مشتق لگاریتم و تابع نمایی — از صفر تا صد

در راستای معرفی جامع مفهوم مشتق، در این مطلب قصد داریم تا مشتق لگاریتم و توابع نمایی را توضیح دهیم. توجه داشته باشید که بسیاری از توابع مورد استفاده به‌منظور مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی به صورت نمایی یا لگاریتمی هستند. برای نمونه شکل کابل‌های انتقال توان الکتریکی به صورت نمایی است.

توابع نمایی

در حالت کلی به تابعی نمایی گفته می‌شود که در آن عدد به توان یک متغیر رسیده باشد. در ابتدا قصد داریم تا مشتق تابعی به صورت زیر را توضیح دهیم.

$$ f \left( x \right) = { a ^ x } $$

پیش‌تر در مطلب روش‌های مشتق‌گیری روشی تحت عنوان قانون توانی را توضیح دادیم. در این قانون از تابعی که به توان عددی ثابت رسیده بود، مشتق گرفته می‌شد. اما توجه داشته باشید که در این‌جا نمی‌توان از این قانون استفاده کرد. دلیل این امر متغیر بودن توان تابع است. در نتیجه به‌ منظور بدست آوردن مشتق تابع نمایی از تعریف مشتق استفاده می‌کنیم. با به‌کارگیری تعریف پایه‌ای مشتق داریم:

$$ \begin{align*} f ^{\prime}\left( x \right) & = \mathop {\lim }\limits _{h \to 0} \frac{{f\left( { x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits _ {h \to 0} \frac{ { { a ^ { x + h}} - {a ^ x }}}{ h }\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^x}{a^h} - {a^x}}}{ h }\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{ { { a ^ x }\left( {{a^h} - 1} \right)}}{ h }\end{align*}$$

بدیهی است که در رابطه فوق $$ { a ^ x } $$ مستقل از h بوده و می‌توان آن را بیرون کشید.

$$ f ^{\prime} \left( x \right) = { a ^ x } \mathop { \lim } \limits_{ h \to 0} \frac{ { { a ^ h } - 1}}{ h } $$

حاصل حد $$ f ^{\prime} \left( x \right) = \mathop { \lim } \limits_{ h \to 0} \frac{ { { a ^ h } - 1}}{ h } $$ دقیقا نشان دهنده مشتق تابع در x=0 است. با توجه این توصیفات، مشتق تابع (f(x برابر می‌شود با:

$$ f ^{\prime} \left ( x \right) = f ^{\prime} \left( 0 \right) { a ^ x } $$

رابطه فوق مناسب نیست،‌ چرا که ما به دنبال مشتق یک تابع در قالب یک تابع هستیم! تنها یک مقدار از a وجود دارد که با مفاهیم آن آشنا هستیم. این عدد e یا همان عدد نپر است؛ چرا که راه‌های متفاوتی به‌منظور تعریف عدد e وجود دارد. سه مورد از تعریف‌های مذکور در ادامه آمده‌اند.

• $$ \displaystyle { \bf { e } } = \mathop { \lim }\limits _ { n \to \infty } { \left( {1 + \frac{1}{ n } } \right) ^ n } $$
• e عددی ویژه و مثبت است که در حاصل حد $$ \mathop { \lim }\limits _ { h \to 0} \frac{{{{\bf{ e } } ^ h } - 1 } } { h } = 1 $$ صدق می‌کند.
• عدد e را می‌توان برابر با سری $$ \displaystyle { \bf { e } } = \sum \limits _ { n = 0} ^ \infty {\frac{ 1 } { { n ! } } } $$ در نظر گرفت.

مناسب‌ترین تعریف برای ما مورد دوم است. چرا که این مورد دقیقا عبارتی است که با آن کار می‌کنیم. این تعریف نتایج زیر را در پی دارد.

برای یک تابع نمایی طبیعی که به صورت $$ f \left ( x \right ) = { { \bf { e } } ^ x } $$ است، مشتق تابع در نقطه x=0 برابر با $$ f ^{\prime} \left( 0 \right) = \mathop { \lim } \limits _ { h \to 0} \frac{{{{\bf{ e } } ^ h} - 1}} { h } = 1 $$ است. بنابراین مشتق تابع نمایی برابر با تابع زیر بدست می‌آید.

$$ f \left( x \right) = {{\bf{ e } } ^ x }\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}f^{\prime}\left( x \right ) = { { \bf { e } } ^ x } $$

به‌ منظور بدست آوردن مشتق تابع $$ f\left( x \right) = {a^x} $$ می‌توان آن را به ترتیب زیر به شکلی نمایی نوشت. در این صورت خواهیم داشت:

\begin{align*}f\left( x \right) & = { a ^ x }\\ & = {\left( a \right) ^ x }\\ & = {\left( {{{\bf{ e }}^{\ln a } } } \right) ^ x }\\ & = {{\bf { e } } ^ {\left( {\ln a } \right) x } }\\ & = {{\bf{ e }}^{ x\,\,\ln a } } \end{align*}

با استفاده از قانون مشتق‌گیری توانی، مشتق تابع $$ e ^ x \ln a $$ برابر با تابع زیر بدست می‌آید.

$$ f ^{\prime} \left( x \right) = { {\bf{ e } } ^ { x\,\,\ln a}}\left( {\ln a } \right) $$

از طرفی $$ e ^ { x \ln a } $$ را می‌توان برابر با $$ a ^ { x } $$ نوشت. در این صورت رابطه فوق نیز به‌صورت زیر به دست می‌آید.

$$ f ^{\prime} \left( x \right ) = { a ^ x } \ln \left ( a \right) $$

بنابراین نهایتا می‌توان مشتق تابع نمایی را به صورت زیر بیان کرد:

$$ f\left( x \right) = {a ^ x } \hspace {0.5in } \Rightarrow \hspace{0.5in}f^{\prime}\left ( x \right) = {a ^ x} \ln \left( a \right) $$

تابع لگاریتمی

تابع لگاریتمی عکس تابع نمایی است. بنابراین می‌توان به‌ منظور مشتق‌گیری از آن، از مفهوم تابع معکوس استفاده کرد.

اگر دو تابع $$ f ( x ) $$ و $$ g ( x ) $$ معکوس یکدیگر باشند، در این صورت رابطه‌ای به صورت زیر را می‌توان بین آن‌ها بیان کرد:

$$ g ^{\prime} \left( x \right ) = \frac{ 1 } { { f ^{\prime}\left( { g\left( x \right)} \right)}} $$

حال چگونه می‌توان از قانون بیان شده در بالا استفاده کرد. در این مرحله لازم است بگوییم که معکوس تابع $$ f \left( x \right ) = { {\bf { e } } ^ x } $$ برابر با $$ g \left( x \right) = \ln x $$ است. در این صورت با استفاده از قانون مشتق معکوسِ بیان شده در بالا، داریم:

$$ g ^{\prime} \left( x \right) = \frac{1}{{f^{\prime}\left( { g \left( x \right)} \right)}} = \frac { 1 }{{{{\bf{ e }}^{g\left( x \right)}}}} = \frac{ 1 }{{{{ \bf{ e }} ^ {\ln x} } } } = \frac{1}{ x } $$

البته به صورت دقیق‌تر، حاصل مشتق‌گیری تابع لگاریتمی را بایستی به صورت زیر بیان کرد:

$$ \frac { d } { { d x } } \left ( { \ln x } \right ) = \frac { 1 } { x } \hspace { 0.5in } x > 0 $$

هم‌چنین می‌توان متغیر درون تابع را همانند زیر به صورت قدر مطلق در نظر گرفت.

$$ \frac{ d } {{ d x } }\left( { \ln \left| x \right|} \right) = \frac{ 1 } { x }\hspace{0.5in} x \ne 0 $$

با توجه به یافته شدن مشتق تابع $$ \ln x $$، در مرحله بعد می‌توان مشتق تابع $$ \log x $$ را نیز بدست آورد. در حقیقت در این حالت بایستی لگاریتم را بر حسب لگاریتم در مبنای e نوشته، سپس از آن مشتق گرفته شود. به‌منظور انجام این کار ابتدا به ساکن تابع لگاریتمی به ترتیب زیر نوشته شده، سپس به لگاریتم در مبنای e تبدیل می‌شود.

$$ {\log _ a} x = \frac{ { \ln x } } { { \ln a} } $$

حال با استفاده از قانون مشتق‌گیری کسری، از طرفین رابطه فوق مشتق می‌گیریم. با انجام این کار داریم:

$$ \begin {align*}\frac{ d } { { d x } } \left( {{{\log } _ a} x} \right) & = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\ln x}}{{\ln a}}} \right)\\ & = \frac{1} { {\ln a}}\frac{ d } { { d x } } \left( { \ln x} \right )\\ & = \frac { 1 } { { x \ln a } }\end{align*} $$

توجه داشته باشید که در بدست آوردن رابطه بالا از ثابت بودن ln a استفاده شده است. نهایتا مشتق تابع لگاریتمی برابر با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$ \frac{ d } { { d x } } \left( { { { \log } _ a} x } \right) = \frac { 1 } { { x \ln a } } $$

نهایتا به‌طور خلاصه مشتق توابع نمایی و لگاریتمی را می‌توان با استفاده از روابط زیر بدست آورد.

$$ \boxed {\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{ d } { { d x } }\left( {{{\bf{e}}^x}} \right) = {{\bf{e}} ^ x} & \hspace{1.0in}\displaystyle \frac{ d }{{ d x }}\left( {{a^x}} \right) = {a ^ x}\ln a\\ \displaystyle \frac{ d } {{ d x }}\left( {\ln x} \right) = \frac{1}{ x } & \hspace{1.0in}\displaystyle \frac{ d }{{ d x }}\left( {{{\log } _ a} x} \right) = \frac{ 1 }{{ x \ln a }}\end{array}}$$

در ادامه مثال‌هایی حل شده که به منظور تسلط به موضوع می‌توانید آن‌ها را مطالعه فرمایید.

مثال ۱

مشتق توابع زیر را بدست آورید.

1. $$ R \left( w \right) = { 4 ^ w} - 5{ \log _9} w $$
2. $$ f \left ( x \right) = 3 { { \bf { e } } ^ x } + 10 { x ^ 3 } \ln x $$
3. $$ \displaystyle y = \frac { { 5 { { \bf { e } } ^ x } } } { { 3 { { \bf{ e }} ^ x } + 1}} $$

حل ۱: بدیهی است که نمی‌توان به صورت عادی از این رابطه مشتق گرفت. در حقیقت بایستی از مشتق تابع ln x و $$ e ^ x $$ استفاده کرد. مشتق این تابع برابر است با:

$$ R ^{\prime} \left( w \right) = { 4 ^ w } \ln 4 - \frac{ 5 } { { w \ln 9 } } $$

حل ۲: به‌منظور محاسبه مشتق تابع شماره ۲ بایستی از قانونِ مشتق‌گیری توابعِ ضرب شده در یکدیگر به صورت زیر استفاده کرد.

$$\begin{align*}f ^{\prime} \left( x \right) & = 3 { { \bf{ e } } ^ x } + 3 0 { x ^ 2 } \ln x + 1 0 { x ^ 3}\left( {\frac{1}{x}} \right)\\ & = 3 { {\bf { e } } ^ x } + 30 { x ^ 2 } \ln x + 10 { x ^ 2 }\end{align*}$$

حل ۳: به‌منظور محاسبه این مشتق، تنها کافی است از قانون مشتق‌گیری زنجیره‌ای به‌صورت زیر استفاده کرد.

$$\begin{align*} y ^{\prime} & = \frac{ { 5 {{\bf{e}}^x}\left( {3 { {\bf{ e }} ^ x} + 1} \right) - \left( { 5 { { \bf{ e }} ^ x}} \right)\left( {3{{\bf{e}}^x}} \right)}}{{{{\left( {3{{\bf{e}}^x} + 1} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{15{{\bf{ e } } ^ { 2 x }} + 5 {{\bf{e}} ^ x} - 15{{\bf{e}}^{ 2 x } }}}{{{{\left( {3{{\bf{ e } } ^ x} + 1} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{5{{\bf { e } } ^ x }}}{{{{\left( {3{{\bf{e}}^x} + 1} \right)}^2}}}\end{align*}$$

مثال ۲

فرض کنید موقعیت یک جسم مطابق با رابطه زیر توصیف شود.

$$ s \left ( t \right) = t { { \bf { e } } ^ t }$$

آیا این جسم با گذشت زمان می‌ایستد یا همواره سرعتش غیر صفر است؟

حل: همان‌طور که از قوانین فیزیک کلاسیک می‌دانید، مشتق تابع جابجایی یک جسم نسبت به زمان برابر با سرعت است. بنابراین سرعت جسم در هر لحظه برابر است با:

$$ s ^{\prime} \left( t \right ) = { { \bf{ e } } ^ t } + t { { \bf{ e } } ^ t } = \left( {1 + t } \right){ {\bf{ e } } ^ t } $$

رابطه فوق تنها در $$ t = - 1 $$ صفر می‌شود. با توجه به مثبت بودن زمان می‌توان نتیجه گرفت که سرعت جسم هیچ‌وقت صفر نخواهد شد.

مثال ۳

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

$$ \large y = \frac{{\ln x}}{x} $$

حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت از این تابع مشتق می‌گیریم:

$$ \large \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { \ln x } } { x } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { { { \left ( { \ln x } \right ) } ^ \prime } \cdot x – \ln x \cdot x’ } } { { { x ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { \frac { 1 } { x } \cdot x – \ln x \cdot 1 } } { { { x ^ 2 } } } } = { \frac { { 1 – \ln x } } { { { x ^ 2 } } } , } \end {align*} $$

که در آن، $$ x > 0 $$.

مثال ۴

مشتق تابع $$ y = x\ln x – x $$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از قواعد ضرب و تفاضل، داریم:

$$ \large \begin {align*} \require{cancel} y’ \left ( x \right ) & = { \left [ { x \ln x – x } \right ] ^ \prime } = { { \left ( { x \ln x } \right ) ^ \prime } – x’ } = { x’ \ln x + x { \left( {\ln x} \right)^\prime } – x’ } \\ & = {1 \cdot \ln x + x \cdot \frac { 1 } { x } – 1 } = { \ln x + \cancel { 1 } – \cancel { 1 } = \ln x \; \; } \kern-0.3pt { \left ( { x \gt 0 } \right ) . } \end {align*} $$

مثال ۵

مشتق تابع $$ y = x\ln {\frac{1}{x}} $$ را به دست آورید.

حل: با استفاده از قاعده ضرب، قاعده زنجیری و مشتق لگاریتم طبیعی، داریم:

$$ \large \begin {align*} \cssId{element14} y ^ \prime & = \left ( { x \ln \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime = { x ^ \prime \cdot \ln \frac { 1 } { x } + x \cdot \left ( { \ln \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } = { 1 \cdot \ln \frac { 1 } { x } + x \cdot \frac { 1 } { { \frac { 1 } { x } } } \cdot \left ( { \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } \\ & = { \ln \frac { 1 } { x } + x \cdot x \cdot \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } = { \ln \frac { 1 } { x } – \frac { { \cancel { x ^ 2 } } } { { \cancel { x ^ 2 } } } } = \cssId {element15} { \ln \frac { 1 } { x } – 1 . } \end {align*} $$

مثال ۶

مشتق تابع زیر را به دست آورید:

$$ \large y = \ln \left ( { { x ^ 2 } – 2 x } \right ) $$

حل: مشتق به سادگی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large { y ^ \prime = \left [ { \ln \left ( { { x ^ 2 } – 2 x } \right ) } \right ] ^ \prime } = { \frac { 1 } { { { x ^ 2 } – 2 x } } \cdot \left ( { { x ^ 2 } – 2 x } \right ) ^ \prime } = { \frac { { 2 x – 2 } } { { { x ^ 2 } – 2 x } } . } $$

مثال ۷

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

$$ \large y = \frac { 1 } { { \ln x } } $$

حل: طبق قاعده توان و قاعده زنجیری، داریم:

$$ \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \frac { 1 } { { \ln x } } } \right ) ^ \prime = { \left [ { { { \left ( { \ln x } \right ) } ^ { – 1 } } } \right ] ^ \prime } = { – 1 \cdot { \left ( { \ln x } \right ) ^ { – 2 } } \cdot \left ( { \ln x } \right ) ^ \prime } \\ & = { – \frac { 1 } { { { { \ln } ^ 2 } x } } \cdot \frac { 1 } { x } } = { – \frac { 1 } { { x { { \ln } ^ 2 } x } } . } \end {align*} $$

مثال ۸

مشتق تابع $$ y = \ln \left( {\sin x} \right) $$ را محاسبه کنید.

حل: مشتق این تابع، با استفاده از قاعده زنجیره‌ای به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \ln \left ( { \sin x } \right ) } \right ) ^ \prime = { \frac { 1 } { { \sin x } } \cdot \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime } \\ & = { \frac { 1 } { { \sin x } } \cdot \cos x } = { \frac { { \cos x } } { { \sin x } } } = { \cot x . } \end {align*} $$

مثال ۹

مشتق تابع $$ y = {\log _2}\cos x $$ را محاسبه کنید.

حل: باید مشتق log u را محاسبه کنیم. بدین منظور، می‌نویسیم:

$$ \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { { { \log } _ 2 } \cos x } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { { \cos x \cdot \ln 2 } } \cdot { \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { { \cos x \cdot \ln 2 } } \cdot \left ( { – \sin x } \right ) } = { – \frac { { \sin x } } { { \cos x \cdot \ln 2 } } } = { – \frac { { \tan x } } { { \ln 2 } } . } \end {align*} $$

این تابع تنها وقتی تعریف شده است که داشته باشیم:

$$ \large { \cos x \gt 0, \; \; } \Rightarrow { - \frac { \pi } { 2 } + 2 \pi n \lt x \; } \kern0pt { \lt \frac { \pi } { 2 } + 2 \pi n , \; \; } \kern-0.3pt{ n \in \mathbb { Z } . } $$

مثال ۱۰

مشتق تابع زیر را به دست آورید:

$$ \large y = { \log _ 3 } \frac { 3 } { x } + \frac { 3 } { x } . $$

حل: با توجه به خاصیت خطی بودن مشتق و قاعده زنجیره‌ای، خواهیم داشت:‌

$$ \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { { { \log } _ 3 } \frac { 3 } { x } + \frac { 3 } { x } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { { \log } _ 3 } \frac { 3 } { x } } \right ) ^ \prime } + { \left ( { \frac { 3 } { x } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { { \frac { 3 } { x } \ln 3 } } \cdot { \left ( { \frac { 3 } { x } } \right ) ^ \prime } } + { 3 \cdot { \left ( { \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } } = {\frac{x}{{3\ln 3}} \cdot 3 \cdot \left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right) }+{ 3 \cdot \left( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } \\ & = { – \frac { 3 } { { { x ^ 2 } } } \left ( { \frac { x } { { 3 \ln 3 } } + 1 } \right) } = { – \frac { 3 }{ { { x ^ 2 } } } \cdot \frac { { x + 3 \ln 3 } } { { 3 \ln 3 } } } = { – \frac { { x + 3 \ln 3 } } { { { x ^ 2 } \ln 3 } } . } \end {align*} $$

در این مثال، تابع برای $$ x > 0 $$ تعریف شده است.

مثال ۱۱

مشتق تابع زیر را به دست آورید.

$$ \large y = {\log _3}\left( {4{x^2}} \right) $$

حل: مشتق این تابع برابر است با:

$$ \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left [ { { { \log } _ 3 } \left ( { 4 { x ^ 2 } } \right ) } \right ] ^ \prime } = { \frac { 1 } { { 4 { x ^ 2 } \ln 3 } } \cdot { \left ( { 4 { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { { 8 x } } { { 4 { x ^ 2 } \ln 3 } } } = { \frac { 2 } { { x \ln 3 } } \; \left ( { x \ne 0 } \right ) . } \end {align*} $$

مثال ۱۲

مشتق تابع زیر را به دست آورید:

$$ \large y = {x^p}\ln x. $$

حل: با استفاده از قانون ضرب و قانون توان، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { { x ^ p } \ln x } \right ) ^ \prime = { \left ( { { x ^ p } } \right ) ^ \prime \ln x + { x ^ p } \left ( { \ln x } \right ) ^ \prime } \\ & = { p { x ^ { p – 1 } } \cdot \ln x + { x ^ p } \cdot \frac { 1 } { x } } = { p { x ^ { p – 1 } } \ln x + { x ^ { p – 1 } } } \\ & = { { x ^ { p – 1 } } \left ( { p \ln x + 1 } \right ) . } \end {align*} $$

مثال ۱۳

مشتق تابع $$ y = \ln \tan \frac{x}{2} $$ را بنویسید.

حل: با استفاده از قاعده زنجیره‌ای، خواهیم داشت:

$$ \large { y’ \left ( x \right ) } = { { \left ( { \ln \tan \frac { x }{ 2 } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 1 } { { \tan \frac { x } { 2 } } } \cdot { \left ( { \tan \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } . } $$

مشتق داخل پرانتز را اعمال می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \cot \frac { x }{ 2 } \cdot \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } \cdot { \left ( { \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { { \cos \frac { x } { 2 } } } { { \sin \frac { x } { 2 } } } \cdot \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } \cdot \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 1 } { { 2 \sin \frac { x } { 2 } \cos \frac { x } { 2 } } } . } \end {align*} $$

اکنون از فرمول $$ \sin x = 2\sin {\large\frac{x}{2}\normalsize}\cos{\large\frac{x}{2}\normalsize} $$ استفاده کرده و جواب نهایی را به دست می‌آوریم:

$$ \large { y’ \left ( x \right ) = \frac { 1 } { { \sin x } } } = { \csc x . } $$

معرفی فیلم آموزش ریاضی و آمار (۱) - پایه دهم علوم انسانی

یکی از آموزش‌های ویدیویی دوره دبیرستان فرادرس، «آموزش ریاضی و آمار (۱) - پایه دهم علوم انسانی» است که به طور ویژه مربوط به دانش‌آموزان رشته علوم انسانی است. این آموزش ویدیویی در قالب چهار درس و در زمان ۶ ساعت و ۱۹ دقیقه تدوین شده است. در درس یکم، معادله درجه دوم مورد بحث قرار گرفته که شامل مطالب اصلی درس، نکات مهم و مثال‌های حل شده است. در درس دوم، موضوع مهم تابع ارائه شده و در آن، به موارد مهمی از قبیل تعریف ضابطه و تابع، رسم آن، دامنه و برد تابع و... پرداخته شده است. کار با داده‌های آماری موضوع درس سوم است. در نهایت، در درس چهارم به طور کامل، مطالب کتاب درسی درباره نمایش داده‌ها ارائه شده است.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی و آمار (۱) - پایه دهم علوم انسانی + اینجا کلیک کنید.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

یکی از آموزش‌هایی که برای آشنایی بیشتر با مبحث اتحاد و تجزیه می‌توانید به آن مراجعه کنید، آموزش ریاضی پایه دانشگاهی است. این آموزش که مدت آن ۱۲ ساعت و ۴۶ دقیقه است، در قالب ۱۰ درس تهیه شده است.

در درس اول، مجموعه‌ها، مجموعه اعداد، توان، ب.م.م و ک.م.م معرفی شده‌اند. موضوعات درس دوم، چندجمله‌ای‌ها و اتحاد و تجزیه است. در درس سوم، نامساوی‌ها، نامعادلات، طول پاره‌خط، ضریب زاویه و معادله خط مورد بحث قرار گرفته‌اند. مثلثات موضوع مهم درس چهارم است. تصاعد حسابی و هندسی در درس پنجم بررسی شده‌اند. تابع و دامنه و برد آن موضوعات مهم درس ششم هستند. در درس هفتم، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع و ترکیب توابع ارائه شده‌اند. در درس هشتم به توابع زوج و فرد، تابع یک به یک و تابع وارون پرداخته شده است. انواع توابع از قبیل تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیح موضوع درس نهم هستند. در نهایت، در درس دهم توابع نمایی و لگاریتمی مورد بحث قرار گرفته‌اند.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
• روش‌های مشتق‌گیری -- به همراه مثال
• مشتق - به زبان ساده
• تابع معکوس و معکوس تابع -- به زبان ساده

^^