مشتق لگاریتم و تابع نمایی — از صفر تا صد

۳۴۸۲۱ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۱ بهمن ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۷ دقیقه
مشتق لگاریتم و تابع نمایی — از صفر تا صد

در راستای معرفی جامع مفهوم مشتق، در این مطلب قصد داریم تا مشتق لگاریتم و توابع نمایی را توضیح دهیم. توجه داشته باشید که بسیاری از توابع مورد استفاده به‌منظور مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی به صورت نمایی یا لگاریتمی هستند. برای نمونه شکل کابل‌های انتقال توان الکتریکی به صورت نمایی است.

997696
مشتق لگاریتم
شکل خطوط انتقال قدرت به صورت تابعی از کوسینوس هایپربولیک است. بدیهی است که این تابع، نمونه‌ای از یک تابع نمایی محسوب می‌شود.

توابع نمایی

در حالت کلی به تابعی نمایی گفته می‌شود که در آن عدد به توان یک متغیر رسیده باشد. در ابتدا قصد داریم تا مشتق تابعی به صورت زیر را توضیح دهیم.

f(x)=ax f \left( x \right) = { a ^ x }

پیش‌تر در مطلب روش‌های مشتق‌گیری روشی تحت عنوان قانون توانی را توضیح دادیم. در این قانون از تابعی که به توان عددی ثابت رسیده بود، مشتق گرفته می‌شد. اما توجه داشته باشید که در این‌جا نمی‌توان از این قانون استفاده کرد. دلیل این امر متغیر بودن توان تابع است. در نتیجه به‌ منظور بدست آوردن مشتق تابع نمایی از تعریف مشتق استفاده می‌کنیم. با به‌کارگیری تعریف پایه‌ای مشتق داریم:

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0ax+haxh=limh0axahaxh=limh0ax(ah1)h \begin{align*} f ^{\prime}\left( x \right) & = \mathop {\lim }\limits _{h \to 0} \frac{{f\left( { x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits _ {h \to 0} \frac{ { { a ^ { x + h}} - {a ^ x }}}{ h }\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^x}{a^h} - {a^x}}}{ h }\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{ { { a ^ x }\left( {{a^h} - 1} \right)}}{ h }\end{align*}

بدیهی است که در رابطه فوق ax { a ^ x } مستقل از h بوده و می‌توان آن را بیرون کشید.

f(x)=axlimh0ah1h f ^{\prime} \left( x \right) = { a ^ x } \mathop { \lim } \limits_{ h \to 0} \frac{ { { a ^ h } - 1}}{ h }

حاصل حد f(x)=limh0ah1h f ^{\prime} \left( x \right) = \mathop { \lim } \limits_{ h \to 0} \frac{ { { a ^ h } - 1}}{ h } دقیقا نشان دهنده مشتق تابع در x=0 است. با توجه این توصیفات، مشتق تابع (f(x برابر می‌شود با:

f(x)=f(0)ax f ^{\prime} \left ( x \right) = f ^{\prime} \left( 0 \right) { a ^ x }

دانش آموزان در حال رفتن به مدرسه (تصویر تزئینی مطلب مشتق لگاریتم)

رابطه فوق مناسب نیست،‌ چرا که ما به دنبال مشتق یک تابع در قالب یک تابع هستیم! تنها یک مقدار از a وجود دارد که با مفاهیم آن آشنا هستیم. این عدد e یا همان عدد نپر است؛ چرا که راه‌های متفاوتی به‌منظور تعریف عدد e وجود دارد. سه مورد از تعریف‌های مذکور در ادامه آمده‌اند.

  • e=limn(1+1n)n \displaystyle { \bf { e } } = \mathop { \lim }\limits _ { n \to \infty } { \left( {1 + \frac{1}{ n } } \right) ^ n }
  • e عددی ویژه و مثبت است که در حاصل حد limh0eh1h=1 \mathop { \lim }\limits _ { h \to 0} \frac{{{{\bf{ e } } ^ h } - 1 } } { h } = 1 صدق می‌کند.
  • عدد e را می‌توان برابر با سری e=n=01n! \displaystyle { \bf { e } } = \sum \limits _ { n = 0} ^ \infty {\frac{ 1 } { { n ! } } } در نظر گرفت.

مناسب‌ترین تعریف برای ما مورد دوم است. چرا که این مورد دقیقا عبارتی است که با آن کار می‌کنیم. این تعریف نتایج زیر را در پی دارد.

برای یک تابع نمایی طبیعی که به صورت f(x)=ex f \left ( x \right ) = { { \bf { e } } ^ x } است، مشتق تابع در نقطه x=0 برابر با f(0)=limh0eh1h=1 f ^{\prime} \left( 0 \right) = \mathop { \lim } \limits _ { h \to 0} \frac{{{{\bf{ e } } ^ h} - 1}} { h } = 1 است. بنابراین مشتق تابع نمایی برابر با تابع زیر بدست می‌آید.

f(x)=exf(x)=ex f \left( x \right) = {{\bf{ e } } ^ x }\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}f^{\prime}\left( x \right ) = { { \bf { e } } ^ x }

به‌ منظور بدست آوردن مشتق تابع f(x)=ax f\left( x \right) = {a^x} می‌توان آن را به ترتیب زیر به شکلی نمایی نوشت. در این صورت خواهیم داشت:

\begin{align*}f\left( x \right) & = { a ^ x }\\ & = {\left( a \right) ^ x }\\ & = {\left( {{{\bf{ e }}^{\ln a } } } \right) ^ x }\\ & = {{\bf { e } } ^ {\left( {\ln a } \right) x } }\\ & = {{\bf{ e }}^{ x\,\,\ln a } } \end{align*}

با استفاده از قانون مشتق‌گیری توانی، مشتق تابع exlna e ^ { x \ln a } برابر با تابع زیر بدست می‌آید.

f(x)=exlna(lna) f ^{\prime} \left( x \right) = { {\bf{ e } } ^ { x\,\,\ln a}}\left( {\ln a } \right)

از طرفی exlna e ^ { x \ln a } را می‌توان برابر با ax a ^ { x } نوشت. در این صورت رابطه فوق نیز به‌صورت زیر به دست می‌آید.

f(x)=axln(a) f ^{\prime} \left( x \right ) = { a ^ x } \ln \left ( a \right)

بنابراین نهایتا می‌توان مشتق تابع نمایی را به صورت زیر بیان کرد:

f(x)=axf(x)=axln(a) f\left( x \right) = {a ^ x } \hspace {0.5in } \Rightarrow \hspace{0.5in}f^{\prime}\left ( x \right) = {a ^ x} \ln \left( a \right)

اثبات مشتق تابع exlna e ^ { x \ln a }

به منظور مشتق تابع exlna e ^ { x \ln a } ، تغییر متغیر زیر را در نظر بگیرید:

ex=u e ^ x = u

بنابراین:

exlna=ulna e ^ { x \ln a } = u ^ { \ln a }

اکنون، از تغییر دو طرف رابطه ex=u e ^ x = u مشتق می‌گیریم:

ddxex=ddxu \frac { d } { d x } e ^ x = \frac { d } { d x } u

می‌دانیم که مشتق ex e ^ x بر حسب x x برابر با خودش است. به این ترتیب، داریم:

ex=dudx e ^ x = \frac { d u } { d x }

رابطه به دست آمده را بر حسب dx d x بازنویسی می‌کنیم:

dx=duex d x = \frac { d u } { e ^ x }

با توجه به این رابطه و بر اساس تغییر متغیرهای فرضی، به سراغ مشتق exlna e ^ { x \ln a } می‌رویم. این مشتق به صورت زیر نوشته می‌شود:

ddxexlna=ddx ulna \frac { d } { d x } e ^ { x \ln a } = \frac { d } { d x }  u ^ { \ln a }

dx=duex d x = d u e ^ x را در سمت راست معادله بالا قرار می‌دهیم:

ddxexlna=dduexulna \frac { d } { d x } e ^ { x \ln a } = \frac { d } { \frac { d u } { e ^ x } } u ^ { \ln a }

ddxexlna=exdduulna \frac { d } { d x } e ^ { x \ln a } = e ^ x \frac { d } { d u } u ^ { \ln a }

بر اساس قانون مشتق عبارات توانی، داریم:

dduulna=lnaulna1=lnaulnau \frac { d } { d u } u ^ { \ln a } = \ln a u ^ { \ln a - 1 } = \frac { \ln a u ^ { \ln a }} { u }

تغییر متغیرها را درون مشتق بالا جایگذاری می‌کنیم:

dduulna=lnaexlnaex \frac { d } { d u } u ^ { \ln a } = \frac { \ln a e ^ { x \ln a }} { e ^ x }

در نتیجه:

ddxexlna=exlnaexlnaex \frac { d } { d x } e ^ { x \ln a } = e ^ x \frac { \ln a e ^ { x \ln a }} { e ^ x }

ddxexlna=lnaexlna \frac { d } { d x } e ^ { x \ln a } = \ln a e ^ { x \ln a }

یک دانش آموز نشسته در کتابخانه در حال خواندن کتاب و فکر کردن به اعداد (تصویر تزئینی مطلب مشتق لگاریتم)

تابع لگاریتمی

تابع لگاریتمی عکس تابع نمایی است. بنابراین می‌توان به‌ منظور مشتق‌گیری از آن، از مفهوم تابع معکوس استفاده کرد.

اگر دو تابع f(x) f ( x ) و g(x) g ( x ) معکوس یکدیگر باشند، در این صورت رابطه‌ای به صورت زیر را می‌توان بین آن‌ها بیان کرد:

g(x)=1f(g(x)) g ^{\prime} \left( x \right ) = \frac{ 1 } { { f ^{\prime}\left( { g\left( x \right)} \right)}}

حال چگونه می‌توان از قانون بیان شده در بالا استفاده کرد. در این مرحله لازم است بگوییم که معکوس تابع f(x)=ex f \left( x \right ) = { {\bf { e } } ^ x } برابر با g(x)=lnx g \left( x \right) = \ln x است. در این صورت با استفاده از قانون مشتق معکوسِ بیان شده در بالا، داریم:

g(x)=1f(g(x))=1eg(x)=1elnx=1x g ^{\prime} \left( x \right) = \frac{1}{{f^{\prime}\left( { g \left( x \right)} \right)}} = \frac { 1 }{{{{\bf{ e }}^{g\left( x \right)}}}} = \frac{ 1 }{{{{ \bf{ e }} ^ {\ln x} } } } = \frac{1}{ x }

البته به صورت دقیق‌تر، حاصل مشتق‌گیری تابع لگاریتمی را بایستی به صورت زیر بیان کرد:

ddx(lnx)=1xx>0 \frac { d } { { d x } } \left ( { \ln x } \right ) = \frac { 1 } { x } \hspace { 0.5in } x > 0

هم‌چنین می‌توان متغیر درون تابع را همانند زیر به صورت قدر مطلق در نظر گرفت.

ddx(lnx)=1xx0 \frac{ d } {{ d x } }\left( { \ln \left| x \right|} \right) = \frac{ 1 } { x }\hspace{0.5in} x \ne 0

با توجه به یافته شدن مشتق تابع lnx \ln x ، در مرحله بعد می‌توان مشتق تابع logx \log x را نیز بدست آورد. در حقیقت در این حالت بایستی لگاریتم را بر حسب لگاریتم در مبنای e نوشته، سپس از آن مشتق گرفته شود. به‌منظور انجام این کار ابتدا به ساکن تابع لگاریتمی به ترتیب زیر نوشته شده، سپس به لگاریتم در مبنای e تبدیل می‌شود.

logax=lnxlna {\log _ a} x = \frac{ { \ln x } } { { \ln a} }

حال با استفاده از قانون مشتق‌گیری کسری، از طرفین رابطه فوق مشتق می‌گیریم. با انجام این کار داریم:

ddx(logax)=ddx(lnxlna)=1lnaddx(lnx)=1xlna \begin {align*}\frac{ d } { { d x } } \left( {{{\log } _ a} x} \right) & = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\ln x}}{{\ln a}}} \right)\\ & = \frac{1} { {\ln a}}\frac{ d } { { d x } } \left( { \ln x} \right )\\ & = \frac { 1 } { { x \ln a } }\end{align*}

توجه داشته باشید که در بدست آوردن رابطه بالا از ثابت بودن ln a استفاده شده است. نهایتا مشتق تابع لگاریتمی برابر با رابطه زیر بدست می‌آید.

ddx(logax)=1xlna \frac{ d } { { d x } } \left( { { { \log } _ a} x } \right) = \frac { 1 } { { x \ln a } }

نهایتا به‌طور خلاصه مشتق توابع نمایی و لگاریتمی را می‌توان با استفاده از روابط زیر بدست آورد.

ddx(ex)=exddx(ax)=axlnaddx(lnx)=1xddx(logax)=1xlna \boxed {\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{ d } { { d x } }\left( {{{\bf{e}}^x}} \right) = {{\bf{e}} ^ x} & \hspace{1.0in}\displaystyle \frac{ d }{{ d x }}\left( {{a^x}} \right) = {a ^ x}\ln a\\ \displaystyle \frac{ d } {{ d x }}\left( {\ln x} \right) = \frac{1}{ x } & \hspace{1.0in}\displaystyle \frac{ d }{{ d x }}\left( {{{\log } _ a} x} \right) = \frac{ 1 }{{ x \ln a }}\end{array}}

در ادامه مثال‌هایی حل شده که به منظور تسلط به موضوع می‌توانید آن‌ها را مطالعه فرمایید.

مثال ۱

مشتق توابع زیر را بدست آورید.

  1. R(w)=4w5log9w R \left( w \right) = { 4 ^ w} - 5{ \log _9} w
  2. f(x)=3ex+10x3lnx f \left ( x \right) = 3 { { \bf { e } } ^ x } + 10 { x ^ 3 } \ln x
  3. y=5ex3ex+1 \displaystyle y = \frac { { 5 { { \bf { e } } ^ x } } } { { 3 { { \bf{ e }} ^ x } + 1}}

حل ۱: بدیهی است که نمی‌توان به صورت عادی از این رابطه مشتق گرفت. در حقیقت بایستی از مشتق تابع ln x و ex e ^ x استفاده کرد. مشتق این تابع برابر است با:

R(w)=4wln45wln9 R ^{\prime} \left( w \right) = { 4 ^ w } \ln 4 - \frac{ 5 } { { w \ln 9 } }

حل ۲: به‌منظور محاسبه مشتق تابع شماره ۲ بایستی از قانونِ مشتق‌گیری توابعِ ضرب شده در یکدیگر به صورت زیر استفاده کرد.

f(x)=3ex+30x2lnx+10x3(1x)=3ex+30x2lnx+10x2\begin{align*}f ^{\prime} \left( x \right) & = 3 { { \bf{ e } } ^ x } + 3 0 { x ^ 2 } \ln x + 1 0 { x ^ 3}\left( {\frac{1}{x}} \right)\\ & = 3 { {\bf { e } } ^ x } + 30 { x ^ 2 } \ln x + 10 { x ^ 2 }\end{align*}

حل ۳: به‌منظور محاسبه این مشتق، تنها کافی است از قانون مشتق‌گیری زنجیره‌ای به‌صورت زیر استفاده کرد.

y=5ex(3ex+1)(5ex)(3ex)(3ex+1)2=15e2x+5ex15e2x(3ex+1)2=5ex(3ex+1)2\begin{align*} y ^{\prime} & = \frac{ { 5 {{\bf{e}}^x}\left( {3 { {\bf{ e }} ^ x} + 1} \right) - \left( { 5 { { \bf{ e }} ^ x}} \right)\left( {3{{\bf{e}}^x}} \right)}}{{{{\left( {3{{\bf{e}}^x} + 1} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{15{{\bf{ e } } ^ { 2 x }} + 5 {{\bf{e}} ^ x} - 15{{\bf{e}}^{ 2 x } }}}{{{{\left( {3{{\bf{ e } } ^ x} + 1} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{5{{\bf { e } } ^ x }}}{{{{\left( {3{{\bf{e}}^x} + 1} \right)}^2}}}\end{align*}

یک کلاس درس با دانش آموزان نشسته در حال نگاه کردن به تخته

مثال ۲

فرض کنید موقعیت یک جسم مطابق با رابطه زیر توصیف شود.

s(t)=tet s \left ( t \right) = t { { \bf { e } } ^ t }

آیا این جسم با گذشت زمان می‌ایستد یا همواره سرعتش غیر صفر است؟

حل: همان‌طور که از قوانین فیزیک کلاسیک می‌دانید، مشتق تابع جابجایی یک جسم نسبت به زمان برابر با سرعت است. بنابراین سرعت جسم در هر لحظه برابر است با:

s(t)=et+tet=(1+t)et s ^{\prime} \left( t \right ) = { { \bf{ e } } ^ t } + t { { \bf{ e } } ^ t } = \left( {1 + t } \right){ {\bf{ e } } ^ t }

رابطه فوق تنها در t=1 t = - 1 صفر می‌شود. با توجه به مثبت بودن زمان می‌توان نتیجه گرفت که سرعت جسم هیچ‌وقت صفر نخواهد شد.

مثال ۳

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

y=lnxx \large y = \frac{{\ln x}}{x}

حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت از این تابع مشتق می‌گیریم:

y(x)=(lnxx)=(lnx)xlnxxx2=1xxlnx1x2=1lnxx2, \large \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { \ln x } } { x } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { { { \left ( { \ln x } \right ) } ^ \prime } \cdot x – \ln x \cdot x’ } } { { { x ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { \frac { 1 } { x } \cdot x – \ln x \cdot 1 } } { { { x ^ 2 } } } } = { \frac { { 1 – \ln x } } { { { x ^ 2 } } } , } \end {align*}

که در آن، x>0 x > 0 .

مثال ۴

مشتق تابع y=xlnxx y = x\ln x – x را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از قواعد ضرب و تفاضل، داریم:

$$ \large \begin {align*} \require{cancel} y’ \left ( x \right ) & = { \left [ { x \ln x – x } \right ] ^ \prime } = { { \left ( { x \ln x } \right ) ^ \prime } – x’ } = { x’ \ln x + x { \left( {\ln x} \right)^\prime } – x’ } \\ & = {1 \cdot \ln x + x \cdot \frac { 1 } { x } – 1 } = { \ln x + \cancel { 1 } – \cancel { 1 } = \ln x \; \; } \kern-0.3pt { \left ( { x \gt 0 } \right ) . } \end {align*} $$

مثال ۵

مشتق تابع y=xln1x y = x\ln {\frac{1}{x}} را به دست آورید.

حل: با استفاده از قاعده ضرب، قاعده زنجیری و مشتق لگاریتم طبیعی، داریم:

$$ \large \begin {align*} \cssId{element14} y ^ \prime & = \left ( { x \ln \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime = { x ^ \prime \cdot \ln \frac { 1 } { x } + x \cdot \left ( { \ln \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } = { 1 \cdot \ln \frac { 1 } { x } + x \cdot \frac { 1 } { { \frac { 1 } { x } } } \cdot \left ( { \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } \\ & = { \ln \frac { 1 } { x } + x \cdot x \cdot \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } = { \ln \frac { 1 } { x } – \frac { { \cancel { x ^ 2 } } } { { \cancel { x ^ 2 } } } } = \cssId {element15} { \ln \frac { 1 } { x } – 1 . } \end {align*} $$

مثال ۶

مشتق تابع زیر را به دست آورید:

y=ln(x22x) \large y = \ln \left ( { { x ^ 2 } – 2 x } \right )

حل: مشتق به سادگی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

y=[ln(x22x)]=1x22x(x22x)=2x2x22x. \large { y ^ \prime = \left [ { \ln \left ( { { x ^ 2 } – 2 x } \right ) } \right ] ^ \prime } = { \frac { 1 } { { { x ^ 2 } – 2 x } } \cdot \left ( { { x ^ 2 } – 2 x } \right ) ^ \prime } = { \frac { { 2 x – 2 } } { { { x ^ 2 } – 2 x } } . }

مثال ۷

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

y=1lnx \large y = \frac { 1 } { { \ln x } }

حل: طبق قاعده توان و قاعده زنجیری، داریم:

y=(1lnx)=[(lnx)1]=1(lnx)2(lnx)=1ln2x1x=1xln2x. \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \frac { 1 } { { \ln x } } } \right ) ^ \prime = { \left [ { { { \left ( { \ln x } \right ) } ^ { – 1 } } } \right ] ^ \prime } = { – 1 \cdot { \left ( { \ln x } \right ) ^ { – 2 } } \cdot \left ( { \ln x } \right ) ^ \prime } \\ & = { – \frac { 1 } { { { { \ln } ^ 2 } x } } \cdot \frac { 1 } { x } } = { – \frac { 1 } { { x { { \ln } ^ 2 } x } } . } \end {align*}

یک دانش آموز با کوله پشتی در حل نوشتن بر روی تخته ای پر از نوشته های ریاضی

مثال ۸

مشتق تابع y=ln(sinx) y = \ln \left( {\sin x} \right) را محاسبه کنید.

حل: مشتق این تابع، با استفاده از قاعده زنجیره‌ای به شکل زیر محاسبه می‌شود:

y=(ln(sinx))=1sinx(sinx)=1sinxcosx=cosxsinx=cotx. \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \ln \left ( { \sin x } \right ) } \right ) ^ \prime = { \frac { 1 } { { \sin x } } \cdot \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime } \\ & = { \frac { 1 } { { \sin x } } \cdot \cos x } = { \frac { { \cos x } } { { \sin x } } } = { \cot x . } \end {align*}

مثال ۹

مشتق تابع y=log2cosx y = {\log _2}\cos x را محاسبه کنید.

حل: باید مشتق log u را محاسبه کنیم. بدین منظور، می‌نویسیم:

y(x)=(log2cosx)=1cosxln2(cosx)=1cosxln2(sinx)=sinxcosxln2=tanxln2. \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { { { \log } _ 2 } \cos x } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { { \cos x \cdot \ln 2 } } \cdot { \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { { \cos x \cdot \ln 2 } } \cdot \left ( { – \sin x } \right ) } = { – \frac { { \sin x } } { { \cos x \cdot \ln 2 } } } = { – \frac { { \tan x } } { { \ln 2 } } . } \end {align*}

این تابع تنها وقتی تعریف شده است که داشته باشیم:

cosx>0,    π2+2πn<x  <π2+2πn,    nZ. \large { \cos x \gt 0, \; \; } \Rightarrow { - \frac { \pi } { 2 } + 2 \pi n \lt x \; } \kern0pt { \lt \frac { \pi } { 2 } + 2 \pi n , \; \; } \kern-0.3pt{ n \in \mathbb { Z } . }

مثال ۱۰

مشتق تابع زیر را به دست آورید:

y=log33x+3x. \large y = { \log _ 3 } \frac { 3 } { x } + \frac { 3 } { x } .

حل: با توجه به خاصیت خطی بودن مشتق و قاعده زنجیره‌ای، خواهیم داشت:‌

y(x)=(log33x+3x)=(log33x)+(3x)=13xln3(3x)+3(1x)=x3ln33(1x2)+3(1x2)=3x2(x3ln3+1)=3x2x+3ln33ln3=x+3ln3x2ln3. \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { { { \log } _ 3 } \frac { 3 } { x } + \frac { 3 } { x } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { { \log } _ 3 } \frac { 3 } { x } } \right ) ^ \prime } + { \left ( { \frac { 3 } { x } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { { \frac { 3 } { x } \ln 3 } } \cdot { \left ( { \frac { 3 } { x } } \right ) ^ \prime } } + { 3 \cdot { \left ( { \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } } = {\frac{x}{{3\ln 3}} \cdot 3 \cdot \left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right) }+{ 3 \cdot \left( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } \\ & = { – \frac { 3 } { { { x ^ 2 } } } \left ( { \frac { x } { { 3 \ln 3 } } + 1 } \right) } = { – \frac { 3 }{ { { x ^ 2 } } } \cdot \frac { { x + 3 \ln 3 } } { { 3 \ln 3 } } } = { – \frac { { x + 3 \ln 3 } } { { { x ^ 2 } \ln 3 } } . } \end {align*}

در این مثال، تابع برای x>0 x > 0 تعریف شده است.

مثال ۱۱

مشتق تابع زیر را به دست آورید.

y=log3(4x2) \large y = {\log _3}\left( {4{x^2}} \right)

حل: مشتق این تابع برابر است با:

y(x)=[log3(4x2)]=14x2ln3(4x2)=8x4x2ln3=2xln3  (x0). \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left [ { { { \log } _ 3 } \left ( { 4 { x ^ 2 } } \right ) } \right ] ^ \prime } = { \frac { 1 } { { 4 { x ^ 2 } \ln 3 } } \cdot { \left ( { 4 { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { { 8 x } } { { 4 { x ^ 2 } \ln 3 } } } = { \frac { 2 } { { x \ln 3 } } \; \left ( { x \ne 0 } \right ) . } \end {align*}

مثال ۱۲

مشتق تابع زیر را به دست آورید:

y=xplnx. \large y = {x^p}\ln x.

حل: با استفاده از قانون ضرب و قانون توان، خواهیم داشت:

y=(xplnx)=(xp)lnx+xp(lnx)=pxp1lnx+xp1x=pxp1lnx+xp1=xp1(plnx+1). \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { { x ^ p } \ln x } \right ) ^ \prime = { \left ( { { x ^ p } } \right ) ^ \prime \ln x + { x ^ p } \left ( { \ln x } \right ) ^ \prime } \\ & = { p { x ^ { p – 1 } } \cdot \ln x + { x ^ p } \cdot \frac { 1 } { x } } = { p { x ^ { p – 1 } } \ln x + { x ^ { p – 1 } } } \\ & = { { x ^ { p – 1 } } \left ( { p \ln x + 1 } \right ) . } \end {align*}

دانش آموزان نشسته در سالن در حال امتحان دادن (تصویر تزئینی مطلب مشتق لگاریتم)

مثال ۱۳

مشتق تابع y=lntanx2 y = \ln \tan \frac{x}{2} را بنویسید.

حل: با استفاده از قاعده زنجیره‌ای، خواهیم داشت:

y(x)=(lntanx2)=1tanx2(tanx2). \large { y’ \left ( x \right ) } = { { \left ( { \ln \tan \frac { x }{ 2 } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 1 } { { \tan \frac { x } { 2 } } } \cdot { \left ( { \tan \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } . }

مشتق داخل پرانتز را اعمال می‌کنیم:

y(x)=cotx21cos2x2(x2)=cosx2sinx21cos2x212=12sinx2cosx2. \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \cot \frac { x }{ 2 } \cdot \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } \cdot { \left ( { \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { { \cos \frac { x } { 2 } } } { { \sin \frac { x } { 2 } } } \cdot \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } \cdot \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 1 } { { 2 \sin \frac { x } { 2 } \cos \frac { x } { 2 } } } . } \end {align*}

اکنون از فرمول sinx=2sinx2cosx2 \sin x = 2\sin {\large\frac{x}{2}\normalsize}\cos{\large\frac{x}{2}\normalsize} استفاده کرده و جواب نهایی را به دست می‌آوریم:

y(x)=1sinx=cscx. \large { y’ \left ( x \right ) = \frac { 1 } { { \sin x } } } = { \csc x . }

بر اساس رای ۱۰۴ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Pauls Online Math Notes
۱۷ دیدگاه برای «مشتق لگاریتم و تابع نمایی — از صفر تا صد»

سلام وقت بخیر عکسی که در اول گذاشته اید درست نیست مشتق Log در مخرج Ln هم دارد ممنونم میشم که دست کنید

با سلام و وقت بخیر؛

فرمول تصویر، تعریف عمومی مشتق لگاریتم f(x) است که در آن، پایه لگاریتم به صورت پیش‌فرض برابر با e در نظر گرفته می‌شود. به همین دلیل، ln(e)=1 در مخرج وجود ندارد. با این وجود، برای نمایش بهتر فرمول، تصویر اصلاح شد.

از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.

سلام
اونجایی که برای تابع نمایی آمدید با استفاده از قانون مشتق گیری توانی مشتق گرفتید مگه وقتی توان میاد ضریب از توان نباید یه دونه کم بشه؟
چرا توان دست نخورده باقی مانده؟

با سلام و وقت بخیر؛

برای درک بهتر، اثبات آن را به مطلب اضافه کردیم.

از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.

مثبت

Xعضو R ایکس در ( ایکس به توان ۲ منهای ۱)مساوی ۰
شامل چه اعدادی است؟

میشه ی مثال هم بزنید لطفا؟?

سلام ،مشتق xبه توان ۲به علاوه yبه توان ۲ مساوی۱ چی میشه؟
ممنون میشم جواب بدین.

منفی دو ایکس به روی دو تا رادیکال منفی ایکس+۱

سلام ،جواب مشتق xبه توان ۲+y به توان ۲ مساوی ۱ چی میشه؟

بسیار متن عالی و آموزنده ای بود ممنون

سلام آقای حمیدی یه سوال دارم:
آیا برای بدست مشتق همه نوع تابع نمایی باید برحسب عدد نپر نوشته شود؟

سلام.
تابع نمایی به فرم f(x)=exf(x)=e^x است و در مشتق، پایه آن که عدد نپر (ee) است، وجود دارد.
موفق باشید.

خیلی عالی بود مرسی فقط یه سوال:
این روابطی که برای مشتق جمع و تفریق و ضرب و تقسیم دو تابع بیان شده آیا اثبات داره؟

سلام.
به مطلب «مشتق و محاسبات آن — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» مراجعه کنید.
سپاس از همراهی‌تان.

خیلی ممنون ساده و روان آموزش دادید

عالی هستید . خدا خیرتون بده . هر مطلبی رو سرچ میکنم براش آموزش گذاشتید . مفید ترسن سایت علمی آموزشی فارسی زبان ♥️♥️♥️

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *