب داخلی دو بردار f=fx,fy,fz \nabla f = \left \langle { { f _ x } , { f _ y } , { f _ z } } \right \rangle و r(t)=x(t),y(t),z(t) \overrightarrow r ^{\prime} \left ( t \right ) = \left \langle { x ^{\prime} \left ( t \right ) , y ^{\prime} \left ( t \right ) , z ^{\prime} \left ( t \right ) } \right \rangle را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

fr(t)=0 \nabla f\, \small \bullet \, \overrightarrow r ^{\prime} \left ( t \right ) = 0

بنابراین در t=t0 t = { t _ 0 } نیز حاصل ضرب داخلی برابر است با:

f(x0,y0,z0)r(t0)=0 \nabla f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } , { z _ 0 } } \right ) \,\small \bullet \, \overrightarrow r ^{\prime} \left ( { { t _ 0 } } \right ) = 0

با توجه به صفر بودن حاصل ضرب داخلی بردار گرادیان در بردار مماس بر خم C، می‌توان نتیجه گرفت که گرادیان تابع f به هر خمی که از P می‌گذرد، عمود است. بنابراین گرادیان به سطح S نیز عمود است. انیمیشن زیر نشان می‌دهد که چگونه گرادیان بر تمامی خم‌های گذرنده از یک نقطه عمود هستند.

Gradient-perpendicular

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش مشتق جهتی یا مشتق سویی — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

فیلم آموزشی مشتق جهتی

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل مثال از مشتق جهتی

دانلود ویدیو
بر اساس رای ۴۹ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Pauls Online Notes
۸ دیدگاه برای «مشتق جهتی یا مشتق سویی — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)»

برای دوستانی که نمی توانند حرکت در جهت بردار مشتق جهتی را تصور کنند :
1- فرض کنید یک کوه داریم.
2- فرض کنید یک سیخ بزرگ و طولانی داریم.
3- فرض کنید سیخ را طوری در دست گرفته ایم که سیخ با سطح زمین در یک راستا قرار دارد.(موازی)
4- حالا سیخ را در دل کوه فرو کنید به طوری که از آن طرف کوه بیرون بزند.(کوه را سیخ کنید)
5- حالا شروع کنید به بالا رفتن از کوه. و در جهتی پیش بروید که هر گاه به زیر پای خود نگاه می‌کنید، ببینید که بر روی سیخ در حرکت هستید.
همین.

چجوری روی کوه در جهت بردار گرادیان حرکت کند ؟ من نمیتونم تجسم کنم …مگر بردار مشتق جهتی بر بردار گرادیان عمود نیست ؟ بعد چجوری در مسیر بردار حرکتی برویم که با بردار گرادیان موازی باشد ؟ و نکته دیگه هم در مورد جهت ذره در میدانهایی که پتانسیل دارند چگونه انجام میشه و چرا حرکت ذره همیشه در جهت بردار گرادیان هست ؟ آیا میتوان گفت ذره هوش دارد ؟ با مثال لطفا نشان دهید

سلام و روز شما به خیر؛

در مورد مثال مورد نظر شما برای درک بهتر این مثال توضیحاتی به این مثال اضافه شد تا بتوانید منظور مثال از بیشترین تغییرات ارتفاع کوه را بیشتر درک کنید. در مورد حرکت ذرات در جهت گرادیان پتانسیل باید در نظر داشته باشید که گرادیان پتانسیل برابر با میدان الکتریکی است و ذرات باردار در جهت میدان الکتریکی و عمود بر میدان مغناطیسی حرکت می‌کنند.

از اینکه با فرادرس همراه هستید خرسندیم.

عالی. فقط در مثال کوه نورد بهتر است متذکر شویم امکان حرکت در جهت بردار گرادیان برای کوه‌نورد از جنبه عملی میسر نیست، چون کوه یه رویه تلقی میشود و گرادیان مسیر حرکت برای بیشترین تغییر را در صفحه زمین یعنی صفحه ایکس و ایگرگ به ما میدهد.

سلام. شخص می‌تواند روی رویه در جهت x و y حرکت کند.
از همراهی شما با مجله فرادرس خوشحالیم.

عجب فیلم حقی بود.

درود وسپاس فراوان
بسیار عالی

خیلی ممنونم عال بود

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *