اصل برنولی چیست؟ — کاربردها + مثال
در بازی گلف به هنگام پرتاب توپ متوجه خواهید شد که توپ از مسیر سهمیشکل خود منحرف میشود. سوالی که مطرح میشود آن است که چرا توپ از مسیر اصلی خود منحرف میشود. با فرا گرفتن اصل برنولی میتوان به این پرسش پاسخ داد. این اصل یکی از سادهترین و در عین حال مهمترین اصلها در علم فیزیک و مهندسی است. با کمک این اصل میتوانیم جریان شارهها را به خوبی درک کنیم و رابطه بین فشار، سرعت و ارتفاع شاره در حال حرکت را به دست آوریم. در این مطلب به زبان ساده اصل برنولی و کاربردهای آن را در زندگی روزمره فرا میگیریم.
اصل برنولی چیست ؟
اصل برنولی یا اثر برنولی یکی از مهمترین نتیجهها در مطالعه دینامیک شارهها است. در این اصل، به رابطه بین سرعت حرکت شاره با فشار آن پرداخته میشود. در نگاه اول ممکن است اصل برنولی اهمیت چندانی نداشته باشد ولی به کمک آن میتوانیم دلیل بسیاری از پدیدهها را توضیح دهیم. دینامیک شارهها، مطالعه شاره در حال حرکت است. بنابراین، اصل برنولی و معادلات حاکم بر آن به تناوب در این زمینه مورد استفاده قرار خواهند گرفت.
اثر برنولی توسط فیزیکدان و ریاضیدان سوییسی به نام «دنیل برنولی» (Daniel Bernouli) توسعه داده شد. این اصل با استفاده از پایستگی انرژی، رابطه بین فشارِ شاره را با سرعت و ارتفاع آن بیان میکند. در واقع، بر طبق این اصل اگر سرعت شارهای افزایش یابد، آنگاه فشار شاره یا انرژی پتانسیل آن کاهش مییابند.
با کمک اصل برنولی میتوان دلیل حرکت شارهها را بیان کرد. شاره به دلیل اختلاف ارتفاع (تغییر انرژی پتانسیل) یا اختلاف فشار در قسمتهای مختلف سیستم حرکت میکند. در نتیجه، شارهها از ناحیهای با انرژی و فشار بیشتر به ناحیهای با فشار کمتر حرکت میکنند.
نکته: بر طبق این اصل، شارهای که سریعتر حرکت میکند فشار کمتری خواهد داشت.
بیان اصل برنولی
بیان ساده اصل برنولی به صورت زیر خواهد بود:
شاره در حال حرکت با سرعت بیشتر، فشار کمتری نسبت به شاره در حال حرکت با سرعت کمتر دارد.
بنابراین در لوله آب افقی با قطر متغیر، ناحیهای که در آن آب با سرعت بیشتری حرکت میکند دارای فشار کمتری خواهد بود. از آنجایی که این دیدگاه وجود دارد که در سرعتهای بالا فشار نیز بالا خواهد بود، بنابراین بیان اصل برنولی برای افرادِ بسیاری قابل درک نیست. در ادامه نشان خواهیم داد این دیدگاه راه دیگری برای بیان این موضوع است: جریان آب هنگامی سرعت میگیرد که فشار بیشتری در پشت آن قرار داشته باشد.
قبل از توضیح بیشتر در مورد این اصل، این سوال مطرح میشود که چرا جریان شاره در لوله افقی در نظر گرفته شد. به دلیل نادیده گرفتن تغییراتِ نیروی گرانشی، لوله به صورت افقی در نظر گرفته میشود. در صورت جریان شاره در لوله عمودی، تغییرات نیروی گرانشی نیز باید در نظر گرفته شود.
نرخ جریان حجمی و معادله پیوستگی
قبل از اثبات معادله برنولی، در ادامه کمی در مورد معادله پیوستگی و مفهوم آن صحبت خواهیم کرد.
مطابق تصویر نشان داده شده در ادامه مطلب، لوله ای را با سطح مقطع متغیر در نظر بگیرید. محل ورودی شاره به لوله دارای سطح مقطع و محل خروج شاره از لوله دارای سطح مقطع است. همچنین فرض کنید شاره با سرعت به لوله وارد میشود.
سوالی که مطرح میشود آن است که پس از گذشت زمان T چه حجمی از شاره در لوله جابجا خواهد شد. با توجه به معادلههای حرکت نیوتن داریم:
در نتیجه پس از گذشت زمان T، شاره به اندازه داخل لوله جابجا میشود (حجم سبز).
حجم استوانه سبز به صورت زیر به دست خواهد آمد:
از آنجایی که فرض میکنیم شاره داخل لوله، تراکمناپذیر است در نتیجه حجم شاره ورودی به لوله با حجم خروجی از لوله برابر خواهد بود.
حجمی از شاره که از لوله خارج میشود به صورت زیر به دست میآید:
حجم شاره ورودی برابر با حجم شاره خروجی است:
به رابطه به دست آمده در بالا، معادله پیوستگی گفته می شود.
اکنون کمیت جدیدی به نام «شار» (Flux) را تعریف میکنیم:
شار: مقدار حجمی از شاره که در مدت زمان t از سطح مشخصی عبور میکند.
مثال معادله پیوستگی
در ادامه برای درک بهتر معادله پیوستگی، مثالی را در این زمینه حل میکنیم.
پرسش:
آشپزی به منظور کسب اطمینان از داشتن شیر نارگیل برای پخت کیک، لولهای استوانهای را از انبار به آشپزخانه نصب کرد. سر لوله با شعاع 4 سانتیمتر در انبار قرار دارد و شیر نارگیل با سرعت 0/25 متر بر ثانیه وارد آن میشود. اگر شیر نارگیل با سرعت 1 متر بر ثانیه از انتهای لوله (انتهای لوله در آشپزخانه قرار دارد) خارج شود، شعاع انتهای لوله را به دست آورید.
پاسخ:
معادله پیوستگی به صورت زیر نوشته میشود:
از آنجایی که سطح مقطع استوانه به صورت محاسبه میشود، بنابراین با قرار دادن آن در رابطه بالا داریم:
با حذف از دو طرف رابطه بالا داریم:
با قرار دادن دادههای پرسش در رابطه بالا خواهیم داشت:
مقدمهای بر معادله برنولی
شارههای تراکمناپذیر به هنگام رسیدن به بخش باریکتر، به منظور حفظ نرخ حجم عبوریِ، سریعتر حرکت خواهند کرد. به این دلیل، آبی که در شلنگ جریان دارد به هنگام عبور از نازل باریک متصل به سر شلنگ با سرعت بیشتری حرکت میکند. با افزایش سرعت جریان آب، انرژی جنبشی نیز افزایش خواهد یافت. در اینجا این سوال مطرح میشود که منشا افزایش انرژی جنبشی از کجاست، لوله یا نازل؟
جواب نهایی مثال اول و سوم اشتباه محاسبه شده است.
با سلام،
متن بررسی و اصلاح شد. پاسخ مثال اول صحیح بود، اما پاسخ نهایی مثال سوم تصحیح شد.
با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس