فرمول های انتگرال و انتگرال گیری در یک نگاه با مثال

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی در فرادرس

جدول فرمول های مهم انتگرال و انتگرال گیری

پیش از توضیح جزئی فرمول های انتگرال و حل مثال مرتبط با هر یک آن‌ها، مهم‌ترین فرمول های انتگرال گیری را با هم مرور می‌کنیم. این فرمول‌ها در جدول زیر آورده شده‌اند.

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

توجه داشته باشید که $$ C $$، یک ثابت عددی است که در نمایش جواب انتگرال نامعین مورد استفاده قرار می‌گیرد.

فرمول‌های ابتدایی انتگرال‌گیری
انتگرال یک	$$ \int ۱ d x = x + C $$
انتگرال عدد ثابت $$ k $$	$$ \int k d x = k x + C $$
انتگرال پارامتر متغیر $$ x $$	$$ \int x d x = \frac { x ^ ۲ } { ۲ } + C $$
انتگرال $$ x $$ به توان $$ n \ne - ۱ $$	$$ \int x ^ n d x = \frac { x ^ { n + ۱ } } { { n + ۱ } } + C $$
قوانین و روش‌های انتگرال‌گیری
انتگرال تابع $$ f ( x ) $$ با ضریب ثابت $$ k $$	$$ \int { k f ( x ) d x } = k \int { f ( x ) d x } $$
انتگرال مجموع دو تابع $$ f ( x ) $$ و $$ g ( x ) $$	$$ \int \left [f ( x ) + g ( x ) \right ] d x = \int f ( x ) d x + \int g ( x ) d x $$
انتگرال تفاضل دو تابع $$ f ( x ) $$ و $$ g ( x ) $$	$$ \int \left [f ( x ) - g ( x ) \right ] d x = \int f ( x ) d x - \int g ( x ) d x $$
انتگرال جز به جز	$$ \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x $$
انتگرال تجزیه کسر به کسرهای جزئی	$$ \int { \frac { f ( x ) } { ( x + a ) ( x + b ) } d x } = \int { \left ( \frac { A }{ x + a } + \frac { B }{ x + b } \right ) d x } $$
انتگرال به روش تغییر متغیر	$$ \int { f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x } = \int { f ( u ) d u} $$
فرمول‌های انتگرال توابع چندجمله‌ای و کسری گویا
انتگرال جمله عمومی تابع چندجمله‌ای	$$ \int a x ^ n d x = a \frac { x ^ { n + ۱ } }{ n + ۱} + C $$
انتگرال چندجمله‌ای به توان $$ n \ne - ۱ $$	$$ \int { \left ( a x + b \right ) ^ n d x } = \frac { ( a x + b ) ^ { n + ۱ } }{ a ( n + ۱ ) } + C $$
انتگرال کسری $$ x ^ { - ۱ } $$	$$ \int \frac { ۱ } { x } d x = ln \| x \| + C $$
انتگرال توابع کسری با صورت ثابت و مخرج خطی	$$ \int \frac { c } { a x + b } d x = \frac { c } { a } \ln \| a x + b \| + C $$
انتگرال توابع کسری گویا	استفاده از روش تجزیه کسر به کسرهای جزئی
فرمول‌های انتگرال توابع مثلثاتی
انتگرال سینوس	$$ \int \sin ( a x ) dx = - \frac { ۱ }{ a } \cos ( a x ) + C $$
انتگرال کسینوس	$$ \int \cos ( a x ) dx = \frac { ۱ }{ a } \sin ( a x ) + C $$
انتگرال تانژانت	$$ \int { \tan ( x ) dx } = -\frac { 1 } { a } \ln \left \| \cos ( a x ) \right \| + C $$
انتگرال کتانژانت	$$ \int { \cot ( x ) dx } = \frac { 1 } { a } \ln \left \| \sin ( a x ) \right \| + C $$
انتگرال معکوس سینوس	$$ \int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sin ^ { - ۱ } ( x ) + \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } + C $$
انتگرال معکوس کسینوس	$$ \int \cos ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \cos ^ { - ۱ } ( x ) - \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } + C $$
انتگرال معکوس تانژانت	$$ \int \tan ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \tan ^ { - ۱ } ( x ) - \frac { ۱ } { ۲ } \ln \left \| ۱ + x ^ ۲ \right \| + C $$
انتگرال معکوس کتانژانت	$$ \int \cot ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \cot ^ { - ۱ } ( x ) + \frac { ۱ } { ۲ } \ln \left \| ۱ + x ^ ۲ \right \| + C $$
فرمول‌های انتگرال توابع نمایی و لگاریتمی
انتگرال تابع نمایی $$ e ^ x $$	$$ \int e ^ x d x = e ^ x + C $$
انتگرال فرم عمومی تابع نمایی	$$ \int { e ^ { a x + b } d x } = \frac { ۱ } { a } e ^ { a x + b } + C $$
انتگرال ضرب تابع نمایی در $$ x $$	$$ \large \int x e ^ { a x } \, d x = \frac { e ^ { a x } }{a ^ { ۲ }}\left ( a x - ۱ \right ) + C $$
انتگرال لگاریتم طبیعی	$$ \int \ln ( x ) d u = x \ln ( x ) + C $$
انتگرال فرم عمومی لگاریتم طبیعی در $$ x $$	$$ \begin {align} & \int x \ln ( a x + b ) d x = \frac { b } { ۲ a } x - \frac { ۱ } { ۴ } x ^ ۲ + \frac { ۱ } { ۲ } \left ( x ^ ۲ - \frac { b ^ ۲ } { a ^ ۲ } \right ) \ln ( a x + b ) + C \end {align} $$
فرمول‌های انتگرال توابع کسری خاص
انتگرال با خروجی سینوس معکوس	$$ \int \frac { ۱ } { \sqrt { a ^ ۲ - x ^ ۲ } } d x = \sin ^ { - ۱ } \left ( \frac { x }{ a } \right ) + C $$
انتگرال با خروجی کسینوس معکوس	$$ \int - \frac { ۱ } { \sqrt { a ^ ۲ - x ^ ۲ } } d x = \cos ^ { - ۱ } \left ( \frac { x }{ a } \right ) + C $$
انتگرال با خروجی تانژانت معکوس	$$ \int \frac { ۱ } { x ^ ۲ + a ^ ۲} d x = \frac { ۱ } { a } \tan ^ { - ۱ } \left ( \frac { x }{ a } \right ) + C $$
انتگرال با خروجی سکانت معکوس	$$ \int - \frac { ۱ } { x \sqrt { x ^ ۲ - a ^ ۲ } } d x = \frac { ۱ } { a } \sec ^ { - ۱ } \left ( \frac { \| x \| }{ a } \right ) + C $$

در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، در مورد هر یک از فرمول‌های بالا صحبت می‌کنیم و به حل مثال در رابطه با آن‌ها می‌پردازیم.

یک استاد ایستاده پشت به تخته با علامت انتگرال - فرمول های انتگرال

فرمول های انتگرال چند جمله ای

انتگرال یک چندجمله‌ای، برابر با مجموع انتگرال‌های هر یک از عبارت‌های تشکیل‌دهنده آن است. فرم کلی توابع چند‌جمله‌ای به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
f ( x ) = a _ ۱ x ^ n + a _ ۲ x ^ { n - ۱ } + \ ... \ + a _ n x + a _ ۰
$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

جمله عمومی در این تابع عبارت است از:

$$ a x ^ n $$

انتگرال این جمله از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\int a x ^ n d x = a \frac { x ^ { n + ۱ } }{ n + ۱} + C
$$

دقت کنید که اگر به جای $$ x $$، یک چندجمله‌ای با توان $$ n $$ داشته باشیم نیز فرمول انتگرال بالا برای آن صادق خواهد بود:

$$
\int { \left ( a x + b \right ) ^ n d x } = \frac { ( a x + b ) ^ { n + ۱ } }{ a ( n + ۱ ) } + C
$$

با استفاده از فرمول‌های بالا می‌توانیم انتگرال هر یک از عبارت‌های چندجمله‌ای را تعیین کنیم. به این ترتیب و با جمع تمام انتگرال‌ها، انتگرال چندجمله‌ای مشخص می‌شود:

$$
\begin {align*} & \int { \left (a _ ۱ x ^ n + a _ ۲ x ^ { n - ۱ } + \ ... \ + a _ n x + a _ ۰ \right ) d x } = \\
& a _ ۱ \int { x ^ n } d x + a _ ۲ \int x ^ { n - ۱ } d x + \ ... \ + a _ ۰ \int ۱ d x\\
& a _ ۱ \frac { x ^ { n + ۱ } } { { n + ۱ } } + a _ ۲ \frac { x ^ { n } } { { n } } + a _ ۳ \frac { x ^ { n - ۱ } } { { n - ۱ } } + \ ... \ + a _ ۰ x + C
\end{align*}
$$

اگر بازه انتگرال‌گیری مشخص باشد، انتگرال، معین خواهد بود. در این حالت، فرمول انتگرال معین چندجمله‌ای برای جمله عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\int _ b ^ c a x ^ n d x = \left .a \frac { x ^ { n + ۱ } } { n + ۱ } \right | _ b ^ c = a \left [ \frac { c ^ { n + ۱ } } { n + ۱ } - \frac { b ^ { n + ۱ } } { n + ۱ } \right ]
$$

برای تمام عبارت‌های چندجمله‌ای، خواهیم داشت:

$$
\begin {align*} & \int _ b ^ c{ \left (a _ ۱ x ^ n + a _ ۲ x ^ { n - ۱ } + \ ... \ + a _ n x + a _ ۰ \right ) d x } = \\
& \left [ a _ ۱ \frac { x ^ { n + ۱ } } { { n + ۱ } } + a _ ۲ \frac { x ^ { n } } { { n } } + a _ ۳ \frac { x ^ { n - ۱ } } { { n - ۱ } } + \ ... \ + a _ ۰ x \right ] _ b ^ c
\end{align*}
$$

هنگام استفاده از فرمول انتگرال چندجمله‌ای‌ها، به این نکته توجه کنید که اگر $$ n $$ برابر با $$ - ۱ $$ باشد، فرمول انتگرال‌گیری متفاوت خواهد بود. در بخش‌های بعدی، این حالت خاص را بررسی خواهیم کرد.

مثال ۱: محاسبه انتگرال چند جمله ای

می‌خواهیم انتگرال چندجمله‌ای درجه سه $$ ۴ x ^ ۳ - ۲ x + ۵ $$ را به دست بیاوریم. به این منظور، ابتدا فرم کلی انتگرال مورد نظر را می‌نویسیم:

$$
\int \left ( ۴ x ^ ۳ - ۲ x + ۵ \right ) d x
$$

بر اساس قوانین انتگرال‌گیری، انتگرال جمع چند تابع، با مجموع انتگرال‌های هر تابع برابری می‌کند. بنابراین:

$$
\int \left ( ۴ x ^ ۳ - ۲ x + ۵ \right ) d x = \int ۴ x ^ ۳ d x - \int ۲ x d x + \int ۵ d x
$$

اکنون، هر یک از انتگرال‌های سمت راست رابطه بالا را به طور جداگانه تعیین می‌کنیم. برای این کار، فرمول انتگرال چندجمله‌ای را مورد استفاده قرار می‌دهیم. این فرمول به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\int a x ^ n d x = a \frac { x ^ { n + ۱ } }{ n + ۱} + C
$$

برای انتگرال اول، داریم:

$$
\int a x ^ n d x = \int ۴ x ^ ۳ d x
$$

$$ a = ۴ $$

$$ n = ۳ $$

$$
\int ۴ x ^ ۳ d x = \frac { ۴ x ^ { ۳ + ۱ } }{ ۳ + ۱} + c _ ۱
$$

$$
\int ۴ x ^ ۳ d x = \frac { ۴ x ^ { ۴ } }{ ۴ } + c _ ۱
$$

$$
\int ۴ x ^ ۳ d x = x ^ { ۴ } + c _ ۱
$$

به همین ترتیب، برای انتگرال دوم، خواهیم داشت:

$$
\int a x ^ n d x = \int ۲ x d x
$$

$$ a = ۲ $$

$$ n = ۱ $$

$$
\int ۲ x d x = \frac { ۲ x ^ { ۱ + ۱ } }{ ۱ + ۱} + c _ ۲
$$

$$
\int ۲ x d x = \frac { ۲ x ^ { ۲ } }{ ۲ } + c _ ۲
$$

$$
\int ۲ x d x = x ^ { ۲ } + c _ ۲
$$

انتگرال سوم را نیز با همین روش حل می‌کنیم:

$$
\int a x ^ n d x = \int ۵ d x
$$

$$ a = ۵ $$

$$ n = ۰ $$

$$
\int ۵ d x = \frac { ۵ x ^ { ۰ + ۱ } }{ ۰ + ۱} + c _ ۳
$$

$$
\int ۵ d x = \frac { ۵ x ^ {۱ } }{ ۱} + c _ ۳
$$

$$
\int ۵ d x = ۵ x + c _ ۳
$$

اکنون، تمام انتگرال‌ها را درون رابطه اصلی قرار می‌دهیم:

$$
\int \left ( ۴ x ^ ۳ - ۲ x + ۵ \right ) d x = x ^ { ۴ } - x ^ { ۲ } + ۵ x
$$

توجه داشته باشید که نیازی به آوردن ثابت‌های عددی (مانند ثابت $$ c _ ۱ $$) در جواب نهایی نداریم. برای نمایش نامعین بودن انتگرال، در انتها ثابت $$ C $$ را به جواب اضافه می‌کنیم:

$$
\int \left ( ۴ x ^ ۳ - ۲ x + ۵ \right ) d x = x ^ { ۴ } - x ^ { ۲ } + ۵ x + C
$$

ک پسر در کلاس خالی پشت به تخته با یک کتاب در دست در حال مطالعه

مهمترین فرمول های انتگرال گیری از توابع کسری

تابع $$ x ^ { - ۱ } $$ را در نظر بگیرید. این تابع را می‌‌توان به صورت کسر زیر نمایش داد:

$$ x ^ { - ۱ } = \frac { ۱ } { x } $$

انتگرال تابع بالا، یک یک حالت خاص در انتگرال‌گیری توابع چندجمله‌ای است که با استفاده از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$ \int \frac { ۱ } { x } d x = ln | x | + C $$

تابع $$ \frac { ۱ } { x } $$، یک تابع گویا است. فرم کلی‌تر انتگرال این تابع، به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\int \frac { c } { a x + b } d x = \frac { c } { a } \ln | a x + b | + C
$$

به طور کلی، یکی از چالش‌برانگیزترین مسائل در مبحث انتگرال، انتگرال‌گیری از توابع کسری است. در انتگرال‌گیری از توابع کسری، حالت‌های خاص زیادی وجود دارند. به عنوان مثال، فرمول های انتگرال کسری زیر را در نظر بگیرید:

$$
\int \frac { ۱ } { \sqrt { a ^ ۲ - x ^ ۲ } } d x = \sin ^ { - ۱ } \left ( \frac { x }{ a } \right ) + C
$$

$$
\int - \frac { ۱ } { \sqrt { a ^ ۲ - x ^ ۲ } } d x = \cos ^ { - ۱ } \left ( \frac { x }{ a } \right ) + C
$$

$$
\int \frac { ۱ } { x ^ ۲ + a ^ ۲} d x = \frac { ۱ } { a } \tan ^ { - ۱ } \left ( \frac { x }{ a } \right ) + C
$$

$$
\int - \frac { ۱ } { x \sqrt { x ^ ۲ - a ^ ۲ } } d x = \frac { ۱ } { a } \sec ^ { - ۱ } \left ( \frac { | x | }{ a } \right ) + C
$$

$$
\int \frac { ۱ } { x ^ ۲ - a ^ ۲ } d x = \frac { ۱ } { ۲ a } \ln \left | \frac { x - a }{ x + a } \right | + C
$$

$$
\int \frac { ۱ } { \sqrt { x ^ ۲ \pm a ^ ۲ } } d x = \ln \left | x + \sqrt { x ^ ۲ \pm a ^ ۲ } \right | + C
$$

فرمول‌های بالا، حالت‌های خاص و از مهم‌ترین فرمول های انتگرال کسری به شمار می‌روند. در مجموع، رابطه ثابت و مشخصی را نمی‌توان برای انتگرال‌گیری از توابع کسری معرفی کرد. البته، یکی از روش‌های رایج برای به دست آوردن انتگرال توابع کسری گویا (تقسیم دو تابع چندجمله‌ای)، تفکیک کسر برای تبدیل تابع چندجمله‌ای صورت به یک تابع ثابت و انتگرال‌گیری از عبارت‌های به دست آمده با استفاده فرمول‌ های انتگرال چندجمله‌ای است. این روش را با حل مثال بعد توضیح خواهیم داد.

انتگرال توابع کسری — از صفر تا صد

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی در فرادرس

مثال ۲: انتگرال گیری از تابع کسری گویا

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$
\frac { { x + ۲ } } { { x - ۱ } } dx
$$

این تابع، یک تابع کسری گویا است. قصد داریم انتگرال این تابع را به دست بیاوریم:

$$
\int { \frac { { x + ۲ } } { { x - ۱ } } dx }
$$

برای حل انتگرال بالا، ابتدا باید کسر را به نحوی تفکیک کنیم که امکان محاسبه جداگانه انتگرال عبارت‌های آن وجود داشته باشد. در اینجا، سعی می‌کنیم با انجام عملیات‌های ریاضی، عبارت‌های مخرج کسر ($$ x - ۱ $$) را در صورت آن به وجود بیاوریم. اگر صورت را به علاوه و منهای $$ ۱ $$ کنیم، به کسر زیر می‌رسیم:

$$
\int { \frac { { x + ۲ + ۱ - ۱ } } { { x - ۱ } } dx }
$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، با اضافه و کم کردن عدد $$ ۱ $$ در صورت کسر، $$ x - ۱ $$ در آن ظاهر می‌شود:

$$
\int { \frac { { x - ۱ + ۳ } } { { x - ۱ } } dx }
$$

انتگرال بالا را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$
\int { \left ( \frac { { x - ۱} } { { x - ۱ } } + \frac { { ۳ } } { { x - ۱ } } \right )dx }
$$

$$
\int { \left ( ۱ + \frac { { ۳ } } { { x - ۱ } } \right )dx }
$$

به این ترتیب، تابع کسری را به نحوی تفکیک کردیم که امکان محاسبه انتگرال هر یک از عبارت‌های آن به طور جداگانه وجود دارد. بنابراین، این انتگرال‌ها را نیز به صورت جداگانه می‌نویسیم:

$$
\int { ۱ dx } + \int { \frac { { ۳ } } { { x - ۱ } } d x}
$$

می‌دانیم انتگرال اول، برابر با $$ x $$ می‌شود:

$$
\int { ۱ dx } = x
$$

برای به دست آوردن انتگرال دوم، می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

$$
\int \frac { c } { a x + b } d x = \frac { c } { a } \ln | a x + b | + C
$$

برای این رابطه، پارامترهای زیر را داریم:

$$ a = ۱ $$

$$ b = - ۱ $$

$$ c = ۳ $$

بنابراین:

$$
\int { \frac { { ۳ } } { { x - ۱ } } d x} = ۳ \ln | x - ۱ |
$$

در نتیجه:

$$
\int { \frac { { x + ۲ } } { { x - ۱ } } dx } = x + ۳ \ln | x - ۱ |
$$

در انتها، برای نمایش نامعین بودن انتگرال، ثابت $$ C $$ را به انتهای آن اضافه می‌کنیم:

$$
\int { \frac { { x + ۲ } } { { x - ۱ } } dx } = x + ۳ \ln | x - ۱ | + C
$$

مهمترین فرمول های انتگرال گیری از توابع مثلثاتی

توابع مثلثاتی، از مهم‌ترین توابع ریاضی هستند که در بسیاری از مسائل تئوری و عملی کاربرد دارند. فرمول های انتگرال گیری از توابع اصلی مثلثاتی به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$$
\int { \sin ( x ) dx } = - \cos ( x ) + C
$$

$$
\int { \cos ( x ) dx } = \sin ( x ) + C
$$

$$
\int { \tan ( x ) dx } = \ln | \sec ( x ) | + C
$$

$$
\int { \cot ( x ) dx } = \ln | \sin ( x ) | + C
$$

$$
\int { \sec ( x ) dx } = \ln | \sec ( x ) + \tan ( x ) | + C
$$

$$
\int { \csc ( x ) dx } = \ln | \cos ( x ) - \cot ( x ) | + C
$$

علاوه بر انتگرال‌های بالا، فرمول‌هایی مانند انتگرال‌های زیر نیز وجود دارند که خروجی آن‌ها، برابر با توابع اصلی مثلثاتی است:

$$
\int { \sec ^ ۲ ( x ) dx } = \tan ( x ) + C
$$

$$
\int { \csc ^ ۲ ( x ) dx } = - \cot ( x ) + C
$$

$$
\int { \left [\sec ( x ) \tan ( x ) \right ] dx } = \sec ( x ) + C
$$

$$
\int { \left [\csc ( x ) \cot ( x ) \right ] dx } = - \csc ( x ) + C
$$

انتگرال و مشتق، دو مفهوم مهم ریاضی هستند که عکس یکدیگر عمل می‌کنند. اگر می‌خواهید بدانید که هر یک از فرمول انتگرال‌های بالا چگونه به دست آمده است، باید فرمول‌های مشتق توابع مثلثاتی آشنا باشید.

فرمول های انتگرال توابع مثلثاتی به موارد معرفی شده محدود نمی‌شوند. در صورت اضافه شدن ضریب، توان یا ترکیب این توابع با توابع دیگر، می‌توان از فرمول‌های دیگر استفاده کرد. به عنوان مثال، انتگرال سینوس را در نظر بگیرید. این انتگرال برابر با منفی کسینوس است:

$$
\int { \sin ( x ) dx } = - \cos ( x ) + C
$$

اگر یک ضریب به متغیر $$ x $$ در تابع سینوس اضافه شود، فرمول انتگرال آن به صورت زیر تغییر می‌کند:

$$
\int { \sin ( a x ) dx } = -\frac { ۱ } { a } \cos ( a x ) + C
$$

اگر $$ \sin ( a x ) $$ در $$ x $$ ضرب شود، خواهیم داشت:

$$ \int x \sin ( a x ) d x = \frac { \sin ( a x ) } { a ^ ۲ } - \frac { x \cos ( a x ) } { a } + C $$

اگر $$ \sin ( a x ) $$ به توان دو برسد، فرمول انتگرال آن برابر می‌شود با:

$$ \int \sin ^ ۲ ( a x ) d x = \frac { x } { ۲ } - \frac { ۱ } { ۴ a } \sin ۲ ( a x ) + C $$

یا

$$ \int \sin ^ ۲ ( a x ) d x = \frac { x } { ۲ } - \frac { ۱ } { ۲ a } \sin ( a x ) \cos ( a x ) + C $$

فرمول‌های بسیاری زیادی برای انتگرال‌گیری از توابع مثلثاتی وجود دارد. با این وجود، یادگیری فرمول‌هایی که در این بخش معرفی کردیم به همراه روش تغییر متغیر برای حل انتگرال، بخش قابل‌توجهی از نیازهای دانش‌آموزان را برطرف می‌کند.

انتگرال توابع مثلثاتی — از صفر تا صد

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

مثال ۳: تعیین انتگرال سینوس به توان ۵ با روش تغییر متغیر

انتگرال زیر را در نظر بگیرید:

$$ \int { \sin ^ ۵ ( x ) d x } $$

برای به دست آوردن جواب این انتگرال، ابتدا باید یکی از روابط مثلثاتی مهم را به خاطر داشته باشید. این رابطه عبارت است از:

$$ \cos ^ ۲ ( x ) + \sin ^ { ۲ } ( x ) = ۱ $$

رابطه مثلثاتی بالا را بر حسب $$ \sin ^ ۲ ( x ) $$ بازنویسی می‌کنیم:

$$ \sin ^ ۲ ( x ) = ۱ - \cos ^ ۲ ( x ) $$

سپس، انتگرال مورد سوال را به شکل زیر تغییر می‌دهیم:

$$
\int { \sin ^ ۵ ( x ) d x } = \int { \sin ^ ۴ ( x ) \sin ( x ) d x } = \int { \left ( \sin ^ ۲ ( x ) \right ) ^ ۲ \sin ( x ) d x }
$$

به جای $$ \sin ^ ۲ ( x ) $$، معادل آن را قرار می‌دهیم:

$$
\int { \sin ^ ۵ ( x ) d x } = \int { \left ( ۱ - \cos ^ ۲ ( x ) \right ) ^ ۲ \sin ( x ) d x }
$$

برای حل انتگرال بالا، مجبور به استفاده از تغییر متغیرهای زیر هستیم:

$$
u = \cos ( x )
$$

اگر از دو طرف $$ u $$ بر حسب $$ x $$ مشتق بگیریم، خواهیم داشت:

$$
\frac { d u } { d x } = \frac { d }{ d x } \cos ( x )
$$

مشتق کسینوس برابر با منفی سینوس است. بنابراین:

$$
\frac { d u } { d x } = - \sin ( x ) \to \sin ( x ) = - \frac { d u } { d x }
$$

بر اساس تغییر متغیرهای بالا، فرمول انتگرال را بازنویسی می‌کنیم:

$$
\int { \sin ^ ۵ ( x ) d x } = \int { \left ( ۱ - u ^ ۲ ( x ) \right ) ^ ۲ \frac { d u } { d x } d x }
$$

در نتیجه:

$$
\begin {align*} \int { { { { \sin } ^ ۵ } x \, d x } } & = - \int { { { { \left( { ۱ - { u ^ ۲ } } \right ) } ^ ۲ } \, d u } } \\ & = - \int { { ۱ - ۲ { u ^ ۲ } + { u ^ ۴ } \, d u } } \\ & = - \left ( { u - \frac { ۲ } { ۳ }{ u ^ ۳ } + \frac { ۱ } { ۵ } { u ^ ۵ } } \right ) + c \\ & = - \cos x + \frac { ۲ } { ۳ } { \cos ^ ۳ } x - \frac { ۱ } { ۵ } { \cos ^۵ } x + c \end {align*}
$$

یک دختر دبیرستانی در کتابخانه در حال مطالعه - فرمول های انتگرال

مهمترین فرمول های انتگرال گیری از توابع نمایی و لگاریتمی

توابع لگاریتمی و توابع نمایی، از دیگر توابع مهم و پرکاربرد در دنیای ریاضی هستند. از مهم‌ترین فرمول های انتگرال نمایی می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

$$ \int { e ^ x d x } = e ^ x + C $$

$$
\large ∫ a ^ x \, d x = \dfrac { a ^ x } { \ln a } + C
$$

$$
\int { e ^ { a x } d x } = \frac { ۱ } { a } e ^ { a x } + C
$$

$$
\int { e ^ { a x + b } d x } = \frac { ۱ } { a } e ^ { a x + b } + C
$$

$$
\large \int x e ^ { a x } \, d x = \frac { e ^ { a x } }{a ^ { ۲ }}\left ( a x - ۱ \right ) + C
$$

$$
\int x ^ m e ^ { a x } d x = \frac { x ^ m e ^ { a x } } { a } - \frac { m } { a } \int x ^ { m - ۱ } e ^ { a x } d x
$$

$$
\int \frac { ۱ } { x } e ^ { a x } d x = \ln ( x ) + \frac { a x } { ۱ ! } + \frac { a ^ ۲ x ^ ۲ } { ۲ \cdot ۲ ! } + \frac { a ^ ۳ x ^ ۳ } { ۳ \cdot ۳ ! } + \frac { a ^ ۴ x ^ ۴ } { ۴ \cdot ۴ ! } + \, ...
$$

$$
\int x e ^ { - x ^ ۲ } d x = - \frac { ۱ } { ۲ } e ^ { - x ^ ۲ } + C
$$

مهم‌ترین فرمول های انتگرال لگاریتم طبیعی نیز عبارت هستند از:

$$ \int \ln ( x ) d x = x \ln ( x ) - x + C $$

$$ \int \frac { \ln ( a x ) } { x } d x = \frac { ۱ } { ۲ } ( \ln ( a x ) ) ^۲ + C $$

$$ \int \ln ( a x + b ) d x = \frac { a x + b } { a } \ln ( a x + b ) - x + C $$

$$
\int \ln \left ( a ^ ۲ x ^ ۲ \pm b ^ ۲ \right) d x = x \ln \left ( a ^ ۲ x ^ ۲ \pm b ^ ۲ \right ) + \frac { ۲ b } { a } \tan ^ { - ۱ }\left ( \frac { a x } { b } \right ) - ۲ x + C
$$

$$ \int \ln \left ( a ^ ۲ - b ^ ۲ x ^ ۲ \right ) d x = x \ln \left ( a ^ ۲ - b ^ ۲ x ^ ۲ \right ) + \frac { ۲ a } { b } \tan ^ { - ۱ } \left ( \frac { b x } { a } \right ) - ۲ x + C $$

$$ \int \ln \left ( a x ^ ۲ + b x + c \right) d x = \frac { ۱ } { a } \sqrt { ۴ a c - b ^ ۲ } \tan ^ { - ۱ } \left ( \frac { ۲ a x + b } { \sqrt { ۴ a c - b ^ ۲ } } \right ) + C $$

$$ \quad - ۲ x + \left ( \frac { b } { ۲ a } + x \right ) \ln \left ( a x ^ ۲ + b x + c \right ) + C $$

$$ \int x \ln ( a x + b ) d x = \frac { b } { ۲ a } x - \frac { ۱ } { ۴ } x ^ ۲ + \frac { ۱ } { ۲ } \left ( x ^ ۲ - \frac { b ^ ۲ } { a ^ ۲ } \right ) \ln ( a x + b ) + C $$

$$ \int x \ln \left ( a ^ ۲ - b ^ ۲ x ^ ۲ \right ) d x = - \frac { ۱ } { ۲ } x ^ ۲ + \frac { ۱ } { ۲ } \left ( x ^ ۲ - \frac { a ^ ۲ } { b ^ ۲ } \right ) \ln \left ( a ^ ۲ - b x ^ ۲ \right ) + C $$

اگر پایه لگاریتم برابر با ۱۰ باشد، فرمول انتگرال آن به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\int { \log _ { ۱۰ } ( x ) d x} = x \left ( \log _ { ۱۰ } ( x ) - \log _ { ۱۰ } ( e ) \right ) + C
$$

انتگرال توابع نمایی - از صفر تا صد

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

مثال ۴: تعیین انتگرال تابع نمایی

در این مثال، می‌خواهیم جواب انتگرال $$ \int { ۲ x ^ ۳ e ^ { x ^ ۴ } dx } $$ را به دست بیاوریم. برای این کار، می‌توانیم از روش تغییر متغیر استفاده کنیم. برای شروع، توان $$ e $$ را برابر با متغیر $$ u $$ در نظر می‌گیریم:

$$ u = x ^ ۴ $$

به این ترتیب، داریم:

$$
\frac { d u } { d x } = ۴ x ^ ۳ \to x ^ ۳ d x = \frac { ۱ } { ۴ } d u
$$

این تغییر متغیرها را به انتگرال اعمال می‌کنیم:

$$
\int { ۲ x ^ ۳ e ^ { x ^ ۴ } dx } = \int ۲ e ^ u \left ( \frac { ۱ } { ۴ } \right ) d u
$$

$$
\int { ۲ x ^ ۳ e ^ { x ^ ۴ } dx } = \int \left ( \frac { ۱ } { ۲ } \right ) e ^ u d u
$$

بر اساس قوانین انتگرال‌گیری، می‌توانیم ضریب ثابت را از درون انتگرال بیرون بکشیم:

$$
\int { ۲ x ^ ۳ e ^ { x ^ ۴ } dx } = \left ( \frac { ۱ } { ۲ } \right ) \int e ^ u d u
$$

می‌دانیم که انتگرال $$ e ^ u $$ برابر با خودش می‌شود. بنابراین:

$$
\int { ۲ x ^ ۳ e ^ { x ^ ۴ } dx } = \left ( \frac { ۱ } { ۲ } \right ) e ^ u + C
$$

در نهایت، تغییر متغیر را بازمی‌گردانیم:

$$
\int { ۲ x ^ ۳ e ^ { x ^ ۴ } dx } = \left ( \frac { ۱ } { ۲ } \right ) e ^ { x ^ ۴ } + C
$$

مهمترین فرمول های انتگرال گیری از توابع معکوس مثلثاتی

توابع معکوس مثلثاتی، فرمول های انتگرال گیری مختص به خود را دارند. در ادامه، برخی از مهم‌ترین فرمول های انتگرال توابع مثلثاتی را آورده‌ایم:

$$ \int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sin ^ { - ۱ } ( x ) + \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } + C $$

$$ \int \cos ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \cos ^ { - ۱ } ( x ) - \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } + C $$

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی در فرادرس

$$ \int \tan ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \tan ^ { - ۱ } ( x ) - \frac { ۱ } { ۲ } \ln \left | ۱ + x ^ ۲ \right | + C $$

$$ \int \csc ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \csc ^ { - ۱ } ( x ) + \ln \left | x + \sqrt { x ^ ۲ - ۱ } \right | + C $$

$$ \int \sec ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sec ^ { - ۱ } ( x ) - \ln \left | x + \sqrt { x ^ ۲ - ۱ } \right | + C $$

$$ \int \cot ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \cot ^ { - ۱ } ( x ) + \frac { ۱ } { ۲ } \ln \left | ۱ + x ^ ۲ \right | + C $$

فرمول‌های زیر، انتگرال‌هایی را نمایش می‌دهند که خروجی آن‌ها، یک توابع معکوس مثلثاتی است:

$$
\int { \frac { ۱ } { ۱ - x ^ ۲ } } d x = \sin ^ { - ۱ } ( x ) + C
$$

$$
\int { - \frac { ۱ } { ۱ - x ^ ۲ } } d x = \cos ^ { - ۱ } ( x ) + C
$$

$$
\int { \frac { ۱ } { ۱ + x ^ ۲ } } d x = \tan ^ { - ۱ } ( x ) + C
$$

$$
\int { - \frac { ۱ } { ۱ + x ^ ۲ } } d x = \cot ^ { - ۱ } ( x ) + C
$$

$$
\int { \frac { ۱ } { x \sqrt { x ^ ۲ - ۱ } } } d x = \sec ^ { - ۱ } ( x ) + C
$$

$$
\int { - \frac { ۱ } { x \sqrt { x ^ ۲ - ۱ } } } d x = \csc ^ { - ۱ } ( x ) + C
$$

مثال 5: تعیین انتگرال معکوس مثلثاتی

انتگرال زیر را در نظر بگیرید:

$$
\int \frac { ۱ } { x ^ ۲ - ۴ x + ۱۳ }\ dx
$$

در ابتدا، شاید تصور کنید که شباهت زیادی بین این انتگرال با انتگرال‌های معکوس مثلثاتی وجود ندارد. با این وجود، می‌خواهیم نشان دهیم که جواب این انتگرال، یک تابع معکوس مثلثاتی از نوع آرک‌تانژانت خواهد بود. برای شروع، مخرج کسر بالا را در نظر بگیرید. این مخرج، معادله درجه دو زیر را نمایش می‌دهد:

$$ x ^ ۲ - ۴ x + ۱۳ $$

برای تبدیل این معادله به فرم مورد نظر، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$
\begin {aligned} x ^ ۲ + b x + c &= \underbrace { x ^ ۲ + bx + \frac { b ^ ۲ } ۴ } _ { ( x + b / ۲ ) ^ ۲ } - \frac { b ^ ۲ } ۴ + c \\ & = \left ( x + \frac b ۲ \right ) ^ ۲ + c - \frac { b ^ ۲ } ۴ \end {aligned}
$$

با توجه به این فرمول و معادله درجه دو در این مثال، داریم:

$$ b = - ۴ $$

$$ c = ۱۳ $$

$$
x ^ ۲ - ۴ x + ۱۳ = \left ( x - \frac ۴ ۲ \right ) ^ ۲ + ۱۳ - \frac { ( - ۴ ) ^ ۲ } ۴
$$

$$
x ^ ۲ - ۴ x + ۱۳ = \left ( x - ۲ \right ) ^ ۲ + ۱۳ - ۴
$$

$$
x ^ ۲ - ۴ x + ۱۳ = \left ( x - ۲ \right ) ^ ۲ + ۹
$$

به این ترتیب، می‌توانیم انتگرال را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$
\int \frac { ۱ } { \left ( x - ۲ \right ) ^ ۲ + ۹ }\ dx
$$

اگر $$ x - ۲ $$ را برابر با $$ u $$ و عدد $$ ۳ $$ را برابر با $$ a $$‌ در نظر بگیریم، خواهیم داشت:

$$
\int \frac { ۱ } { \left ( x - ۲ \right ) ^ ۲ + ۹ }\ dx = \int \frac { ۱ } { u ^ ۲ + a ^ ۲ }\ du
$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، فرم انتگرال به انتگرال تانژانت معکوس تبدیل شد. فرمول این انتگرال برابر است با:

$$
\int \frac { ۱ } { u ^ ۲ + a ^ ۲ }\ du = \frac { ۱ } { a } \tan ^ { - ۱ } ( \frac { u } { a } ) + C
$$

در نتیجه:

$$
\int \frac { ۱ } { \left ( x - ۲ \right ) ^ ۲ + ۹ }\ dx = \frac { ۱ } { ۳ } \tan ^ { - ۱ } ( \frac { x - ۲ } { ۳ } ) + C
$$

فرمول های اصلی انتگرال گیری از توابع هیپربولیک و معکوس هیپربولیک

توابع هیپربولیک و معکوس آن‌ها، از دیگر توابع مهم در مبحث فرمول های انتگرال محسوب مس‌شوند. خروجی فرمول های انتگرال زیر، توابع هیپربولیک هستند:

$$
\int { \sinh ( x ) dx } = \cosh ( x ) + C
$$

$$
\int { \cosh ( x ) dx } = \sinh ( x ) + C
$$

$$
\int { \text { sech } ^ ۲ ( x ) dx } = \tanh ( x ) + C
$$

$$
\int { \text { csch } ^ ۲ ( x ) dx } = - \coth ( x ) + C
$$

$$
\int { \text { sech } ( x ) \text { tanh } ( x ) dx } = - \text { sech } ( x ) + C
$$

$$
\int { \text { csch } ( x ) \text { coth } ( x ) dx } = - \text { csch } ( x ) + C
$$

در فرمول‌های بالا، فرمول انتگرال سینوس و کسینوس هیپربولیک آورده شده‌اند. فرمول انتگرال دیگر توابع هیپربولیک به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\int { \tanh ( x ) dx } = \ln \left | \cosh ( x ) \right | + C
$$

$$
\int { \coth ( x ) dx } = \ln \left | \sinh ( x ) \right | + C
$$

$$
\int { \text { sech } ( x ) dx } = \tan ^ { - ۱ } ( \sin ( x ) ) + C
$$

$$
\int { \text { sech } ( x ) dx } = \ln \left ( \tanh \left ( \frac { x }{ ۲ }\right ) \right ) + C
$$

فرمول های انتگرال توابع هیپربولیک معکوس عبارت هستند از:

$$ \int \sinh ^ { - ۱ } ( a x ) d x = x \sinh ^ { - ۱ } ( a x ) - \frac { \sqrt { a ^ ۲ x ^ ۲ + ۱ } } { a } + C $$

$$ \int \cosh ^ { - ۱ } ( a x ) d x = x \cosh ^ { - ۱ } ( a x ) - \frac { \sqrt { a x + ۱ } \sqrt { a x - ۱ } } { a } + C $$

$$ \int \tanh ^ { - ۱ } ( a x ) d x = x \tanh ^ { - ۱ } ( a x ) + \frac { \ln \left ( ۱ - a ^ ۲ x ^ ۲ \right ) } { ۲ a } + C $$

$$ \int \coth ^ { - ۱ } ( a x ) d x = x \coth ^ { - ۱ } ( a x ) + \frac { \ln \left ( a ^ ۲ x ^ ۲ - ۱ \right ) } { ۲ a } + C $$

$$ \int \operatorname{ sech } ^ { - ۱ } ( a x ) d x = x \operatorname{ sech } ^ { - ۱ } ( a x ) - \frac { ۲ } { a } \tan ^ { - ۱ } \sqrt { \frac { ۱ - a x } { ۱ + a x } } + C $$

$$ \int \operatorname{ csch } ^ { - ۱ } ( a x ) d x = x \operatorname{ csch } ^ { - ۱ } ( a x ) + \frac { ۱ } { a } \coth ^ { - ۱ } \sqrt { \frac { ۱ } { a ^ ۲ x ^ ۲ } + ۱ } + C $$

انتگرال‌‌های زیر، فرمول‌هایی را نمایش می‌دهند که در خروجی آن‌ها، توابع اصلی هیپربولیک معکوس ظاهر می‌شود:

$$ \int \frac { ۱ } { \sqrt { a ^ ۲ + u ^ ۲ } } d u = \operatorname{ sinh } ^ { - ۱ } \left ( \frac { u } { a } \right) + C \text { where } a > ۰ $$

$$ \int \frac { ۱ } { \sqrt { u ^ ۲ - a ^ ۲ } } d u = \operatorname { cosh } ^ { - ۱ } \left ( \frac { u } { a } \right ) + C \text { where } u > a > ۰ $$

$$ \int \frac { ۱ } { a ^ ۲ - u ^ ۲ } d u = \frac { ۱ } { a } \operatorname { tanh } ^ { - ۱ } \left ( \frac { u }{ a } \right ) + C \text { if } u ^ ۲ < a ^ ۲ $$

$$ \int \frac { ۱ } { a ^ ۲ - u ^ ۲ } d u = \frac { ۱ }{ a } \operatorname { coth } ^ { - ۱ } \left ( \frac { u }{ a } \right ) + C \text { if } u ^ ۲ > a ^ ۲ $$

$$ \int \frac { ۱ } { u \sqrt { a ^ ۲ - u ^ ۲ } } d u = - \frac { ۱ } { a } \operatorname { sech} ^ { - ۱ } \left ( \frac { u }{ a } \right ) + C \text { where } ۰ < u < a $$

$$ \int \frac { ۱ } { u \sqrt { a ^ ۲ + u ^ ۲ } } d u = - \frac { ۱ } { a } \operatorname { csch } ^ { - ۱ } \left ( \frac { u } { a } \right ) + C \text { where } u \neq ۰ $$

انتگرال توابع هیپربولیک — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

مثال ۶: تعیین انتگرال هیپربولیک

روش تغییر متغیر، یکی از پرکاربردترین روش‌های حل انتگرال است. در این مثال نیز قصد داریم با استفاده از این روش، انتگرال تابع زیر را به دست بیاوریم:

$$
\int \dfrac { ۱ } { ۲ x \sqrt { ۱ − ۹ x ^ ۲ } } d x
$$

برای تعیین انتگرال بالا، تغییر متغیرهای زیر را در نظر می‌گیریم:

$$ u = ۳ x $$

$$ d u = ۳ d x $$

به این ترتیب، داریم:

$$
\begin {align*} \int \dfrac { ۱ } { ۲ x \sqrt { ۱ − ۹ x ^ ۲ } } d x & = \dfrac { ۱ } { ۲ }\int \dfrac { ۱ } { u \sqrt { ۱ − u ^ ۲ } } d u \\ & = −\dfrac { ۱ } { ۲ }\text { sech } ^ { − ۱ }| u | + C \\ & = −\dfrac { ۱ } { ۲ } \text { sech } ^ { − ۱ } | ۳ x | + C \end {align*}
$$

فرمول های روش های انتگرال گیری از تمام توابع

روش‌های مختلفی برای حل مسائل در مبحث انتگرال وجود دارد. با این وجود، در اغلب موارد، انتگرال‌گیری به روش تغییر متغیر، انتگرال‌گیری به روش تجزیه کسر به کسرهای جزئی و انتگرال‌گیری به روش جز به جز، امکان حل مسئله مورد نظر را فراهم می‌کند.