ریاضی , علوم پایه 1461 بازدید

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، درباره مفاهیم تابع و موضوعات مرتبط با آن بحث کردیم. در این آموزش‌ها، با مباحثی چون دامنه و برد تابع، تابع یک به یک و پوشا، معکوس تابع، ترکیب توابع، توابع زوج و فرد و توابع چندمتغیره آشنا شدیم. اکنون، یکی از مشخصه‌های مهم توابع و نحوه تعیین آن را ارائه می‌کنیم. این ویژگی، صعودی یا نزولی بودن توابع است.

ابتدا مفهوم ساده شهودی این مفاهیم را ارائه می‌کنیم. نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید:

تابع

مورچه‌ای را در نظر بگیرید که می‌خواهد این منحنی را بپیماید. همان‌طور که می‌دانیم، جهت قراردادی محور افقی یا همان محور x به سمت راست است. بنابراین، فرض می‌کنیم مورچه فقط از چپ به راست حرکت می‌کند.

جهت محور

اگر مورچه از جایی بالا برود (صعود کند)، آن قسمت از نمودار، صعودی یا افزایشی است.نمودار

بنابراین، نمودار بالا در بازه‌های زیر صعودی است:

بازه صعودی

اگر مورچه از جایی پایین بیاید، آن بخش از نمودار، نزولی یا کاهشی است.

بخش نزولی

بنابراین، نمودار در بازه زیر نزولی است:

بازه نزولی

دقت کنید که بازه را به‌صورت بسته زیر ننوشتیم:

بازه

چون در نقاط $$-3$$ و 1، وضعیت متفاوت است. وقتی مورچه روی نقطه x=3 نمودار بایستد، چه می‌توان گفت؟ این نقطه، نه صعودی است و نه نزولی.

نمودار

اگر مورچه در بازه $$(4, \infty)$$ قدم بزند چه اتفاقی رخ می‌دهد؟ در این بازه، یک خط افقی (با شیب صفر) وجود دارد و مورچه بالا یا پایین نمی‌رود. بنابراین، نمودار در این قسمت، نه صعودی و نه نزولی است.

نمودار

در ادامه، تعاریف و نحوه تعیین صعودی و نزولی بودن توابع را بیان خواهیم کرد.

توابع صعودی

به بیان ساده، یک تابع، «صعودی» (Increasing) است، اگر مقدار y با افزایش مقدار x، زیاد شود. شکل زیر این موضوع را نشان می‌دهد.

تابع صعودی

از شکل بالا می‌توان دید که با حرکت در جهت محور x، مقدار $$y(x)$$ افزایش می‌یابد. اما اگر به شکل دقت کنید، ممکن است پرسشی در ذهنتان ایجاد شود و آن این است که در مورد بخش صاف یا تخت نمودار که نزدیک محور y است چه می‌توان گفت؟ آیا باز هم می‌توان گفت که تابع صعودی است؟ بله. این تابع صعودی است. اما در این حالت نمی‌توانیم بگوییم تابع «اکیداً صعودی» (Strictly Increasing) است.

تعریف: تابع $$y=f(x)$$ را صعودی گوییم، اگر وقتی $$x_1<x_2$$، آن‌گاه $$f(x_1)\le f(x_2)$$ باشد. همچنین، تابع $$y=f(x)$$ را اکیداً صعودی گوییم، اگر، وقتی $$x_1<x_2$$، آن‌گاه $$f(x_1)< f(x_2)$$ باشد.

در تعریف بالا، به علامت‌های > و $$\le$$ دقت کنید.

تابع زیر، یک تابع صعودی است که نرخ صعود آن در حال کاهش است.

تابع صعودی

گاهی تنها نیاز داریم تابع را در یک بازه بررسی کنیم. برای مثال، تابع شکل زیر در بازه مشخص‌ شده صعودی است.

بازه صعودی

تابع نزولی

به بیان ساده، یک تابع، «نزولی» (Decreasing) است، اگر در آن، مقدار y با افزایش مقدار x، کم شود. شکل زیر این موضوع را نشان می‌دهد.

تابع نزولی

تعریف: تابع $$y=f(x)$$ را نزولی گوییم، اگر وقتی $$x_1<x_2$$، آن‌گاه $$f(x_1)\ge f(x_2)$$ باشد. همچنین، تابع $$y=f(x)$$ را اکیداً نزولی گوییم، اگر، وقتی $$x_1<x_2$$، آن‌گاه $$f(x_1)> f(x_2)$$ باشد.

مثال 1

می‌خواهیم ببینیم تابع زیر در بازه $$[-1,2]$$ صعودی است یا نزولی.

معادله

نمودار تابع در شکل زیر نشان داده شده است:

نمودار

همان‌گونه که از شکل بالا مشخص است، در $$x=-1$$، تابع نزولی است. این نزولی بودن تا تقریباً $$x=1.2$$ ادامه می‌یابد. پس از آن نیز تابع تا نقطه مورد نظر $$x=2$$ صعودی است.

تذکر: توابع صعودی و نزولی را توابع «یکنوا» (Monotonic) و توابع اکیداً صعودی و اکیداً نزولی را توابع «اکیداً یکنوا» می‌گویند.

تعیین صعودی یا نزولی بودن با استفاده از مشتق

اما اگر بخواهیم بدون استفاده از شکل تابع، درباره صعودی یا نزولی بودن یا نبودن آن بحث کنیم، باید چه‌کار کنیم؟ به تعاریفی که بیان کردیم باز می‌گردیم. برای تابع اکیداً صعودی گفتیم که باید شرط زیر برقرار باشد:

تعریف تابع صعودی

با یک جابه‌جایی جبری، می‌توان نوشت:

تابع صعودی

چگونه می‌توانیم رابطه‌ای ریاضی از این تعریف استخراج کنیم؟ بیایید نسبت زیر را بنویسیم:

تعریف مشتق

اگر بخواهیم شرط اکیداً صعودی بودن تابع برقرار باشد، حاصل کسر بالا باید مثبت شود، چون صورت و مخرج هر دو مثبت هستند (به جابه‌جایی اندیس‌ها دقت کنید). اما معادله بالا شما را یاد چه چیزی در ریاضیات می‌اندازد؟‌ بله، درست است؛ اگر $$x_1$$ و $$x_2$$ بسیار نزدیک به هم باشند، عبارت کسری بالا تعریف مشتق تابع است. نزدیک بودن $$x_1$$ و $$x_2$$ تناقضی با تعریف صعودی و نزولی بودن توابع ندارد و بنابراین با استفاده از مشتق می‌توان صعودی یا نزولی بودن توابع را در نقاط مورد نظر تحقیق کرد.

قضیه: فرض کنید f یک تابع مشتق‌پذیر در بازه $$(a, b)$$ باشد، بنابراین:

  1. اگر برای xهای بازه $$(a, b)$$، داشته باشیم: $$f'(x)<0$$،  آن‌گاه f در آن بازه اکیداً نزولی است.
  2. اگر برای xهای بازه $$(a, b)$$، داشته باشیم: $$f'(x)>0$$،  آن‌گاه f در آن بازه اکیداً صعودی است.
  3. اگر برای xهای بازه $$(a, b)$$، داشته باشیم: $$f'(x)=0$$،  آن‌گاه f در آن بازه ثابت است.
  4. اگر برای xهای بازه $$(a, b)$$، داشته باشیم: $$f'(x) \le 0$$،  آن‌گاه f در آن بازه نزولی است.
  5. اگر برای xهای بازه $$(a, b)$$، داشته باشیم: $$f'(x) \ge 0$$،  آن‌گاه f در آن بازه صعودی است.

در حقیقت، اگر شیب نقطه‌ای از نمودار مثبت باشد، تابع در آن نقطه صعودی است و اگر منفی باشد، تابع در آن نقطه نزولی است.

صعودی و نزولی

نقاط a و b در نمودار بالا، نقاط بحرانی (Critical point) تابع f نامیده می‌شوند.

تعریف: نقطه c را بحرانی می‌نامیم، اگر $$f'(x)$$ در آن نقطه برابر با صفر یا تعریف نشده باشد.

مثال 2

درباره صعودی یا نزولی بودن تابع $$y=2x-5$$ در بازه $$(-\infty, \infty)$$ بحث کنید.

حل: مشتق تابع، $$y’=2$$ است که در کل بازه $$(-\infty, \infty)$$ عددی مثبت است. بنابراین، تابع مذکور همواره صعودی است.

تابع

مثال 3

درباره صعودی یا نزولی بودن تابع $$y=x^2-1$$ در بازه $$(-\infty,0)$$ و $$(0,\infty)$$ بحث کنید.

حل: مشتق تابع به‌صورت $$y’=2x$$ است که در بازه $$(-\infty, 0)$$ منفی و در بازه $$(0, \infty)$$ مثبت است. بنابراین، تابع در بازه نخست، اکیداً نزولی و در بازه دوم اکیداً صعودی است.

شکل تابع

مثال 4

درباره صعودی یا نزولی بودن تابع زیر بحث کنید:

معادلعه

حل: ابتدا، مشتق تابع را می‌گیریم:

مشتق تابع

برای تعیین بازه‌های مثبت یا منفی بودن مشتق، باید ریشه‌های آن را پیدا کنیم. با فاکتورگیری از معادله مشتق، داریم:

ریشه معادله

ریشه‌های این معادله، $$x=1$$ و $$x=-2$$ است. بنابراین، تغییر علامت در این دو ریشه رخ می‌دهد. اکنون، برای تعیین علامت، چند عدد را آزمایش می‌کنیم:

جدول تعیین علامت

می‌بینیم که مشتق در خارج از بازه $$[-2,1]$$ مثبت و درون آن منفی است. می‌توان نتیجه گرفت که f در خارج از بازه مذکور اکیداً صعودی و در داخل آن، اکیداً نزولی است. شکل تابع به‌صورت زیر است:

منحنی تابع

مثال 5

وزن (برحسب پوند) یک نوزاد را در سه ماه اول زندگی می‌توان با رابطه زیر مدل کرد:

معادله وزن نوزاد

که در آن، t برحسب ماه است. تعیین کنید چه زمانی وزن نوزاد کاهش و چه زمانی افزایش می‌یابد.

حل: برای پاسخ به پرسش مطرح شده، باید تعیین کنیم تابع چه زمانی صعودی و چه زمانی نزولی است. مشتق تابع به‌صورت زیر است:

مشتق معادله وزن

ریشه‌های معادله فوق 0.56 و $$-5.56$$ هستند. از آن‌جایی که فقط سه ماه اول، مورد نظر است، فقط ریشه 0.56 را بررسی می‌کنیم. اکنون جدول تعیین علامت را تشکیل می‌دهیم:

جدول تعیین علامت

بنابراین، تابع برای tهای بزرگتر از 0.56 صعودی و برای tهای کوچکتر از آن، نزولی است. می‌توان نتیجه گرفت که نوزاد در 0.56 ماه اول زندگی، وزن از دست می‌دهد، سپس وزن او تا ماه سوم افزایش می‌یابد.

مثال 6

گاهی می‌توان بازه‌هایی را که  تابع در آن صعودی یا نزولی است به‌راحتی با فلش‌هایی مشخص کرد. برای مثال، صعودی یا نزوی بودن تابع زیر را مشخص می‌کنیم.

تابع

جدول تعیین علامت این تابع، به‌شکل زیر است که نزولی و صعودی بودن بازه‌ها نیز در آن نشان داده شده است:

جدول تعیین علامت

نکته: جمع دو تابع اکیداً صعودی، اکیداً صعودی است و جمع دو تابع اکیداً نزولی، اکیداً نزولی است. اگر f و g هر دو اکیداً صعودی یا هر دو اکیداً نزولی باشند، $$f(g(x))$$ و $$g(f(x))$$ اکیداً صعودی خواهند بود، در حالی که اگر یکی اکیداً صعودی و دیگری اکیداً نزولی باشد، $$f(g(x))$$ اکیداً نزولی خواهد شد.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

2 نظر در “توابع صعودی و نزولی — به زبان ساده

  1. با سلام. در بحث توابع صعودی یا نزولی هیچ اشاره ای به تعریف شدن تابع(وجود تابع) در بازه ها نشده است. نقاط توخالی ویا مجانبها. مثلا آیا تابع تانژانت در کل اعداد حقیقی صعودی است؟با توجه به اینکه مشتق آن همیشه مثبت است

    1. سلام.
      همان‌گونه که در متن آموزش اشاره شده است، یکنوایی (صعودی و نزولی بودن) را در بازه بررسی و براساس آن بیان می‌کنیم. این مورد، قاعدهٔ اصلی در بیان یکنوایی توابع است. درمورد تابعی مانند تانژانت نیز همین گفته صادق است؛ یعنی تابع تانژانت در هر تناوب اکیداً صعودی است، اما در کل بازهٔ اعداد حقیقی، نه نزولی است و نه صعودی. اما چرا با توجه به اینکه مشتق تابع تانژانت مثبت است، در کلِ بازهٔ اعداد حقیقی صعودی نیست؟ پاسخ در قضیه‌ای است که در آموزش بیان کرده‌ایم و آن این است که قبل از بررسی یکنوایی، تابع موردِنظر باید در بازهٔ (a,b) مشتق‌پذیر باشد. همان‌طور که می‌دانیم، تابع تانژانت در بازهٔ منفیِ بی‌نهایت تا مثبتِ بی‌نهایت، این شرط را ندارد و باید بازه‌هایی را از آن برگزینیم که در شرط مشتق‌پذیر بودن صدق کنند.
      شرط مشتق‌پذیر بودن در بازه، یک شرط قوی است که ما را از بررسی سایر شرایط اعم از تعریف تابع، پیوستگی آن، نقاط توخالی و مجانب‌های قائم به‌صورت جداگانه بی‌نیاز می‌کند.
      از توجه و نظر شما سپاس‌گزاریم.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *