فرادرس
انتگرال توابع گنگ — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره انتگرال و روش‌های محاسبه آن بحث کردیم. در این آموزش‌ها، مباحثی مانند انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال‌گیری جزء به جزء، انتگرال دوگانه و انتگرال سه‌گانه را معرفی کردیم. در این آموزش، روش محاسبه انتگرال توابع گنگ را با ارائه مثال‌های گوناگون بررسی خواهیم کرد.
برای انتگرال‌گیری از یک تابع گنگ شامل $$ {x^{\large\frac{m}{n}\normalsize}} $$، از تغییر متغیر $$ u = {x^{\large\frac{1}{n}\normalsize}} $$ استفاده می‌کنیم. همچنین، برای انتگرال‌گیری از توابعی با بیش از یک توان کسری از $$ x $$، تغییر متغیر $$ u = {x^{\large\frac{1}{n}\normalsize}} $$ را به‌کار می‌بریم که در آن، $$ n $$ کوچکترین مضرب مشترک مخرج‌های توان‌‌های کسری تابع است.
برای عباراتی به‌فرم $$ \sqrt[\large n\normalsize]{{\large\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\normalsize}} $$، از تغییر متغیر $$ u = {\left( {\large\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\normalsize} \right)^{\large\frac{1}{n}\normalsize}} $$ استفاده می‌کنیم.
مثال‌ها
در ادامه، برای درک بهتر انتگرال‌گیری از توابع گنگ، چند مثال را بررسی می‌کنیم.
مثال 1
انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {{\large\frac{{\sqrt {x + 9} }}{x}\normalsize} dx} $$ را محاسبه کنید.
حل: ابتدا، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:
$$ \large {u = { \left( { x + 9} \right) ^ { \large \frac { 1 }{ 2 } \normalsize}},\;\;}\Rightarrow
{ x + 9 = { u ^ 2 },\;\; }\\ \large \Rightarrow
{ x = { u ^ 2 } – 9,\;\;\;} \kern-0.3pt{ d x = 2 u d u . } $$
در نتیجه، داریم:
$$ \large {\int {\frac { { \sqrt { x + 9 } } } { x } d x } }
= {\int {\frac { u } { { { u ^ 2 } – 9 } } \cdot 2 u d u } } \\ \large
= { 2 \int {\frac { { { u ^ 2 } } } { { { u ^ 2 } – 9 } } d u } }
= {2\int {\frac{{{ u^ 2 } – 9 + 9 }} {{ { u ^ 2 } – 9 } }d u} } \\ \large
= { 2 \int { \left( { 1 + \frac{ 9} {{ { u ^2 } – 9 } } } \right) d u } }
= { 2\int { d u } + 18\int {\frac{{du } } { {{ u ^ 2} – {3 ^2 } } } } } \\ \large
= { { 2 u + 18 \cdot \frac{ 1} { 6} \ln \left| {\frac{{ u – 3 }} { { u + 3 } } } \right| } + { C }}
= { { 2\sqrt { x + 9} }+{ 3 \ln \left| {\frac{{\sqrt { x + 9} – 3}}{{\sqrt {x + 9} + 3}}} \right| }+{ C.}} $$
مثال ۲
انتگرال $$ \int {{\large\frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}\normalsize} dx} $$ را محاسبه کنید.
حل: ابتدا از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:
$$ \large { \sqrt x = u ,\;\;} \Rightarrow
{ x = { u ^ 2 } ,\;\;\;}\;\kern-0.3pt { d x = 2 u d u . } $$
انتگرال را $$ I$$ می‌نامیم و در این صورت، داریم:
$$ \large { I = \int { \frac { { \sqrt x – 1 } } { { \sqrt x + 1 } } d x } }
= { \int {\frac { { u – 1 } } { { u + 1 } } 2 u d u } }
= { 2 \int { \frac { { {u ^ 2 } – u } } { { u + 1 } } d u } . } $$
تقسیم کسر را انجام می‌دهیم:
$$ \large { \frac { { { u ^ 2 } – u } } { { u + 1 } } } = { u – 2 } + { \frac { 2 } { { u + 1 } } . } $$
در نتیجه، داریم:
$$ \large {I }={ 2\int {\left( {u – 2 + \frac{2}{{u + 1}}} \right)du} } \\ \large
= { { 2 \int { u d u} }-{ 4\int {du} }+{ 4\int {\frac{{du}}{{u + 1}}} }} \\ \large
= {{\frac { { 2 { u ^ 2 } } } { 2} – 4 u } + { 4 \ln \left| {u + 1} \right| } + { C } } \\ \large
= { { x – 4 \sqrt x } + { 4\ln \left| {\sqrt x + 1} \right| } + { C . } } $$
مثال ۳
انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{x + \sqrt[3]{x}}}\normalsize} $$ را محاسبه کنید.
حل: انتگرال به‌صورت زیر است:
$$ \large { I = \int {\frac { { d x } } { { x + \sqrt[\large 3\normalsize] { x } } } } }
= {\int {\frac{{dx}} {{ x + {x ^ { \large\frac {1}{3} \normalsize} } } } } . } $$
از آن‌جایی که کوچکترین مضرب مشترک (LCM) مخرج توان کسرها برابر با $$n = \text{LCM}\left({1,3}\right) = 3 $$ است، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:
$$ \large {u = { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } ,\;\;} \Rightarrow { x = { u ^3},\;\;\;}\kern-0.3pt{ d x = 3 { u ^ 2 } d u . } $$
بنابراین، داریم:
$$ \large { I = \int {\frac { { d x}}{ { x + { x ^ {\large\frac{1}{3} \normalsize}}}}} }
= {\int {\frac {{ 3{ u ^ 2} d u}} { {{ u ^ 3} + {{ \left( {{ u ^ 3}} \right)} ^ {\large\frac {1} {3} \normalsize}}}}} } \\ \large
= { 3\int {\frac{{{u^2}du}} { { {u ^ 3} + u} } } }
= { 3 \int {\frac { { u d u}} {{{u ^ 2} + 1 }}} .} $$
اکنون از تغییر متغیر جدید زیر استفاده می‌کنیم:
$$ \large { { t = { u ^ 2} + 1,\;\;}\kern-0.3pt{ d t = 2u d u,}\;\;} \Rightarrow
{ u du = \frac{{ d t} } { 2 } . } $$
پاسخ نهایی برابر است با:
مثال ۴
انتگرال $$\int {\large\frac{{dx}}{{\sqrt[5]{x} – 1}}\normalsize}$$ را محاسبه کنید.
حل: انتگرال را به‌صورت زیر می‌نویسیم:
$$ \large { \int { \frac { { d x}} { { \sqrt[\large 5\normalsize] { x } – 1 }} } }
= { \int { \frac { {d x }} {{ { x ^ {\large\frac { 1} {5} \normalsize}} – 1}}} .} $$
از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:
$$ \large {{ x ^ {\large\frac { 1 } { 5 }\normalsize}} = u,\;\;}\Rightarrow
{{x = { u ^ 5},\;\;}\kern-0.3pt { d x = 5 { u^ 4 }d u . } } $$
انتگرال به‌صورت زیر درخواهد آمد:
$$ \large {I = \int {\frac{{ d x} }{ { {x ^ {\large\frac{1}{5}\normalsize}} – 1}}} }
= {\int {\frac { { 5{ u ^ 4 } du } } { { u – 1}}} }
= {5\int {\frac { {{ u ^ 4 }d u } } {{ u – 1 } }} .} $$
از آن‌جایی که درجه صورت از درجه مخرج بزرگتر است، صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم:
$$ \large {\frac{{ { u ^ 4} }} { { u – 1}} }
= { { { u ^ 3} + { u ^ 2} }+{ u + 1 }+{ \frac{1} {{u – 1}}.}} $$
انتگرال به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:
$$ \large {I }=
{{ 5\int {( {{u^3} + {u^2} + u + 1 }}+{{ \frac{1}{{u – 1}}} )du} }} \\ \large
={{ 5 ( {\frac{{{u^4}}}{4} + \frac{{{u^3}}}{3} + \frac{{{u^2}}}{2} }}+{{ u + \ln \left| {u – 1} \right|} ) }+{ C}} \\ \large
={{ 5 ( {\frac{{{\sqrt[\large{5}\normalsize]{x^4}}}}{4} + \frac{{{\sqrt[\large{5}\normalsize]{x^3}}}}{3} + \frac{{{\sqrt[\large{5}\normalsize]{x^2}}}}{2} }}+{{ \sqrt[\large{5}\normalsize]{x} + \ln \left| {\sqrt[\large{5}\normalsize]{x} – 1} \right|} ) }+{ C.}} $$
مثال ۵
انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{x} – \sqrt[4]{x}}}\normalsize}$$ را محاسبه کنید.
حل: انتگرال را به‌صورت زیر می‌نویسیم:
$$ \large {I = \int {\frac { { d x}}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x} – \sqrt[\large 4\normalsize] { x } } }} }
= {\int {\frac{{dx}}{{{x^{\large\frac { 1} { 3 }\normalsize}} – { x ^ {\large\frac{1}{4}\normalsize}}}}} .} $$
همان‌طور که می‌بینیم، کوچکترین مضرب مشترک مخرج توان جملات $$x$$، برابر با $$n= \text{LCM}\left({3,4}\right) = 12 $$ است. بنابراین، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:
$$ \large {u = { x ^ {\large\frac{1}{ { 12}}\normalsize}},\;\;}\Rightarrow
{x = { u ^ { 12} },\;\;}\kern-0.3pt{dx = 12 { u ^ { 11} } d u .} $$
در نتیجه، داریم:
$$ \large{I }={ \int {\frac{{ 1 2{u ^ {11}} d u}}{{{{\left( {{u ^ {12}}} \right)} ^ {\large\frac{1}{3}\normalsize}} – {{\left( {{u ^ { 1 2 }} } \right)} ^ {\large\frac { 1} { 4}\normalsize}}}}} } \\ \large
= {\int {\frac{{ 1 2 { u ^ { 11 } }d u } } { { {u ^ 4 } – {u ^3 }} } } }
= {1 2\int {\frac {{ { u ^ 8 } d u }} { {u – 1}}} .} $$
درجه صورت، از درجه مخرج بزرگتر است. بنابراین، صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم:
$$ \large {\frac{{{u ^ 8 } }} { { u – 1}} }
= { { u ^ 7 } + {u ^ 6 } + { u ^ 5 } }+{ {u ^ 4 } + { u^ 3 } + {u ^2 } }+ { u + 1 + \frac{1}{{u – 1}}.} $$
بعد از تبدیلات ساده، جواب نهایی به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:
مثال ۶
انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{\sqrt {\sqrt x – 2} }}\normalsize} $$ را به‌دست آوردید.
حل: از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:
$$ \large {\sqrt x – 2 = {u^2},\;\;}\Rightarrow
{\sqrt x = {u ^ 2 } + 2,\;\;} \\ \large\Rightarrow
{x = {\left( {{ u ^ 2} + 2} \right) ^ 2} }={ { u ^ 4} + 4{ u ^2 } + 4,\;\;}\Rightarrow
{dx = \left( { 4{ u ^ 3} + 8u} \right)du.} $$
در نتیجه، داریم:
$$ \large {I = \int {\frac { { d x}}{{\sqrt {\sqrt x – 2} }}} }
= {\int { \frac { {\left( { 4 {u ^ 3 } + 8 u } \right)d u} } { u }} }
= {4\int {\left( {{ u ^2 } + 2} \right) du } } \\ \large
= {\frac{{4 { u^ 3}}}{3} + 8u + C }
= {{\frac{4} { 3}\sqrt {{{\left( {\sqrt x – 2} \right)} ^ 3 }} }+{ 8\sqrt {\sqrt x – 2} + C.}} $$
مثال ۷
انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {\sqrt {{e^x} + 1}\,dx} $$ را محاسبه کنید.
حل: از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:
$$ \large {{e ^ x } + 1 = { u ^ 2 },\;\;}\Rightarrow
{ { e ^ x} d x = 2 u d u,\;\;} \\ \large \Rightarrow
{ {d x = \frac{ { 2 u du } }{ { { e ^ x }} } }= { \frac{{ 2 u d u } }{ { { u ^ 2} – 1}}.}} $$
و حاصل انتگرال به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:
$$ \large {I = \int {\sqrt {{ e ^ x } + 1} d x } }
= {\int { u \frac { {2 u d u } } { { { u ^ 2 } – 1}}} }
= { 2 \int {\frac {{ { u ^ 2 } d u }}{{{u ^ 2} – 1}}} } \\ \large
= {2\int {\frac{{ { u ^ 2 } – 1 + 1 } } { { { u ^ 2} – 1 } }d u} }
= {2\int {\left( {1 + \frac { 1} { { { u ^ 2} – 1 } }} \right)du} } \\ \large
= { { 2 \int { d u } } - { 2\int {\frac { {d u } }{ { 1 – { u ^ 2 } } } } }}
= { { 2 u } - { 2 \cdot \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + u}}{{1 – u}}} \right| }+{ C }} \\ \large
= {{2u – \ln \left| {\frac{{1 + u}}{{1 – u}}} \right| }+{ C }}
= {{2\sqrt {{e^x} + 1} }-{ \ln \left| {\frac{{1 + \sqrt {{e^x} + 1} }}{{1 – \sqrt {{e^x} + 1} }}} \right| }+{ C.}} $$
اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
^^
فیلم های آموزش انتگرال توابع گنگ — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
فیلم آموزشی انتگرال توابع گنگ
فیلم آموزشی حل چند مثال از انتگرال توابع گنگ
خیلی ممنوننننننننننننن