فرمول های ریاضی دهم در یک نگاه و با مثال

ریاضی دهم، در سال اول دوره متوسطه دوم با عنوان «ریاضی ۱» به دانش‌آموزان مقطع دهم در رشته ریاضی و فیزیک و رشته علوم تجربی آموزش داده می‌شود. دانش آموزان مقطع دهم در رشته ادبیات و علوم انسانی و رشته علوم و معارف اسلامی، مباحث ریاضی را در درسی با عنوان «ریاضی و آمار ۱» فرا می‌گیرند. ریاضی ۱ و ریاضی و آمار ۱، از دروس تخصصی در کنکور سراسری هستند. از این‌رو، یادگیری و تسلط بر روی مطالب آن‌ها، اهمیت بالایی برای متقاضیان ورود به دانشگاه دارد. در اغلب موارد، دانش‌آموزان و متقاضیان کنکور، به دنبال منبع جامعی هستند که تمام نکات و فرمول‌های مهم ریاضی را به طور خلاصه و سریع به آن‌ها ارائه دهد. در این مطلب از مجله فرادرس، قصد داریم مهم‌ترین نکات و فرمول های ریاضی دهم را برای شما خلاصه کنیم تا در صورت نیاز به مرور کلی مباحث، بتوانید از این مطلب به عنوان یک منبع کمک آموزشی برای مرور و دوره استفاده کنید.

در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های فصل اول کتاب ریاضی ۱ را معرفی می‌کنیم و به حل مثال برای هر یک از دروس این فصل می‌پردازیم. دانش‌آموزان رشته علوم انسانی، نگران نباشند. در یک فصل آخر این مطلب، به معرفی منابع یادگیری ریاضی و آمار ۱ خواهیم پرداخت.

۱. مجموعه، الگو و دنباله: فرمول های فصل اول ریاضی دهم

فصل اول کتاب ریاضی دهم، شامل چهار درس با عنوان‌های «مجموعه‌های متناهی و نامتناهی»، «متمم یک مجموعه»، «الگو و دنباله» و «دنباله های حسابی و هندسی» است.

در ادامه، جدول مهم‌ترین نکات و فرمول های فصل اول ریاضی دهم را آورده‌ایم.

درس اول: مجموعه‌های متناهی و نامتناهی در ریاضی دهم

به مجموعه‌هایی که تعداد اعضای آن‌ها یک عدد حسابی باشد، مجموعه متناهی می‌گویند. در طرف مقابل، اگر تعداد اعضای یک مجموعه را نتوان با استفاده از یک عدد حسابی نمایش داد، آن مجموعه، به عنوان یک مجموعه نامتناهی در نظر گرفته می‌شود.

به عنوان مثال، مجموعه انسان‌های روی کره زمین، یک مجموعه متناهی است؛ زیرا می‌توان تعداد عضوهای این مجموعه (تعداد انسان‌ها) با یک عدد حسابی (مانند $$۸۱۰۶۴۷۱۴۹۶$$) نمایش داد. با این وجود، مجموعه مضرب‌های طبیعی عدد $$۱۰$$، یک مجموعه نامتناهی است؛ چراکه مجموعه اعداد طبیعی، انتهایی ندارد و نمی‌توان تعداد آن را با یک عدد حسابی مشخص نمایش داد.

درس دوم: فرمول های متمم یک مجموعه در ریاضی دهم

به مجموعه‌ای که تمام مجموعه‌های مورد نظر، زیرمجموعه آن باشند، مجموعه مرجع می‌گویند. این مجموعه را با $$\text { U }$$ نمایش می‌دهند. اگر مجموعه $$\text { A }$$، زیرمجموعه مجموعه مرجع $$\text { U }$$ باشد، مجموعه $$\text { U - A }$$ به عنوان متمم مجموعه $$\text{ A }$$ در نظر گرفته می‌شود. این مجموعه را با علامت پرایم $$( ' )$$ نمایش می‌دهند. بر این اساس، متمم مجموعه $$\text{ A }$$، مجموعه $$A ^ { \prime }$$ خواهد بود. $$A ^ { \prime }$$، شامل عضوهایی از $$\text { U }$$ است که در $$\text { A }$$ نیستند.

به مجموعه‌ای که فاقد عضو مشترک باشند، دو مجموعه جدا از هم یا مجزا می‌گویند. اشتراک دو مجموعه جدا از هم، مجموعه تهی است. به عبارت دیگر، اگر $$\text { A }$$ و $$\text { B }$$، دو مجموعه جدا از هم باشند، خواهیم داشت:

$$\text { A } \cap \text { B } = \emptyset$$

اگر بخواهیم تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه $$\text { A }$$ و $$\text { B }$$ را به دست بیاوریم، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

$$\text { n } \left ( \text { A } \cup \text { B } \right ) = \text { n } \left ( \text { A }\right ) + \text { n } \left ( \text { B } \right ) - \text { n } \left ( \text { A } \cap \text { B } \right )$$

در این رابطه داریم:

• $$\text { n } \left ( \text { A }\right )$$: تعداد عضوهای مجموعه $$\text { A }$$
• $$\text { n } \left ( \text { B }\right )$$: تعداد عضوهای مجموعه $$\text { B }$$
• $$\text { n } \left ( \text { A } \cap \text { B } \right )$$: تعداد عضوهای اشتراک دو مجموعه $$\text { A }$$ و $$\text { B }$$

درس سوم: فرمول های الگو و دنباله در ریاضی دهم

به مجموعه اعداد یا اشکالی که با یک نظم و ترتیب خاص در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند، الگو می‌گویند. درس سوم از فصل اول کتاب ریاضی ۱، به معرفی فرمول الگو و دنباله می‌پردازد. بر اساس محتوای این درس، فرمول الگوی خطی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$t _ n = a n + b$$

• $$t _ n$$: جمله عمومی الگوی خطی
• $$a$$ و $$b$$: اعداد حقیقی دلخواه و ثابت
• $$n$$: شماره جمله در الگو

در الگوهای خطی، اختلاف دو جمله متوالی برابر با ضریب $$n$$ است. به الگویی که جمله عمومی آن به صورت $$t _ n = a n + b$$ نباشد، الگوی غیرخطی می‌گوییم. اگر جمله عمومی دنباله به صورت یک چندجمله‌ای درجه دوم باشد، به آن دنباله درجه $$۲$$ گفته می‌شود. پیدا کردن فرمول الگوها، روش مختص به خود را دارد که در مطلب «فرمول الگویابی | فرمول الگوی عددی — با مثال و به زبان ساده» از مجله فرادرس، آن را آموزش داده‌ایم.

درس چهارم: فرمول های دنباله های حسابی و هندسی در ریاضی دهم

از پشت هم قرار گرفتن اعداد، دنباله به وجود می‌آید. دنباله‌ها به دو دسته دنباله حسابی و دنباله هندسی تقسیم می‌شوند:

• دنباله حسابی: دنباله‌ای که در آن، هر جمله با اضافه شدن عددی ثابت (قدر نسبت) به جمله قبل خودش به دست می‌آید. مانند سال‌های برگزاری المپیک (هر $$۴$$ سال)
• دنباله هندسی: دنباله‌ای که در آن، هر جمله (به جز جمله اول)، از ضرب جمله قبل خودش در عددی ثابت و غیرصفر (قدر نسبت) به دست می‌آید.

جمله $$n$$ام دنباله حسابی برابر است با:

$$t _ n = t _ ۱ + ( n - ۱ ) d$$

• $$t _ n$$: جمله $$n$$ام دنباله حسابی
• $$t _ ۱$$: جمله اول دنباله حسابی
• $$n$$: شماره جمله مورد نظر
• $$d$$: قدر نسبت دنباله

جمله $$n$$ام دنباله هندسی برابر است با:

$$t _ n = t _ ۱ r ^ { n - ۱ }$$

• $$t _ n$$: جمله $$n$$ام دنباله هندسی
• $$t _ ۱$$: جمله اول دنباله هندسی
• $$n$$: شماره جمله مورد نظر
• $$r \ne ۰$$: قدر نسبت دنباله

در مبحث دنباله حسابی و هندسی، دو مفهوم دیگر با عنوان واسطه حسابی و هندسی وجود دارد که به صورت زیر تعریف می‌شوند:

• واسطه حسابی: اعدادی که با قرار دادن آن‌ها در میان دو یا چند عدد، یک دنباله حسابی به وجود می‌آید.
• واسطه هندسی: اعدادی که با قرار دادن آن‌ها در میان دو یا چند عدد، یک دنباله هندسی به وجود می‌آید.

در مطلب‌های «فرمول های ریاضی هشتم در یک نگاه و با مثال» و «فرمول های ریاضی نهم در یک نگاه و با مثال»، مهم‌ترین نکات و فرمول‌های ریاضی دوره اول متوسطه را به صورت خلاصه ارائه کردیم. اگر تمایل دارید دانش پایه خود را قوی کنید و با آمادگی کامل به سراغ یادگیری ریاضی در سطوح بالاتر بروید، توصیه می‌کنیم نگاهی به این مطالب نیز داشته باشید. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های فصل دوم کتاب ریاضی ۱ را معرفی می‌کنیم.

۲. مثلثات: فرمول های فصل دوم ریاضی دهم

فصل دوم کتاب ریاضی دهم، شامل درس‌های با عنوان‌های «نسبت‌های مثلثاتی»، «دایره مثلثاتی» و «روابط بین نسبت‌های مثلثاتی» است.

برخی از تعاریف و فرمول های مهم فصل دوم ریاضی دهم در جدول زیر خلاصه شده‌اند.

درس اول: فرمول های نسبت های مثلثاتی در ریاضی دهم

مثلثات، یکی از شاخه‌های پرکاربرد در علم ریاضی است که روابط بین زوایا و اضلاع مثلث را مورد مطالعه قرار می‌دهد. این علم، برای اندازه‌گیری فاصله‌ها در علوم مختلفی نظیر مهندسی، نقشه‌برداری، فیزیک، نجوم و غیره به کاربرد می‌رود. در مثلثات، چهار تابع مهم با عنوان‌های سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت وجود دارد که رابطه بین نسبت ضلع‌های مثلث قام‌الزاویه و زاویه‌های آن را نمایش می‌دهند. این نسبت‌ها با عنوان نسبت‌های مثلثاتی شناخته شده و به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$$sin { \theta } = \frac { O }{ H }$$

• $$sin { \theta }$$: سینوس زاویه θ
• O: ضلع مقابل زاویه θ
• H: وتر مثلث قائم‌الزاویه

وتر ÷ ضلع مجاور زاویه θ = کسینوس زاویه θ

$$cos { \theta } = \frac { A }{ H }$$

• $$cos { \theta }$$: کسینوس زاویه θ
• A: ضلع مجاور زاویه θ
• H: وتر مثلث قائم‌الزاویه

$$tan { \theta } = \frac { O }{ A }$$

• $$tan { \theta }$$: تانژانت زاویه θ
• O: ضلع مقابل زاویه θ
• A: ضلع مجاور زاویه θ

$$cot { \theta } = \frac { A }{ O }$$

• $$cot { \theta }$$: کتانژانت زاویه θ
• A: ضلع مجاور زاویه θ
• O: ضلع مقابل زاویه θ

یکی از کاربردهای مثلثات، محاسبه مساحت مثلث با سینوس است. فرمول مساحت مثلث با سینوس عبارت است از:

$$\stackrel{\Delta}{\mathrm{ABC}} = \frac { ۱ }{ ۲ } \times AB \times BC \times \sin { B }$$

• $$AB$$: طول یکی از ضلع‌های مثلث
• $$BC$$: طول یکی دیگر از ضلع‌های مثلث
• $$B$$: زاویه بین دو ضلع $$AB$$ و $$BC$$

درس دوم: فرمول های دایره مثلثاتی در ریاضی دهم

دایره مثلثاتی، دایره‌ای به شعاع واحد $$( ۱ )$$ است که مرکز آن بر روی مبدا مختصات قرار دارد. جهت مثبت در این دایره، خلاف عقربه‌های ساعت است. دایره مثلثاتی به منظور تعیین نسبت‌های مثلثاتی و نمایش آن‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. این دایره به چهار ربع تقسیم می‌شود. علامت سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت، با توجه به ربع قرارگیری آن‌ها تغییر می‌کند. خلاصه‌ای از مشخصات ربع اول تا چهارم دایره مثلثاتی را در ادامه آورده‌ایم:

• ربع اول دایره مثلثاتی: زاویه بین $$۰$$ تا $$۹۰$$ درجه، مثبت بودن علامت همه نسبت‌های مثلثاتی
• ربع دوم دایره مثلثاتی: زاویه بین $$۹۰$$ تا $$۱۸۰$$ درجه، مثبت بودن علامت سینوس و منفی بودن علامت کسینوس، تانژانت و کتانژانت
• ربع سوم دایره مثلثاتی: زاویه بین $$۱۸۰$$ تا $$۲۷۰$$ درجه، مثبت بودن علامت تانژانت و کتانژانت و منفی بودن علامت سینوس و کسینوس
• ربع چهارم دایره مثلثاتی: زاویه بین $$۲۷۰$$ تا $$۳۶۰$$ درجه، مثبت بودن علامت کسینوس و منفی بودن علامت سینوس، تانژانت و کتانژانت

علامت نسبت‌های مثلثاتی را با «هستک» حفظ کنید:

• ه برای مثبت بودن همه
• س برای مثبت بودن سینوس
• ت برای مثبت بودن تانژانت و کتانژانت
• ک برای ثبت بودن کسینوس

اگر شیب یک خط با محور افقی برابر با $$\alpha$$ باشد، مقدار شیب برابر با $$\tan { \alpha }$$ خواهد بود. به عبارت دیگر، شیب یک خط، با تانژانت زاویه آن خط نسبت به افق برابر است.

درس سوم: فرمول های روابط نسبت های مثلثاتی در ریاضی دهم

برخی از مهم‌ترین روابط بین نسبت‌های مثلثاتی یا قوانین مثلثات عبارت هستند از:

$$\sin ^ ۲ ( \theta ) + \cos ^ ۲ ( \theta ) = ۱$$

$$\tan ^ ۲ { ( \alpha ) } + ۱ = \frac { ۱ } { \cos ^ ۲ { ( \alpha ) } }$$

$$۱ + \cot ^ ۲ { ( \alpha ) } = \frac { ۱ } { \sin ^ ۲ { ( \alpha ) } }$$

این روابط با عنوان اتحادهای مثلثاتی نیز شناخته می‌شوند؛ زیرا به ازای هر $$\alpha$$ دلخواه، این روابط برقرار هستند (البته $$\alpha \ne ۰$$).

چگونه فرمول های ریاضی دهم را به خوبی و کامل یاد بگیریم؟

یادگیری سریع فرمول های ریاضی دهم، کار دشواری نیست. اگر به اندازه کافی مثال و تمرین حل کنید. در ضمن، برای دستیابی به این هدف، ابتدا باید نکات و مفاهیم ریاضی دهم را به خوبی و کامل یاد بگیرید. ریاضی ۱، یکی از مواد آزمون ورود به دانشگاه، یا همان کنکور سراسری محسوب می‌شود. به همین دلیل، بسیاری از دانش‌آموزان، به دنبال یک روش سریع و قابل اطمینان برای یادگیری مفاهیم و فرمول های این درس هستند. در اغلب موارد، انتخاب یک منبع کمک آموزشی مناسب می‌تواند نیازهای دانش‌آموزان را برطرف کند. این منبع، باید به گونه‌ای باشد که ضمن توضیح خوب درسنامه‌های کتاب، به حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع بپردازد. به این ترتیب، دانش‌آموزان دیگر دغدغه مواجهه با سوالات جدید در امتحانات یا کنکور را نخواهند داشت. فرادرس، یک فیلم آموزشی جامع و مفید را تهیه کرده است که می‌تواند شما را در یادگیری کامل نکات و فرمول های ریاضی دهم کمک کند. برای مشاهده این فیلم، بر روی لینک زیر کلیک کنید:

• فیلم آموزش ریاضی پایه دهم رشته‌های تجربی و ریاضی فرادرس
• مجموعه فیلم‌های آموزش دروس پایه دهم فرادرس
• مجموعه فیلم‌های آموزش دروس دوره اول و دوم متوسطه فرادرس

۳. توان های گویا و عبارت های جبری: فرمول های فصل سوم ریاضی دهم

در فصل سوم کتاب ریاضی دهم، چهار درس عنوان‌های «ریشه و توان»، «ریشه nام»، «توان‌های گویا» و «عبارت‌های جبری» آموزش داده می‌شود.

جدول زیر، خلاصه‌ای از نکات و فرمول های مهم فصل سوم ریاضی دهم را نمایش می‌دهد.

درس اول: فرمول های ریشه و توان در ریاضی دهم

ریشه و توان، دو مفهوم مرتبط و دوسویه هستند. به عنوان مثال، اگر عدد $$۲$$ را به توان $$۲$$ برسانیم، به عدد $$۴$$ می‌رسیم:

$$۲ ^ ۲ = ۴$$

در طرف دیگر، اگر بخواهیم ریشه دوم عدد $$۴$$ را به دست بیاوریم، آن را به زیر رادیکال با فرجه $$۲$$ می‌بریم. به این ترتیب، به عدد $$۲$$ می‌رسیم:

$$\sqrt [ ۲ ] { ۴ } = ۲$$

بنابراین:

$$\sqrt [ ۲ ] { ۴ } = ۲ \Leftrightarrow ۲ ^ ۲ = ۴$$

یکی از نکات مهم فصل سوم ریاضی دهم، بحث نمایش تقریبی اعداد است. نمایش مقدار دقیق اعداد گنگ (مانند $$\sqrt [ ۳ ] { ۲۵ }$$) به صورت یک عدد اعشاری امکان‌‌پذیر نیست. به همین علت، این اعداد را به صورت رادیکالی یا تقریبی نمایش می‌دهیم.

• هر عدد مثبت دارای دو ریشه چهارم است که قرینه‌ی یکدیگرند. عددهای منفی ریشه چهارم ندارند.
• هر عدد مثبت یا منفی دارای یک ریشه پنجم است. اگر عدد مثبت باشد، ریشه پنجم آن مثبت و اگر عدد منفی باشد ریشه پنجم آن منفی است.

عبارت اول، برای ریشه‌های زوج و عبارت دوم، برای ریشه‌های فرد صدق می‌کند. توجه داشته باشید که اگر یک عدد مثبت یا منفی را به توان عددی زوج برسانیم، علامت آن مثبت می‌شود اما اگر یک عدد مثبت یا منفی را به توان عددی فرد برسانیم، علامت آن تغییری نمی‌کند.

درس دوم: فرمول های ریشه n ام در ریاضی دهم

ریشه $$n$$ام یک عدد به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$a ^ n = b \to \sqrt [ n ] { b } = a \ ,\ \ \ n \ge ۲$$

• $$b$$:‌ریشه $$n$$ام عدد $$a$$
• $$n$$: عددی بزرگ‌تر از $$۲$$

فرمول ضرب دو عدد رادیکالی با فرجه برابر عبارت است از:

$$\sqrt [ n ] { a } \times \sqrt [ n ] { b } = \sqrt [ n ] { a \times b }$$

• $$n$$: فرجه رادیکال
• $$a$$ و $$b$$: دو عدد دلخواه

اگر فرجه رادیکال، زوج باشد، فرمول بالا برای $$a$$ و $$b$$ بزرگ‌تر مساوی صفر (غیرمنفی) صدق می‌کند. در صورت فرد بودن فرجه رادیکال، $$a$$ و $$b$$ می‌تواند هر عدد مثبت یا منفی باشد. رابطه زیر، یکی دیگر از فرمول های مهم در درس ریشه و توان است:

$$\sqrt [ k ] { a ^ m } = \left ( \sqrt [ k ] { a } \right ) ^ m$$

در صورت زوج بودن $$k$$، علامت $$a$$ باید مثبت باشد. برای فرجه‌های زوج، جواب رادیکال به صورت نمایش داده می‌شود:

$$\sqrt [ n ] { a ^ n } = | a |$$

به عبارت دیگر، به دلیل تعریف قدر مطلق، خروجی رادیکال مثبت خواهد بود.

درس سوم: فرمول های توان های گویا در ریاضی دهم

منظور از توان گویا، توان کسری است. برای هر عدد طبیعی $$n \ge ۲$$ داریم:

$$a ^ { \frac { ۱ } { n } } = \sqrt [ n ] { a }$$

اگر $$a \gt ۰$$ و $$m$$ و $$n$$ دو عدد طبیعی باشند، خواهیم داشت:

$$a ^ { \frac { m } { n } } = \sqrt [ n ] { a ^ m }$$

در صورت مثبت بودن هر سه متغیر $$( m , n , a \gt ۰ )$$، رابطه زیر برقرار است:

$$a ^ { \frac { m } { n } } = \left ( a ^ { \frac { ۱ } { n } } \right ) ^ m = \left ( a ^ { m } \right ) ^ { \frac { ۱ } { n } }$$

$$a ^ { - \frac { m }{ n } } = \frac { ۱ } { a ^ { \frac { m }{ n } } }$$

این روابط نشان می‌دهند که در توان‌های گویا، مخرج کسر به فرجه رادیکال و صورت کسر به توان عدد زیر رادیکال تبدیل می‌شود. برخی دیگر از قوانین اعداد توان‌دار با توان گویا عبارت هستند از:

$$a ^ r \times a ^ s = a ^ { r + s }$$

$$\left ( a ^ r \right ) ^ s = a ^ { r s }$$

$$( a b ) ^ r = a ^ r \times b ^ r$$

درس چهارم: فرمول های عبارت های جبری در ریاضی دهم

عبارت‌های جبری، عبارت‌‌هایی هستند که به منظور نمایش روابط و متغیرهای ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرند. اتحادهای ریاضی، از مهم‌ترین و پرکاربردترین عبارت‌های جبری به شمار می‌روند. کتاب ریاضی نهم، برخی از فرمول‌های مهم اتحاد را به دانش‌آموزان معرفی می‌کند. این اتحادها عبارت هستند از:

$$( a \pm ) ^ ۲ = a ^ ۲ \pm ۲ a b + b ^ ۲$$

$$( a - b ) ( a + b ) = a ^ ۲ - b ^ ۲$$

$$( a + b + c ) ^ ۲ = a ^ ۲ + b ^ ۲ + c ^ ۲ + ۲ a b + ۲ a c + ۲ b c$$

$$( x + a ) ( x + b ) = x ^ ۲ + ( a + b ) x + a b$$

 در کتاب ریاضی ۱ دهم، فرمول های بیشتری از اتحادها به دانش‌آموزان معرفی می‌شوند. این فرمول‌ها عبارت هستند از:

$$( a + b ) ^ ۳ = a ^ ۳ + ۳ a ^ ۲ b + ۳ a b ^ ۲ + b ^ ۳$$

$$( a + b ) ( a ^ ۲ - a b + b ^ ۲ ) = a ^ ۳ + b ^ ۳$$

$$( a - b ) ( a ^ ۲ + a b + b ^ ۲ ) = a ^ ۳ - b ^ ۳$$

اتحادهای بالا به ترتیب با عنوان اتحاد مکعب، اتحاد چاق و لاغر مجموع و اتحاد چاق و لاغر تفاضل شناخته می‌شوند. اتحادها، به منظور ساده‌سازی عبارت‌های جبری و حل معادله‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند. در انتهای این بخش، به حل یک مثال در این رابطه می‌پردازیم.

• $$a - b$$، مزدوج $$a + b$$ است.

یکی دیگر از مباحث فصل سوم ریاضی دهم، گویا کردن مخرج کسرها است. در صورت رادیکالی بودن مخرج یک کسر، با ضرب آن کسر در عددی کسری که صورت و مخرج آن برابر با همان عدد رادیکالی باشد، مخرج را گویا می‌کنیم. به عنوان مثال:

$$\frac { ۵ } { ۲ \sqrt { ۳ } } = \frac { ۵ } { ۲ \sqrt { ۳ } } \times \frac { \sqrt { ۳ } } { \sqrt { ۳ } } = \frac { ۵ \sqrt { ۳ } } { ۶ }$$

اگر مخرج کسر به صورت جمع یا تفریق یک عدد رادیکالی با یک عدد دیگر بود، آن را در عددی کسری با صورت و مخرج برابر با مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم. به عنوان مثال:

$$\frac { ۱ } { \sqrt { ۵ } - \sqrt { ۳ } } = \frac { ۱ } { \sqrt { ۵ } - \sqrt { ۳ } } \times \frac { \sqrt { ۵ } + \sqrt { ۳ } } { \sqrt { ۵ } + \sqrt { ۳ } } = \frac { \sqrt { ۵ } + \sqrt { ۳ } } { ۲ }$$

۴. معادله ها و نامعادله ها: فرمول های فصل چهارم ریاضی دهم

فصل چهارم کتاب ریاضی دهم، به آموزش مباحث مربوط به معادله‌ها و نامعادله‌ها در قالب سه درس «معادله درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن»، «سهی» و «تعیین علامت» می‌پردازد.

در ادامه، برخی از نکات و فرمول های مهم فصل چهارم ریاضی دهم را آورده‌ایم.

درس اول: فرمول های معادله درجه دوم و روش های مختلف حل آن در ریاضی دهم

معادله درجه دوم، معادله‌ای است که بزرگ‌ترین توان متغیر آن برابر با $$۲$$ باشد. این معادله به شکل زیر نوشته می‌شود:

$$a x ^ ۲ + b x + c = ۰ \ \ \ \ ، \ \ \ ( a \ne ۰ )$$

ضرایب ثابت در معادله بالا، اعداد حقیقی هستند. روش‌های مختلفی برای حل معادله درجه دوم وجود دارد. یکی از این روش‌ها، تجزیه به کمک فاکتورگیری یا اتحادهای جبری است. در حل معادله درجه $$۲$$ به کمک فاکتورگیری، فرمی مشابه زیر به وجود می‌آید:

$$a x ^ ۲ + b x = x ( a x + b )$$

برای حل معادله درجه $$۲$$ می‌توان از اتحادهایی نظیر اتحاد مزدوج و اتحاد جمله مشترک نیز کمک گرفت. این اتحادها به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$$x ^ ۲ - a ^ ۲ = ( x - a ) ( x + a )$$

$$x ^ ۲ + ( a + b ) x + a b = ( x + a ) ( x + b )$$

حل سوالات مربوط به حل معادله درجه دو، معمولا با استفاده از یکی از روش‌های بالا صورت می‌گیرد. در ساده‌ترین حالت، امکان به دست آوردن جواب با ریشه‌گیری وجود دارد. فرم کلی این حالت به صورت زیر است:

$$x ^ ۲ = a \to x = \pm \sqrt { a }$$

روش مربع کامل، یکی دیگر از روش‌های حل معادله درجه دوم است. این روش، با اضافه کردن یک جمله به دو طرف معادله و تبدیل آن به مربع کامل انجام می‌گیرد. به این ترتیب، جواب معادله توسط روش ریشه‌گیری به دست می‌آید. به عنوان مثال:

$$x ^ ۲ - ۶ x + ۴ = ۰$$

$$x ^ ۲ - ۶ x + ۴ - ۴ = ۰ - ۴$$

$$x ^ ۲ - ۶ x = - ۴$$

$$x ^ ۲ - ۶ x + ۹ = - ۴ + ۹$$

$$x ^ ۲ - ۶ x + ۹ = ۵$$

$$( x - ۳ ) ^ ۲ = ۵$$

$$x - ۳ = \pm \sqrt { ۵ }$$

$$x = ۳ \pm \sqrt { ۵ }$$

اگر امکان حل معادله درجه دوم با هیچ کدام از روش‌های بالا وجود نداشت، از روش دلتا برای این کار استفاده می‌کنیم. حل معادله درجه دو به روش دلتا با استفاده از فرمول زیر انجام می‌گیرد:

$$x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ ۲ - ۴ a c } }{ ۲ a }$$

$$\Delta = b ^ ۲ - ۴ a c$$

در روش دلتا، سه حالت به وجود می‌آید:

• دلتای مثبت $$( \Delta \gt ۰ )$$: دو ریشه حقیقی
• دلتای صفر $$( \Delta = ۰ )$$: یک ریشه حقیقی (ریشه مضاعف)
• دلتای منفی $$( \Delta \lt ۰ )$$: بدون ریشه حقیقی (دو ریشه مختلط با اعداد موهومی)

درس دوم: فرمول های سهمی در ریاضی دهم

نمودار معادله درجه دوم با عنوان سهمی شناخته می‌شود. به پایین‌ترین یا بالاترین نقطه این نمودار، راس سهمی می‌گویند. خط عمودی گذرنده از راس، با عنوان خط تقارن سهمی شناخته می‌شود.

شکل سهمی معادله درجه دوم مانند $$y = a x ^ ۲ + b x + c$$، بر اساس ضریب $$a$$ و به صورت زیر تعیین می‌شود:

• $$a \gt ۰$$: راس سهمی در پایین‌ترین نقطه قرار دارد.
• $$a \lt ۰$$: راس سهمی در بالاترین نقطه قرار دارد.

اگر معادله سهمی به صورت $$y = a ( x - h ) ^ ۲ + k$$ باشد، مختصات راس آن برابر با $$( h , k )$$ بوده و معادله خط تقارن آن برابر با $$x = k$$ است.

درس سوم: فرمول های تعیین علامت در ریاضی دهم

بسیاری از مسائل ریاضی، مخصوصا مسائل دنیای واقعی، نیازمند یافتن علامت یک عبارت خاص هستند. به عنوان مثال، هدف شرکت‌های تولیدی، رسیدن به سود است. به عبارت دیگر، معادله سود این شرکت‌ها، باید مثبت باشد. بنابراین، کارشناسان باید مقدار متغیرهایی که باعث مثبت شدن سود می‌شود را پیدا کنند. به این فرآیند، تعیین علامت می‌گویند. به عنوان مثال، معادله زیر را در نظر بگیرید:

$$y = ۲ x - ۶$$

این معادله، به ازای $$x = ۳$$، برابر با $$۰$$ است. اگر $$x$$ بزرگ‌تر از $$۳$$ باشد، مقدار $$y$$، مثبت و اگر کوچک‌تر از $$۳$$ باشد، مقدار $$y$$ منفی می‌شود. در درس سوم فصل سوم ریاضی دهم، دانش‌آموزان با تعیین علامت و تهیه جدول تعیین علامت آشنا می‌شوند. در ادامه، یک نمونه جدول تعیین علامت را برای $$A = ( ۲ x - ۱ ) ( ۳ - x )$$ آورده‌ایم.

همان‌طور که می‌بینید، ریشه‌های معادله در تعیین علامت مورد استفاده قرار می‌گیرند. معادله در ریشه‌ها، علامتی ندارد و برابر با $$۰$$ است. در عبارت‌های کسری، اگر مقداری باعث صفر شدن مخرج شود، علامت در آن مقدار، «تعریف نشده» خواهد بود.

در ریاضی نهم، دانش‌آموزان مفهوم نامعادله را فرا می‌گیرند. در ریاضی دهم، خاصیت جمع و ضرب نامعادله‌ها به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$A \lt B \ \to \ A + C \lt B + C$$

$$C \gt ۰ , \ A \gt B \ \to \ A C \gt B C$$

$$C \lt ۰ , \ A \gt B \ \to \ A C \lt B C$$

خواص نامعادله‌های قدر مطلقی به صورت زیر هستند:

$$| u | \le a \ \to \ - a \le u \le a$$

$$| u | \ge a \ \to \ u \ge a \ \ \ or \ \ \ u \le - a$$

۵. تابع: فرمول های فصل پنجم ریاضی دهم

فصل پنجم کتاب ریاضی دهم، شامل سه درس با عنوان‌های «مفهوم تابع و بازنمایی‌های آن»، «دامنه و برد تابع» و «انواع تابع» است.

در ادامه، مهم‌ترین نکات فصل پنجم ریاضی دهم را به طور خلاصه آورده‌ایم. این فصل، فرمول های زیادی ندارد.

درس اول: مفهوم تابع و بازنمایی های آن در ریاضی دهم

تابع، رابطه‌ای است که اعضای دو مجموعه را به یکدیگر وصل می‌کند. بر اساس تعریف کتاب ریاضی ۱، یک تابع از مجموعه A به مجموعه B، رابطه‌ای بین این دو مجموعه است که در آن، به هر عضو از A، دقیقا یک عضو از B نسبت داده می‌شود. به عنوان مثال، در تصویر زیر، رابطه‌های راست و چپ، تابع هستند اما طبق تعریف، رابطه میانی، یک تابع نیست.

عضوهای متصل به هم در تابع، به صورت زوج مرتب نمایش داده می‌شوند. به عنوان مثال، تابع سمت راست در تصویر بالا را در نظر بگیرید. زوج مرتب‌های این تابع عبارت هستند از:

$$( p , m ) , ( q , n ) , ( r , n )$$

ترتیب نوشتن عضوهای زوج مرتب، مهم است. به عضو اول زوج مرتب، مولفه اول و به عضو دوم، مولفه دوم می‌گویند. اگر زوج مرتب‌ها از عدد تشکیل شوند، می‌توان آن‌ها را به صورت مختصات بر روی دستگاه مختصات مشخص کرد و نمودار تابع را کشید.

• اگر یک رابطه به صورت مجموعه زوج‌های مرتب داده شده باشد، هنگامی این رابطه یک تابع است که هیچ دو زوج مرتب متمایزی در آن دارای مولفه‌های اول برابر نباشند.

تابع را معمولا با حرف f (ابتدای کلمه function) نمایش می‌دهند.

درس دوم: دامنه و برد توابع در ریاضی دهم

دامنه تابع، مجموعه‌ای از تمامی مقادیر احتمالی و قابل قبول به عنوان ورودی یک تابع است. دامنه، مولفه‌های اول زوج مرتب‌های تابع را تشکیل می‌دهد. برد تابع، مجموعه‌ای از تمام خروجی‌های یک تابع است که از جایگذاری ورودی‌ها در آن تابع به دست می‌آید. برد، مولفه ‌های دوم زوج مرتب‌های را تشکیل می‌دهد.

به عنوان مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید:

{(۱۳۹۳ ,مبینا) ,(۱۳۷۱ ,حسین) ,(۱۳۸۶ ,سارا) ,(۱۳۶۰ ,هاشم)} = f

در تابع f،‌ دامنه و برد به صورت زیر تعریف می‌شوند:

{مبینا ,حسین ,سارا ,هاشم} = دامنه f

{۱۳۹۳ , ۱۳۷۱ , ۱۳۸۶ ,۱۳۶۰} = برد f

• اگر رابطه بین دامنه و برد یک تابع، به صورت یک معادله درجه یک مانند $$y = a x + b$$ نمایش داده شود، آن تابع، یک تابع خطی خواهد بود.
• اگر نمودار یک رابطه داده شده باشد، هنگامی این نمودار تابع است که هر خط موازی محور عرض‌ها، نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

درس سوم: انواع تابع در ریاضی دهم

توابع ریاضی، انواع بسیار زیادی دارند که در کتاب ریاضی ۱ پایه دهم، به معرفی برخی از آن‌ها پرداخته شده است. در ادامه، انواع تابع را بر اساس این کتاب تعریف می‌کنیم:

• توابعی را که نمایش جبری آنها، چندجمله‌ای‌های جبری از یک متغیر هستند، توابع چندجمله‌ای می‌نامیم.
• اگر دامنه و برد یک تابع برابر باشند و هر عضو از دامنه تابع دقیقاً به همان عضو در برد نظیر شود، تابع همانی می‌نامند.
  • نمودار تابع همانی، خط $$y = x$$ است. تابع همانی با $$f ( x ) = x$$ نمایش داده می‌شود.
• به تابعی که برد آن تنها شامل یک عضو است، تابع ثابت می‌گویند.
  • تابع ثابت را با $$f ( x ) = k$$ نمایش می‌دهند.
• تابعی که هر مقدار در دامنه را به قدر مطلق آن در برد نظیر می‌کند، تابع قدر مطلق نام دارد.
  • تابع قدر مطلق با $$f ( x ) = | x |$$ یا $$y = | x |$$ نمایش داده می‌شود.

درس سوم فصل چهارم ریاضی دهم، به آموزش روش‌های رسم تابع از جمله روش انتقال می‌پردازد. در این روش، فرض می‌کنیم نمودار تابعی مانند $$f ( x )$$ را داریم. بنابراین، برای رسم نمودار تابع $$f ( x ) + k$$، نمودار $$f ( x )$$ را به اندازه $$k$$ واحد در امتداد محور $$y$$ جابجا می‌کنیم. اگر $$k \gt ۰$$ باشد، انتقال در جهت مثبت بوده و اگر $$k \lt ۰$$ باشد، انتقال در جهت منفی خواهد بود.

برای رسم نمودار $$f ( x + k )$$، می‌توانیم نمودار $$f ( x )$$ را به اندازه $$k$$ واحد در امتداد محور $$x$$ انتقال دهیم. اگر $$k \gt ۰$$ باشد، انتقال در جهت منفی بوده و اگر $$k \lt ۰$$ باشد، انتقال در جهت مثبت خواهد بود.

۶. شمارش، بدون شمردن: فرمول های فصل ششم ریاضی دهم

در فصل ششم کتاب ریاضی دهم، مباحث دنیای آمار و احتمال در قالب سه درس با عنوان‌های «شمارش»، «جایگشت» و «ترکیب» آموزش داده می‌شوند.

در ادامه، مهم‌ترین فرمول های فصل ششم ریاضی دهم را آورده‌ایم.

درس اول: فرمول های شمارش در ریاضی دهم

شمارش، فرآیندی است که طی آن، عضوهای یک مجموعه متناهی مشخص می‌شود. به عنوان مثال، اعداد $$۱$$، $$۲$$ و $$۳$$ را در نظر بگیرد. به نظر شما، با استفاده از این سه عدد، چند عدد سه رقمی می‌توان نوشت. علم شمارش، به ما کمک می‌کند تا به دقت به این سوال پاسخ دهیم. در شمارش، اصل‌های مختلفی وجود دارد که مهم‌ترین آن‌ها عبارت هستند از:

• اصل جمع: اگر کاری را بتوان به دو روش انجام داد، به طوری که در روش اول، $$m$$ انتخاب و در روش دوم، $$n$$ انتخاب وجود داشته باشد، برای انجام کار مورد نظر، $$m + n$$ روش وجود دارد. تعمیم این اصل برای $$k$$ روش با $$m _ k$$ انتخاب، به صورت $$m _ ۱ + m _ ۲ + \ ... \ + m _ k$$ نوشته می‌شود.
• اصل ضرب: اگر انجام یه کار، دومرحله‌ای باشد، به طوری که برای انجام مرحله اول، $$m$$ روش و برای مرحله دوم (هر کدام از این $$m$$ روش)، $$n$$ روش وجود داشته باشد، مجموع کل روش‌های انجام کار برابر با $$m \times n$$ روش خواهد بود. تعمیم این اصل برای $$k$$ مرحله با $$m _ k$$ روش، به صورت $$m _ ۱ \times m _ ۲ \times \ ... \ \times m _ k$$ نوشته می‌شود.

به عنوان یک نکته مهم به خاطر داشته باشید که فاکتوریل عدد صفر برابر با عدد یک است.

درس دوم: فرمول های جایگشت در ریاضی دهم

جایگشت، روش‌های ممکن برای انجام یک کار است. بر اساس تعریف کتاب ریاضی ۱ دهم، اگر چند شی متمایز داشته باشیم، به هر حالتِ چیدنِ این اشیا کنار هم، یک جایگشت می‌گوییم. به عنوان مثال، اگر اعداد $$۱$$، $$۲$$ و $$۳$$ را داشته باشیم و بخواهیم با قرار دادن آن‌ها کنار یکدیگر، یک عدد سه‌رقمی بدون رقم‌های تکراری بسازیم، عدد $$۱۲۳$$، یک جایگشت خواهد بود. اعداد $$۱۳۲$$، $$۲۱۳$$، $$۲۳۱$$، $$۳۱۲$$ و $$۳۲۱$$، دیگر جایگشت‌های این اعداد خواهند بود.

در مبحث جایگشت، یک علامت مهم وجود دارد. این علامت، فاکتوریل نام دارد. فاکتوریل را با علامت $$!$$ (شبیه به علامت تعجب) نمایش می‌دهند. قرار داشتن این علامت در کنار یک عدد طبیعی، به معنای ضرب متوالی آن عدد در اعداد طبیع کوچک‌تر است. به عنوان مثال:

$$۵ ! = ۵ \times ۴ \times ۳ \times ۲ \times ۱ = ۱۲۰$$

در مثال جایگشت اعداد $$۱$$، $$۲$$ و $$۳$$ برای نوشتن اعداد سه‌رقمی بدون رقم‌های تکراری، سه عضو متمایز داشتیم. بنابراین، جایگشت مورد نظر برابر با سه فاکتوریل است:

$$۳ ! = ۳ \times ۲ \times ۱ = ۶$$

بنابراین، شش حالت مختلف برای چینش اعداد $$۱$$، $$۲$$ و $$۳$$ در کنار هم و نوشتن اعداد سه‌رقمی بدون رقم‌های تکراری وجود دارد.

تعداد جایگشت‌های $$r$$‌تایی از $$n$$ شی متمایز، با $$P ( n , r )$$ نمایش داده شده و با استفاده از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

$$P ( n , r ) = \frac { n ! } { ( n - r ) ! }$$

به عنوان مثال، تعداد جایگشت‌های دوتایی از سه عدد $$۱$$، $$۲$$ و $$۳$$ برابر است با:

$$P ( ۳ , ۲ ) = \frac { ۳ ! } { ( ۳ - ۲ ) ! }$$

$$P ( ۳ , ۲ ) = \frac { ۶ } { ۱ }$$

$$P ( ۳ , ۲ ) = ۶$$

به عبارت دیگر، با سه عدد $$۱$$، $$۲$$ و $$۳$$ می‌توان شش عدد دو رقمی متمایز نوشت:

$$\{ ۱۲, ۱۳, ۲۱, ۲۳ , ۳۱ , ۳۲ \}$$

درس سوم: فرمول های ترکیب در ریاضی دهم

ترکیب، نحوه چینش چند شی متمایز در کنار یکدیگر، بدون توجه به ترتیب آن‌ها است. به عنوان مثال، در نوشتن اعداد سه‌رقمی بدون رقم‌های تکراری با استفاده از $$۱$$، $$۲$$ و $$۳$$، اعداد $$۱۲۳$$، $$۱۳۲$$، $$۲۱۳$$، $$۲۳۱$$، $$۳۱۲$$ و $$۳۲۱$$، شش انتخاب متفاوت در نظر گرفته می‌شدند. با این وجود، از آنجایی که هیچ تغییری در رقم‌های این اعداد در حالت‌های مختلف رخ نمی‌دهد، در مفهوم ترکیب، همه آن‌ها با هم برابرند. یعنی، ترکیب اعداد سه‌رقمی بدون رقم‌های تکراری با استفاده از $$۱$$، $$۲$$ و $$۳$$، برابر با $$۱$$ است.

ترکیب $$r$$ شی از $$n$$ شی متمایز با $$C ( n , r )$$ یا $$\binom { n } { r }$$ نمایش داده می‌شود. فرمول ترکیب عبارت است از:

$$\binom { n } { r } = \frac { n ! } { ( n - r ) ! r ! }$$

$$۰ \le r \le n$$

بر اساس فرمول بالا، ترکیب اعداد سه‌رقمی بدون رقم‌های تکراری با استفاده از $$۱$$، $$۲$$ و $$۳$$ عبارت است از:

$$\binom { ۳ } { ۳ } = \frac { ۳ ! } { ( ۳ - ۳ ) ! ۳ ! }$$

$$\binom { ۳ } { ۳ } = \frac { ۶ } { ( ۰ ) ! ۶ }$$

$$\binom { ۳ } { ۳ } = \frac { ۶ } { ۶ } = ۱$$

مسیر یادگیری فرمول های ریاضی دهم از پایه

مباحث و فرمول های ریاضی دهم، در ادامه مباحث و فرمول های ریاضی نهم هستند. تسلط بر روی این مباحث و فرمول‌ها، مسیر یادگیری ریاضی یازدهم و دوازدهم را هموار می‌کند. موفقیت در هر یک از این دروس در پایه‌های مختلف دوره متوسطه اول و دوم، به میزان تسلط شما بر روی مباحث سال قبل بستگی دارد. به عبارت دیگر، اگر شما بر روی مباحث ریاضی هفتم تسلط نداشته باشید، در یادگیری مباحث ریاضی هشتم به مشکل می‌خورید. این رابطه علت و معلولی می‌تواند تا پایه دوازدهم ادامه پیدا کند و حتی باعث گرفتن نتیجه نامناسب در کنکور شود. بنابراین، اگر می‌خواهید مسیر درست یادگیری فرمول های ریاضی دهم را بدانید، دانش پایه خود در رابطه با ریاضی نهم را ارزیابی کنید. در صورت مشاهده مشکل، مبانی مبحث مورد نظر را با مطالعه ریاضی هشتم و یا هفتم یاد بگیرید. با این کار، هیچ نقطه‌ضعفی در یادگیری شما باقی نمی‌ماند.

فرادرس، فیلم‌های آموزشی متعددی را در زمینه مباحث ریاضی دوره متوسطه اول و دوم برای دانش‌آموزان پایه‌‌های هفتم تا دوازدهم تهیه کرده است که می‌توانند شما را در یادگیری سریع درس‌های ریاضی و تقویت دانش پایه‌تان کمک کنند. نقشه راه یادگیری ریاضی دبیرستان با فرادرس، در ادامه آورده شده است:

• فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس
• فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس
• فیلم آموزش ریاضی پایه نهم فرادرس
• فیلم‌های آموزش ریاضی پایه دهم فرادرس
  • فیلم آموزش ریاضی ۱ رشته‌های تجربی و ریاضی فرادرس
  • فیلم آموزش ریاضی و آمار ۱ رشته علوم انسانی فرادرس
• فیلم‌های آموزش ریاضی پایه یازدهم فرادرس
  • فیلم آموزش ریاضی ۲ رشته علوم تجربی فرادرس
  • فیلم آموزش ریاضی و آمار ۲ رشته علوم انسانی فرادرس
  • فیلم آموزش حسابان ۱ فرادرس
• فیلم‌های آموزش ریاضی پایه دوازدهم فرادرس
  •  فیلم آموزش ریاضی ۳ رشته علوم تجربی فرادرس
  • فیلم آموزش ریاضی و آمار ۳ رشته علوم انسانی فرادرس
  • فیلم آموزش حسابان ۲ فرادرس
• مجموعه فیلم‌های آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور فرادرس

فرمول های ریاضی و آمار ۱: مخصوص دانش آموزان انسانی

دوره متوسطه اول، دوره‌ای است که دانش‌آموزان، علاوه بر دروس عمومی، دروس تخصصی رشته انتخابی خود را فرا می‌گیرند. ریاضی و آمار ۱، یکی از درس‌های تخصصی دانش‌آموزان پایه دهم رشته انسانی است. بسیاری از مباحث این درس، به درس‌های ریاضی ۱ رشته‌های ریاضی و تجربی شباهت دارد. با این وجود، تمرکز دروس ریاضی انسانی، بیشتر بر روی مفاهیم آماری است.

در ادامه، سرفصل‌های کتاب ریاضی و آمار ۱ پایه دهم انسانی را آورده‌ایم. 

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، سرفصل‌ها و دروس ارائه شده در درس ریاضی و آمار ۱ برای دانش‌آموزان انسانی، شباهت زیادی به سرفصل‌های ارائه شده در درس ریاضی ۱ برای دانش‌آموزان ریاضی و تجربی دارد. البته در اینجا، بر روی فرمول‌ها و معادلات ریاضی، تمرکز نسبتا کمتری شده اما بر روی مباحث آماری، تمرکز نسبتا بیشتری شده است. با وجود این، فرادرس، یک فیلم آموزشی جامع و کاربردی را برای دانش‌آموزان انسانی تهیه کرده است که می‌تواند شما را در یادگیری بهتر و سریع‌تر نکات مهم و فرمول های ریاضی و آمار ۱ کمک کند که لینک آن در زیر آورده شده است.

• فیلم آموزش ریاضی و آمار ۱ فرادرس

• فصل اول: معادله درجه دوم
  • درس ۱: معادله و مسائل توصیفی
  • درس ۲: حل معادله درجه ۲ و کاربردها
  • درس ۳: معادله‌های شامل عبارت‌های گوبا
• فصل دوم: تابع
  • درس ۱: مفهوم تابع
  • درس ۲: ضابطه جبری تابع
  • درس ۳: نمودار تابع خطی
  • درس ۴: نمودار تابع درجه ۲
• فصل سوم: کار با داده های آماری
  • درس ۱: گردآوری داده‌ها
  • درس ۲: معیارهای گرایش به مرکز
  • درس ۳: معیارهای پراکندگی
• فصل چهارم: نمایش داده ها
  • درس ۱: نمودارهای یک‌متغیره
  • درس ۲: نمودارهای چندمتغیره

۷. آمار و احتمال: فرمول های فصل هفتم ریاضی دهم

فصل هفتم کتاب ریاضی دهم، در ادامه فصل ششم، با ارائه درس‌های «احتمال یا اندازه‌گیری شانس»، «مقدمه‌ای بر علم آمار، جامعه و نمونه» و «متغیر و انواع آن»، به جنبه‌های بیشتری از مباحث آمار و احتمال می‌پردازد.

جدول زیر، فرمول های اصلی فصل هفتم ریاضی دهم را نمایش می‌دهد.

درس اول: فرمول های احتمال یا اندازه گیری شانس در ریاضی دهم

پیشامدهایی وجود دارند که رخ دادن یا رخ ندادن آن‌ها و چگونگی رخ دادنشان مشخص نیست. شانس رخ دادن این پیشامدها، با عنوان احتمال شناخته می‌شود. اگر از همه حالت‌های ممکن در به وقوع پیوستن یک پیشامد مطلع باشیم، به آن پیشامد، پیشامد تصادفی می‌گوییم. عددی که پس از انداختن تاس ظاهر می‌شود، یکی از معروف‌ترین مثال‌های پیشامد تصادفی است. در این مثال، شش حالت ممکن (ظاهر شدن یکی از اعداد $$۱$$ تا $$۶$$) وجود دارد. به این حالت‌ها، فضای نمونه گفته می‌شود.

مفهوم اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌ها، کاربرد گسترده‌ای در بحث تعیین پیشامدها و فضای نمونه دارند:

•  اجتماع دو پیشامد: پیشامد حاصل از اجتماع دو پیشامد، زمانی رخ می‌دهد که حداقل یکی از دو پیشامد رخ بدهد.
  • در پیشامد $$( A \cup B )$$، یا $$A$$ رخ می‌دهد یا $$B$$ رخ می‌دهد.
• اشتراک دو پیشامد: پیشامد اشتراک دو پیشامد زمانی رخ می‌دهد که هر دو پیشامد با هم رخ بدهند.
  • در پیشامد $$( A \cap B )$$، هم $$A$$ رخ می‌دهد و هم $$B$$ رخ می‌دهد.
• تفاضل دو پیشامد: پیشامد تفاضل دو پیشامد، زمانی رخ می‌دهد که یکی از پیشامدها رخ دهد اما پیشامد دیگر رخ ندهد.
  • در پیشامد $$( A - B )$$، $$A$$ رخ می‌دهد اما $$B$$ رخ نمی‌دهد.
• متمم یک پیشامد: پیشامد متمم یک پیشامد زمانی رخ می‌دهد که آن پیشامد رخ ندهد.
  • در پیشامد $$A '$$، پیشامد $$A$$ رخ نمی‌دهد.

اگر اشتراک دو پیشامد تهی باشد، به آن‌ها دو پیشامد ناسازگار می‌گوییم. محاسبه احتمال رخداد یک پیشامد یا اندازه‌گیری شانس، با استفاده از فرمول زیر انجام می‌گیرد:

$$P ( A ) = \frac { n ( A ) } { n ( S ) }$$

• $$P ( A )$$: شانس رخ دادن پیشامد $$A$$ و عددی بین $$۰$$ تا $$۱$$
• $$n ( A )$$: تعداد رخداد حالت مطلوب $$A$$
• $$n ( S )$$: تعداد تمام حالت‌های ممکن در فضای نمونه $$S$$

اکنون، با استفاده از مفهوم اجتماع، اشتراک و تفاضل پیشامد و فرمول بالا می‌توان فرمول زیر را تعریف کرد:

$$P ( A \cup B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A \cap B )$$

اگر $$A$$ و $$B$$، دو پیشامد ناسازگار باشند، فرمول بالا به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$P ( A \cup B ) = P ( A ) + P ( B )$$

رابطه بین احتمال رخ دادن یک پیشامد با احتمال رخ دادن متمم آن پیشامد نیز عبارت است از:

$$P ( A ) = ۱ - P ( A ' )$$

درس دوم: مقدمه ای بر علم آمار، جامعه و نمونه در ریاضی دهم

بر اساس تعریف کتاب ریاضی ۱ دهم، آمار، مجموعه‌ای از اعداد، ارقام و اطلاعات است. مراحل علم آمار عبارت هستند از:

1. جمع‌آوری اعداد و ارقام
2. سازماندهی و نمایش
3. تحلیل و تفسیر داده‌ها
4. نتیجه‌گیری، قضاوت و پیش‌بینی پدیده‌ها و آزمایش‌‌های تصادفی

تفاوت اصلی آمار و علم آمار این است که علم آمار، اعداد، ارقام و اطلاعات را مورد مطالعه قرار می‌دهد؛ در صورتی که آمار، همان اعداد، ارقام و اطلاعات مورد مطالعه توسط علم آمار محسوب می‌شود. در ادامه، تعریف مهم این درس را آورده‌ایم:

• جامعه یا جمعیت: مجموعه تمام افراد یا اشیایی که درباره یک یا چند ویژگی آن‌ها تحقیق صورت می‌گیرد. هر یک از این افراد یا اشیا، به عنوان عضو جمعیت در نظر گرفته می‌شوند.
• اندازه یا حجم جامعه: تعداد اعضای جامعه
• نمونه: بخشی از جامعه که برای مطالعه انتخاب می‌شود. به هر یک از افراد یا اشیا نمونه، عضو نمونه می‌گویند.
• اندازه یا حجم نمونه: تعداد اعضای نمونه

به عنوان مثال، اگر بخواهیم کیفیت محصولات تولیدی یک کارخانه را مورد مطالعه قرار دهیم و برای این منظور، $$۱۰۰$$ قطعه از کل قطعات تولید شده کارخانه ($$۱۰۰۰۰$$ قطعه) برداریم، اطلاعات مطالعات آماری ما به صورت زیر خواهد بود:

• جامعه: قطعات تولید شده در کارخانه
• اندازه جامعه: $$۱۰۰۰۰$$ قطعه
• اندازه نمونه: $$۱۰۰$$ قطعه
• ویژگی مورد بررسی: کیفیت قطعه

درس سوم: فرمول های متغیر و انواع آن در ریاضی دهم

متغیر، ویژگی اعضای جامعه آماری است که از عضوی به عضو دیگر تغییر می‌کند. عدد اختصاص یافته به ویژگی عضو، با عنوان مقدار متغیر شناخته می‌شود. به عنوان مثال، قد دانش‌آموزان، یک متغیر است. یکی از مقدارهای این متغیر می‌تواند عددی مانند $$۱۶۰$$ سانتی‌متر باشد. متغیرهای آماری به دو نوع متغیرهای کمی و کیفی تقسیم می‌شوند:

• متغیر کمی: قابل اندازه‌گیری است. مانند قد و وزن فرزندان یک خانواده
  • متغیر کمی پیوسته: امکان اختیار کردن مقداری بین دو مقدار مجاز وجود دارد. مانند وزن که می‌تواند به عنوان مثال، $$۵۰$$ کیلوگرم، $$۵۱$$ کیلوگرم یا عددی بین این دو (مثلا $$۵۱/۵$$ کیلوگرم) باشد.
  • متغیر کمی گسسته: امکان اختیار کردن مقداری بین دو مقدار مجاز وجود دارد. مانند تعداد فرزندان یک خانواده که می‌تواند به عنوان مثال، $$۱$$ فرزند، $$۲$$ فرزند و غیره بوده اما نمی‌تواند $$۱/۵$$ فرزند باشد.
• متغیر کیفی: قابل اندازه‌گیری نیست. مانند جنسیت و رنگ چشم فرزندان یک خانواده
  • متغیر کیفی ترتیبی: ترتیب طبیعی در آن وجود دارد. مانند پایه تحصیلی دانش‌آموزان که از اول ابتدایی شروع می‌شود و به ترتیب تا دوازدهم ادامه می‌یابد.
  • متغیر کیفی اسمی (غیرترتیبی): ترتیبی در آن وجود ندارد. مانند جنسیت دانشجویان یک کلاس که می‌تواند زن یا مرد باشد.

مطلب فرمول های ریاضی دهم برای دانش‌آموزان ریاضی و تجربی را با حل یک مثال به پایان می‌رسانیم. البته بخش بعدی این مطلب را به دانش‌آموزان انسانی اختصاص داده‌ایم.

در مطلب «فرمول‌های ریاضی نهم در یک نگاه و با مثال»، نکات مهم کتاب ریاضی نهم را برای دانش‌آموزان خلاصه کردیم که می‌توانید مطلب مرتبط با آن را در مجله فرادرس مطالعه کنید.