ریاضی , علوم پایه 1730 بازدید

همان‌طور که در بخش اول مبحث انتگرال نیز بیان شد، از این مفهوم می‌توان در محاسبه مساحت، حجم و بسیاری دیگر از پارامترها استفاده کرد. اما ریشه کاربرد انتگرال، محاسبه مساحت سطح زیر نمودارها است. در این بخش قصد داریم تا در مورد قوانین حاکم در محاسبات انتگرال بحث کنیم. قوانین مطرح شده در محاسبه انتگرال دوگانه و انتگرال روی سطوح خمیده نیز کاربرد خواهد داشت.

انتگرال-سطح

انتگرال توابع پایه

به منظور محاسبه انتگرال یک تابع در ابتدا بایستی با قوانین حاکم در عبارت‌های انتگرالی آشنا باشیم. با استفاده از انتگرال توابع بنیادی، می‌توان این مقدار را برای بسیاری دیگر از توابع نیز محاسبه کرد. در جدول زیر انتگرال چند تابع پرکاربرد و هم‌چنین قوانین حاکم بر آن‌ها ذکر شده است.

ax+C $$\int a dx$$ تابع ثابت
$${x^2 \over 2} + C$$ $$\int x dx$$ تابع خطی
$${x^3 \over 3} + C$$ $$\int x^2 dx$$ سهمی درجه 2
$$Ln|x| + C$$ $$\int{ 1 \over x} dx$$ تابع وارون
$$e^x +C$$ $$\int e^x dx$$ توابع نمایی
$${a^x \over ln(a)}+ C$$ $$\int a^x dx$$
x ln(x) − x + C $$\int ln(x)dx$$
sin(x)+C $$\int cos(x)dx$$ توابع مثلثاتی
– cos(x)+C $$\int sin(x)dx$$
tan (x) + C $$\int sec^2xdx$$
$$c \int f(x)dx$$ $$\int cf(x)dx$$ ضرب در یک ثابت
$${x^{n+1} \over {n+1}}+C$$ $$\int x^n dx$$ قانون توان
$$\int {fdx}+ \int {g dx}$$ $$\int {(f+g)} dx$$ قانون جمع

 مثال‌ها

در این قسمت به بررسی مثال‌هایی خواهیم پرداخت که در آن‌ها از قوانین معرفی شده در جدول بالا استفاده شده است.

مثال 1

انتگرال تابع $$\sqrt x$$ را بیابید.

در جدول بالا قانون توان را به شکل زیر معرفی کردیم.

$$\int x^n dx= {x^{n+1} \over {n+1}}+C$$

با جایگذاری 0.5 به جای n، خواهیم داشت.

$$\int {\sqrt {x}}dx=\int {x^{1 \over 2}}dx={x^{1.5} \over 1.5}+C$$

مثال 2

حاصل انتگرال تابع $$6x^2$$ را بیابید.

با توجه به ثابت بودن عدد ۶، آن را از انتگرال خارج کرده و داریم:

$$\int 6x^2dx=6 \int x^2dx$$

حال با استفاده از قانون توان و جایگذاری 2 به‌جای n، خواهیم داشت:

$$6 \int x^2dx=6{x^3 \over 3}+C=2x^3+C$$

مثال 3

حاصل عبارت $$\int (cos x +x )dx$$ را بیابید.

با استفاده از قانون جمع، می‌توان انتگرال دو عبارت را به صورت مجزا با یکدیگر جمع کرد. بنابراین داریم:

$$\int (cos x +x )dx=\int cos xdx+ \int xdx=sin x + {x^2 \over 2} +C$$

مثال 4

انتگرال تابع $$8z+4z^3-6z^2$$ را بیابید.

با استفاده از قانون جمع می‌توان نوشت:

$$\int {(8z+4z^3-6z^2)} dz=\int 8zdz+\int 4z^3dz-\int6z^2dz$$

حال قادریم تا ضرایب ثابت را از زیر انتگرال بیرون کشیده و عبارت بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم.

$$\int {(8z+4z^3-6z^2)} dz=8 \int zdz+4 \int z^3dz-6 \int z^2dz$$

در عبارت بالا هریک از انتگرال‌ها را می‌توان با استفاده از قانون توان بدست آورد. بنابراین حاصل آن برابر است با:

$$= {8z^2 \over 2} + {4z^4 \over 4} −{ 6z^3 \over 3} + C$$

$$= 4z^2+z^4-2z^3+ C$$

در بخش آینده، حل انتگرال به روش جزء به جزء را تشریح خواهیم کرد.

اگر به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات علاقه‌مند هستید، احتمالا می‌توانید از آموزش‌های زیر نیز بهره‌مند شوید:

^^

بر اساس رای 9 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

2 نظر در “انتگرال و روش های محاسبه — به زبان ساده

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *