دستگاه معادلات خطی و حل آن – به زبان ساده

دستگاه معادلات خطی با دو متغیر

یک دستگاه معادلات با دو متغیر را به‌صورت زیر نمایش می‌دهیم:

$$\begin{align*}ax + by & = p\\ cx + dy & = q\end{align*}$$

که در آن، $$x$$ و $$y$$ متغیرهای مجهول بوده و همه ثوابت می‌توانند صفر باشند، اما هر معادله باید حداقل یک متغیر داشته باشد. معادله، «خطی» نامیده می‌شود، اگر تنها توان اول متغیرها در آن وجود داشته باشد و متغیرها در هم ضرب نشوند.

برای مثال، دستگاه زیر را در نظر بگیرید:

$$\begin{align*}3x - y & = 7\\ 2x + 3y & = 1\end{align*}$$

قبل از آنکه درباره حل دستگاه معادلات بحث کنیم، ابتدا باید جواب دستگاه معادلات را تعریف کنیم. تعیین جواب دستگاه معادلات، همان تعیین مقدار $$x$$ و مقدار $$y$$ است، به‌طوری که اگر هر دو را در معادلات قرار دهیم، در آن صدق کنند.

برای مثال بالا، $$x=2$$ و $$y=-1$$ یک جواب برای دستگاه معادلات است. صحت این جواب را می‌توان به‌سادگی تحقیق کرد:

$$\begin{align*}3\left( 2 \right) - \left( { - 1} \right) & = 7\\ 2\left( 2 \right) + 3\left( { - 1} \right) & = 1\end{align*}$$

دقت کنید که جواب‌ها باید در هر دو معادله صدق کنند. برای مثال $$x=1$$ و $$y=-4$$ در معادله اول دستگاه صدق می‌کنند اما در معادله دوم، خیر. بنابراین، این دو عدد حل دستگاه معادلات نیستند.

اما جواب دستگاه معادلات دقیقاً چه چیزی را نشان می‌دهد؟ یا به عبارت بهتر، چه تعبیری برای آن وجود دارد؟ همان طور که می‌دانیم، معادله‌های دستگاه، هر کدام یک خط راست را نشان می‌دهند (شکل زیر را ببینید).

همان‌طور که می‌بینیم، جواب دستگاه، متناظر با نقطه‌ای است که دو خط یک‌دیگر را قطع می‌کنند. در ادامه، دو روش حل دستگاه معادلات خطی با دو متغیر را معرفی می‌کنیم.

روش اول، روش جایگذاری یا جانشینی نامیده می‌شود. در این روش،‌ یکی از معادلات را برای یکی از متغیرها حل کرده و مقدار به دست آمده را در معادله دیگر جایگذاری می‌کنیم. نتیجه این کار، یک معادله و یک متغیر مجهول خواهد بود. پس از آنکه این معادله را حل کردیم، مقدار به‌دست آمده را در یکی از معادلات قرار داده و متغیر مجهول دیگر را به‌دست می‌آوریم. برای درک بهتر، دو مثال زیر را بررسی کنید.

مثال ۱

معادلات زیر را حل کنید.

(الف) $$\begin{align*}3x - y & = 7\\ 2x + 3y & = 1\end{align*}$$

(ب) $$\begin{align*}5x + 4y & = 1\\ 3x - 6y & = 2\end{align*}$$

حل (الف): مطابق آن‌چه که گفته شد، ابتدا با استفاده از معادله اول، مقدار $$y$$ را به‌دست می‌آوریم:

$$3x - 7 = y$$

اکنون، رابطه اخیر را در معادله دوم جایگذاری می‌کنیم:

$$2x + 3\left( {3x - 7} \right) = 1$$

معادله فوق بر حسب متغیر $$x$$ است و به‌صورت زیر حل می‌شود:

$$\begin{align*}2x + 9x - 21 & = 1\\ 11x & = 22\\ x & = 2\end{align*}$$

حال که مقدار $$x$$ را به‌دست آورده‌ایم، آن را در یکی از دو معادله قرار داده و مقدار $$y$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$y = 3x - 7 = 3\left( 2 \right) - 7 = - 1$$

در نتیجه، جواب دستگاه معادلات، $$x = 2$$ و $$y=-1$$ است.

حل (ب): برای حل این دستگاه معادلات، ابتدا از معادله دوم، $$x$$ را بر حسب $$y$$ به‌دست می‌آوریم:

$$\begin{align*}3x & = 6y + 2\\ x & = 2y + \frac{2}{3}\end{align*}$$

مقدار به‌دست آمده را در معادله نخست جایگذاری کرده و از معادله یک‌مجهولی حاصل، مقدار $$y$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\begin{align*}5\left( {2y + \frac{2}{3}} \right) + 4y & = 1\\ 10y + \frac{{10}}{3} + 4y & = 1\end{align*}$$

$$\begin{align*} 14y & = 1 - \frac{{10}}{3} = - \frac{7}{3}\\ y & = - \left( {\frac{7}{3}} \right)\left( {\frac{1}{{14}}} \right)\\ y & = - \frac{1}{6}\end{align*}$$

در نهایت، مقدار متغیر مجهول $$x$$ را به‌دست می‌آوریم:

$$x = 2\left( { - \frac{1}{6}} \right) + \frac{2}{3} = - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

بنابراین، جواب دستگاه معادلات، $$x = \frac{1}{3}$$ و $$y = - \frac{1}{6}$$ است.

برای تأیید صحت پاسخ می‌توانیم مقادیر محاسبه‌شده را در دو معادله جایگذاری کنیم.

در ادامه، روش دیگر به‌دست آوردن جواب دستگاه معادلات را معرفی می‌کنیم. این روش، روش حذف نام دارد. در این روش، یکی از معادلات یا هر دو آن‌ها را در در عددی ضرب می‌کنیم، به‌گونه‌ای که ضریب نهایی یکی از متغیرها در دو معادله، قرینه هم شوند. سپس دو معادله را با هم جمع می‌کنیم. از آن‌جایی که ضرایب یکی از متغیرهای مجهول در دو معادله قرینه هم است، مجهول مذکور حذف خواهد شد و به معادله‌ای با یک مجهول خواهیم رسید. با به‌دست آوردن این مجهول و جایگذاری مقدار آن در یکی از معادله‌ها، مجهول دیگر نیز به‌دست می‌آید.

مثال زیر، روند حل با استفاده از این روش را به‌خوبی نشان می‌دهد.

مثال ۲

دستگاه معادلات زیر را حل کنید:

(الف) $$\begin{align*}5x + 4y & = 1\\ 3x - 6y & = 2\end{align*}$$

(ب) $$\begin{align*}2x + 4y & = - 10\\ 6x + 3y & = 6\end{align*}$$

فیلم آموزش حل معادله ۳ مجهولی در فرادرس

کلیک کنید

حل (الف): در این دستگاه، به‌صورت کاملاً اختیاری ضرایب $$y$$ را به‌گونه‌ای تغییر می‌دهیم که بتوان آن را حذف کرد. برای این کار، معادله اول را در $$3$$ و معادله دوم را در $$2$$ ضرب می‌کنیم که ضریب جدید $$y$$ در دو معادله به‌ترتیب $$12$$ و $$-12$$ شود.

$$\begin{align*} 5x+4y & = 1 & \underrightarrow{\times \,\,3} \hspace{0.5in} & 15x+12y=3 \\ 3x-6y & = 2 & \underrightarrow{\times \,\,2} \hspace{0.5in} & \underline{\,\,6x-12y=4} \\ & & & 21x \hspace{0.5in} =7 \\ \end{align*}$$

اکنون به‌راحتی می‌توانیم مقدار $$x = \frac{1}{3}$$ را به‌دست آوریم. حال از معادله دوم استفاده کرده و با کمک آن، مقدار $$y$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\begin{align*}3\left( {\frac{1}{3}} \right) - 6y & = 2\\ 1 - 6y & = 2\\ - 6y & = 1\\ y & = - \frac{1}{6}\end{align*}$$

حل (ب): مانند قبل عمل کرده و برای این مثال، ضریب $$x$$ در دو معادله را به‌گونه‌ای تغییر می‌دهیم که $$x$$ از دو معادله حذف شود. با مشاهده معادلات می‌بینیم اگر معادله اول را در $$-3$$ ضرب کنیم به هدف موردنظر خواهیم رسید:

$$\begin{align*} 2x+4y & =-10 & \underrightarrow{\times \,\,-3} \hspace{0.5in} & -6x-12y=30 \\ 6x+3y & =6 & \underrightarrow{\times 1} \hspace{0.5in} &\underline{\hspace{0.35in}6x+3y=6} \\ & & & \hspace{0.5in} -9y=36 \\ & & & \hspace{0.85in} y=-4 \\ \end{align*}$$

در نهایت، مقدار به‌دست آمده را در یکی از معادلات جایگذرای کرده و $$x$$ را به‌دست می‌آوریم:

$$\begin{align*}2x + 4\left( { - 4} \right) & = - 10\\ 2x - 16 & = - 10\\ 2x & = 6\\ x & = 3\end{align*}$$

در ادامه، دو حالت خاص از دستگاه معادلات خطی را بیان می‌کنیم.

مثال ۳

دستگاه معادلات خطی زیر را حل کنید:

$$\begin{align*}x - y & = 6\\ - 2x + 2y & = 1\end{align*}$$

حل: برای یافتن پاسخ این دو معادله می‌توانیم از دو روشی که بیان شد استفاده کنیم. ابتدا مقدار $$x$$ را از معادله اول به‌دست می‌آوریم:

$$\begin{align*}x & = 6 + y\\ & \\ - 2\left( {6 + y} \right) + 2y & = 1\\ - 12 - 2y + 2y & = 1\\ - 12 & = 1\,\,\,??\end{align*}$$

واضح است که تساوی اخیر متناقض است، در حالی که ما اشتباهی نکرده‌ایم. اما مشکل کجاست؟ برای پیدا کردن مشکل، نمودار زیر را در نظر بگیرید که در آن، دو معادله رسم شده‌اند.

از نمودار بالا مشخص است که دو خط موازی هستند و می‌دانیم که دو خط موازی هیچ‌گاه یک‌دیگر را قطع نمی‌کنند. بنابراین، دستگاه معادلات فوق، جوابی ندارد.

اما یک حالت دیگر نیز داریم. مثال زیر، این مورد را به‌وضوح بیان می‌کند.

مثال ۴

دستگاه معادله زیر را حل کنید.

$$\begin{align*}2x + 5y & = - 1\\ - 10x - 25y & = 5\end{align*}$$

حل: به‌نظر می‌رسد روش حذف، راحت‌ترین کار برای حل دستگاه فوق باشد. بنابراین، داریم:

$$\begin{align*} 2x+5y & =-1 & \underrightarrow{\times \,\,5} \hspace{0.5in} & \,\,\,\,10x+25y=-5 \\ -10x-25y & =5 & \underrightarrow{\times 1} \hspace{0.5in} & \underline{-10x-25y=5} \\ & & & \hspace{0.9in} 0=0 \\ \end{align*}$$

تساوی منتجه از حل دستگاه معادلات ($$0=0$$)، بدیهی است. اما نمی‌دانیم این تساوی چه مفهومی دارد. البته تا این‌جا می‌توانیم بگوییم که این تساوی برخلاف مثال قبل، تناقضی ندارد.

اگر برای دو معادله، $$y$$ را برحسب $$x$$ بنویسیم، با دو معادله خط مواجه خواهیم بود که شیب و عرض از مبدأ یکسانی دارند. در واقع، دو خط یکی هستند. در این حالت، هر نقطه‌ای را که برای یک معادله در نظر بگیریم، در معادله دیگر نیز صدق می‌کند. بنابراین، می‌توان گفت دستگاه معادلات فوق، بی‌نهایت جواب دارد.

حال می‌خواهیم بدانیم مجموعه جواب دستگاه معادلات فوق چگونه خواهد بود. فرض می‌کنیم مقدار متغیر $$x$$ برابر با $$t$$ باشد، بنابراین، حل نهایی به‌صورت زیر خواهد بود: