فرمول فشار چیست؟ – در فیزیک به زبان ساده و با مثال

در مطالب قبلی با مفهوم فشار و انواع آن آشنا شدیم. فشار عبارت است از نیروی وارد بر واحد سطح، در نتیجه فرمول اصلی فشار یا P برابر می‌شود با نیروی وارد بر جسم (F)‌ تقسیم بر مساحتی که نیرو به آن وارد شده است (A)، یعنی داریم $$P =\frac{F}{A}$$. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، پس از اینکه یاد گرفتیم فرمول فشار چیست، توضیح می‌دهیم که انواع فشار چه فرمولی دارند و فرمول فشار در مایعات، گازها و جامدات چه تفاوتی با هم دارد. همچنین با حل مثال و تمرین در هر بخش، به شما کمک می‌کنیم تا نحوه استفاده از این فرمول‌ها را کاملا بیاموزید.

فرمول فشار چیست؟

برای اینکه ببینیم فرمول فشار چیست، ابتدا باید فشار را تعریف کنیم. فشار وارد بر یک ماده عبارت است از نیروی عمودی وارد بر سطح آن. پس اگر اندازه نیرو را با F و سطحی که نیرو روی آن توزیع می‌شود را با A نشان دهیم، فشار P با فرمول $$P =\frac{F}{A}$$ محاسبه می‌شود. فشار انواع مختلفی دارد که هر کدام فرمول مخصوص به ‌خود را دارند. همچنین فشار در شاره‌ها و گازهای کامل به عوامل دیگری بستگی دارد. فرمول‌های فشار شامل موارد زیر هستند:

• فرمول فشار در شاره‌ها: فشار ناشی از نیروی وزن ستون مایعی با چگالی ρ و عمق h، از $$P =\rho gh$$ به‌دست می‌آید.
• فرمول فشار پیمانه‌ای: در مرجع فشار اتمسفر، فشار پیمانه‌ای اختلاف مقادیر فشار مطلق و فشار هوا $$P_g =P-P_0$$ است.
• فرمول فشار مطلق: در مرجع خلاء کامل، فشار مطلق مجموع مقادیر فشار هوا و فشار پیمانه‌ای $$P =P_g+P_0$$ است.
• فرمول فشار گازهای کامل: فشار گاز کاملی با حجم V و دمای T که دارای n ذره است از رابطه $$P=\frac{nRT}{V}$$ محاسبه می‌شود.

در بخش‌های بعد هر کدام از این فرمول‌ها را کاملا توضیح می‌دهیم. پس اولین قدم برای محاسبه درست فشار این است که تشخیص دهیم در کدام موقعیت و شرایط قرار داریم و فرمول مناسب چیست. انواع مختلف فشار عبارت‌اند از فشار پیمانه‌ای یا فشار گیج (P_g)، فشار مطلق یا فشار کل (P)، فشار دیفرانسیلی و فشار هوا یا فشار اتمسفریک (P_۰). همچنین فشار می‌تواند از سمت مایع، جامد یا گاز وارد شود، برای مثال فشار در جامدات، فشار در مایعات (فشار در شاره‌ها) و فشار ناشی گازها. در ادامه خواهیم دید که در محیط‌های مختلف ممکن است فشار به عوامل مختلفی مثل چگالی، دما یا عمق بستگی داشته باشد و در نتیجه فرمول متفاوتی برای آن داشته باشیم.

فشار به چه عواملی بستگی دارد؟

در بخش قبل آموختیم که اصلی‌ترین فرمول فشار چیست. طبق فرمول $$P =\frac{F}{A}$$، فشار به دو کمیت نیرو و مساحت وابسته است. پیش از اینکه به ادامه این مبحث بپردازیم، اگر می‌خواهید فشار را با جزئیات بیشتری آموزش ببینید، پیشنهاد می‌کنیم از فیلم آموزشی فیزیک پایه دهم فرادرس استفاده کنید که لینک آن در ادامه برای شما قرار داده شده است:

فرض کنید در حال برش یک میوه به وسیله چاقو هستید. اگر بخواهید حدس بزنید که آیا با این چاقو می‌توانید میوه را برش دهید یا نه، دانستن مقدار نیروی اعمال شده به چاقو به تنهایی کافی نیست. عامل دیگری به نام مساحتی که نیرو به آن وارد می‌شود، نیز مهم است. به عبارت دیگر، این فشار وارد بر چاقو است که نحوه توزیع این نیرو روی یک سطح را مشخص می‌کند. اثر تغییرات مساحت یا نیرو روی فشار به‌صورت زیر است (در روابط پایین، منظورمان از ↑ افزایش و ↓ به‌ معنای کاهش کمیت است):

• اگر مساحت A ثابت باشد، با افزایش یا کاهش F فشار ایجاد شده به‌ترتیب افزایش یا کاهش می‌یابد:

$$P \propto F$$

$$F \uparrow \ \Rightarrow \ P \uparrow$$

یا

$$A \downarrow \ \Rightarrow \ P \downarrow$$

• اگر نیروی F ثابت باشد، با افزایش یا کاهش A فشار ایجاد شده به‌ترتیب کاهش یا افزایش می‌یابد:

$$P \propto\frac{1}{A}$$

$$A \uparrow \ \Rightarrow \ P \downarrow$$

یا

$$A \downarrow \ \Rightarrow \ P \uparrow$$

مساحت اندازه‌ای از فضا است که یک سطح صاف دارای طول و عرض و بدون عمق، اشغال می‌کند. با اینکه واحد SI برای مساحت متر مربع یا m^۲ است، اما ممکن است بر حسب cm^۲ یا mm^۲ یا in^۲ هم بیان شود. در شکل بالا نیروی مساوی ‎۱۰ N روی دو سطح با ابعاد و مساحت‌های مختلف توزیع شده است. با توجه به اینکه شکل سمت راست، مساحت بزرگتری دارد، پس فشار وارد شده از سمت نیرو روی این سطح کمتر است. اما برای مساحت کوچکتر سمت چپ، فشار بیشتر است.

پس اگر بخواهیم فشار بیشتری ایجاد کنیم دو راه داریم:

1. با ثابت نگه داشتن مساحت، نیروی وارد بر آن را افزایش دهیم.
2. با ثابت نگه داشتن نیرو، مساحتی که این نیرو به آن وارد می‌شود را کم کنیم.

طبق شکل زیر، فرمول فشار رابطه‌ای است که بین سه کمیت فشار، نیرو و مساحت ارتباط برقرار می‌کند، به این معنا که با داشتن هر دو کمیت معلوم، می‌توانیم کمیت سوم مجهول را محاسبه کنیم. اگر نیرو و مساحت سطحی که نیروی وارد شده روی آن توزیع شده است، مشخص باشند، فشار از تقسیم نیرو بر مساحت یعنی رابطه $$P =\frac{F}{A}$$ به‌دست می‌آید. گاهی ممکن است مقدار فشار مشخص باشد و یکی از دو کمیت نیرو یا مساحت نامعلوم باشد. در این صورت به‌ترتیب یکی از دو رابطه $$F=PA$$ یا $$A =\frac{F}{P}$$ را باید بکار ببریم.

واحد فشار چیست؟

پس از توضیح مفهوم فشار و عواملی که تعیین‌کننده فشار وارد بر یک ماده است، کاملا متوجه شدیم که فرمول فشار چیست. در این قسمت با استفاده از فرمول اصلی فشار، می‌خواهیم ببینیم واحد فشار در سیستم‌ بین‌المللی یکاها یا SI چه خواهد شد. اگر طبق فرمول فشار، نیرو را بر حسب واحد استاندارد آن یعنی نیوتن (N) و سطح مقطع یا مساحت A را نیز بر حسب متر مربع (m^۲) بنویسیم، در این صورت فشار طبق فرمول بر حسب نیوتن بر متر مربع به‌دست خواهد آمد:

$$P =\frac{F}{A}\Rightarrow\frac{N}{m^2}$$

نیوتن بر متر مربع را پاسکال می‌نامند و با Pa نشان داده می‌شود. پس فشار یک پاسکال برابر است با نیرویی به اندازه یک نیوتن که به مساحتی به اندازه یک متر مربع وارد شده است:

$$1Pa=1\frac{N}{m^2}$$

فشار از جمله کمیت‌هایی است که ممکن است بر حسب واحدهای مختلفی بیان شود، برای مثال اتمسفر (atm)، میلی‌متر جیوه (mmHg)، بار (bar)، تور (torr) و پوند بر اینچ مربع (psi). رابطه‌ مهمی که بین واحدهای مختلف فشار وجود دارد، به شکل زیر است:

$$1 \ atm \approx10^5 \ Pa=760 \ mmHg =760 \ torr=14.7 \ psi \approx 1 \ bar$$

یادگیری فشار با فرادرس برای دانش‌آموزان

پیش از اینکه به ادامه مبحث بپردازیم و ببینیم نحوه کاربرد فرمول فشار چیست، در این قسمت پیشنهاد می‌کنیم چنانچه دانش‌آموز هستید، جهت تقویت یادگیری مبحث فشار، این فیلم‌های آموزشی تهیه شده در مجموعه فرادرس را مشاهده کنید:

1. مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور درس، تمرین، حل مثال و تست فرادرس
2. مجموعه آموزش دروس پایه دهم درس، تمرین، حل مثال و تست فرادرس
3. فیلم آموزش علوم تجربی نهم - بخش فیزیک فرادرس
4. فیلم آموزش فیزیک دهم فرادرس
5. فیلم آموزش رایگان آموزش ویژگی های فیزیکی مواد در فیزیک پایه دهم مرور و حل تمرین فرادرس
6. فیلم آموزش فیزیک دهم – مرور و حل تمرین فرادرس

حل مثال و تمرین - فرمول فشار

در بخش قبل کاملا توضیح دادیم که فرمول فشار چیست. در این بخش می‌خواهیم نحوه استفاده از این فرمول را در حل مسائل مختلف بررسی کنیم. برای این منظور، ابتدا فرمول فشار را بنویسید. سپس تمام داشته‌های مسئله را مشخص کنید و ببینید مجهول کدام یک از سه کمیت فشار، نیرو و مساحت است. در انتها با قرار دادن مقادیر معلوم در فرمول فشار، مجهول را محاسبه کنید.

در عددگذاری باید دقت کنید واحدهای استاندارد در فرمول قرار داده شوند، مگر اینکه خود سوال مشخص کرده باشد کمیت را بر حسب کدام واحد دیگر محاسبه کنید. در این قسمت پس از حل چند مثال، با پاسخ‌دهی به تمرین‌هایی که در قالب سوالات چهار گزینه‌ای برای شما تنظیم شده است، می‌توانید یادگیری خود را در این بخش بیازمایید. همچنین در صورتی که دانش‌آموز پایه دهم هستید، در مطلب «فرمول های فیزیک دهم در یک نگاه» از مجله فرادرس، مجموعه‌ای از تمام فرمول‌های کتاب درسی فیزیک پایه دهم برای شما تهیه شده است که می‌توانید در صورت نیاز از آن استفاده کنید.

مثال ۱

اگر نیرویی ‎۶۰۰ N به مساحت ‎۲۰ m^۲ وارد شود، فشار ناشی از این نیرو را محاسبه کنید:

پاسخ

گفتیم ابتدا فرمول فشار را می‌نویسیم. سپس با نگاه کردن به فرمول و اعدادی که در صورت سوال داده شده است، مشخص می‌کنیم که کدام کمیت‌ها را داریم و مجهول چیست. در این سوال مقدار نیروی F و مساحت A کاملا مشخص است. پس با عددگذاری در فرمول فشار، P محاسبه می‌شود:

$$P =\frac{F}{A}$$

$$\Rightarrow P =\frac{600}{20}=30 \ Pa$$

مثال ۲

اگر به سطحی با مساحت ‎۶ m^۲ فشار ‎۴۰ Pa وارد شود، نیرویی که چنین فشاری ایجاد کرده است، چقدر است؟

پاسخ

با نوشتن فرمول فشار و مشخص کردن داده‌های سوال که A و P هستند، مشخص است که نیروی F در این سوال باید حساب شود. پس می‌توانیم F را در فرمول اصلی به یک طرف تساوی ببریم و معلوم‌های مسئله، یعنی A و P را در طرف دیگر تساوی قرار دهیم:

$$P =\frac{F}{A}$$

$$\Rightarrow F=PA$$

$$\Rightarrow F=40\times6=240 \ N$$

مثال ۳

فرض کنید کتابی را به شکل زیر روی یک شلف در نظر داریم. اگر نیروی عمودی ‎۳۰ N به سمت پایین به این کتاب وارد شود، فشار وارد شده به شلف از سمت کتاب را محاسبه کنید:

پاسخ

نیرویی که به کتاب وارد می‌شود، عمود بر سطح بالایی آن و به سمت پایین (به سمت شلف) است. پس فشار ناشی از این نیرو به شلف وارد می‌شود. همچنین این نیرو روی سطحی با ابعاد ‎۲۵ cm در ‎۱۰ cm توزیع می‌شود. بنابراین برای محاسبه فشار کافی است ابتدا مساحت A را به دست آوریم. این سطح در واقع یک متوازی الاضلاع است که مساحت آن از ضرب کردن دو ضلع به‌دست می‌آید:

$$A =25 \times10=250 \ cm^2$$

حالا باید برای مساحت تبدیل واحد انجام دهیم:

$$1 \ cm = 10^{-2} \ m \Rightarrow 1 \ cm^2 = 10^{-4} \ m^2$$

$$\Rightarrow \frac{10^{-4} \ m^2}{1 \ cm^2}=1$$

$$250 \ cm^2= 250\ cm^2 \times \frac{10^{-4} \ m^2}{1 \ cm^2} =0.025 \ m^2$$

با قرار دادن مقادیر معلوم در فرمول فشار، برای فشار وارد بر شلف از طرف این کتاب خواهیم داشت:

$$P =\frac{F}{A}$$

$$\Rightarrow P =\frac{30}{0.025}=1200 \ Pa$$

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، با اعمال نیروی ۳۰ نیوتنی فشار زیادی ایجاد شده است. علت این است که این نیرو روی سطح خیلی کوچکی (‎۰٫۰۲۵ cm^۲) توزیع شده است. همان‌طور که گفتیم، فشار و مساحت رابطه معکوس دارند. چون در اینجا A خیلی کوچک است، فشار P عدد بزرگی شده است (‎۱۲۰۰ Pa).

مثال ۴

اگر جسمی با جرم ‎۲٫۴ kg با سطح زمین برخورد کند و سطح تماس آن با زمین ‎۱۴٫۹ m^۲ باشد، با توجه به اینکه مقدار شتاب جاذبه زمین ‎۹٫۸ m/s^۲ است، فشاری که توسط این جسم به زمین وارد می‌شود، چند پاسکال است؟

پاسخ

در این سوال مساحت A مشخص است، در حالی که نیرو و فشار هر دو نامعلوم هستند. اما طبق اطلاعاتی که در مسئله وجود دارد، می‌توانیم نیرو را محاسبه کنیم. نیرویی که باعث می‌شود جسم به سمت زمین جذب شود و با آن برخورد کند، نیروی گرانش زمین یا نیروی وزن جسم است. فرمول نیروی وزن به شکل زیر است:

$$F=W=mg$$

$$\Rightarrow F=W=2.4\times9.8=23.52 \ N$$

حالا با قرار دادن F و A در فرمول فشار، P به‌دست خواهد آمد:

$$P =\frac{F}{A}$$

$$\Rightarrow P =\frac{23.52}{14.9}=1.57 \ Pa$$

مثال ۵

در شکل زیر فشار ناشی از سطح تیز روی سطح افقی بیشتر است. علت را توضیح دهید:

پاسخ

همان‌طور که توضیح دادیم، رابطه فشار با مساحتی که نیرو روی آن توزیع می‌شود، معکوس است. پس اگر نیرو روی سطح کوچکی مانند یک سطح نوک‌تیز توزیع شود، فشار خیلی بیشتری ایجاد می‌شود. در حالی که همان نیرو اگر روی سطح بزرگ‌تری مانند یک سطح گرد توزیع شود، فشار کمتری ایجاد خواهد کرد. در شکل بالا نیروی F وارد بر هر دو جسم برابر است، اما برای سطح نوک‌تیز و خاکستری رنگ، این نیرو روی سطح خیلی کوچکی توزیع شده است. پس فشار وارد بر این جسم از فشاری که به جسم زرد وارد می‌شود، بیشتر است.

تمرین ۱

تمرین ۲

تمرین ۳

فرمول فشار در شاره‌ها

در بخش‌ قبل یاد گرفتیم که اساسی‌ترین فرمول فشار چیست. در این بخش می‌خواهیم از این فرمول استفاده کنیم تا فرمول فشار در شاره‌ها یا به‌طور دقیق‌تر، فرمول فشار در مایعات را به‌دست آوریم. علت اینکه فرمول بخش قبل را فرمول اساسی فشار در نظر گرفتیم این است که در این بخش با شروع از $$P =\frac{F}{A}$$، فرمولی برای فشار در مایعات پیدا می‌کنیم. 

شاره‌ها یا سیالات شامل دو حالت از سه حالت ماده می‌شوند، مایعات و گازها. برای برخی گازها مانند هوا از فرمول فشار در شاره‌ها می‌توانیم استفاده کنیم، اما در مورد برخی گازها مانند گازهای کامل، فشار به عوامل دیگری مانند دما هم بستگی دارد. در مورد مایعات باید ابتدا ببینیم منظورمان از فشار مایع چیست. یک مثال آشنا برای بیان فشار در مایعات هنگام شنا کردن است که فشار آب را روی بدن خود احساس می‌کنید. اگر دقت کرده باشید، هر چه در عمق بیشتری از آب قرار داشته باشید، این فشار بیشتر است، چون تعداد مولکول‌های آب بیشتری بالاتر از بدن شما قرار می‌گیرند. در نتیجه وزن ناشی از این مولکول‌ها بیشتر می‌شود.

این وزن معادل نیروی F در فرمول فشار است. پس با افزایش F و ثابت ماندن مساحت بدن یا A، فشار P افزایش خواهد یافت. تا اینجا می‌توانیم نتیجه‌گیری کنیم که اگر جسمی در ارتفاع h از سطح یک مایع و داخل آن قرار بگیرد، فشار وارد بر جسم (P) با عمق آن (h) رابطه مستقیم دارد، یعنی هر چه h بیشتر باشد، P هم بیشتر است:

$$h \uparrow \ \Rightarrow \ P \uparrow$$

$$h \downarrow \ \Rightarrow \ P \downarrow$$

فاکتور دیگری که روی فشار ناشی از یک مایع مهم است، چگالی آن است. هر چه مایع چگال‌تر باشد، یعنی چگالی بیشتری داشته باشد، فشار بیشتری ایجاد می‌کند. برای مثال با توجه به مقادیر متفاوت برای چگالی آب و روغن، در شکل زیر آب با فشار بیشتری خارج می‌شود. در واقع فشار ناشی از عمق یکسانی از آب و روغن با هم برابر نیست و فشار آب بیشتر است. علت این است که چگالی آب بیشتر است.

علت بیشتر شدن فشار با چگالی هم به افزایش نیروی وزن مایع برمی‌گردد. پس تقریبا حدس زدیم که فشار در مایعات به چه عواملی وابسته است. حالا می‌رویم به سراغ محاسبه دقیق فرمول فشار در مایعات، تا ببینیم حدس‌هایی که زدیم تا چه اندازه درست هستند.

فرض کنید طبق شکل زیر مایعی با چگالی ρ و عمق h در داخل ظرفی با مساحت کف A قرار دارد. می‌خواهیم ببینیم فشاری که این مایع به کف ظرف وارد می‌کند، چقدر است و با چه فرمولی محاسبه می‌شود. دقت کنید چون این مایع در حالت سکون است، یعنی سرعت آن صفر است، پس در واقع می‌خواهیم فشار استاتیک آن را بررسی کنیم. اگر v≠۰، در این صورت با در نظر گرفتن سرعت شاره، وارد مباحثی مانند اصل برنولی و فشار دینامیکی می‌شویم که در بخش‌های بعدی به آن‌ها خواهیم پرداخت.

با شروع از فرمول اصلی فشار، اولین قدم این است که به‌جای نیرو در این فرمول از نیروی وزن ستون مایع استفاده کنیم، چون همان‌طور که گفتیم فشار در مایعات برابر است با فشار ناشی از نیروی وزن ستونی از مایع با ارتفاع یا عمق h.

$$P =\frac{F}{A}$$

نیروی وزن جسمی به جرم m به شکل زیر محاسبه می‌شود که در آن جرم m بر حسب کیلوگرم (kg) و g شتاب جاذبه زمین بر حسب متر بر مجذور ثانیه (m/s^۲) است:

$$F=W=mg$$

نکته: اینجا ممکن است به این نتیجه برسیم که هر چه مایع سنگین‌تر و در نتیجه وزن آن بیشتر باشد، احتمالا فشار بیشتری هم ایجاد خواهد کرد. اما اجازه دهید ابتدا فرمول را به‌طور کامل محاسبه کنیم. سپس ببینیم آیا این نتیجه‌گیری درست است یا خیر.

می‌توانیم جرم را بر حسب چگالی بنویسیم. با توجه به تعریف چگالی به‌صورت جرم واحد حجم ماده، خواهیم داشت:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

$$\Rightarrow m=\rho V$$

حجم مایعی که در این شکل مشاهده می‌کنید، با حجم ظرفی که مایع در آن قرار دارد برابر است. ظرف به شکل مکعب مستطیل است و حجم آن برابر است با مساحت قاعده ضرب در ارتفاع یا:

$$V=Ah$$

 با قرار دادن W به‌جای نیروی F در فرمول فشار و سپس جایگزینی m بر حسب چگالی و حجم و در ادامه نوشتن فرمول حجم به‌جای V خواهیم داشت:

$$\Rightarrow P =\frac{mg}{A}=\frac{\rho Vg}{A}=\frac{\rho Ahg}{A}=\rho hg$$

$$P =\rho hg$$

بنابراین فشار مایع به کف ظرف، فشاری است که از نیروی وزن ستون مایع روی کف ظرف حاصل می‌شود. در رابطه بالا برای اینکه فشار بر حسب پاسکال (Pa) به‌دست آید، لازم است چگالی بر حسب کیلوگرم بر متر مکعب (kg/m^۳)، شتاب جاذبه g بر حسب متر بر مجذور ثانیه (m/s^۲) و عمق h بر حسب متر (m) نوشته شود. همان‌طور که در ابتدای بخش پیش‌بینی کرده بودیم، فشار مایعات فقط و فقط به عمق، چگالی مایع و مقدار شتاب جاذبه زمین بستگی دارد.

از رابطه بالا می‌توانیم نتیجه‌گیری کنیم که فشار مایعات روی تمام نقاطی که با عمق یکسان در داخل یک نوع مایع قرار دارند، برابر است. این اصل در حل تمرین‌های فشار بسیار پرکاربرد است. نکته مهم دیگر این است که این فرمول با P_g به معنای فشار پیمانه‌ای یا فشار گیج برابر است، یعنی داریم $$P_g =\rho hg$$. علت این برابری این است که در بررسی فشار وارد بر کف ظرف، فقط فشار ناشی از نیروی وزن ستون مایع را در نظر گرفتیم.

در حالی که اگر دقت کنید سطح مایع باز است و در معرض فشار هوا قرار دارد. اگر بخواهیم اثر فشار هوا را هم در نظر بگیریم، در این صورت باید فشار مطلق یا فشار کل را محاسبه کنیم که در بخش‌های بعدی به آن خواهیم پرداخت. برای این مایع با سطح باز، فشار مایع فشاری است که نسبت به فشار اتمسفر اندازه‌گیری می‌شود و معادل با فشار پیمانه‌ای است.

فرمول فشار هوا چیست؟

در بخش‌ گذشته توضیح دادیم در محیطی مثل یک مایع، فرمول فشار چیست و چگونه به‌دست می‌آید. برای اینکه بدانیم فشار کل وارد بر جسمی داخل یک مایع چقدر است، لازم است علاوه بر فشار پیمانه‌ای ناشی از وزن ستون مایعی که روی آن قرار دارد، از مقدار فشار هوای وارد بر سطح آزاد مایع نیز آگاه باشیم. البته این در صورتی است که سطح مایع باز و در معرض هوا قرار داشته باشد. در این بخش می‌خواهیم ببینیم فشار هوا چقدر است و چگونه محاسبه می‌شود.

فشار هوا یا فشار اتمسفریک یا فشار جو که با P₀ نشان داده می‌شود، فشاری است که توسط اتمسفر یا جو زمین به سطح زمین اعمال می‌شود. بسته به اینکه در کجای جهان باشیم، فشار جو ممکن است مقدار متفاوتی داشته باشد. برای نمونه وقتی که در ارتفاع بالایی مثل قله یک کوه هستیم، فشار هوا نسبت به زمانی که در سطح دریا هستیم، کمتر است. علت این مسئله این است که در ارتفاعات بالاتر، هوای کمتری وجود دارد. در نتیجه وزن ناشی از این مقدار هوا کمتر است و فشار کم می‌شود. احساس گوش درد در ارتفاعات بالا به دلیل تغییرات زیاد فشار هوا است.

بنابراین اگر بخواهیم فشار هوا را به‌طور دقیق محاسبه کنیم و فرمولی برای آن در نظر بگیریم، فرمول فشار در شاره‌ها را بکار می‌بریم. فشار هوا برابر است با وزن هوایی که روی سطح مشخصی قرار می‌گیرد. معمولا در مسائلی که برای فشار مطرح می‌شود، فشار هوا در سطح دریا مد نظر است. مقدار فشار هوا در سطح دریا یا در شرایط استاندارد برابر با مقدار ثابت ‎۱۰^۵ Pa است. البته واحد مرسوم برای بیان فشار هوا، واحد اتمسفر است که طبق آن P₀ = ۱ atm. اگر بخواهید فشار هوا را بر حسب واحدهای دیگر بیان کنید، می‌توانید از رابطه زیر استفاده کنید:

$$1 \ atm \approx10^5 \ Pa=760 \ mmHg =760 \ torr=14.7 \ psi \approx 1 \ bar$$

فرمول فشار در بالابر هیدرولیکی

در آخرین بخش از این قسمت، می‌خواهیم ببینیم در سیستم‌های هیدرولیکی وضعیت فرمول فشار چیست. در سیستم‌های هیدرولیکی از یک مایع جهت تولید نیروی مکانیکی و انجام کار استفاده می‌شود. قانونی که نحوه عملکرد این دستگاه‌ها را توضیح می‌د‌هد، اصل پاسکال است. طبق اصل پاسکال، فشار وارد شده به یک نقطه از مایع بدون کاهش به تمام نقاط آن منتقل می‌شود.

یک سیستم هیدورلیکی متشکل از دو پیستون با مساحت A و B را در نظر بگیرید، طوری که B > A. این دو پیستون طبق شکل بالا توسط مایع آبی رنگی با هم در ارتباط هستند. اگر نیروی F_A به پیستون A وارد شود، فشار ناشی از این نیرو طبق فرمول اصلی فشار برابر است با:

$$P =\frac{F_A}{A}$$

این فشار طبق اصل پاسکال و بدون کاهش، به تمام نقاط محفظه منتقل می‌شود. یکی از این نقاط پیستون B است. پس فشار وارد بر پیستون B برابر است با P. این فشار به سمت بالا به B وارد می‌شود و در نتیجه نیرویی بالابرنده یا نیروی هیدرولیک تولید شده توسط این فشار برابر است با:

$$P =\frac{F_B}{B}$$

$$\Rightarrow F_B =PB$$

به این ترتیب با نوشتن فرمول فشار و استفاده از اصل پاسکال برای مایعات، توانستیم مقدار نیروی بالابر را حساب کنیم. با توجه به ثابت بودن فشار و اینکه B > A، انتظار داریم F_B > F_A. بیشتر شدن نیروی بالابر یا F_B به این معنا است که با بیشتر کردن مساحت پیستون B می‌توانیم نیروی بالابر چند برابر نسبت به نیرویی که وارد کرده‌ایم (F_A)، دریافت کنیم. این سیستم در جک‌های هیدورلیکی و جهت بالا بردن اتومبیل با وارد کردن نیروی خیلی کمتری نسبت به وزن اتومبیل، کاربرد دارد.

حل مثال و تمرین از فرمول فشار در شاره‌ها

در بخش قبل متوجه شدیم که برای جسمی که داخل یک شاره قرار می‌گیرد، فرمول فشار چیست. در واقع فشار در شاره‌ها هم به جسمی که داخل آن قرار گرفته است وارد می‌شود و هم به دیواره‌ها و کف ظرفی که شاره در آن قرار دارد. علت این مسئله این است که فشار در شاره‌ها در تمام جهات وارد می‌شود. در ادامه این بخش می‌خواهیم با حل چند مثال و تمرین ببینیم کاربرد این فرمول به چه صورت است.

مثال ۱

فشاری که آبی با عمق ‎۵۰ m به دیواره‌های ظرف وارد می‌کند چقدر است، اگر چگالی آب را ‎۱۰۰۰ kg/m^۳ و شتاب جاذبه زمین را ‎۹٫۸ m/s^۲ در نظر بگیریم:

پاسخ

همان‌طور که گفتیم برای محاسبه فشار ناشی از یک شاره مانند آب به دیواره‌های ظرفی که داخل آن است، از فرمول شتاب در شاره‌ها استفاده می‌کنیم:

$$P =\rho hg$$

$$\Rightarrow P=1000\times9.8\times50 =490000 \ Pa$$

مثال ۲

اگر فشار اتمسفر محیط ‎۱۲٫۵ kPa باشد، چگالی هوا را در ارتفاع ‎۵ km محاسبه کنید (شتاب جاذبه زمین را ‎۹٫۸ m/s^۲ در نظر بگیرید):

پاسخ

گفتیم فشار هوا در سطح دریا مقدار ثابتی است، اما مقدار آن در ارتفاعات بالا متفاوت است و بر اساس فرمول فشار در شاره‌ها محاسبه می‌شود. پس با نوشتن فرمول فشار در شار‌ه‌ها داریم:

$$P =\rho hg$$

در این سوال مقدار فشار مشخص است اما چگالی نه. پس با بردن چگالی به یک طرف تساوی و قرار دادن سایر کمیت‌ها در طرف دیگر تساوی، خواهیم داشت:

$$\Rightarrow \rho =\frac{P}{gh}$$

پیش از عددگذاری با توجه به اینکه هم واحد فشار و هم واحد h بر حسب کیلو داده شده‌ است، می‌توانیم تبدیل واحد برای هر دو انجام دهیم. اما چون واحد هر دو کمیت دارای یک پیشوند مشترک است و در صورت و مخرج قرار می‌گیرند، پس ساده می‌شوند و نیازی به تبدیل واحد نیست:

$$\Rightarrow \rho =\frac{12.5}{5\times9.8}=0.25 \ \frac{kg}{m^3}$$

مثال ۳

یک جک هیدرولیکی را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید که برای بلند کردن ماشینی با جرم ‎۵۰۰ kg استفاده می‌شود. این جک شامل دو پیستون با مساحت‌های A_۱=۰٫۰۱ m^۲ و A_۲=۰٫۵ m^۲ است. اگر در ابتدای کار ماشین روی A_۲ قرار بگیرد، مقدار نیروی اعمال شده به سطح اول چقدر باشد تا ماشین از روی سطح دوم بلند شود (شتاب جاذبه زمین را ‎۹٫۸ m/s^۲ در نظر بگیرید)؟

پاسخ

برای اینکه بتوانیم ماشین را از روی پیستون دوم بلند کنیم، نیرویی برابر با وزن ماشین باید به آن وارد شود:

$$F_2=W=mg=500\times9.8=4900 \ N$$

حالا باید فشاری که این نیرو ایجاد می‌کند را پیدا کنیم. طبق فرمول فشار، این نیرو به سطح A_۲ وارد می‌شود و فشار حاصل از آن برابر است با:

$$P =\frac{F_2}{A_2}$$

$$\Rightarrow P =\frac{4900}{0.5}=9800 \ Pa$$

طبق اصل پاسکال، این فشار بدون کاهش از طریق مایع به پیستون اول با مساحت ‌A۱ می‌رسد. برای اینکه ببینیم این فشار چه نیرویی تولید می‌کند، فرمول فشار را می‌نویسیم:

$$P =\frac{F_1}{A_1}$$

$$\Rightarrow F_1 =PA_1=9800 \times0.01=9.8 \ N$$

بنابراین نیروی لازم برای بالابردن ماشینی با وزن ‎۴۹۰۰ N برابر شد با ‎۹٫۸ N.

مثال ۴

برای اندازه‌گیری فشار هوا از وسیله‌ای به نام بارومتر استفاده می‌شود که به‌ شکل زیر است و اولین بار توسط توریچلی آزمایش شد. در قسمت بالای لوله استوانه‌ای شکل خلاء کامل داریم، به این معنا که در این بخش فشار صفر است. معمولا مایع جیوه برای سنجش فشار در بارومتر بکار می‌رود که چگالی آن برابر است با ‎۱۳۶۰۰ kg/m^۳. روش کار با بارومتر به این صورت است که با معکوس کردن لوله داخل تشت پر از جیوه، جیوه در لوله بالا می‌رود. پس از اینکه سطح جیوه در لوله به تعادل رسید، ارتفاع ستون جیوه را از سطح جیوه داخل تشت اندازه‌گیری می‌کنیم. این ارتفاع یا h برابر است با ‎۷۶ cm. اگر ندانیم فشار هوا در سطح دریا چقدر است، به کمک این وسیله فشار هوا چند پاسکال اندازه‌گیری می‌شود (g=۹٫۸ m/s^۲)؟

پاسخ

برای محاسبه فشار هوا کافی است دو نقطه هم عمق در نظر بگیریم. یک نقطه در سطح جیوه داخل تشت که در معرض فشار هوا قرار دارد و A نامیده می‌شود. نقطه دیگر را در ابتدای ستون جیوه داخل لوله و کاملا هم‌سطح با A انتخاب می‌کنیم و آن را B می‌نامیم. طبق آنچه که گفتیم فشار در این دو نقطه برابر است:

$$P_A =P_B$$

$$P_A =P_0$$

فشاری که به نقطه B وارد می شود، معادل است با مجموع فشار ناشی از وزن ستون جیوه بالای این نقطه و فشاری که در انتهای بسته لوله وجود دارد. چون در انتهای لوله خلاء کامل داریم، فشار در این بخش صفر است. پس کافی است فشار ستون جیوه را محاسبه کنیم:

$$P_B=\rho gh=13600\times9.8\times0.76=1012928 \ Pa$$

از رابطه برابری فشار خواهیم داشت:

$$P_0=1012928 \ Pa \approx 10^5 \ Pa$$

تمرین