انتگرال جز به جز + آموزش فرمول و نمونه سوال با جواب

۴۰۱۷۶ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۱ آذر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۳۱ دقیقه
انتگرال جز به جز + آموزش فرمول و نمونه سوال با جواب

انتگرال جز به جز، یک روش مخصوص برای انتگرال‌گیری از ضرب دو تابع متفاوت است. این روش، معمولا برای توابعی مورد استفاده قرار می‌گیرد که فرمول مستقیمی برای به دست آوردن انتگرال آن‌ها وجود ندارد. به عنوان مثال، فرمول انتگرال توابع مثلثاتی وارون، با استفاده از انتگرال گیری جز به جز به دست می‌آید. در این مقاله، به معرفی انتگرال جز به جز و روش‌های مختلف آن نظیر انتگرال جز به جز جدولی و بازگشتی به همراه حل چندین مثال از توابع مختلف نظیر توابع مثلثاتی، لگاریتمی، نمایی، مثلثاتی وارون و غیره می‌پردازیم.

فهرست مطالب این نوشته
997696

انتگرال جز به جز چیست ؟

«انتگرال جز به جز» (Integration by Parts)، روشی است که به منظور انتگرال‌گیری از ضرب دو یا چند تابع متفاوت مورد استفاده قرار می‌گیرد.

فرمول کلی انتگرال جز به جز به صورت زیر نوشته می‌شود:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

برای به خاطر سپردن راحت‌تر این فرمول، تغییر متغیرهای زیر را در نظر بگیرید:

f(x)=u f ( x ) = u

g(x)=v g ( x ) = v

f(x)=du f ' ( x ) = d u

g(x)=dv g ' ( x ) = d v

بر اساس این تغییر متغیرها، فرمول انتگرال جز به جز به شکل زیر درمی‌آید:

udv=uvvdu \int u d v = u v - \int v d u

u و v می‌توانند هر تابعی باشند. البته مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری از توابع مختلف با یکدیگر تفاوت دارند. بنابراین، ممکن است در یک مسئله، با دو تابعی رو به رو شوید که به دست آوردن مشتق یکی از آن‌ها، ساده‌تر از به دست آوردن مشتق دیگری بوده و تعیین انتگرال یکی از آن‌ها، ساده‌تر از تعیین انتگرال دیگری باشد.

یک نمودار با سطح زیر نمودار بر روی یک تخته (تصویر تزئینی مطلب انتگرال جز به جز)
انتگرال، مساحت زیر منحنی است.

بنابراین، نکته مهم در حل تمرین‌های مربوط به مبحث انتگرال جز به جز، انتخاب درست تابع u و v به منظور جلوگیری از پیچیدگی محاسبات است. در این مقاله، با مشاهده و حل مثال‌های متنوع، به مرور این مهارت را کسب خواهید کرد.

مثال ۱: محاسبه انتگرال ایکس سینوس ایکس

انتگرال xsin(x) x \sin ( x ) را به دست بیاورید.

xsin(x) x \sin ( x ) ، ضرب متغیر x در تابع sin(x) را نمایش می‌دهد. بنابراین، برای انتگرال‌‌گیری از آن، می‌توانیم فرمول انتگرال جز به جز را مورد استفاده قرار دهیم. این فرمول، عبارت است از:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

نکته مهم در استفاده از این فرمول، انتخاب صحیح توابع f(x) و g'(x)، با توجه به سهولت مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری آن‌ها است. در این مثال، مشتق‌گیری از x، ساده‌تر از مشتق‌گیری از sin(x) بوده و انتگرال‌گیری از sin(x)، نسبتا ساده‌تر از انتگرال‌گیری از x است.

یک دختر در کنار یک تخته با نمودار نشان دهنده مفهوم انتگرال جز به جز
نمایش تصویری مفهوم انتگرال جز به جز (در بخش اثبات فرمول انتگرال جز به جز، به تفسیر این نمودار خواهیم پرداخت.)

بنابراین، در صورت انتخاب x به عنوان f(x) و sin(x) به عنوان g'(x)، انتگرال‌گیری جز به جز با راحتی بیشتری انجام خواهد شد. تغییر متغیرهای مذکور عبارت هستند از:

f(x)=x f ( x) = x

g(x)=sin(x) g ' ( x ) = \sin ( x )

برای به دست آوردن f'(x)، از x مشتق می‌گیریم:

f(x)=۱ f ' ( x) = ۱

به منظور تعیین g'(x)، انتگرال سینوس را به دست می‌آوریم:

g(x)=cos(x) g ( x ) = - \cos ( x )

تغییر متغیرها را درون فرمول انتکرال جز به جز قرار می‌دهیم:

xsin(x)dx=xcos(x)۱×cos(x)dx \int x \sin ( x ) d x = - x \cos ( x ) - \int - ۱ \times \cos ( x ) d x

xsin(x)dx=xcos(x)+cos(x)dx \int x \sin ( x ) d x = - x \cos ( x ) + \int\cos ( x ) d x

انتگرال cos(x) برابر با sin(x) است. بنابراین:

xsin(x)dx=xcos(x)+sin(x) \int x \sin ( x ) d x = - x \cos ( x ) + \sin ( x )

xsin(x)dx=sin(x)xcos(x) \int x \sin ( x ) d x = \sin ( x ) - x \cos ( x )

به این ترتیب، انتگرال حاصل‌ضرب x در sin(x) را به دست آوردیم. اگر در ابتدای حل مسئله، sin(x) را به عنوان f(x) و x را به عنوان g'(x) در نظر می‌گرفتیم، مراحل حل بسیار پیچیده می‌شد. برای درک این موضوع، مثال را با این تغییر متغیر حل کنید. در بخش بعدی، به معرفی یک قانون کلی برای انتخاب صحیح تغییر متغیر در انتگرال جز به جز می‌پردازیم.

کاربرد انتگرال جز به جز چیست ؟

انتگرال‌گیری جز به جز، برای توابع یا عبارت‌هایی مورد استفاده قرار می‌گیرد که فرمول مستقیمی برای تعیین انتگرال آن‌ها وجود ندارد. این روش، معمولا در انتگرال‌گیری از حاصل‌ضرب دو یا چند تابع متفاوت نظیر توابع لگاریتمی، مثلثاتی، مثلثاتی معکوس، جبری و نمایی کاربرد دارد.

انتخاب توابع برای جایگذاری آن‌ها در فرمول انتگرال جز به جز، از اهمیت بالایی برخوردار است. برای درک این موضوع، فرمول‌های زیر را در نظر بگیرید:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

udv=uvvdu \int u d v = u v - \int v d u

در این فرمول‌ها، f(x) یا u، اولین تابع را نمایش می‌دهد. اولویت انتخاب تابع اول، به صورت زیر است:

  1. تابع لگاریتمی
  2. تابع معکوس مثلثاتی
  3. تابع جبری
  4. تابع مثلثاتی
  5. تابع نمایی

به عنوان مثال، اگر عبارت درون انتگرال، حاصل‌ضرب یک تابع لگاریتمی در یک تابع معکوس مثلثاتی باشد، باید تابع لگاریتمی را به عنوان f(x) یا u و تابع معکوس مثلثاتی را به عنوان g'(x) یا dv در نظر بگیریم. به همین ترتیب، اگر عبارت درون انتگرال، حاصل‌ضرب یک تابع جبری در یک تابع مثلثاتی باشد (مانند مثال ۱ این مقاله)، تابع جبری را به عنوان f(x) یا u و تابع مثلثاتی را به عنوان g'(x) یا dv انتخاب می‌کنیم. در بخش‌های بعدی، به حل تمرین و مثال در مورد تمام توابع بالا خواهیم پرداخت.

دانش آموزان نشسته در کلاس در حال نگاه کردن به تخته

مثال ۲: محاسبه انتگرال جز به جز لگاریتمی

با استفاده از انتگرال‌گیری جز به جز، رابطه زیر را اثبات کنید:

log(x)dx=xlog(x)x+C \int \log ( x ) d x = x \log ( x ) - x + C

عبارت log(x) \log ( x) را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب عدد ۱ در log(x) نوشت:

log(x)=۱×log(x) \log ( x ) = ۱ \times \log ( x )

عدد ۱، یک تابع جبری و log(x)، یک تابع لگاریتمی است. مطابق با فرمول انتگرال جز به جز داریم:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

برای انتخاب تابع اول در فرمول انتگرال جز به جز، توابع لگاریتمی نسبت به توابع جبری اولویت دارند. بنابراین:

f(x)=log(x) f ( x ) = \log ( x )

g(x)=۱ g ' ( x ) = ۱

مشتق تابع اول (مشتق log(x)) برابر است با:

f(x)=۱x f ' ( x ) = \frac { ۱ } { x }

انتگرال تابع دوم (انتگرال عدد ۱) نیز برابر است با:

g(x)=x g ( x ) = x

تغییر متغیرها را درون رابطه اصلی انتگرال‌گیری جز به جز قرار می‌هیم:

(log(x)×۱)dx=log(x)×x(۱x×x)dx \int \left ( \log ( x ) \times ۱ \right ) d x = \log ( x ) \times x - \int ( \frac { ۱ } { x } \times x ) d x

log(x)dx=xlog(x)۱dx \int \log ( x ) d x = x \log ( x ) - \int ۱ d x

log(x)dx=xlog(x)x+C \int \log ( x ) d x = x \log ( x ) - x + C

به این ترتیب، فرمول انتگرال لگاریتم ایکس با استفاده از روش انتگرال‌گیری جز به جز اثبات می‌شود.

انتگرال جز به جز جدولی

انتگرال‌گیری جدولی، یکی از روش‌های سریع انتگرال‌گیری جز به جز است. در این روش، یکی از توابع باید تا رسیدن به صفر، مشتق‌پذیر باشد.

علاوه بر این، باید امکان انتگرال‌گیری مجدد از تابع دیگر در هر مرحله وجود داشته باشد. به عنوان مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید:

x۳sin(x) x ^ ۳ \sin ( x )

برای به دست آوردن انتگرال این تابع توسط روش جز به جز جدولی، ابتدا جدولی با چهار ستون ایجاد می‌کنیم. در ستون اول این جدول، تابع مشتق‌پذیر (تا صفر) را قرار می‌دهیم. در ستون دوم، تابع انتگرال‌پذیر را می‌نویسیم. ستون سوم، علامت - یا + را وارد می‌کنیم. نحوه تعیین مقادیر ستون چهارم را در ادامه توضیح می‌دهیم.

تابع مشتق‌پذیرتابع انتگرال‌پذیرعلامتعبارت
x۳ x ^ ۳ sin(x) \sin ( x ) -۰

علامت ردیف اول، همواره منفی (-) و عبارت ردیف اول، همواره ۰ است. در ردیف‌های بعدی، از تابع مشتق‌پذیر، مشتق گرفته و از تابع انتگرال‌پذیر، انتگرال می‌گیریم. پس از این کار، علامت ردیف را تغییر می‌دهیم. سپس، عبارت تابع مشتق‌پذیر در ردیف قبلی را در انتگرال ردیف فعلی و علامت ردیف ضرب می‌کنیم. حاصل این ضرب را در ستون چهارم می‌نویسیم.

تابع مشتق‌پذیرتابع انتگرال‌پذیرعلامتعبارت
x۳ x ^ ۳ sin(x) \sin ( x ) -۰
۳x۲ ۳ x ^ ۲ cos(x) - \cos ( x ) +x۳cos(x) - x ^ ۳ \cos ( x )

به همین ترتیب، مشتق‌گیری از دو ستون اول و انتگرال‌گیری از ستون دوم را ادامه می‌دهیم.

تابع مشتق‌پذیرتابع انتگرال‌پذیرعلامتعبارت
x۳ x ^ ۳ sin(x) \sin ( x ) -۰
۳x۲ ۳ x ^ ۲ cos(x) - \cos ( x ) +x۳cos(x) - x ^ ۳ \cos ( x )
۶x ۶ x sin(x) - \sin ( x) -۳x۲sin(x) ۳ x ^ ۲ \sin ( x )

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، ستون آخر ردیف سوم، حاصل‌ضرب عبارت ستون اول ردیف قبلی (۳x۲ ۳ x ^ ۲ ) در عبارت ستون دوم ردیف فعلی (sin(x) - \sin ( x) ) و علامت ردیف فعلی (-) است. به این ترتیب، ردیف چهارم به صورت زیر خواهد بود.

تابع مشتق‌پذیرتابع انتگرال‌پذیرعلامتعبارت
x۳ x ^ ۳ sin(x) \sin ( x ) -۰
۳x۲ ۳ x ^ ۲ cos(x) - \cos ( x ) +x۳cos(x) - x ^ ۳ \cos ( x )
۶x ۶ x sin(x) - \sin ( x) -۳x۲sin(x) ۳ x ^ ۲ \sin ( x )
۶ ۶ cos(x) \cos ( x ) +۶xcos(x) ۶ x \cos ( x )

تابع مشتق‌پذیر، هنوز صفر نشده است. بنابراین، مراحل قبلی را ادامه می‌دهیم.

تابع مشتق‌پذیرتابع انتگرال‌پذیرعلامتعبارت
x۳ x ^ ۳ sin(x) \sin ( x ) -۰
۳x۲ ۳ x ^ ۲ cos(x) - \cos ( x ) +x۳cos(x) - x ^ ۳ \cos ( x )
۶x ۶ x sin(x) - \sin ( x) -۳x۲sin(x) ۳ x ^ ۲ \sin ( x )
۶ ۶ cos(x) \cos ( x ) +۶xcos(x) ۶ x \cos ( x )
۰ ۰ sin(x) \sin ( x) -۶sin(x) - ۶ \sin ( x )

پس از صفر شدن تابع مشتق‌پذیر، فرآیند مشتق‌گیری را متوقف می‌کنیم. با جمع عبارت‌های ستون چهارم، انتگرال مورد نظر به دست می‌آید. برای این مثال، داریم:

x۳sin(x)dx=x۳cos(x)۳x۲sin(x)+۶xcos(x)۶sin(x) \int x ^ ۳ \sin ( x ) d x = - x ^ ۳ \cos ( x ) - ۳ x ^ ۲ \sin ( x ) + ۶ x \cos ( x ) - ۶ \sin ( x )

یک دانش آموز ایستاده مقابل تخته در حال نگاه کردن به معادلات ریاضی

انتگرال جز به جز بازگشتی

هنگام انتگرال‌گیری جز به جز، برخی از توابع ساده نشده و از درون انتگرال خارج نمی‌شوند. این توابع، با ادامه انتگرال‌گیری و تکرار فرآیندها، به شکل‌های مختلف درمی‌آیند یا حتی بدون تغییر باقی می‌مانند. در این شرایط، از انتگرال جز به جز با روش بازگشتی استفاده می‌شود.

به عنوان مثال، انتگرال سینوس به توان دو را در نظر بگیرید:

sin۲(x)dx \int \sin ^ ۲ ( x ) d x

برای محاسبه انتگرال، می‌توانیم از روش بازگشتی استفاده کنیم. به این منظور، تابع سینوس به دو را به صورت ضرب دو تابع سینوس می‌نویسیم:

sin(x).sin(x)dx \int \sin ( x ) .\sin ( x ) d x

یکی از سینوس‌ها را برابر با f(x) و دیگری را برابر با g'(x) در نظر می‌گیریم:

f(x)=sin(x) f ( x ) = \sin ( x )

g(x)=sin(x) g ' ( x ) = \sin ( x )

مشتق سینوس، برابر با کسینوس است:

f(x)=cos(x) f ' ( x ) = \cos ( x )

انتگرال سینوس، با منفی کسینوس برابری می‌کند:

g(x)=cos(x) g ( x) = - \cos ( x )

این پارامترها را درون فرمول انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

sin(x).sin(x)dx=sin(x)cos(x)cos(x).cos(x)dx \int \sin ( x ) .\sin ( x ) d x = - \sin ( x ) \cos ( x ) - \int - \cos ( x ) . \cos ( x ) d x

sin۲(x)dx=sin(x)cos(x)+cos(x).cos(x)dx \int \sin ^ ۲ ( x ) d x = - \sin ( x ) \cos ( x ) + \int \cos ( x ) . \cos ( x ) d x

sin۲(x)dx=sin(x)cos(x)+cos۲(x)dx \int \sin ^ ۲ ( x ) d x = - \sin ( x ) \cos ( x ) + \int \cos ^ ۲ ( x ) d x

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در جواب انتگرال جز به جز، به یک انتگرال دیگر رسیدیم. اگر بخواهیم حل مسئله را با تکرار انتگرال جز به جز انجام دهیم، به یک حلقه بی‌نهایت برخورد می‌کنیم.

دانش آموزان در حال راه رفتن در راهروی مدرسه (تصویر تزئینی مطلب انتگرال جز به جز)

بنابراین، سعی می‌کنیم در صورت امکان، از انتگرال سمت راست به انتگرال سمت چپ برسیم. برای انجام این کار در این مثال، رابطه زیر را در نظر بگیرید:

sin۲(x)+cos۲(x)=۱ \sin ^ ۲ ( x ) + \cos ^ ۲ ( x ) = ۱

رابطه بالا را برحسب کسینوس بازنویسی می‌کنیم:

cos۲(x)=۱sin۲(x) \cos ^ ۲ ( x ) = ۱ - \sin ^ ۲ ( x )

عبارت سمت چپ را در جواب انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

sin۲(x)dx=sin(x)cos(x)+(۱sin۲(x))dx \int \sin ^ ۲ ( x ) d x = - \sin ( x ) \cos ( x ) + \int \left ( ۱ - \sin ^ ۲ ( x ) \right ) d x

sin۲(x)dx=sin(x)cos(x)+۱dxsin۲(x)dx \int \sin ^ ۲ ( x ) d x = - \sin ( x ) \cos ( x ) + \int ۱ d x - \int \sin ^ ۲ ( x ) d x

sin۲(x)dx=sin(x)cos(x)+xsin۲(x)dx \int \sin ^ ۲ ( x ) d x = - \sin ( x ) \cos ( x ) + x - \int \sin ^ ۲ ( x ) d x

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در سمت راست معادله، به عبارتی مشابه عبارت سمت چپ معادله رسیدیم. این عبارت را برابر با I قرار می‌دهیم:

I=sin۲(x)dx I = \int \sin ^ ۲ ( x ) d x

I=sin(x)cos(x)+xI I = - \sin ( x ) \cos ( x ) + x - I

I را به سمت چپ می‌بریم:

۲I=sin(x)cos(x)+x ۲ I = - \sin ( x ) \cos ( x ) + x

I=xsin(x)cos(x)۲ I = \frac { x - \sin ( x ) \cos ( x ) } { ۲ }

در نتیجه انتگرال انتگرال سینوس به توان دو برابر است با:

sin۲(x)dx=xsin(x)cos(x)۲+C \int \sin ^ ۲ ( x ) d x = \frac { x - \sin ( x ) \cos ( x ) } { ۲ } + C

اثبات فرمول انتگرال جز به جز

رابطه انتگرال جز به جز، با استفاده از فرمول مشتق ضرب دو تابع اثبات می‌شود.

مشتق ضرب دو تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

ddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+g(x)f(x) \frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g' ( x ) + g ( x ) f' ( x )

به عبارت دیگر، مشتق ضرب دو تابع، برابر با حاصل‌ضرب تابع اول در مشتق تابع دوم به علاوه حاصل‌ضرب مشتق تابع اول در تابع دوم است. انتگرال جز به جز نیز به صورت زیر نوشته می‌شود:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

برای اثبات انتگرال جز به جز، دو تابع u و v را در نظر می‌گیریم. حاصل‌ضرب این دو تابع را برابر با y قرار می‌دهیم:

y=uv y = u v

اکنون، می‌خواهیم با توجه به فرمول مشتق ضرب دو تابع، از y بر حسب x مشتق بگیریم. به این ترتیب، خواهیم داشت:

f(x)=u f ( x ) = u

g(x)=v g ( x ) = v

f(x)=ddxu f ' ( x ) = \frac { d } { d x } u

g(x)=ddxv g ' ( x ) = \frac { d } { d x } v

بنابراین داریم:

ddxy=f(x)g(x)+g(x)f(x) \frac { d }{ d x } y = f ( x ) g' ( x ) + g ( x ) f' ( x )

ddxuv=u(ddxv)+v(ddxu) \frac { d }{ d x } uv = u ( \frac { d } { d x } v ) + v ( \frac { d } { d x } u )

عبارت‌های بالا را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

u(dvdx)=ddx(uv)v(dudx) u ( \frac { d v }{ d x } ) = \frac { d } { d x } ( u v ) - v ( \frac { d u } { d x } )

اکنون، از دو طرف معادله، انتگرال می‌گیریم:

u(dvdx)(dx)=ddx(uv)(dx)v(dudx)(dx) \int u ( \frac { d v }{ d x } ) ( d x ) = \int \frac { d } { d x } ( u v ) ( d x ) - \int v ( \frac { d u } { d x } ) ( d x )

در تمام عبارت‌های داخل انتگرال، dx با dx ساده می‌شود:

udv=uvvdu \int u d v = \int u v - \int v d u

udv=uvvdu \int u d v = u v - \int v d u

اکنون به جای توابع u و v، معادل اصلی آن‌ها را می‌نویسیم:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

در نتیجه، فرمول انتگرال جز به جز اثبات می‌شود.

اثبات فرمول انتگرال جز به جز به روش تصویری

در این بخش، قصد داریم فرمول انتگرال جز به جز را به صورت تصویری اثبات کنیم. به این منظور، معادله پارامتری زیر را در نظر بگیرید:

(x,y)=(f(t),g(t)) ( x , y ) = \left ( f ( t ) , g ( t ) \right )

فرض کنید تابع بالا، یک به یک و انتگرال‌پذیر است.

تصویر زیر، نمودار این تابع را نمایش می‌دهد. ناحیه قرمز، مساحت زیر منحنی نسبت به محور x و ناحیه آبی، مساحت زیر منحنی نسبت به محور y است.

نمودار مفهوم انتگرال جز به جز بر روی یک تخته

فرمول انتگرالی مساحت ناحیه قرمز به صورت زیر نوشته می‌شود:

A۱=x۱x۲y(x)dx A _ ۱ = \int _ { x _ ۱ } ^ { x _ ۲ } y ( x ) d x

فرمول انتگرالی مساحت ناحیه آبی نیز به صورت زیر نوشته می‌شود:

A۲=y۱y۲x(y)dy A _ ۲ = \int _ { y _ ۱ } ^ { y _ ۲ } x ( y ) d y

انتگرال جز به جز تابع پارامتری (x, y)، مجموع نواحی آبی و قرمز است. از روی شکل، می‌توان مشاهده کرد که جمع این دو ناحیه، از تفاضل مساحت مستطیل بزرگ (x۲y۲) و مساحت مستطیل کوچک (x۱y۱) به دست می‌آید:

A۱+A۲=x.y(x)x۱x۲=y.x(y)y۱y۲ A _ ۱ + A _ ۲ = x . y ( x ) | _ { x _ ۱ } ^ { x _ ۲ } = y . x ( y ) | _ { y _ ۱ } ^ { y _ ۲ }

y۱y۲x(y)dy+x۱x۲y(x)dx=x.y(x)x۱x۲=y.x(y)y۱y۲ \int _ { y _ ۱ } ^ { y _ ۲ } x ( y ) d y + \int _ { x _ ۱ } ^ { x _ ۲ } y ( x ) d x = x . y ( x ) | _ { x _ ۱ } ^ { x _ ۲ } = y . x ( y ) | _ { y _ ۱ } ^ { y _ ۲ }

رابطه بالا را بر حسب t می‌نویسیم:

t۱t۲x(t)dy(t)+t۱t۲y(t)dx(t)=x(t)y(t)t۱t۲ \int _ { t _ ۱ } ^ { t _ ۲ } x ( t ) d y ( t ) + \int _ { t _ ۱ } ^ { t_ ۲ } y ( t ) d x ( t ) = x ( t ) y ( t ) | _ { t _ ۱ } ^ { t _ ۲ }

رابطه بالا را به صورت نامعین بازنویسی می‌کنیم:

xdy+ydx=xy \int x d y + \int y d x = x y

با مرتب کردن عبارت‌های بالا، به فرمول انتگرال جز به جز می‌رسیم:

xdy=xyydx \int x d y = x y - \int y d x

حل تمرین انتگرال جز به جز

در این بخش، برای آشنایی بیشتر با روش‌های انتگرال گیری جز به جز و درک بهتر نحوه استفاده از آن‌ها، به حل چندین مثال متنوع می‌پردازیم.

یک دختر نشسته پشت میز در اتاق در حال نوشتن (تصویر تزئینی مطلب انتگرال جز به جز)

تمرین ۱: انتگرال جز به جز مثلثاتی

انتگرال عبارت x۲cos(۳x) x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) را تعیین کنید.

عبارت مورد سوال، از یک تابع چند جمله‌ای و یک تابع مثلثاتی تشکیل می‌شود. برای حل این تمرین، دو روش متداول وجود دارد. روش اول، قرار دادن توابع بالا در فرمول انتگرال جز به جز ساده است. روش دوم، استفاده از جدول توابع است. در ادامه، انتگرال مورد سوال را به هر دو روش حل می‌کنیم.

روش اول: استفاده از فرمول کلی انتگرال جز به جز

در انتگرال‌گیری جز به جز، توابع چندجمله‌ای نسبت به توابع مثلثاتی اولویت دارند. بنابراین، داریم:

f(x)=x۲ f ( x ) = x ^ ۲

g(x)=cos(۳x) g ' ( x ) = \cos ( ۳ x )

با توجه به توابع انتخابی، باید از تابع اول مشتق گرفته و از تابع دوم، انتگرال بگیریم. مشتق تابع x۲ x ^ ۲ برابر است با:

f(x)=۲x f ' ( x ) = ۲ x

تابع cos(۳x) \cos ( ۳ x ) ، کسینوس زاویه x با ضریب ثابت ۳ را نمایش می‌دهد. انتگرال این تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

cos(ax+b)dx=sin(ax+b)a \int \cos ( a x + b) d x = \frac { \sin (a x + b ) } { a }

cos(۳x+۰)dx=sin(۳x+۰)۳ \int \cos ( ۳ x + ۰ ) d x = \frac { \sin ( ۳ x + ۰ ) } { ۳ }

cos(۳x)dx=sin(۳x)۳ \int \cos ( ۳ x) d x = \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ }

بنابراین:

g(x)=sin(۳x)۳ g ( x ) = \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ }

توابع انتخابی را به همراه مشتق و انتگرال‌شان، درون رابطه انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

x۲cos(۳x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

x۲cos(۳x)dx=x۲.sin(۳x)۳۲x.sin(۳x)۳dx \int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = x ^ ۲ . \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ } - \int ۲ x. \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ } d x

این رابطه را ساده و مرتب می‌کنیم:

x۲cos(۳x)dx=x۲sin(۳x)۳۲۳x.sin(۳x)dx \int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۳ } - \frac { ۲ } { ۳ } \int x. \sin ( ۳ x ) d x

در طرف راست معادله، یک انتگرال داریم که به روش جز به جز قابل حل است. توابع اول و دوم این انتگرال را h(x) و i'(x) در نظر می‌گیریم:

h(x)=x h ( x ) = x

i(x)=sin(۳x) i ' ( x ) = \sin ( ۳ x )

با گرفتن مشتق از تابع اول و انتگرال از تابع دوم، خواهیم داشت:

h(x)=۱ h ' ( x ) = ۱

i(x)=cos(۳x)۳ i ( x ) = - \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۳ }

 این توابع را درون فرمول انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

h(x)i(x)dx=h(x)i(x)h(x)i(x)dx \int h ( x ) i ' ( x ) d x = h ( x ) i ( x ) - \int h ' ( x ) i ( x) d x

xsin(۳x)dx=x.cos(۳x)۳cos(۳x)۳dx \int x \sin ( ۳ x ) d x = - x . \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۳ } - \int - \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۳ } d x

xsin(۳x)dx=xcos(۳x)۳+cos(۳x)۳dx \int x \sin ( ۳ x ) d x = - \frac { x \cos ( ۳ x ) } { ۳ } + \int \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۳ } d x

xsin(۳x)dx=xcos(۳x)۳+۱۳cos(۳x)dx \int x \sin ( ۳ x ) d x = - \frac { x \cos ( ۳ x ) } { ۳ } + \frac { ۱ }{ ۳ } \int \cos ( ۳ x ) d x

انتگرال cos(۳x) \cos ( ۳ x ) را در مراحل قبلی به دست آوردیم. جواب این انتگرال را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

xsin(۳x)dx=xcos(۳x)۳+۱۳(sin(۳x)۳) \int x \sin ( ۳ x ) d x = - \frac { x \cos ( ۳ x ) } { ۳ } + \frac { ۱ }{ ۳ } \left ( \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ } \right )

xsin(۳x)dx=xcos(۳x)۳+sin(۳x)۹ \int x \sin ( ۳ x ) d x = - \frac { x \cos ( ۳ x ) } { ۳ } + \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۹ }

جواب انتگرال بالا را در انتگرال پایین جایگذاری می‌کنیم:

x۲cos(۳x)dx=x۲sin(۳x)۳۲۳x.sin(۳x)dx+C \int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۳ } - \frac { ۲ } { ۳ } \int x. \sin ( ۳ x ) d x + C

x۲cos(۳x)dx=x۲sin(۳x)۳۲۳(xcos(۳x)۳+sin(۳x)۹)+C \int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۳ } - \frac { ۲ } { ۳ } \left ( - \frac { x \cos ( ۳ x ) } { ۳ } + \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۹ } \right ) + C

x۲cos(۳x)dx=x۲sin(۳x)۳+۲xcos(۳x)۹۲sin(۳x)۲۷+C \int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۳ } + \frac { ۲ x \cos ( ۳ x ) } { ۹ } - \frac { ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ } + C

از تمام عبارت‌ها، مخرج مشترک می‌گیریم:

x۲cos(۳x)dx=۹x۲sin(۳x)۲۷+۶xcos(۳x)۲۷۲sin(۳x)۲۷+C \int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { ۹ x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ } + \frac { ۶ x \cos ( ۳ x ) } { ۲۷ } - \frac { ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ } + C

x۲cos(۳x)dx=۹x۲sin(۳x)+۶xcos(۳x)۲sin(۳x)۲۷+C \int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { ۹ x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) + ۶ x \cos ( ۳ x ) - ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ } + C

x۲cos(۳x)dx=(۹x۲۲)sin(۳x)+۶xcos(۳x)۲۷+C \int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { ( ۹ x ^ ۲ - ۲ ) \sin ( ۳ x ) + ۶ x \cos ( ۳ x ) } { ۲۷ } + C

به این ترتیب، از حاصل‌ضرب یک تابع مثلثاتی در یک تابع چندجمله‌ای، انتگرال گرفتیم. روند انتگرال‌گیری در این روش، مقداری طولانی بود. این موضوع، احتمال خطا در محاسبات را افزایش می‌دهد. به همین دلیل، برای حل مثال‌های مشابه، استفاده از روش دوم را پیشنهاد می‌کنیم.

نمای نزدیک از دست یک دانش آموز نشسته پشت میز در حال نوشتن (تصویر تزئینی مطلب انتگرال جز به جز)

روش دوم: استفاده از انتگرال جز به جز جدولی

در انتگرال‌گیری به روش جز به جز، ابتدا جدولی با ستون‌های زیر را ایجاد می‌کنیم.

تابع مشتق‌پذیرتابع انتگرال‌پذیرعلامتعبارت

تابع مشتق‌پذیر، باید به گونه‌ای باشد که پس از چند بار مشتق‌گیری، به عدد ۰ برسد. تابع x۲ x ^ ۲ ، شرط مورد نیاز برای قرارگیری در این ستون را دارد.

بنابراین، تابع cos(۳x) \cos ( ۳ x ) در ستون دوم قرار می‌گیرد. علامت ردیف اول، منفی (-) و عبارت ردیف اول، صفر (۰) خواهد بود.

تابع مشتق‌پذیرتابع انتگرال‌پذیرعلامتعبارت
x۲ x ^ ۲ cos(۳x) \cos ( ۳ x ) -۰

برای نوشتن ردیف دوم، از ستون اول ردیف اول، مشتق گرفته و از ستون دوم ردیف اول، انتگرال می‌گیریم. سپس، علامت ردیف آن‌ها را به مثبت (+) تغییر می‌دهیم. برای آشنایی با مشتق کسینوس، سینوس و دیگر توابع مثلثاتی، مطالعه مطلب «مشتق توابع مثلثاتی | به زبان ساده» را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

تابع مشتق‌پذیرتابع انتگرال‌پذیرعلامتعبارت
x۲ x ^ ۲ cos(۳x) \cos ( ۳ x ) -۰
۲x ۲ x sin(۳x)۳ \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ } +؟

ستون چهارم، از ضرب تابع انتگرال‌پذیر ردیف فعلی در تابع مشتق‌پذیری ردیف قبلی و علامت این ردیف به دست می‌آید.

تابع مشتق‌پذیرتابع انتگرال‌پذیرعلامتعبارت
x۲ x ^ ۲ cos(۳x) \cos ( ۳ x ) -۰
۲x ۲ x sin(۳x)۳ \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ } +x۲.sin(۳x)۳ x ^ ۲ . \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ }

برای ردیف سوم نیز مراحل قبل را تکرار می‌کنیم.

تابع مشتق‌پذیرتابع انتگرال‌پذیرعلامتعبارت
x۲ x ^ ۲ cos(۳x) \cos ( ۳ x ) -۰
۲x ۲ x sin(۳x)۳ \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ } +x۲.sin(۳x)۳ x ^ ۲ . \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ }
۲cos(۳x)۹ - \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۹ } -۲x.cos(۳x)۹ ۲ x . \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۹ }

مشتق ستون اول، هنوز به ۰ نرسیده است. بنابراین، روند مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری را ادامه می‌دهیم.

تابع مشتق‌پذیرتابع انتگرال‌پذیرعلامتعبارت
x۲ x ^ ۲ cos(۳x) \cos ( ۳ x ) -۰
۲x ۲ x sin(۳x)۳ \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ } +x۲.sin(۳x)۳ x ^ ۲ . \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ }
۲cos(۳x)۹ - \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۹ } -۲x.cos(۳x)۹ ۲ x . \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۹ }
۰sin(۳x)۲۷ - \frac { \sin ( ۳ x ) }{ ۲۷ } +۲sin(۳x)۲۷ - \frac { ۲ \sin ( ۳ x ) }{ ۲۷ }

با رسیدن مشتق ستون اول به عدد صفر، فرآیند اضافه کردن ردیف‌های جدول پایان می‌یابد. اکنون، تمام عبارت‌های ستون چهارم را با هم جمع کرده و آن‌ها را ساده می‌کنیم:

x۲.sin(۳x)۳+۲x.cos(۳x)۹۲sin(۳x)۲۷ x ^ ۲ . \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ } + ۲ x . \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۹ } - \frac { ۲ \sin ( ۳ x ) }{ ۲۷ }

۹x۲sin(۳x)۲۷+۶xcos(۳x)۲۷۲sin(۳x)۲۷ \frac { ۹ x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ } + \frac { ۶ x \cos ( ۳ x ) } { ۲۷ } - \frac { ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ }

۹x۲sin(۳x)+۶xcos(۳x)۲sin(۳x)۲۷ \frac { ۹ x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) + ۶ x \cos ( ۳ x ) - ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ }

(۹x۲۲)sin(۳x)+۶xcos(۳x)۲۷ \frac { ( ۹ x ^ ۲ - ۲ ) \sin ( ۳ x ) + ۶ x \cos ( ۳ x ) } { ۲۷ }

به این ترتیب، انتگرال x۲cos(۳x) x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) را سریع‌تر از روش اول به دست آوردیم.

x۲cos(۳x)dx=(۹x۲۲)sin(۳x)+۶xcos(۳x)۲۷+C \int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { ( ۹ x ^ ۲ - ۲ ) \sin ( ۳ x ) + ۶ x \cos ( ۳ x ) } { ۲۷ } + C

یک کلاس درس، دو نفر نشسته و یک نفر ایستاده

تمرین ۲: انتگرال جز به جز بازگشتی

انتگرال ex.sin(x)dx e ^ x . \sin ( x ) dx را به دست بیاورید.

ex.sin(x)dx e ^ x . \sin ( x ) dx ، حاصل‌ضرب تابع نمایی ex e ^ x در تابع مثلثاتی sin(x) \sin ( x ) است. به منظور انتگرال‌گیری جز به جز از این عبارت، باید تابع f(x) و g'(x) را مشخص کنیم. برای انتخاب f(x)، توابع مثلثاتی نسبت به توابع نمایی اولویت دارند. بنابراین:

f(x)=sin(x) f ( x ) = \sin ( x )

g(x)=ex g ' ( x ) = e ^ x

f(x)=cos(x) f ' ( x ) = \cos( x )

g(x)=ex g ( x ) = e ^ x

تغییر متغیرها را درون فرمول انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

sin(x)exdx=sin(x)excos(x)exdx \int \sin ( x ) e ^ x d x = \sin ( x ) e ^ x - \int \cos ( x ) e ^ x d x

عبارت ex e ^ x ، با ادامه انتگرال‌گیری از درون انتگرال خارج نخواهد شد. بنابراین، باید به نحوی از انتگرال سمت راست، به انتگرال سمت چپ برسم. انتگرال سمت چپ را برابر با I و انتگرال سمت راست را برابر با J در نظر می‌گیریم:

I=sin(x)exJ I = \sin ( x ) e ^ x - J

به عبارت دیگر:

I=sin(x)exdx I = \int \sin ( x ) e ^ x d x

J=cos(x)exdx J = \int \cos ( x ) e ^ x d x

تغییر متغیرهای انتگرال جز به جز را این بار برای J انجام می‌دهیم:

f(x)=cos(x) f ( x ) = \cos ( x )

g(x)=ex g ' ( x ) = e ^ x

f(x)=sin(x) f ' ( x ) = - \sin ( x )

g(x)=ex g ( x ) = e ^ x

انتگرال جز به جز را با توجه به این تغییر متغیرها می‌نویسیم:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

cos(x)exdx=cos(x)exsin(x)exdx \int \cos ( x ) e ^ x d x = \cos ( x ) e ^ x - \int - \sin ( x ) e ^ x d x

J=cos(x)ex+sin(x)exdx J = \cos ( x ) e ^ x + \int \sin ( x ) e ^ x d x

در مراحل قبل فرض کردیم که sin(x)exdx \int \sin ( x ) e ^ x d x برابر با I است. بنابراین:

J=cos(x)ex+I J = \cos ( x ) e ^ x + I

به جای پارامتر J در فرمول I، طرف راست رابطه بالا را جایگزین می‌کنیم:

I=sin(x)exJ I = \sin ( x ) e ^ x - J

I=sin(x)ex(cos(x)ex+I) I = \sin ( x ) e ^ x - ( \cos ( x ) e ^ x + I )

I=sin(x)excos(x)exI I = \sin ( x ) e ^ x - \cos ( x ) e ^ x - I

عبارت I در سمت راست را به سمت چپ معادله می‌بریم:

I+I=sin(x)excos(x)ex I + I = \sin ( x ) e ^ x - \cos ( x ) e ^ x

۲I=sin(x)excos(x)ex ۲ I = \sin ( x ) e ^ x - \cos ( x ) e ^ x

I=sin(x)excos(x)ex۲ I = \frac { \sin ( x ) e ^ x - \cos ( x ) e ^ x } { ۲ }

از ex e ^ x فاکتور می‌گیریم:

I=ex(sin(x)cos(x))۲ I = \frac { e ^ x \left ( \sin ( x ) - \cos ( x ) \right ) } { ۲ }

در نتیجه:

exsin(x)dx=ex(sin(x)cos(x))۲+C \int e ^ x \sin ( x ) d x = \frac { e ^ x \left ( \sin ( x ) - \cos ( x ) \right ) } { ۲ } + C

انتگرال بازگشتی، امکان بیرون آمدن از حلقه‌های بی‌نهایت انتگرال‌گیری را فراهم می‌کند.

تمرین ۳: انتگرال جز به جز تابع مثلثاتی معکوس

انتگرال معکوس تابع سینوس را به دست بیاورید.

یکی از روش‌های به دست آوردن انتگرال معکوس سینوس یا آرک‌سینوس، استفاده از فرمول انتگرال‌گیری جز به جز است.

برای این استفاده از این فرمول، ابتدا تابع سینوس معکوس را به صورت حاصل‌ضرب خودش در عدد ۱ می‌نویسیم:

sin۱(x)dx=sin۱(x)×۱dx  \int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = \int \sin ^ { - ۱ } ( x ) \times ۱ d x 

در انتگرال‌گیری جز به جز، توابع معکوس مثلثاتی نسبت به دیگر توابع یک یا چندجمله‌ای اولویت دارند. بنابراین، داریم:

f(x)=sin۱(x) f ( x ) = \sin ^ { - ۱ } ( x )

g(x)=۱ g ' ( x ) = ۱

یک معلم پاس تخته در حال نوشتن بر روی تخته (تصویر تزئینی مطلب انتگرال جز به جز)

به این ترتیب، باید از تابع f(x)، مشتق گرفته و از تابع g'(x)، انتگرال بگیریم. مشتق آرک‌سینوس عبارت است از:

f(x)=۱۱x۲ f ' ( x ) = \frac { ۱ }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } }

انتگرال عدد ۱ نیز برابر است با:

g(x)=x g ( x ) = x

این عبارت‌ها را درون رابطه انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

sin۱(x)×۱dx=sin۱(x)×x۱۱x۲×xdx \int \sin ^ { - ۱ } ( x ) \times ۱ d x = \sin ^ { - ۱ } ( x ) \times x - \int \frac { ۱ }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } \times x d x

sin۱(x)dx=xsin۱(x)x۱x۲dx \int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sin ^ { - ۱ } ( x )- \int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x

اانتگرال سمت راست معادله بالا را در نظر بگیرید:

x۱x۲dx \int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x

بهترین روش برای حل این انتگرال، استفاده از تغییر متغیر است. به این منظور، عبارت ۱x۲ ۱ - x ^ ۲ را برابر با یک متغیر فرضی نظیر u قرار می‌دهیم:

u=۱x ۲ u = ۱ - x  ^ ۲

با مشتق‌گیری از u بر حسب x، خواهیم داشت:

dudx=۲x \frac { d u } { d x } = - ۲ x

رابطه بالا را بر حسب dx بازنویسی می‌کنیم:

dx=۱۲xdu d x = - \frac { ۱ } { ۲ x } d u

اکنون، با توجه به تغییر متغیرهای صورت گرفته، انتگرال سمت راست معادله را به شکل زیر تغییر می‌دهیم:

x۱x۲dx=xu(۱۲x)du \int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x = \int \frac { x }{ \sqrt { u } } ( - \frac { ۱ } { ۲ x } ) d u

پس از ساده‌سازی عبارت‌های درون انتگرال، به رابطه زیر می‌رسیم:

x۱x۲dx=۱۲۱udu \int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x = - \frac { ۱ } { ۲ } \int \frac { ۱ }{ \sqrt { u } } d u

می‌توانیم انتگرال بالا را به صورت یک عبارت توانی بازنویسی کنیم:

۱۲۱u۱۲du - \frac { ۱ } { ۲ } \int \frac { ۱ }{ u ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } } d u

۱۲u۱۲du - \frac { ۱ } { ۲ } \int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u

انتگرال توابع توانی از رابطه زیر به دست می‌آید:

undu=un+۱n+۱ \int u ^ { \mathrm { n } } \mathrm { d } u = \frac { u ^ { \mathrm { n } + ۱ } }{ \mathrm { n } + ۱ }

توان u برابر با منفی یک‌دوم است. بنابراین داریم:

u۱۲du=u۱۲+۱۱۲+۱ \int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u = \frac { u ^ { \mathrm { - \frac { ۱ } { ۲ } } + ۱ } }{ \mathrm { - \frac { ۱ } { ۲ } } + ۱ }

u۱۲du=u۱۲۱۲ \int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u = \frac { u ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } }{ \frac { ۱ } { ۲ } }

u۱۲du=۲u۱۲ \int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u = ۲ u ^ { \frac { ۱ } { ۲ } }

u۱۲du=۲u \int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u = ۲ \sqrt { u }

به این ترتیب، داریم:

۱۲u۱۲du=۱۲×۲u - \frac { ۱ } { ۲ } \int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u = - \frac { ۱ } { ۲ } \times ۲ \sqrt { u }

۱۲u۱۲du=u - \frac { ۱ } { ۲ } \int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u = - \sqrt { u }

x۱x۲dx=u \int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x = - \sqrt { u }

اکنون به جای u، عبارت معادل آن بر حسب x را قرار می‌دهیم:

u=۱x ۲ u = ۱ - x  ^ ۲

u=۱x۲ - \sqrt { u } = - \sqrt { ۱ - x ^ ۲ }

x۱x۲dx=۱x۲ \int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x = - \sqrt { ۱ - x ^ ۲ }

انتگرال سمت راست معادله اصلی را به دست آوردیم. جواب این انتگرال را درون معادله قرار می‌دهیم:

sin۱(x)dx=xsin۱(x)x۱x۲dx \int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sin ^ { - ۱ } ( x )- \int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x

sin۱(x)dx=xsin۱(x)(۱x۲) \int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sin ^ { - ۱ } ( x )- ( - \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } )

sin۱(x)dx=xsin۱(x)+۱x۲ \int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sin ^ { - ۱ } ( x ) + \sqrt { ۱ - x ^ ۲ }

sin۱(x)dx=xsin۱(x)+۱x۲+C \int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sin ^ { - ۱ } ( x ) + \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } + C

به این ترتیب، انتگرال سینوس وارون را با استفاده از انتگرال جز به جز به دست آوردیم.

چندین دانش آموز دبیرستانی نشسته در یک سالن بزرگ در حال امتحان دادن (تصویر تزئینی مطلب انتگرال جز به جز)

تمرین ۴: انتگرال جز به جز تابع نمایی

انتگرال xe۶x x e ^ { ۶ x } را به دست بیاورید.

برای انتگرال‌گیری از عبارت مورد سوال، می‌توانیم از رابطه انتگرال جز به جز معمولی یا روش انتگرال گیری جدولی استفاده کنیم. به دلیل ساده بودن تابع مشتق‌پذیر (x)، فرمول کلی انتگرال جز به جز را به کار می‌گیریم.

xe۶x x e ^ { ۶ x } ، حاصل‌ضرب یک تابع جبری (x x ) در یک تابع نمایی (e۶x e ^ { ۶ x } ) است. در انتگرال جز به جز، توابع جبری نسبت به توابع نمایی اولویت دارند. بنابراین، برای تغییر متغیر خواهیم داشت:

f(x)=x f ( x ) = x

g(x)=e۶x g ' ( x ) = e ^ { ۶ x }

از تابع f(x) مشتق و از تابع g'(x)، انتگرال می‌گیریم:

f(x)=۱ f ' ( x ) = ۱

g(x)=۱۶e۶x g ( x ) = \frac { ۱ } { ۶ } e ^ { ۶ x }

تغییر متغیرها را درون فرمول انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

xe۶xdx=x۱۶e۶x۱×۱۶e۶xdx \int x e ^ { ۶ x } d x = x \frac { ۱ } { ۶ } e ^ { ۶ x } - \int ۱ \times \frac { ۱ } { ۶ } e ^ { ۶ x } d x

xe۶xdx=x۶e۶x۱۶e۶xdx \int x e ^ { ۶ x } d x = \frac { x } { ۶ } e ^ { ۶ x } - \int \frac { ۱ } { ۶ } e ^ { ۶ x } d x

xe۶xdx=x۶e۶x۱۶e۶xdx \int x e ^ { ۶ x } d x = \frac { x } { ۶ } e ^ { ۶ x } - \frac { ۱ } { ۶ } \int e ^ { ۶ x } d x

xe۶xdx=x۶e۶x۱۶(۱۶e۶x)+C \int x e ^ { ۶ x } d x = \frac { x } { ۶ } e ^ { ۶ x } - \frac { ۱ } { ۶ } ( \frac { ۱ } { ۶ } e ^ { ۶ x } ) + C

xe۶xdx=x۶e۶x۱۳۶e۶x+C \int x e ^ { ۶ x } d x = \frac { x } { ۶ } e ^ { ۶ x } - \frac { ۱ } { ۳۶ } e ^ { ۶ x } + C

سوالات متداول در رابطه با انتگرال جز به جز

در این بخش، به برخی از پرتکرارترین سوالات در رابطه با انتگرال جز به جز به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

انتگرال جز به جز چه کاربردی دارد ؟

کاردبرد اصلی انتگرال جز به جز، به دست آوردن انتگرال توابعی است که فرمول مشخصی برای انتگرال‌گیری از آن‌ها وجود ندارد.

انتگرال ضرب دو تابع متفاوت چگونه بدست می آید ؟

انتگرال ضرب دو تابع متفاوت، معمولا با استفاده از انتگرال‌گیری جز به جز به دست می‌آید.

انتگرال گیری جز به جز چگونه انجام می شود ؟

انتگرال‌گیری جز به جز با در نظر گرفتن تابع مشتق‌پذیر (تابع اول) به عنوان f(x) یا u، در نظر گرفتن تابع انتگرال‌پذیر (تابع دوم) به عنوان g'(x) یا dv و قرار دادن این توابع به همراه مشتق و انتگرال‌شان در یک فرمول مخصوص انجام می‌شود.

انتخاب تابع اول و دوم انتگرال جز به جز چگونه انجام می شود ؟

در انتگرال جز به جز، تابعی که مشتق‌گیری از آن ساده‌تر است، به عنوان تابع اول و تابعی که انتگرال‌گیری از آن ساده‌تر است، به عنوان تابع دوم انتخاب می‌شود.

اولویت توابع در انتگرال گیری جز به جز چگونه است ؟

هنگام انتخاب توابع اول در فرمول انتگرال جز به جز، اولویت توابع به ترتیب با تابع لگاریتمی، تابع معکوس مثلثاتی، تابع جبری، تابع مثلثاتی و تابع نمایی است.

انتگرال جز به جز جدولی چیست ؟

انتگرال جز به جز جدولی، روشی برای انتگرال‌گیری ساده و سریع از توابعی است که انتگرال‌گیری از آن‌ها به روش معمولی، به صرف زمان نسبتا زیاد و دقت بالا نیاز دارد.

شرط اصلی استفاده از انتگرال جز به جز جدولی چیست ؟

برای انتگرال‌گیری به روش جدولی، یکی از توابع باید تا رسیدن به ۰ مشتق‌پذیر باشد. شرط دیگر استفاده از این روش، انتگرال‌پذیر بودن تابع دیگر است.

انتگرال جز به جز بازگشتی چیست ؟

اگر در حین انتگرال‌گیری جز به جز، عبارت طرف چپ معادله (انتگرال مورد نظر) در طرف راست نیز ظاهر شود، می‌توان با بردن انتگرال‌ها به یک سمت، جواب مسئله را به دست آورد. به این روش انتگرال‌گیری، انتگرال جز به جز بازگشتی می‌گویند.

انتگرال جز به جز بازگشتی برای چه توابعی مناسب است ؟

انتگرال‌گیری جز به جز بازگشتی، برای توابعی مناسب است که انتگرال آن‌ها در جواب‌شان ظاهر می‌شود. به عنوان مثال، این روش کاربرد خوبی در انتگرال‌گیری از توابع مثلثاتی دارد.

بر اساس رای ۲۰۵ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Wikipediaمجله فرادرسUBC
۱۲ دیدگاه برای «انتگرال جز به جز + آموزش فرمول و نمونه سوال با جواب»

بسی عالی و جمع و جور?????

سلام و سپاس
مثال دو رو فراموش کردید

سلام، وقت شما بخیر؛

شماره مثال‌ها بازبینی و اصلاح شد. از تذکر شما در این رابطه بسیار سپاسگزاریم.

عالی بود مرررررسی✌✌✌✌✌
فقط یه چند سوال داشتم چجوری بپرسم؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

کلا با سایتتون حال میکنم

خدا پدر مادرتو بیامرزه محشر بود

ممنون
کاش حقوق اون استادایی که خودشون درس نمیدن و دانشجو باید از شماها درسش رو یادبگیره رو شما ها میگرفتین.
خداقوت تشکرفراوون.

عالی بود، من هر بار که گیر میکنم میام دوباره این بخش رو میخونم

چرا من هر کاری میکنم نمیفهمم این درس رو، خدایا چیکار کنم

این که خیلی ساده است پسر

بسیار ساده و قابل فهم بود .
خیلی ممنون از آموزش های خوبتون.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *