فرمول های ریاضی دهم در یک نگاه و با مثال

ریاضی دهم، در سال اول دوره متوسطه دوم با عنوان «ریاضی ۱» به دانش‌آموزان مقطع دهم در رشته ریاضی و فیزیک و رشته علوم تجربی آموزش داده می‌شود. دانش آموزان مقطع دهم در رشته ادبیات و علوم انسانی و رشته علوم و معارف اسلامی، مباحث ریاضی را در درسی با عنوان «ریاضی و آمار ۱» فرا می‌گیرند. ریاضی ۱ و ریاضی و آمار ۱، از دروس تخصصی در کنکور سراسری هستند. از این‌رو، یادگیری و تسلط بر روی مطالب آن‌ها، اهمیت بالایی برای متقاضیان ورود به دانشگاه دارد. در اغلب موارد، دانش‌آموزان و متقاضیان کنکور، به دنبال منبع جامعی هستند که تمام نکات و فرمول‌های مهم ریاضی را به طور خلاصه و سریع به آن‌ها ارائه دهد. در این مطلب از مجله فرادرس، قصد داریم مهم‌ترین نکات و فرمول های ریاضی دهم را برای شما خلاصه کنیم تا در صورت نیاز به مرور کلی مباحث، بتوانید از این مطلب به عنوان یک منبع کمک آموزشی برای مرور و دوره استفاده کنید.

در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های فصل اول کتاب ریاضی ۱ را معرفی می‌کنیم و به حل مثال برای هر یک از دروس این فصل می‌پردازیم. دانش‌آموزان رشته علوم انسانی، نگران نباشند. در یک فصل آخر این مطلب، به معرفی منابع یادگیری ریاضی و آمار ۱ خواهیم پرداخت.

۱. مجموعه، الگو و دنباله: فرمول های فصل اول ریاضی دهم

فصل اول کتاب ریاضی دهم، شامل چهار درس با عنوان‌های «مجموعه‌های متناهی و نامتناهی»، «متمم یک مجموعه»، «الگو و دنباله» و «دنباله های حسابی و هندسی» است.

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی در فرادرس

کلیک کنید

در ادامه، جدول مهم‌ترین نکات و فرمول های فصل اول ریاضی دهم را آورده‌ایم.

درس اول: مجموعه‌های متناهی و نامتناهی در ریاضی دهم

به مجموعه‌هایی که تعداد اعضای آن‌ها یک عدد حسابی باشد، مجموعه متناهی می‌گویند. در طرف مقابل، اگر تعداد اعضای یک مجموعه را نتوان با استفاده از یک عدد حسابی نمایش داد، آن مجموعه، به عنوان یک مجموعه نامتناهی در نظر گرفته می‌شود.

به عنوان مثال، مجموعه انسان‌های روی کره زمین، یک مجموعه متناهی است؛ زیرا می‌توان تعداد عضوهای این مجموعه (تعداد انسان‌ها) با یک عدد حسابی (مانند $$۸۱۰۶۴۷۱۴۹۶$$) نمایش داد. با این وجود، مجموعه مضرب‌های طبیعی عدد $$۱۰$$، یک مجموعه نامتناهی است؛ چراکه مجموعه اعداد طبیعی، انتهایی ندارد و نمی‌توان تعداد آن را با یک عدد حسابی مشخص نمایش داد.

درس دوم: فرمول های متمم یک مجموعه در ریاضی دهم

به مجموعه‌ای که تمام مجموعه‌های مورد نظر، زیرمجموعه آن باشند، مجموعه مرجع می‌گویند. این مجموعه را با $$\text { U }$$ نمایش می‌دهند. اگر مجموعه $$\text { A }$$، زیرمجموعه مجموعه مرجع $$\text { U }$$ باشد، مجموعه $$\text { U - A }$$ به عنوان متمم مجموعه $$\text{ A }$$ در نظر گرفته می‌شود. این مجموعه را با علامت پرایم $$( ' )$$ نمایش می‌دهند. بر این اساس، متمم مجموعه $$\text{ A }$$، مجموعه $$A ^ { \prime }$$ خواهد بود. $$A ^ { \prime }$$، شامل عضوهایی از $$\text { U }$$ است که در $$\text { A }$$ نیستند.

به مجموعه‌ای که فاقد عضو مشترک باشند، دو مجموعه جدا از هم یا مجزا می‌گویند. اشتراک دو مجموعه جدا از هم، مجموعه تهی است. به عبارت دیگر، اگر $$\text { A }$$ و $$\text { B }$$، دو مجموعه جدا از هم باشند، خواهیم داشت:

$$\text { A } \cap \text { B } = \emptyset$$

اگر بخواهیم تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه $$\text { A }$$ و $$\text { B }$$ را به دست بیاوریم، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

$$\text { n } \left ( \text { A } \cup \text { B } \right ) = \text { n } \left ( \text { A }\right ) + \text { n } \left ( \text { B } \right ) - \text { n } \left ( \text { A } \cap \text { B } \right )$$

در این رابطه داریم:

• $$\text { n } \left ( \text { A }\right )$$: تعداد عضوهای مجموعه $$\text { A }$$
• $$\text { n } \left ( \text { B }\right )$$: تعداد عضوهای مجموعه $$\text { B }$$
• $$\text { n } \left ( \text { A } \cap \text { B } \right )$$: تعداد عضوهای اشتراک دو مجموعه $$\text { A }$$ و $$\text { B }$$

درس سوم: فرمول های الگو و دنباله در ریاضی دهم

به مجموعه اعداد یا اشکالی که با یک نظم و ترتیب خاص در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند، الگو می‌گویند. درس سوم از فصل اول کتاب ریاضی ۱، به معرفی فرمول الگو و دنباله می‌پردازد. بر اساس محتوای این درس، فرمول الگوی خطی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$t _ n = a n + b$$

• $$t _ n$$: جمله عمومی الگوی خطی
• $$a$$ و $$b$$: اعداد حقیقی دلخواه و ثابت
• $$n$$: شماره جمله در الگو

در الگوهای خطی، اختلاف دو جمله متوالی برابر با ضریب $$n$$ است. به الگویی که جمله عمومی آن به صورت $$t _ n = a n + b$$ نباشد، الگوی غیرخطی می‌گوییم. اگر جمله عمومی دنباله به صورت یک چندجمله‌ای درجه دوم باشد، به آن دنباله درجه $$۲$$ گفته می‌شود. پیدا کردن فرمول الگوها، روش مختص به خود را دارد که در مطلب «فرمول الگویابی | فرمول الگوی عددی — با مثال و به زبان ساده» از مجله فرادرس، آن را آموزش داده‌ایم.

درس چهارم: فرمول های دنباله های حسابی و هندسی در ریاضی دهم

از پشت هم قرار گرفتن اعداد، دنباله به وجود می‌آید. دنباله‌ها به دو دسته دنباله حسابی و دنباله هندسی تقسیم می‌شوند:

• دنباله حسابی: دنباله‌ای که در آن، هر جمله با اضافه شدن عددی ثابت (قدر نسبت) به جمله قبل خودش به دست می‌آید. مانند سال‌های برگزاری المپیک (هر $$۴$$ سال)
• دنباله هندسی: دنباله‌ای که در آن، هر جمله (به جز جمله اول)، از ضرب جمله قبل خودش در عددی ثابت و غیرصفر (قدر نسبت) به دست می‌آید.

جمله $$n$$ام دنباله حسابی برابر است با:

$$t _ n = t _ ۱ + ( n - ۱ ) d$$

• $$t _ n$$: جمله $$n$$ام دنباله حسابی
• $$t _ ۱$$: جمله اول دنباله حسابی
• $$n$$: شماره جمله مورد نظر
• $$d$$: قدر نسبت دنباله

جمله $$n$$ام دنباله هندسی برابر است با:

$$t _ n = t _ ۱ r ^ { n - ۱ }$$

• $$t _ n$$: جمله $$n$$ام دنباله هندسی
• $$t _ ۱$$: جمله اول دنباله هندسی
• $$n$$: شماره جمله مورد نظر
• $$r \ne ۰$$: قدر نسبت دنباله

در مبحث دنباله حسابی و هندسی، دو مفهوم دیگر با عنوان واسطه حسابی و هندسی وجود دارد که به صورت زیر تعریف می‌شوند: