ریاضی , علوم پایه 1344 بازدید

در راستای ارائه مفاهیم مرتبط با مشتق، در این مطلب قصد داریم تا مشتق جهتی یا سویی را توضیح دهیم. در حقیقت گرادیان یک تابع نمونه‌ای از مشتق جهتی محسوب می‌شود. پیشنهاد می‌شود قبل از مطالعه این مطلب،‌ مطالب مشتق جزئی و گرادیان مطالعه شوند.

مقدمه

در ابتدا دو مشتق جزئی $$ { f _ x } \left ( { x , y } \right )$$ و $$ { f _ y } \left ( { x , y } \right ) $$ را در نظر بگیرید. این مشتق‌ها به ترتیب نشان دهنده سرعت تغییرات f نسبت به x (در حالتی که y ثابت است) و y (در حالتی که x ثابت است) هستند. حال این سوال پیش می‌آید که چگونه می‌توان تغییرات تابع f را نسبت به یک جهت دلخواه بدست آورد؟

سوال این جا است که مسیر‌های بسیاری را می‌توان تعریف کرد. بنابراین چطور بایستی مسیر مشتق‌گیری را تعریف کرد؟ به منظور پاسخ به این سوال در ابتدا فرض کنید که هدف، محاسبه تغییرات تابع f در نقطه $$ \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) $$ است. هم‌چنین فرض کنید که هر دو متغیر x و y افزایش یافته و سرعت افزایش x، دو برابر سرعت y باشد.

از مفاهیم مربوط به معادله خط می‌دانیم که می‌توان با استفاده از بردار هادیِ یک خط، شیب آن را توصیف کرد. نهایتا بردار هادی خطی که سرعت افزایش x در آن 2 برابر سرعت افزایش y باشد، به صورت زیر بیان می‌شود.

$$\large \overrightarrow v = \left \langle { 2 , 1 } \right \rangle $$

بنابراین صورت سوال این است که تغییرات تابع f در راستای بردار $$ \overrightarrow v = \left \langle { 2 , 1 } \right \rangle $$ چقدر است؟ توجه داشته باشید که هر برداری که مضربی از $$ \overrightarrow v = \left \langle { 2 , 1 } \right \rangle $$ باشد، جهتی مشابه با v را نشان می‌دهد. برای نمونه جهت بردار‌های زیر یکسان ولی اندازه آن‌ها متفاوت است.

$$\large \overrightarrow v = \left \langle { \frac { 1 } { 5 },\frac { 1 } { { 1 0 } } } \right \rangle \,\hspace { 0.25 in }\,\,\,\overrightarrow v = \left \langle { 6 , 3 } \right \rangle \hspace { 0.25 in } \overrightarrow v = \left \langle { \frac { 2 } { { \sqrt 5 }},\frac{1}{{\sqrt 5 } } } \right \rangle $$

تعریف مشتق جهتی

به منظور محاسبه تغییرات تابعی هم‌چون f، از قالبی واحد برای محاسبه تغییرات استفاده می‌کنیم. در حقیقت برداری به عنوان بردار هادی در نظر گرفته می‌شود که اندازه آن برابر با 1 باشد. در نتیجه از میان گزینه‌های فوق، بردار $$ \overrightarrow v = \left \langle { \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } ,\frac { 1 } { { \sqrt 5 } } } \right \rangle $$ به منظور محاسبه تغییرات در نظر گرفته می‌شود. همان‌طور که در مطلب بردار‌ها نیز عنوان شد، اندازه برداری به صورتِ $$ \overrightarrow v = \left \langle { a , b , c } \right \rangle $$ برابر است با:

$$\large \left \| { \overrightarrow v } \right \| = \sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } } $$

در برخی از موارد می‌توان تغییرات x و y را بر حسب زاویه بیان کرد. برای نمونه بردار واحد تغییرات تابع f در زاویه $$ \theta = \frac { \pi } { 3 } $$ برابر است با:

$$ \overrightarrow u = \left \langle { \cos \theta ,\sin \theta } \right \rangle $$

حال که با تعریف و مفهوم جهت مشتق‌گیری آشنا شدیم، زمان آن رسیده تا مشتق تابع f در راستای بردار $$ \overrightarrow u = \left \langle { a , b } \right \rangle $$ را تعریف کنیم.

به نرخ تغییرات تابع $$ f \left( { x , y } \right ) $$ در راستای بردار $$ \overrightarrow u = \left \langle { a , b } \right \rangle $$، مشتق جهتی گفته شده و با نماد $$ { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y } \right ) $$ نشان داده می‌شود. هم‌چنین اندازه $$ { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y } \right ) $$ برابر است با:

$$\large {D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y } \right ) = \mathop { \lim } \limits _ {h \to 0 } \frac { { f \left ( { x + a h,y + b h } \right) – f \left( { x , y } \right ) } } { h } $$

در عمل محاسبه حد فوق مشکل است. لذا بایستی برای آن رابطه‌ای آسان‌تر یافت. برای درک نحوه بدست آوردن فرمولِ مشتق جهتی، تابعی تک متغیره را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

$$\large g \left ( z \right ) = f \left( { { x _ 0 } + a z , { y _ 0 } + b z } \right ) $$

در رابطه بالا $$ { y _ 0 } $$، $$ { x _ 0 } $$ و b اعدادی ثابت بوده و z متغیر است. حال تعریف بنیادی مشتق عنوان می‌کند:

$$\large g ^{\prime} \left ( z \right ) = \mathop { \lim } \limits _ { h \to 0 } \frac { { g \left ( { z + h } \right ) – g \left( z \right ) } } { h } $$

با توجه به رابطه فوق، مشتق تابع g در نقطه z=0 برابر است با:

$$\large g ^{\prime} \left ( 0 \right ) = \mathop { \lim } \limits _ { h \to 0 } \frac { { g \left ( h \right ) – g \left ( 0 \right ) } } { h } $$

با استفاده از تابع g، رابطه فوق به صورت زیر در خواهد آمد.

$$\large g ^{\prime} \left( 0 \right ) = \mathop { \lim } \limits _ { h \to 0 } \frac { { g \left ( h \right ) – g \left ( 0 \right ) } } { h } = \mathop { \lim } \limits _ {h \to 0 } \frac { { f \left ( { { x _ 0 } + a h , { y _ 0 } + b h } \right ) – f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) } } { h } = { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) $$

رابطه بالا می‌گوید مشتق تابع g در z=0 برابر است با:

$$ \begin {equation} g ^{\prime} \left ( 0 \right ) = { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \end {equation}$$
رابطه 1

رابطه فوق مشتق جهتی تابع f را در نقطه $$ ( x _ 0 , y _ 0 ) $$ به ما می‌دهد. برای بدست آوردن $$ { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y } \right ) $$ می‌توان از مشتق‌گیری زنجیره‌ای استفاده کرد. به منظور استفاده از مشتق‌گیری زنجیره‌ای در ابتدا $$ g \left ( z \right ) = f \left( { x , y } \right ) $$ را در نظر می‌گیریم. توجه داشته باشید که در این فرض، $$ x = {x_0} + az{\mbox{ , }}y = {y_0} + bz $$ برقرارند. حال می‌توان از مشتق‌گیری زنجیره‌ای به صورت زیر استفاده کرد.

$$\large g ^{\prime} \left ( z \right ) = \frac { { d g } } { { d z } } = \frac { { \partial f } } { { \partial x } } \frac { { d x } } { { d z } } + \frac { { \partial f } } { { \partial y } } \frac { { d y } } { { d z } } = {f _ x } \left ( { x , y } \right ) a + { f _ y } \left ( { x , y } \right ) b $$

بنابراین با استفاده از مشتق‌گیری زنجیره‌ای رابطه زیر بدست آمده است.

$$\large \begin {equation} g ^{\prime} \left ( z \right ) = { f _ x } \left ( { x , y } \right ) a + { f _ y } \left ( { x , y } \right ) b \end {equation} $$

حال می‌توان با قرار دادن z=0 در رابطه بالا، $$g^{\prime}(0)$$ را به‌صورت زیر بدست آورد.

$$\large \begin {equation} g ^{\prime} \left ( 0 \right ) = { f _ x } \left ( { x _ 0 , y _ 0 } \right ) a + { f _ y } \left ( { x _ 0 , y _ 0 } \right ) b \end {equation} $$

با برابر قرار دادن عبارت فوق و رابطه 1، به رابطه زیر می‌رسیم.

$$\large { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) = g ^{\prime} \left( 0 \right ) = { f _ x } \left ( { { x _ 0 }, { y _ 0 } } \right ) a + { f _ y } \left( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) b $$

با استفاده از رابطه فوق می‌توان مشتق تابع $$ f ( x , y ) $$ را در نقطه $$  ( x _ 0 , y _ 0 ) $$ بدست آورد. به منظور محاسبه مشتق جهتی در نقطه دلخواه $$ ( x , y ) $$ کافی است نقطه مذکور را به جای $$ ( x _ 0 , y _ 0 ) $$ در رابطه فوق قرار داد. در نتیجه شکل کلی مشتق تابع f به صورت زیر است.

$$\large \boxed {{ D _ { \overrightarrow u } } f \left( { x , y } \right ) = { f _ x } \left( { x , y } \right ) a + { f _ y } \left ( { x , y } \right ) b} $$

به همین صورت اگر تابع $$ f \left( { x , y , z } \right ) $$، سه متغیره باشد، از رابطه زیر به منظور محاسبه مشتق جهتی در راستای بردار $$ \overrightarrow u = \left \langle { a , b , c } \right \rangle $$ استفاده می‌شود.

$$\large \boxed {{ D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y , z } \right ) = { f _ x } \left( { x , y , z } \right) a + {f _ y } \left ( { x , y , z } \right ) b + { f _ z }\left ( { x , y , z } \right ) c} $$

در ادامه مثال‌هایی ذکر شده که به منظور یادگیری عمیق‌تر، مناسب هستند.

مثال 1

حاصل هریک از مشتقات جهتی ارائه شده در زیر را بدست آورید.

  1. $$ { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { 2 , 0 } \right ) $$ که در آن رابطه f به صورت $$ f \left ( { x , y } \right) = x { { \bf { e } } ^ { x y } } + y $$ بوده و بردار $$ \overrightarrow u $$ نیز در زاویه $$ \displaystyle \theta = \frac { { 2 \pi } } { 3 } $$ قرار گرفته است.
  2. $$ { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y , z } \right ) $$ در حالتی که f برابر با $$ f \left ( { x , y , z } \right ) = { x ^ 2 } z + { y ^ 3 } { z ^ 2 } – x y z $$ بوده و مشتق‌گیری در جهت $$ \overrightarrow v = \left \langle { – 1, 0 , 3 } \right \rangle $$ انجام شود.

1. به منظور مشتق‌گیری از تابع f، بایستی گفت که بردار هادی در نظر گرفته شده، در زاویه $$ \displaystyle \theta = \frac { { 2 \pi } } { 3 } $$ نسبت به محور افقی قرار گرفته است. بنابراین بردار یکه در این راستا برابر است با:

$$\large \overrightarrow u = \left \langle {\cos \left( { \frac { { 2 \pi } } { 3 } } \right),\sin \left( { \frac{ { 2 \pi } } { 3 } } \right ) } \right \rangle = \left \langle { – \frac{ 1 } { 2 },\frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right \rangle $$

در نتیجه مشتق جهتی تابع فوق به‌ صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y } \right) = \left ( { – \frac { 1 } { 2 } } \right ) \left ( { { { \bf { e } } ^ { x y } } + x y { { \bf { e } } ^ { x y } } } \right ) + \left( { \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) \left ( { { x ^ 2 } { { \bf { e } } ^ { x y } } + 1 } \right ) $$

حال با جایگذاری نقطه (2,0) در آن، مشتق جهتی f در راستای مذکور برابر می‌شود با:

$$\large { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { 2 , 0 } \right ) = \left ( { – \frac { 1 } { 2 } } \right ) \left ( 1 \right ) + \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) \left ( 5 \right ) = \frac { { 5 \sqrt 3 – 1 } } { 2 } $$

2. برای مشتق‌گیری در این حالت نیز در ابتدا بایستی از 1 بودن اندازه بردار هادی اطمینان حاصل کنید. بنابراین اندازه بردار $$ \overrightarrow v = \left \langle { – 1 , 0 , 3 } \right \rangle $$ برابر است با:

$$\large \left \| { \overrightarrow v } \right \| = \sqrt {1 + 0 + 9 } = \sqrt { 1 0 } \ne 1 $$

همان‌طور که در بالا محاسبه شد، اندازه بردار فوق برابر با 1 نیست،‌ لذا بایستی مولفه‌های آن را به اندازه‌اش تقسیم کرده و اندازه آن را برابر با 1 کنیم. در نتیجه بردار مشتق‌گیری به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large \overrightarrow u = \frac { 1 } { { \sqrt { 1 0 } } } \left \langle { – 1 , 0 , 3 } \right \rangle = \left \langle { – \frac { 1 } { { \sqrt { 1 0 } } } , 0 , \frac { 3 } { { \sqrt { 1 0 } } } } \right \rangle $$

نهایتا مشتق جهتی در راستای بردار فوق برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin{align*}{D_{\overrightarrow u}}f\left( {x,y,z} \right) & = \left( { – \frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)\left( {2 x z – y z } \right ) + \left( 0 \right) \left( { 3 { y ^ 2 } { z ^ 2 } – xz} \right) + \left( { \frac { 3 } { { \sqrt {10} } } } \right) \left ( { { x ^ 2 } + 2 { y ^ 3 } z – x y } \right)\\ & = \frac { 1 } { { \sqrt {1 0 } } } \left( { 3 { x ^ 2 } + 6 { y ^ 3 } z – 3 x y – 2 x z + yz} \right)\end{align*} $$

تعریف مبتنی بر ضرب داخلی

احتمالا با مطالعه مثال 1 با نحوه بدست آوردن مشتق جهتی آشنا شده‌اید. در این قسمت می‌خواهیم شکل‌های دیگر روابط مشتق جهتی را توضیح دهیم. با توجه به مفهوم ضرب داخلی، مشتق جهتی را می‌توان به صورت ضرب داخلی نیز بیان کرد.

$$\large \begin {align*} { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { x , y , z } \right ) & = { f _ x } \left ( { x , y , z } \right ) a + {f_y}\left( {x,y,z} \right ) b + { f _ z } \left( { x , y , z } \right ) c\\ & = \left \langle { { f _ x }, { f _ y }, { f _ z } } \right\rangle \centerdot \left \langle { a , b , c } \right \rangle \end{align*} $$

در رابطه فوق، $$\begin{align*} \left \langle { { f _ x } , { f _ y } , { f _ z } } \right \rangle \end{align*}$$ برداری سه مولفه‌ای است که برابر با گرادیان تابع f است. بنابراین:

$$\large \nabla f = \left \langle { { f _ x } , { f _ y }, { f _ z } } \right \rangle \hspace { 0.25in } { \mbox { , } } \hspace { 0.5in } \nabla f = \left \langle { { f _ x } , { f _ y } } \right \rangle$$

البته می‌توان از نماد زیر نیز برای بیان کردن گرادیان استفاده کرد:

$$\large \nabla f = { f _ x }\,\overrightarrow i + { f _ y } \overrightarrow j + { f _ z } \,\overrightarrow k \hspace { 0.5in } {\mbox{ , } } \hspace { 0.5in } \nabla f = { f _ x }\,\overrightarrow i + { f _ y } \overrightarrow j$$

بنابراین مشتق جهتیِ تابع f را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\large { D _ { \overrightarrow u } } f = \nabla f \centerdot \overrightarrow u $$

در ادامه مثالی ارائه شده که در آن با استفاده از مفهوم گرادیان، مشتق جهتی یک تابع در راستایی مشخص ارائه شده است.

مثال 2

حاصل مشتق توابع زیر را در جهات خواسته شده بدست آورید.

  1. $$ { D _ { \overrightarrow u } } f \left( { \overrightarrow x } \right ) $$ در حالتی که $$ f \left( { x , y } \right ) = x \cos \left ( y \right ) $$ بوده و بردار هادی برابر با $$ \overrightarrow v = \left \langle { 2 , 1 } \right \rangle $$ باشد.
  2. $$ { D _ { \overrightarrow u } } f \left( { \overrightarrow x } \right ) $$ در حالتی که $$ f \left ( { x , y , z } \right ) = \sin \left ( { y z } \right) + \ln \left ( { { x ^ 2 } } \right ) $$ بوده و جهت مشتق‌گیری در راستای بردار $$ \overrightarrow v = \left \langle { 1 , 1 , – 1 } \right \rangle $$ (بردار هادی) باشد. هم‌چنین حاصل مشتق سویی این تابع را در نقطه $$ \overrightarrow v = \left \langle { 1 , 1 , – 1 } \right \rangle $$ نیز بدست آورید.

1. در اولین قدم گرادیان تابع f را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

$$\large \nabla f = \left \langle { \cos \left ( y \right ) , – x \sin \left ( y \right ) } \right \rangle $$

همان‌طور که پیش‌تر نیز دیدیم، بردار واحد را می‌توان با تقسیم کردن بردار به اندازه‌اش، به صورت زیر بدست آورد.

$$\large \overrightarrow u = \left \langle { \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } , \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } } \right \rangle $$

بنابراین مشتق جهتی تابع برابر است با:

$$\large \begin{align*}{D_{\overrightarrow u}}f\left( {\overrightarrow x} \right) & = \left\langle {\cos \left( y \right), – x\sin \left( y \right)} \right\rangle \centerdot \left\langle {\frac{2}{{\sqrt 5 }},\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right\rangle \\ & = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( {2\cos \left( y \right) – x\sin \left( y \right)} \right)\end{align*}$$

2. مشابه با تابع شماره 1 در این حالت نیز دقیقا همین قدم‌ها تکرار می‌شوند. بنابراین گرادیان تابع f برابر است با:

$$\large \begin{align*} \nabla f \left( { x , y , z } \right ) & = \left \langle { \frac { 2 } { x } , z \cos \left( { y z } \right ) , y \cos \left( { y z } \right ) } \right \rangle \,\,\,\,\, \rightarrow & \nabla f \left( { 1 , 1 , \pi } \right ) = \left \langle { \frac { 2 } { 1 } , \pi \cos \left( \pi \right) , \cos \left ( \pi \right ) } \right \rangle = \left \langle { 2 , – \pi , – 1} \right \rangle \end {align*} $$

هم‌چنین بردار واحد برابر است با:

$$\large \left\| {\overrightarrow v} \right\| = \sqrt 3 \hspace{0.5in}\overrightarrow u = \left \langle { \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } , \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } , – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right \rangle $$

نهایتا مشتق سویی تابع f در راستای بردار u برابر می‌شود با:

$$\large \begin {align*} { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { 1 , 1 ,\pi } \right) & = \left\langle { 2 , – \pi , – 1 } \right \rangle \centerdot \left \langle { \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } , \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } , – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right \rangle \\ & = \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } \left ( { 2 – \pi + 1 } \right )\\ & = \frac{ { 3 – \pi } } { { \sqrt 3 } } \end{align*} $$

قبل از اینکه به ادامه مطلب بپردازیم لازم است بدانید که مشتق جهتی، نوعی خاص از مشتق جزئی است. برای نمونه $$ { f _ x } $$ برابر با مشتق جهتی تابع f در راستای بردار $$ \overrightarrow u = \left \langle { 1 , 0 } \right \rangle $$ یا $$ \overrightarrow u = \left \langle { 1 , 0 , 0 } \right \rangle $$ است. همین قاعده را در مورد مشتقات جزئی $$ { f _ y } $$ و $$ { f _ z } $$ نیز می‌توان بیان کرد.

این مطلب را با بیان دو ویژگی پرکاربرد از مشتق جهتی به پایان می‌رسانیم. ویژگی اول به ما بیشترین تغییرات تابع f را در نقطه‌ای خاص نشان می‌دهد. در حقیقت برای تابعی دومتغیره در یک بینهایت مسیر را می‌توان به منظور یافتن تغییرات در نظر گرفت. این در حالی است که با استفاده از ویژگی اول می‌توان مسیری را یافت که در آن بیشترین تغییرات رخ می‌دهد.

قضیه اول

بیشترین مقدار مشتق جزئیِ $$ { D _ { \overrightarrow u } } f \left ( { \overrightarrow x } \right ) $$ یا به عبارتی بیشترین تغییرات تابع f در یک نقطه خاص برابر با گرادیان تابع f در آن نقطه ($$ \nabla f \left ( { \overrightarrow x } \right ) $$) است.

اثبات

اثبات قضیه بیان شده در بالا بسیار سهل است. اگر تغییرات تابع به صورت برداری نوشته شود، خواهیم داشت:

$$ { D _ { \overrightarrow u } } f = \nabla f \centerdot \overrightarrow u = \left \| { \nabla f } \right \| \, \, \left \| { \overrightarrow u } \right \| \cos \theta = \left\| {\nabla f} \right\| \cos \theta $$

بدیهی است که مقدار فوق زمانی ماکزیمم است که راستای بردار گرادیان و بردار $$ \overrightarrow { u } $$ در یک جهت باشند. در راستای بیان شده، $$ \theta = 0 $$ بوده، در نتیجه $$ \cos \theta = 1 $$ بدست می‌آید.

مثال 3

تصور کنید ارتفاع یک کوه مطابق با رابطه $$ z = 1000 – 0 . 0 1 { x ^ 2 } – 0 . 0 2 { y ^ 2 } $$ قابل توصیف باشد. اگر شما در نقطه $$ \left ( { 6 0 , 1 0 0 } \right ) $$ ایستاده باشید، بیشترین نرخ افزایش ارتفاع در نقطه مذکور چقدر است؟

در ابتدا گرادیان تابع f را به‌صورت زیر بدست می‌آوریم.

$$ \large \nabla f \left( { \overrightarrow x } \right ) = \left \langle { – 0 . 0 2 x , – 0 . 0 4 y } \right \rangle $$

بنابراین بیشترین نرخ افزایش ارتفاع در نقطه $$\left( {60,100} \right)$$ برابر است با:

$$ \left \| { \nabla f \left ( { 6 0 , 1 0 0 } \right ) } \right \| = \sqrt { { { \left ( { – 1 . 2 } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( 4 \right ) } ^ 2 } } = \sqrt { 1 7 . 4 4 } = 4 . 1 7 6$$

قضیه دوم

بردار گرادیان $$ \nabla f \left( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) $$ به منحنی $$ f \left( { x , y } \right ) = k $$ در نقطه $$ \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) $$ و بردار $$ \nabla f \left( { { x _ 0 }, { y _ 0 } , { z _ 0 } } \right ) $$ به سطح $$ f \left ( { x , y , z } \right ) = k $$ در نقطه $$ \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } , { z _ 0 } } \right ) $$ عمود است.

اثبات

قضیه دوم را در حالت سه‌بعدی ( $$ { \mathbb { R } ^ 3 } $$ ) اثبات می‌کنیم. روش اثبات را می‌توان به حالت دوبعدی ($$ { \mathbb { R } ^ 2 } $$) نیز تعمیم داد. برای اثبات در ابتدا سطح S را در نظر بگیرید به نحوی که توسط رابطه $$ f \left ( { x , y , z } \right ) = k $$ توصیف شود. هم‌چنین نقطه P به مختصات $$ P = \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } , { z _ 0 } } \right ) $$ را روی سطح S تصور کنید.

حال فرض کنید C خمی است که نقطه P را در خود دارد. بدیهی است که می‌توان بینهایت خم را در نظر گرفت که از نقطه مفروض عبور می‌کند. اگر خم C را به صورت برداری بنویسیم،‌ $$ { t _ 0 } $$ را برابر با مقداری در نظر بگیرید که نقطه P را به شما می‌دهد. در حقیقت مقدار t0 رابطه $$ \overrightarrow r \left ( { { t _ 0 } } \right ) = \left \langle { { x _ 0 } , { y _ 0 } , { z _ 0 } } \right \rangle $$ را به شما می‌دهد. از آن‌جایی که خم C روی سطح S قرار گرفته، بنابراین مولفه‌های تابع برداری r در رابطه زیر صدق می‌کنند. بنابراین می‌توان نوشت:

$$ f \left ( {x \left ( t \right ) , y \left ( t \right) , z \left ( t \right ) } \right ) = k $$

حال با استفاده از مشتق‌گیری زنجیره‌ای از تابع f می‌توان گفت:

$$ \frac { { \partial f } } { { \partial x } } \frac { { d x } } { { d t } } + \frac { { \partial f } } { { \partial y } } \frac { { d y } } { { d t } } + \frac { { \partial f } } { { \partial z } } \frac { { d z } } { { d t } } = 0 $$

حال حاصل‌ضرب داخلی دو بردار $$ \nabla f = \left \langle { { f _ x } , { f _ y } , { f _ z } } \right \rangle $$ و $$ \overrightarrow r ^{\prime} \left ( t \right ) = \left \langle { x ^{\prime} \left ( t \right ) , y ^{\prime} \left ( t \right ) , z ^{\prime} \left ( t \right ) } \right \rangle $$ را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

$$ \nabla f\, \centerdot \, \overrightarrow r ^{\prime} \left ( t \right ) = 0 $$

بنابراین در $$ t = { t _ 0 } $$ نیز حاصل ضرب داخلی برابر است با:

$$ \nabla f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } , { z _ 0 } } \right ) \,\centerdot \, \overrightarrow r ^{\prime} \left ( { { t _ 0 } } \right ) = 0 $$

با توجه به صفر بودن حاصل ضرب داخلی بردار گرادیان در بردار مماس بر خم C، می‌توان نتیجه گرفت که گرادیان تابع f به هر خمی که از P می‌گذرد، عمود است. بنابراین گرادیان به سطح S نیز عمود است. انیمیشن زیر نشان می‌دهد که چگونه گرادیان بر تمامی خم‌های گذرنده از یک نقطه عمود هستند.

Gradient-perpendicular

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

یک نظر ثبت شده در “مشتق جهتی یا مشتق سویی — از صفر تا صد

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *