ریاضی , علوم پایه 300 بازدید

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، توابع هذلولوی یا هیپربولیک و مشتق آن‌ها را بررسی کردیم. در این آموزش، انتگرال توابع هیپربولیک را با ارائه چند مثال توضیح می‌دهیم.

همان‌گونه که در آموزش‌های قبلی دیدیم، شش تابع اصلی هیپربولیک به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

$$\large \cosh x = \large\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}\normalsize$$ $$\large \sinh x = \large\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}\normalsize$$
$$\large \coth x = \large\frac{{\cosh x}}{{\sinh x}}\normalsize = \large\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{{{e^x} – {e^{ – x}}}}\normalsize$$ $$\large \tanh x = \large\frac{{\sinh x}}{{\cosh x}}\normalsize = \large\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}\normalsize$$
$$\large \text{csch}\,x = \large\frac{1}{{\sinh x}}\normalsize = \large\frac{2}{{{e^x} – {e^{ – x}}}}\normalsize$$ $$\large \text{sech}\,x = \large\frac{1}{{\cosh x}}\normalsize = \large\frac{2}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}\normalsize$$

فرمول‌های مشتق و انتگرال توابع هیپربولیک در جدول زیر آورده شده است:

انتگرال مشتق
$$\large {\large\int\normalsize} {\cosh x dx} = \sinh x + C$$ $$ \large {\left( {\sinh x} \right)^\prime } = \cosh x$$
$$\large {\large\int\normalsize} {\sinh x dx} = \cosh x + C$$ $$\large {\left( {\cosh x} \right)^\prime } = \sinh x$$
$$\large {\large\int\normalsize} {{\text{sech}^2}x dx} = \tanh x + C$$ $$ \large {\left( {\tanh x} \right)^\prime } = {\text{sech}^2}x$$
$$\large {\large\int\normalsize} {{\text{csch}^2}x dx} = -\coth x + C$$ $$\large {\left( {\coth x} \right)^\prime } = -{\text{csch}^2}x$$
$$\large {\large\int\normalsize} {\text{sech}\,x\tanh xdx}= – \text{sech}\,x + C$$ $$\large {\left( {\text{sech}\,x} \right)^\prime }= – \text{sech}\,x\tanh x$$
$$\large {\large\int\normalsize} {\text{csch}\,x\coth xdx}= – \text{csch}\,x + C$$ $$ \large {\left( {\text{csch}\,x} \right)^\prime } = – \text{csch}\,x\coth x$$

سه اتحاد مفید زیر را نیز یادآوری می‌کنیم:

$$\large {\cosh ^2}x – {\sinh ^2}x= 1$$

$$\large \sinh 2x = 2\sinh x\cosh x$$

$$ \large \cosh 2x = {\cosh ^2}x + {\sinh ^2}x$$

وقتی انتگرالده، شامل یک تابع هیپربولیک باشد، می‌توان با استفاده از تغییر متغیر $$u = {e^x}$$، $$x = \ln u$$ و $$dx = {\large\frac{{du}}{u}\normalsize}$$ انتگرال‌گیری هیپربولیک را به انتگرال‌گیری از یک تابع کسری یا گویا کاهش داد.

در ادامه، چند مثال از روش محاسبه انتگرال توابع هیپربولیک را بررسی می‌کنیم.

مثال 1

انتگرال زیر را محاسبه کنید:

$$\large {\large\int\normalsize} {{\large\frac{{\cosh x}}{{2 + 3\sinh x}}\normalsize} dx} .$$

حل: تغییر متغیر $$u = 2 + 3\sinh x$$ و در نتیجه $$du = 3\cosh x dx$$ را در نظر می‌گیریم. بنابراین، داریم: $$\cosh x dx = {\large\frac{{du}}{3}\normalsize}$$. با توجه به این فرضیات، انتگرال به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large {\int {\frac{{\cosh x}}{{2 + 3\sinh x}}dx} }
= {\int {\frac{{\frac{{du}}{3}}}{u}} }
= {\frac{1}{3}\int {\frac{{du}}{u}} } \\ \large
= {\frac{1}{3}\ln \left| u \right| + C }
= {\frac{1}{3}\ln \left| {2 + 3\sinh x} \right| }+{ C.}$$

مثال 2

انتگرال زیر را محاسبه کنید:

$$\large {\large\int\normalsize} {{{\sinh }^3}xdx}$$

حل: از آن‌جایی که $${\cosh ^2}x – {\sinh ^2}x= 1$$، و در نتیجه $${\sinh^2}x= {\cosh ^2}x – 1$$، می‌توانیم انتگرال را به‌صورت زیر بنویسیم:

$$\large {I = \int {{{\sinh }^3}xdx} }
= {\int {{{\sinh }^2}x\sinh xdx} } \\ \large
= {\int {\left( {{\cosh^2}x – 1} \right)\sinh xdx} .}$$

با استفاده از تغییر متغیر $$u = \cosh x$$ و در نتیجه $$du = \sinh xdx$$، حاصل انتگرال به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\large{I = \int {\left( {{\cosh^2}x – 1} \right)\sinh xdx} }
= {\int {\left( {{u^2} – 1} \right)du} } \\ \large
= {\frac{{{u^3}}}{3} – u + C }
= {\frac{{{{\cosh }^3}x}}{3} – \cosh x }+{ C.}$$

مثال 3

انتگرال زیر را محاسبه کنید:

$$\large {\large\int\normalsize} {x\sinh xdx}$$

حل: در این مثال، از انتگرال‌گیری جزء به جزء $${\large\int\normalsize} {udv}= uv – {\large\int\normalsize} {vdu}$$ استفاده می‌کنیم. فرض کنید $$u = x$$ و $$dv=\sinh xdx$$ باشد. در نتیجه، $$du = dx$$ و $$v = {\large\int\normalsize} {\sinh xdx}= \cosh x$$ خواهد بود. بنابراین، حاصل انتگرال برابر است با:

$$\large {\int {x\sinh xdx} }
= {{x\cosh x }-{ \int {\cosh xdx} }}
= {x\cosh x – \sinh x }+{ C.}$$

مثال 4

انتگرال زیر را محاسبه کنید:

$$\large {\large\int\normalsize} {{e^x}\sinh xdx}$$

حل: از آنجایی که $$\sinh x = {\large\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}\normalsize}$$ است، حاصل انتگرال، به‌صورت زیر خواهد بود:

$$\large {\int {{e^x}\sinh xdx} }
= {\int {{e^x}\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}dx} } \\ \large
= {\frac{1}{2}\int {\left( {{e^{2x}} – 1} \right)dx} }
= {{\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}{e^{2x}} – x} \right) }+{ C }}
= {{\frac{{{e^{2x}}}}{4} – \frac{x}{2} }+{ C.}}$$

مثال 5

انتگرال زیر را محاسبه کنید:

$$\large {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{1 + \cosh x}}\normalsize}$$

حل: از تعریف تابع $$\cosh x= {\large\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}\normalsize}$$ استفاده، و انتگرال را محاسبه می‌کنیم:

$$\large {\int {\frac{{dx}}{{1 + \cosh x}}} }
= {\int {\frac{{dx}}{{1 + \frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}}}} } \\ \large
= {\int {\frac{{2dx}}{{2 + {e^x} + {e^{ – x}}}}} }
= {2\int {\frac{{{e^x}dx}}{{2{e^x} + {e^{2x}} + 1}}} } \\ \large
= {2\int {\frac{{d\left( {{e^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}} }
= { – \frac{2}{{{e^x} + 1}} + C.}$$

مثال ۶

انتگرال زیر را محاسبه کنید:

$$\large {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{\sinh x + 2\cosh x}}\normalsize}$$

حل: در این مثال، از تعریف توابع $$\sinh x= {\large\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}\normalsize}$$ و $$\cosh x= {\large\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}\normalsize}$$ استفاده می‌کنیم. در نتیجه، داریم:

$$ \large{I = \int {\frac{{dx}}{{\sinh x + 2\cosh x}}} }
= {\int {\frac{{dx}}{{\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2} + 2 \cdot \frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}}}} } \\ \large
= {\int {\frac{{2dx}}{{{e^x} – {e^{ – x}} + 2{e^x} + 2{e^{ – x}}}}} }
= {2\int {\frac{{dx}}{{3{e^x} + {e^{ – x}}}}} }
= {2\int {\frac{{{e^x}dx}}{{3{e^{2x}} + 1}}} .}$$

با استفاده از تغییر متغیر $$u = {e^x}$$ و در نتیجه، $$du = {e^x}dx$$ حاصل انتگرال به‌دست می‌آید:

$$ \large {I = 2\int {\frac{{{e^x}dx}}{{3{e^{2x}} + 1}}} }
= {2\int {\frac{{du}}{{3{u^2} + 1}}} } \\ \large
= {\frac{2}{3}\int {\frac{{du}}{{{u^2} + \frac{1}{3}}}} }
= {\frac{2}{3}\int {\frac{{du}}{{{u^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}} } \\ \large
= {{\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{1}\arctan \frac{u}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} }+{ C }}
= {{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\sqrt 3 u} \right) }+{ C }} \\ \large
= {{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\sqrt 3 {e^x}} \right) }+{ C.}} $$

مثال ۷

انتگرال زیر را محاسبه کنید:

$$\large {\large\int\normalsize} {\sinh 2x\cosh 3xdx} .$$

حل: با استفاده از تعریف توابع $$\sinh x= {\large\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}\normalsize}$$ و $$\cosh x= {\large\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}\normalsize}$$ حاصل انتگرال به‌سادگی محاسبه می‌شود:

$$\large {\int {\sinh 2x\cosh 3xdx} }
= {\int {\frac{{{e^{2x}} – {e^{ – 2x}}}}{2} \cdot \frac{{{e^{3x}} + {e^{ – 3x}}}}{2}dx} } \\ \large
= {\frac{1}{4}\int {\left( {{e^{5x}} – {e^x} + {e^{ – x}} – {e^{ – 5x}}} \right)dx} }
= {{\frac{1}{4}\left( {\frac{{{e^{5x}}}}{5} – {e^x} – {e^{ – x}} + \frac{{{e^{ – 5x}}}}{5}} \right) }+{ C }} \\ \large
= {{\frac{1}{{10}} \cdot \frac{{{e^{5x}} + {e^{ – 5x}}}}{2} }-{ \frac{1}{2} \cdot \frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2} }+{ C }}
= {{\frac{{\cosh 5x}}{{10}} – \frac{{\cosh x}}{2} }+{ C.}}$$

مثال ۸

انتگرال زیر را محاسبه کنید:

$$\large {\large\int\normalsize} {\sinh x\cos xdx}.$$

حل: در این مثال، از انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم. بنابراین، فرض کنید:

$$\large{u = \cos x,\;\;}\kern-0.3pt
{dv = \sinh xdx,\;\;}\\ \large \Rightarrow
{du = – \sin xdx,\;\;}\kern-0.3pt
{v = \int {\sinh xdx} }={ \cosh x.}$$

در نتیجه:

$$\large{\int {\sinh x\cos xdx} }
= {\cosh x\cos x – \int {\cosh x\left( { – \sin x} \right)dx} }\\ \large
= {\cosh x\cos x + \int {\cosh x\sin xdx}.}$$

باز هم از انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم:

$$\large{u = \sin x,\;\;}\kern-0.3pt
{dv = \cosh xdx,\;\;}\\ \large\Rightarrow
{du = \cos xdx,\;\;}\kern-0.3pt
{v = \int {\cosh xdx} }={ \sinh x.}$$

بنابراین، داریم:

$$\large {\int {\sinh x\cos xdx} }
= {\cosh x\cos x }+{ \int {\cosh x\sin xdx} } \\ \large
= {\cosh x\cos x }+{ \left ( {\sin x\sinh x }\right.}-{\left.{ \int {\sinh x\cos xdx} } \right).}$$

با حل این معادله برای $${\large\int\normalsize} {\sinh x\cos xdx}$$، پاسخ کامل به‌دست می‌آید:

$$\large {\int {\sinh x\cos xdx} }
= {\frac{{\cosh x\cos x + \sinh x \sin x}}{2}.}$$

برای دسترسی سریع به فرمول‌های پیچیده‌تر انتگرال توابع هیپربولیک، می‌توانید از فرمول‌های جدول زیر کمک بگیرید.

انتگرال توابع سینوس هیپربولیک

$$\large \int\sinh ax\,dx = \frac{1}{a}\cosh ax+C$$

$$\large \int\sinh^2 ax\,dx = \frac{1}{4a}\sinh 2ax – \frac{x}{2}+C$$

$$\large \int\sinh^n ax\,dx = \frac{1}{an}(\sinh^{n-1} ax)(\cosh ax) – \frac{n-1}{n}\int\sinh^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}$$

$$\large \int\sinh^n ax\,dx = \frac{1}{a(n+1)}(\sinh^{n+1} ax)(\cosh ax) – \frac{n+2}{n+1}\int\sinh^{n+2}ax\,dx \qquad\mbox{(for }n<0\mbox{, }n\neq -1\mbox{)}$$

$$\large \int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\tanh\frac{ax}{2}\right|+C$$

$$\large \int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\frac{\cosh ax – 1}{\sinh ax}\right|+C$$

$$\large \int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\frac{\sinh ax}{\cosh ax + 1}\right|+C$$

$$\large \int\frac{dx}{\sinh ax} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{\cosh ax – 1}{\cosh ax + 1}\right|+C$$

$$\large \int\frac{dx}{\sinh^n ax} = -\frac{\cosh ax}{a(n-1)\sinh^{n-1} ax}-\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sinh^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$$

$$\large \int x\sinh ax\,dx = \frac{1}{a} x\cosh ax – \frac{1}{a^2}\sinh ax+C $$

$$\large \int (\sinh ax)(\sinh bx)\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} \big(a(\sinh bx)(\cosh ax) – b(\cosh bx)(\sinh ax)\big)+C \qquad\mbox{(for }a^2\neq b^2\mbox{)}$$

انتگرال توابع کسینوس هیپربولیک
$$\large \int\cosh ax\,dx = \frac{1}{a}\sinh ax+C$$

$$\large \int\cosh^2 ax\,dx = \frac{1}{4a}\sinh 2ax + \frac{x}{2}+C$$

$$\large \int\cosh^n ax\,dx = \frac{1}{an}(\sinh ax)(\cosh^{n-1} ax) + \frac{n-1}{n}\int\cosh^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}$$

$$\large \int\cosh^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n+1)}(\sinh ax)(\cosh^{n+1} ax) + \frac{n+2}{n+1}\int\cosh^{n+2}ax\,dx \qquad\mbox{(for }n<0\mbox{, }n\neq -1\mbox{)}$$

$$\large \int\frac{dx}{\cosh ax} = \frac{2}{a} \arctan e^{ax}+C$$

$$\large \int\frac{dx}{\cosh ax} = \frac{1}{a} \arctan (\sinh ax)+C$$

$$\large \int\frac{dx}{\cosh^n ax} = \frac{\sinh ax}{a(n-1)\cosh^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cosh^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$$

$$\large \int x\cosh ax\,dx = \frac{1}{a} x\sinh ax – \frac{1}{a^2}\cosh ax+C$$

$$\large \int x^2 \cosh ax\,dx = -\frac{2x \cosh ax}{a^2} + \left(\frac{x^2}{a}+\frac{2}{a^3}\right) \sinh ax+C$$

$$\large \int (\cosh ax)(\cosh bx)\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} \big(a(\sinh ax)(\cosh bx) – b(\sinh bx)(\cosh ax)\big)+C \qquad\mbox{(for }a^2\neq b^2\mbox{)}$$

انتگرال توابع تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت هیپربولیک
$$\large \int \tanh x \, dx = \ln \cosh x + C$$

$$\large \int\tanh^2 ax\,dx = x – \frac{\tanh ax}{a}+C$$

$$\large \int \tanh^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n-1)}\tanh^{n-1} ax+\int\tanh^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$$

$$\large \int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C , \text{ for } x \neq 0$$

$$\large \int \coth^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n-1)}\coth^{n-1} ax+\int\coth^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$$

$$\large \int \operatorname{sech}\,x \, dx = \arctan\,(\sinh x) + C$$

$$\large \int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C , \text{ for } x \neq 0$$

انتگرال توابع سینوس و کسینوس هیپربولیک
$$\large \int (\cosh ax)(\sinh bx)\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} \big(a(\sinh ax)(\sinh bx) – b(\cosh ax)(\cosh bx)\big)+C \qquad\mbox{(for }a^2\neq b^2\mbox{)}$$

$$\large \int\frac{\cosh^n ax}{\sinh^m ax} dx = \frac{\cosh^{n-1} ax}{a(n-m)\sinh^{m-1} ax} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{\cosh^{n-2} ax}{\sinh^m ax} dx \qquad\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}$$

$$\large \int\frac{\cosh^n ax}{\sinh^m ax} dx = -\frac{\cosh^{n+1} ax}{a(m-1)\sinh^{m-1} ax} + \frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\cosh^n ax}{\sinh^{m-2} ax} dx \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}$$

$$\large \int\frac{\cosh^n ax}{\sinh^m ax} dx = -\frac{\cosh^{n-1} ax}{a(m-1)\sinh^{m-1} ax} + \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\cosh^{n-2} ax}{\sinh^{m-2} ax} dx \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}$$

$$\large \int\frac{\sinh^m ax}{\cosh^n ax} dx = \frac{\sinh^{m-1} ax}{a(m-n)\cosh^{n-1} ax} + \frac{m-1}{n-m}\int\frac{\sinh^{m-2} ax}{\cosh^n ax} dx \qquad\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}$$

$$\large \int\frac{\sinh^m ax}{\cosh^n ax} dx = \frac{\sinh^{m+1} ax}{a(n-1)\cosh^{n-1} ax} + \frac{m-n+2}{n-1}\int\frac{\sinh^m ax}{\cosh^{n-2} ax} dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$$

$$\large \int\frac{\sinh^m ax}{\cosh^n ax} dx = -\frac{\sinh^{m-1} ax}{a(n-1)\cosh^{n-1} ax} + \frac{m-1}{n-1}\int\frac{\sinh^{m -2} ax}{\cosh^{n-2} ax} dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$$

انتگرال توابع هیپربولیک و مثلثاتی
$$\large \int \sinh (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+C$$

$$\large \int \sinh (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)+C$$

$$\large \int \cosh (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+C$$

$$\large \int \cosh (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)+C$$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *