ریاضی, علوم پایه 2298 بازدید

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره انتگرال و روش‌های محاسبه آن بحث کردیم. در این آموزش‌ها، مباحثی مانند انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال‌گیری جزء به جزء، انتگرال دوگانه و انتگرال سه‌گانه را معرفی کردیم. در این آموزش، روش محاسبه انتگرال توابع گنگ را با ارائه مثال‌های گوناگون بررسی خواهیم کرد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

برای انتگرال‌گیری از یک تابع گنگ شامل $$ {x^{\large\frac{m}{n}\normalsize}} $$، از تغییر متغیر $$ u = {x^{\large\frac{1}{n}\normalsize}} $$ استفاده می‌کنیم. همچنین، برای انتگرال‌گیری از توابعی با بیش از یک توان کسری از $$ x $$، تغییر متغیر $$ u = {x^{\large\frac{1}{n}\normalsize}} $$ را به‌کار می‌بریم که در آن، $$ n $$ کوچکترین مضرب مشترک مخرج‌های توان‌‌های کسری تابع است.

برای عباراتی به‌فرم $$ \sqrt[\large n\normalsize]{{\large\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\normalsize}} $$، از تغییر متغیر $$ u = {\left( {\large\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\normalsize} \right)^{\large\frac{1}{n}\normalsize}} $$ استفاده می‌کنیم.

مثال‌ها

در ادامه، برای درک بهتر انتگرال‌گیری از توابع گنگ، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال 1

انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {{\large\frac{{\sqrt {x + 9} }}{x}\normalsize} dx} $$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large {u = { \left( { x + 9} \right) ^ { \large \frac { 1 }{ 2 } \normalsize}},\;\;}\Rightarrow
{ x + 9 = { u ^ 2 },\;\; }\\ \large \Rightarrow
{ x = { u ^ 2 } – 9,\;\;\;} \kern-0.3pt{ d x = 2 u d u . } $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large {\int {\frac { { \sqrt { x + 9 } } } { x } d x } }
= {\int {\frac { u } { { { u ^ 2 } – 9 } } \cdot 2 u d u } } \\ \large
= { 2 \int {\frac { { { u ^ 2 } } } { { { u ^ 2 } – 9 } } d u } }
= {2\int {\frac{{{ u^ 2 } – 9 + 9 }} {{ { u ^ 2 } – 9 } }d u} } \\ \large
= { 2 \int { \left( { 1 + \frac{ 9} {{ { u ^2 } – 9 } } } \right) d u } }
= { 2\int { d u } + 18\int {\frac{{du } } { {{ u ^ 2} – {3 ^2 } } } } } \\ \large
= { { 2 u + 18 \cdot \frac{ 1} { 6} \ln \left| {\frac{{ u – 3 }} { { u + 3 } } } \right| } + { C }}
= { { 2\sqrt { x + 9} }+{ 3 \ln \left| {\frac{{\sqrt { x + 9} – 3}}{{\sqrt {x + 9} + 3}}} \right| }+{ C.}} $$

مثال ۲

انتگرال $$ \int {{\large\frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}\normalsize} dx} $$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large { \sqrt x = u ,\;\;} \Rightarrow
{ x = { u ^ 2 } ,\;\;\;}\;\kern-0.3pt { d x = 2 u d u . } $$

انتگرال را $$ I$$ می‌نامیم و در این صورت، داریم:

$$ \large { I = \int { \frac { { \sqrt x – 1 } } { { \sqrt x + 1 } } d x } }
= { \int {\frac { { u – 1 } } { { u + 1 } } 2 u d u } }
= { 2 \int { \frac { { {u ^ 2 } – u } } { { u + 1 } } d u } . } $$

تقسیم کسر را انجام می‌دهیم:

$$ \large { \frac { { { u ^ 2 } – u } } { { u + 1 } } } = { u – 2 } + { \frac { 2 } { { u + 1 } } . } $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large {I }={ 2\int {\left( {u – 2 + \frac{2}{{u + 1}}} \right)du} } \\ \large
= { { 2 \int { u d u} }-{ 4\int {du} }+{ 4\int {\frac{{du}}{{u + 1}}} }} \\ \large
= {{\frac { { 2 { u ^ 2 } } } { 2} – 4 u } + { 4 \ln \left| {u + 1} \right| } + { C } } \\ \large
= { { x – 4 \sqrt x } + { 4\ln \left| {\sqrt x + 1} \right| } + { C . } } $$

مثال ۳

انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{x + \sqrt[3]{x}}}\normalsize} $$‌ را محاسبه کنید.

حل: انتگرال به‌صورت زیر است:

$$ \large { I = \int {\frac { { d x } } { { x + \sqrt[\large 3\normalsize] { x } } } } }
= {\int {\frac{{dx}} {{ x + {x ^ { \large\frac {1}{3} \normalsize} } } } } . } $$

از آن‌جایی که کوچکترین مضرب مشترک (LCM) مخرج توان کسرها برابر با $$n = \text{LCM}\left({1,3}\right) = 3 $$ است، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large  {u =  { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } ,\;\;} \Rightarrow { x  = { u ^3},\;\;\;}\kern-0.3pt{ d x = 3 { u ^ 2 } d u . }  $$

بنابراین، داریم:

$$ \large { I = \int {\frac { { d x}}{ { x + { x ^ {\large\frac{1}{3} \normalsize}}}}} }
= {\int {\frac {{ 3{ u ^ 2} d u}} { {{ u ^ 3} + {{ \left( {{ u ^ 3}} \right)} ^ {\large\frac {1} {3} \normalsize}}}}} } \\ \large
= { 3\int {\frac{{{u^2}du}} { { {u ^ 3} + u} } } }
= { 3 \int {\frac { { u d u}} {{{u ^ 2} + 1 }}} .} $$

اکنون از تغییر متغیر جدید زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large { { t = { u ^ 2} + 1,\;\;}\kern-0.3pt{ d t = 2u d u,}\;\;} \Rightarrow
{ u du = \frac{{ d t} } { 2 } . } $$

پاسخ نهایی برابر است با:

پاسخ مثال ۳

مثال ۴

انتگرال $$\int {\large\frac{{dx}}{{\sqrt[5]{x} – 1}}\normalsize}$$ را محاسبه کنید.

حل: انتگرال را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large { \int { \frac { { d x}} { { \sqrt[\large 5\normalsize] { x } – 1 }} } }
= { \int { \frac { {d x }} {{ { x ^ {\large\frac { 1} {5} \normalsize}} – 1}}} .} $$

از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large {{ x ^ {\large\frac { 1 } { 5 }\normalsize}} = u,\;\;}\Rightarrow
{{x = { u ^ 5},\;\;}\kern-0.3pt { d x = 5 { u^ 4 }d u . } } $$

انتگرال به‌صورت زیر درخواهد آمد:

$$ \large {I = \int {\frac{{ d x} }{ { {x ^ {\large\frac{1}{5}\normalsize}} – 1}}} }
= {\int {\frac { { 5{ u ^ 4 } du } } { { u – 1}}} }
= {5\int {\frac { {{ u ^ 4 }d u } } {{ u – 1 } }} .} $$

از آن‌جایی که درجه صورت از درجه مخرج بزرگتر است، صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم:

$$ \large {\frac{{ { u ^ 4} }} { { u – 1}} }
= { { { u ^ 3} + { u ^ 2} }+{ u + 1 }+{ \frac{1} {{u – 1}}.}} $$

 انتگرال به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large {I }=
{{ 5\int {( {{u^3} + {u^2} + u + 1 }}+{{ \frac{1}{{u – 1}}} )du} }} \\ \large
={{ 5 ( {\frac{{{u^4}}}{4} + \frac{{{u^3}}}{3} + \frac{{{u^2}}}{2} }}+{{ u + \ln \left| {u – 1} \right|} ) }+{ C}} \\ \large
={{ 5 ( {\frac{{{\sqrt[\large{5}\normalsize]{x^4}}}}{4} + \frac{{{\sqrt[\large{5}\normalsize]{x^3}}}}{3} + \frac{{{\sqrt[\large{5}\normalsize]{x^2}}}}{2} }}+{{ \sqrt[\large{5}\normalsize]{x} + \ln \left| {\sqrt[\large{5}\normalsize]{x} – 1} \right|} ) }+{ C.}} $$

مثال ۵

انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{x} – \sqrt[4]{x}}}\normalsize}$$ را محاسبه کنید.

حل: انتگرال را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large {I = \int {\frac { { d x}}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x} – \sqrt[\large 4\normalsize] { x } } }} }
= {\int {\frac{{dx}}{{{x^{\large\frac { 1} { 3 }\normalsize}} – { x ^ {\large\frac{1}{4}\normalsize}}}}} .} $$

همان‌طور که می‌بینیم، کوچکترین مضرب مشترک مخرج توان جملات $$x$$، برابر با $$n= \text{LCM}\left({3,4}\right) = 12 $$ است. بنابراین، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large {u = { x ^ {\large\frac{1}{ { 12}}\normalsize}},\;\;}\Rightarrow
{x = { u ^ { 12} },\;\;}\kern-0.3pt{dx = 12 { u ^ { 11} } d u .} $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large{I }={ \int {\frac{{ 1 2{u ^ {11}} d u}}{{{{\left( {{u ^ {12}}} \right)} ^ {\large\frac{1}{3}\normalsize}} – {{\left( {{u ^ { 1 2 }} } \right)} ^ {\large\frac { 1} { 4}\normalsize}}}}} } \\ \large
= {\int {\frac{{ 1 2 { u ^ { 11 } }d u } } { { {u ^ 4 } – {u ^3 }} } } }
= {1 2\int {\frac {{ { u ^ 8 } d u }} { {u – 1}}} .} $$

درجه صورت، از درجه مخرج بزرگتر است. بنابراین، صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم:

$$ \large {\frac{{{u ^ 8 } }} { { u – 1}} }
= { { u ^ 7 } + {u ^ 6 } + { u ^ 5 } }+{ {u ^ 4 } + { u^ 3 } + {u ^2 } }+ { u + 1 + \frac{1}{{u – 1}}.} $$

بعد از تبدیلات ساده، جواب نهایی به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

پاسخ مثال ۵

مثال ۶

انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{\sqrt {\sqrt x – 2} }}\normalsize} $$ را به‌دست آوردید.

حل: از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large {\sqrt x – 2 = {u^2},\;\;}\Rightarrow
{\sqrt x = {u ^ 2 } + 2,\;\;} \\ \large\Rightarrow
{x = {\left( {{ u ^ 2} + 2} \right) ^ 2} }={ { u ^ 4} + 4{ u ^2 } + 4,\;\;}\Rightarrow
{dx = \left( { 4{ u ^ 3} + 8u} \right)du.} $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large {I = \int {\frac { { d x}}{{\sqrt {\sqrt x – 2} }}} }
= {\int { \frac { {\left( { 4 {u ^ 3 } + 8 u } \right)d u} } { u }} }
= {4\int {\left( {{ u ^2 } + 2} \right) du } } \\ \large
= {\frac{{4 { u^ 3}}}{3} + 8u + C }
= {{\frac{4} { 3}\sqrt {{{\left( {\sqrt x – 2} \right)} ^ 3 }} }+{ 8\sqrt {\sqrt x – 2} + C.}} $$

مثال ۷

انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {\sqrt {{e^x} + 1}\,dx} $$ را محاسبه کنید.

حل: از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large {{e ^ x } + 1 = { u ^ 2 },\;\;}\Rightarrow
{ { e ^ x} d x = 2 u d u,\;\;} \\ \large \Rightarrow
{ {d x = \frac{ { 2 u du } }{ { { e ^ x }} } }= { \frac{{ 2 u d u } }{ { { u ^ 2} – 1}}.}} $$

و حاصل انتگرال به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$ \large {I = \int {\sqrt {{ e ^ x } + 1} d x } }
= {\int { u \frac { {2 u d u } } { { { u ^ 2 } – 1}}} }
= { 2 \int {\frac {{ { u ^ 2 } d u }}{{{u ^ 2} – 1}}} } \\ \large
= {2\int {\frac{{ { u ^ 2 } – 1 + 1 } } { { { u ^ 2} – 1 } }d u} }
= {2\int {\left( {1 + \frac { 1} { { { u ^ 2} – 1 } }} \right)du} } \\ \large
= { { 2 \int { d u } } – { 2\int {\frac { {d u } }{ { 1 – { u ^ 2 } } } } }}
= { { 2 u } – { 2 \cdot \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + u}}{{1 – u}}} \right| }+{ C }} \\ \large
= {{2u – \ln \left| {\frac{{1 + u}}{{1 – u}}} \right| }+{ C }}
= {{2\sqrt {{e^x} + 1} }-{ \ln \left| {\frac{{1 + \sqrt {{e^x} + 1} }}{{1 – \sqrt {{e^x} + 1} }}} \right| }+{ C.}} $$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش انتگرال توابع گنگ — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

فیلم آموزشی انتگرال توابع گنگ

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل چند مثال از انتگرال توابع گنگ

دانلود ویدیو

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 3 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *