ریاضی , علوم پایه 4123 بازدید

در این مطلب قصد داریم روشی متفاوت در مشتق‌گیری تحت عنوان مشتق‌ ضمنی را توضیح دهیم. جهت درک بهتر پیشنهاد می‌شود قبل از مطالعه‌ی این مطلب، مطالب مشتق و روش‌های مشتق‌گیری را مطالعه فرمایید.

ضمنی و صریح

یک تابع می‌تواند در قالب یک عبارت ضمنی یا در قالب عبارتی صریح ارائه شود. توابع و مشتقاتی که با آن‌ها مواجه بوده‌اید، به‌صورت صریح بوده‌اند. به‌طور خلاصه توابع صریح و ضمنی به‌صورت زیر تعریف می‌شوند.

  • عبارات صریح: عبارتی که در آن y مستقیما به‌صورت تابعی از x تعریف می‌شوند.
  • عبارات ضمنی: در عبارات ضمنی، تابع y بر حسب خودش و متغیر‌هایش بیان می‌شوند. در این عبارات با معلوم بودن مقدار x نمی‌توان مستقیما مقدار y را محاسبه کرد.

جهت شناسایی عبارات صریح و ضمنی مثال‌هایی زده شده که در ادامه ارائه شده‌اند. برای نمونه معادله دایره را می‌توان مطابق با روابط زیر بیان کرد:

Implicit differentiation

هر دو تابع فوق یک شکل را نمایش می‌دهند، اما در رابطه سمت چپ y مستقیما بر حسب x و در رابطه سمت راست، عبارتی بر حسب y و x بیان شده است.

Implicit differentiation

نحوه محاسبه مشتقِ عبارت ضمنی

جهت محاسبه مشتق زنجیره‌ای، مراحل زیر را انجام دهید:

  1. مشتق‌گیری بر حسب x
  2. جمع کردن عبارات $$ \frac {dy}{dx}$$ در یک سمت
  3. حل معادله بدست آمده و پیدا کردن $$ \frac {dy}{dx}$$

مثال 1

در عبارت زیر حاصل $$ \frac {dy}{dx}$$ (یا همان ‘y) را بیابید.

Implicit differentiation

پاسخ: همان‌طور که در بالا نیز بیان شد،‌ در قدم نخست، از کل عبارت بایستی نسبت به x مشتق گرفته شود. با محاسبه مشتق مذکور داریم:

رابطه 1

حاصل هریک از مشتق‌های بالا به تفکیک در زیر نوشته شده‌‌اند.

Implicit differentiation

با جایگذاری عبارات بالا در رابطه 1، خواهیم داشت:

Implicit differentiation

در بالا بیان کردیم که پس از نوشتن مشتق ضمنی، بایستی عبارات $$ \frac {dy}{dx}$$ را در یک سمت قرار دهیم. بنابراین رابطه بالا را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد.

Implicit differentiation

نهایتا با حل عبارت بالا بر حسب $$ \frac {dy}{dx}$$، مشتق ‘y برابر با رابطه زیر بدست می‌آید.

مشتق ضمنی

مشتق‌گیری زنجیر‌ه‌ای

شاید این سوال برایتان پیش آمده باشد که در مثال 1 عبارت $$ \frac {dy^2}{dx}$$ چگونه بدست آمده است؟ این عبارت با استفاده از مشتق‌گیری زنجیره‌ای بدست آمده. قانون مشتق‌گیری زنجیره‌ای می‌گوید:

رابطه 2

توجه داشته باشید که در رابطه بالا u عبارتی است که می‌تواند شامل x و y باشد. حال فرض کنید می‌خواهیم مشتق تابع y2 را نسبت به متغیر x بدست آوریم. برای انجام این کار u=y2 در نظر می‌گیریم. رابطه 2 برای u برابر است با:

مشتق ضمنی

در نتیجه:

Implicit differentiation

مثال 2

حاصل مشتق y بر حسب x را در مثال 1 با استفاده از مشتق‌گیری صریح بدست آورید.

پاسخ:‌ رابطه اصلی به‌صورت x2+y2=r2 بود. به‌منظور مشتق‌گیری به‌صورت صریح، مراحل زیر را انجام می‌دهیم.

Implicit differentiation

همان‌طور که در بالا می‌بینید، مشتق بدست آمده برابر با پاسخی است که در مثال 1 بدست آمد. بنابراین هر دو روشِ صریح و ضمنی یک نتیجه را منجر می‌شوند؛ اما این زمان حل است که در این دو متفاوت خواهد بود.

کاربرد روش ضمنی

به‌نظر می‌رسد روش صریح در مشتق‌گیری آسان‌تر باشد؛‌ اما به‌راستی چرا از مشتق‌گیری ضمنی استفاده می‌شود؟ واقعیت این است که در توابع پیچیده و یا توابعی که در آن‌ها از توان‌های چندم y استفاده شده، $$ \frac {dy}{dx}$$ یا ‘y را راحت‌تر می‌توان بدست آورد. برای نمونه به مثال زیر توجه فرمایید.

مثال 3

دایره‌ای به شعاع ۵ را در نظر بگیرید. شیب خط مماس به دایره در نقطه (3,4) را بدست آورید. کافی است نقطه مذکور را در پاسخ بدست آمده در مثال 1 -یا 2- قرار دهید. بنابراین شیب به‌دست آمده در نقطه مذکور برابر است با:

مشتق ضمنی

هم‌چنین با توجه به مطلب معادله خط، رابطه خط مماس بدست آمده برابر است با:

Implicit differentiation

در شکل زیر دایره مذکور و خط مماس بدست آمده بر آن، نشان داده شده‌اند.

مشتق ضمنی

در بعضی از موارد مشتق‌گیری صریح از y تقریبا غیر ممکن به‌نظر می‌رسد. در چنین مواردی بهتر است از مشتق‌گیری ضمنی استفاده شود. برای نمونه در مثال 4 عبارتی پیچیده نسبت به y ارائه شده که در آن مشتق‌گیری به‌صورت ضمنی و در زمانی کوتاه انجام شده است.

مثال 4

$$ \frac {dy}{dx}$$ را در عبارت 10x4-18xy2+10y3=48 بیابید.

پاسخ: قدم‌های بیان شده در بالا را به‌ یاد دارید؟

  • مشتق‌گیری از کل عبارت نسبت به x
  • انتقال عبارات $$ \frac {dy}{dx}$$ به یک سمت
  • حل عبارت بدست آمده بر حسب $$ \frac {dy}{dx}$$

در ادامه، این مراحل نشان داده شده‌اند.

Implicit differentiation

عبارت بدست آمده در بالا، رابطه‌ای را نشان می‌دهد که در آن $$ \frac {dy}{dx}$$ نیز موجود است. با حل رابطه فوق داریم:

Implicit differentiation

در مثال‌های ارائه شده ممکن است از قوانینی استفاده شده باشد، که برای شما آشنا نباشد. در این صورت می‌توانید با مطالعه مطلب روش‌های مشتق‌گیری با روش‌های مذکور آشنا شوید.

مشتق‌گیری از توابع معکوس

روش مشتق‌گیری ضمنی روشی پرکاربرد در محاسبه مشتق توابع معکوس است. در مواردی که هدف ما محاسبه مشتق توابع معکوس است، در ابتدا تابع را از حالت معکوس خارج کرده و از طرفین آن به‌صورت ضمنی مشتق می‌گیریم.

مثال ۵

مشتق تابع معکوسِ y=sin-1x را بیابید.

پاسخ: همان‌طور که در بالا نیز بیان شد در ابتدا بایستی تابع را از حالت معکوس خارج کرده و از آن‌ مشتق بگیریم. در حقیقت می‌توان گفت:

Implicit differentiation

حال از طرفین رابطه فوق به‌صورت ضمنی مشتق می‌گیریم.

Implicit differentiation

رابطه فوق را می‌توان به‌صورت زیر، بر حسب $$ \frac {dy}{dx}$$ نوشت.

Implicit differentiation

عملاً مشتق y بر حسب x بدست آمده. اما پاسخ این مسئله را می‌توان یک گام بیشتر نیز به جلو برد. در حقیقت کامل‌ترین پاسخ زمانی است که ‘y بر حسب فقط x بیان شود. برای انجام این کار در ابتدا می‌توان رابطه زیر را نوشت:

Implicit differentiation

با توجه به این‌که sin y=x است؛ در نتیجه می‌توان این عبارت را در رابطه بالا نیز اعمال کرد. با انجام این کار به رابطه زیر می‌رسیم.

Implicit differentiation

با بدست آمدن cos y، حاصل مشتق y نسبت به x نیز برابر می‌شود با:

Implicit differentiation

در حالت کلی می‌توان با اندکی خلاقیت حاصل مشتق بسیاری از توابع را با استفاده از روش مشتق‌گیری ضمنی بدست آورد.

مثال ۶

حاصل $$ \frac {dy}{dx}$$ را در تابع $$y=\sqrt{x}$$ با استفاده از مشتق‌گیری ضمنی بدست آورید.

پاسخ: جهت مشتق‌گیری ضمنی و برای راحت‌تر شدن حل مسئله می‌توان عبارت را به نحوی بیان کرد که در آن رادیکال وجود نداشته باشد. در حقیقت تابع مذکور به‌صورت زیر نیز قابل بازنویسی است:

Implicit differentiation

حال از طرفین این رابطه به‌صورت ضمنی، نسبت به x مشتق می‌گیریم.

Implicit differentiation

با ساده سازی، $$ \frac {dy}{dx}$$ برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

Implicit differentiation

از صورت سوال می‌دانیم که تابع $$y=\sqrt{x}$$ است. با جایگذاری y در رابطه بالا، حاصل مشتق برابر می‌شود با:

Implicit differentiation

در مطلب روش‌های مشتق‌گیری همین پاسخ را با استفاده از قانون توانی بدست آوردیم.

خلاصه

  • جهت محاسبه مشتق یک عبارت ضمنی:
  1. از عبارتِ ضمنی نسبت به x مشتق بگیرید.
  2. عبارات $$ \frac {dy}{dx}$$ را در یک سمت قرار دهید.
  3. عبارت بدست آمده را بر حسب $$ \frac {dy}{dx}$$ حل کنید.
  • به‌منظور محاسبه مشتق تابع معکوس در ابتدا تابع را از حالت معکوس خارج کرده و پس از آن مراحل 1 تا 3 ارائه شده در بالا را انجام دهید.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه‌ ریاضیات، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *