ریاضی، علوم پایه ۴۹۶۴۲ بازدید

در آموزش‌های قبلی مجله فرادس، با مفاهیم مشتق و روش‌های مشتق‌گیری آشنا شدیم. همچنین، مباحثی مانند مشتق لگاریتم و تابع نمایی، مشتق ضمنی، مشتق جزئی، مشتق زنجیره‌ای، مشتق توابع معکوس،‌ و مشتق جهتی را توضیح دادیم. در این آموزش، با مشتق توابع کسری آشنا می‌شویم.

مشتق توابع کسری و قاعده خارج قسمت

مشتق توابع کسری یا گویا را می‌توان با استفاده از «قاعده خارج قسمت» (Quotient Rule) به دست آورد. تابع کسری $$ { h ( x ) = \frac { f ( x ) } { g ( x ) } } $$ را در نظر بگیرید. مشتق این تابع برابر است با:

$$ \large { h’ ( x ) = \frac { g ( x ) \cdot f’ ( x ) – f ( x ) \cdot g’ ( x ) } { \left ( g ( x ) \right ) ^ 2 } } $$

اثبات: از تعریف پایه مشتق استفاده می‌کنیم:

$$ \large \displaystyle \dfrac { d h ( x ) } { d x } = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { h ( x + \Delta x ) – h ( x ) } { \Delta x } } . $$

از آنجا که $$ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } = h ( x ) $$ است، می‌توان نوشت:

$$ \large \displaystyle \dfrac { d h ( x ) } { d x } = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \dfrac { \frac { f ( x + \Delta x ) } { g ( x + \Delta x ) } – \frac { f ( x ) } { g ( x ) } } { \Delta x } } . $$

عبارت بالا را به صورت زیر ساده می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned} \frac { d h ( x ) } { d x } & = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) -f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x g ( x ) g ( x + \Delta x ) } } \\\\ & = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { 1 } { g ( x ) g ( x + \Delta x ) } } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) – f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x } } \\\\ & = \frac { 1 } { \big ( g ( x ) \big ) ^ 2 } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) -f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x } } . \end {aligned} $$

با اضافه و کم کردن $$ f (x) g ( x ) $$ در صورت کسر، داریم:

$$ \large \displaystyle \frac { d h ( x ) } { d x } = \frac { 1 } { { \big ( g ( x ) \big ) } ^ { 2 } } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) – f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) – f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x } } $$

با اعمال چند تغییر کوچک در عبارت بالا، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned} \frac { d h ( x ) } { d x } & = \frac { 1 } { { g ( x ) } ^ { 2 } } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \left ( g ( x ) \bigg ( \frac { f ( x + \Delta x ) – f ( x ) } { \Delta x } \bigg ) – f ( x ) \bigg ( \frac { g ( x + \Delta x ) – g ( x ) } { \Delta x } \bigg ) \right ) } \\\\ & = \dfrac { \displaystyle \left ( g ( x ) \bigg ( \lim _ { \Delta x\rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) – f ( x ) } { \Delta x } } \bigg ) – f ( x ) \bigg ( \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { g ( x + \Delta x ) -g ( x ) } { \Delta x } } \bigg ) \right) } { { g ( x ) } ^ { 2 } } . \end {aligned} $$

در نهایت، فرمول مورد نظر به دست می‌آید:

$$ \large \displaystyle \boxed { \dfrac { d h ( x ) } { d x } = \dfrac { f’ ( x ) g ( x ) – g’ ( x ) f ( x ) } { { \big ( g ( x ) \big ) } ^ { 2 } } } . \ _ \square $$

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

  • برای مشاهده مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

مثال‌های مشتق توابع کسری

در این بخش، مثال‌های متنوعی را از مشتق توابع کسری بررسی می‌کنیم.

مثال ۱ مشتق توابع کسری

حاصل $$ \frac { d } { d x } \left ( \frac { 3 x ^ 3 – x – 2 } { 2 x } \right ) $$ را به دست آورید.

حل:‌ با توجه به فرمول بالا، توابع $$ 3x^3-x-2=f(x)$$ و $$ 2x=g(x) $$ را داریم. با جایگذاری این توابع در فرمول، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned} \frac { d } { d x } h ( x ) & = \frac { ( 2 x ) ( 9 x ^ 2 – 1 ) – ( 3 x ^ 3 – x – 2 ) ( 2 ) } { ( 2 x ) ^ 2 } \\ & = \frac { 1 8 x ^ 3 – 2 x – 6 x ^ 3 + 2 x + 4 } { 4 x ^ 2 } \\ & = \frac { 3 x ^ 3 + 1 } { x ^ 2 } . \ _ \square \end {aligned} $$

وقتی عبارات صورت و مخرج یک عبارت کسری پیچیده باشند، مشتق‌گیری از آن کسر کاملاً پیچیده و گیج‌کننده خواهد بود. در چنین مواردی، می‌توانیم صورت را به عنوان یک عبارت و مخرج را به عنوان یک عبارت فرض کرده و مشتقات آن‌ها را جداگانه بیابیم. پس از آن، مشتقات ترکیبی کسر را با استفاده از فرمول فوق برای مشتق توابع کسری می‌نویسیم و مستقیماً جایگزین می‌کنیم تا هیچ‌گونه سردرگمی ایجاد نشود و احتمال اشتباه کاهش یابد. در ادامه، چند مثال را برای این مورد بیان می‌کنیم.

مثال ۲ مشتق توابع کسری

اگر $$y = \frac { a – x } { a + x }$$ باشد ($$ x \neq – a  $$)، عبارت $$ \frac{dy}{dx} $$ را به دست آورید.

حل: توابع $$ u ( x ) = a – x \implies u’ ( x ) = – 1 $$ و $$ v ( x ) = a + x \implies v’ ( x ) = 1 $$ را در نظر بگیرید، به گونه‌ای که $$ y = \frac { u ( x ) } { v ( x ) } $$. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned} \dfrac { d y } { d x } & = \dfrac { v ( x ) u’ ( x ) – v’ ( x ) u ( x ) } { \big ( v ( x ) \big ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { ( a + x ) ( – 1 ) – ( a – x ) ( 1 ) } { ( a + x ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { – 2 a } { a ^ 2 + 2 a x + x ^ 2 } . \ _ \square \end {aligned} $$

مثال ۳ مشتق توابع کسری

اگر $$ y = \frac { p x ^ 2 + q x + r } { a x + b } $$ را داشته باشیم ($$ | a | + | b | \neq 0$$)، آنگاه $$ \frac { d y } { d x } $$ را بیابید.

حل: تابع را به صورت $$ y = \frac{u(x)}{v(x)} $$ می‌نویسیم که در آن، $$ u ( x ) = p x ^ 2 + q x + r \implies u’ ( x ) = 2 p x + q $$ و $$ v ( x ) = a x + b \implies v’ ( x ) = a $$ است. بنابراین، حاصل مشتق $$ y = \frac { u ( x ) } { v ( x ) } $$ به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {aligned} \dfrac { d y } { d x } & = \dfrac { d }{ d x } \left ( \dfrac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ) \\\\ & = \dfrac{ v ( x ) u’ ( x ) – v’ ( x ) u ( x ) } { \big ( v ( x ) \big ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { ( a x + b ) ( 2 p x + q ) – ( a ) ( p x ^ 2 + q x + r ) } { ( a x + b ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { a p x ^ 2 + 2 b p x + b q – a r } { a ^ 2 x ^ 2 + 2 a b x + b ^ 2 } . \ _ \square \end {aligned} $$

مثال ۴ مشتق توابع کسری

اگر $$ y = \frac { 1 } { a x ^ 2 + b x + c } $$ باشد ($$ |a| + |b| + |c| \neq 0 $$)، آنگاه حاصل $$ \frac{dy}{dx} $$ را بیابید.

حل: تابع را به صورت $$ y = \frac{u(x)}{v(x)} $$ می‌نویسیم که در آن، $$ u(x) = 1 \implies u'(x) = 0 $$ و $$ v(x) = ax^2 + bx + c \implies v'(x) = 2ax + b $$ است. بنابراین، حاصل مشتق تابع کسری $$ y = \frac { u ( x ) } { v ( x ) } $$ به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {aligned} \dfrac { d y } { d x } & = \dfrac { d } { d x } \left ( \dfrac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ) \\\\ & = \dfrac { v ( x ) u’ ( x ) – v’ ( x ) u ( x ) } { \big ( v ( x ) \big ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { ( a x ^ 2 + b x + c ) ( 0 ) – ( 2 a x + b ) ( 1 ) }{ ( a x ^ 2 + b x + c ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { – ( 2 a x + b ) }{ ( a x ^ 2 + b x + c ) ^ 2 } .\ _ \square \end {aligned} $$

مثال ۵ مشتق توابع کسری

اگر $$ y = \frac{ax + b}{cx + d} $$ باشد ($$|c| + |d| \neq 0$$)، آنگاه حاصل $$ \frac{dy}{dx} $$ را بیابید.

حل: تابع را به صورت $$ y = \frac{u(x)}{v(x)} $$ می‌نویسیم که در آن، $$ u(x) = ax + b \implies u'(x) = a $$ و $$ v(x) = cx + d \implies v'(x) = c $$ است. بنابراین، مشتق $$ y = \frac { u ( x ) } { v ( x ) } $$ به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {aligned} \dfrac { d y } { d x } & = \dfrac { d } { d x } \left ( \dfrac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ) \\\\ & = \dfrac { v ( x ) u’ ( x ) – v’ ( x ) u ( x ) } { \big ( v ( x ) \big ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { ( c x + d ) ( a ) – ( c ) ( a x + b ) } { ( c x + d ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { a d – b c } { ( c x + d ) ^ 2 } . \ _ \square \end {aligned} $$

مثال ۶ مشتق توابع کسری

اگر $$ y = \frac { 1 – x \sqrt { x } } { 1 + x \sqrt { x } } $$ باشد، آنگاه حاصل $$ \frac{dy}{dx} $$ را بیابید.

حل: تابع را به صورت $$ y = \frac{u(x)}{v(x)} $$ می‌نویسیم که در آن، $$ u ( x ) = 1 – x \sqrt { x } \implies u’ ( x ) = 0 – \sqrt { x } – \frac { x } { 2 \sqrt { x } } = – \frac { 3 \sqrt { x } } { 2 } $$ و $$ v ( x ) = 1 + x \sqrt { x } \implies v’ ( x ) = 0 + \sqrt { x } + \frac { x } { 2 \sqrt { x } } = \frac { 3 \sqrt { x } } { 2 } $$ است. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned} y & = \dfrac { u ( x ) } { v ( x ) } \\\\ \Rightarrow \dfrac { d y } { d x } & = \dfrac { v ( x ) u’ ( x ) – v’ ( x ) u ( x ) } { \big ( v ( x ) \big ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { ( 1 + x \sqrt { x } ) \left ( – \dfrac { 3 \sqrt { x } } { 2 } \right ) – \left ( \dfrac { 3 \sqrt { x } } { 2 } \right ) ( 1 – x \sqrt { x } ) } { ( 1 + x \sqrt { x } ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { – 3 \sqrt { x } – 3 x ^ 2 – ( 3 \sqrt { x } – 3 x ^ 2 ) } { 2 ( 1 + x \sqrt { x } ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { – 6 \sqrt { x } } { 2 ( 1 + x \sqrt { x } ) ^ 2 } \\\\ & = – \dfrac { 3 \sqrt { x } } { ( 1 + x \sqrt { x } ) ^ 2 } . \ _ \square \end {aligned} $$

مثال ۷ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ f ( x ) = \frac { x ^ 2 + 1 } { x } $$ را محاسبه کنید.

حل: از آنجا که $$ (x^2+1)’ = 2x $$ و $$ (x)’ = 1 $$، داریم:

$$ \large \begin {aligned} f’ ( x ) & = \frac { x ( 2 x ) -( 1 ) \big ( x ^ 2 + 1 \big ) } { x ^ 2 } \\ & = \frac { 2 x ^ 2 – x ^ 2 – 1 } { x ^ 2 } \\ & = \frac { x ^ 2 – 1 } { x ^ 2 } . \ _ \square \end {aligned} $$

مثال ۸ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ f ( x ) = \frac { e ^ x } {x ^ 2 } $$ را محاسبه کنید.

حل: از آنجا که $$ (e^x)’=e^x $$ و $$ \big(x^2\big)’=2x $$، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned} f’ ( x ) & = \frac { \big ( x ^ 2 \big ) ( e ^ x ) – ( 2 x ) ( e ^ x ) } { x ^ 4 } \\ & = \frac { x ^ 2 e ^ x – 2 x e ^ x } { x ^ 4 } \\ & = \frac { x e ^ x – 2 e ^ x } { x ^ 3 } . \ _ \square \end {aligned} $$

مثال ۹ مشتق توابع کسری

اگر $$ \displaystyle f ( x ) = \frac { \sin x } { x ^ 3 } $$ باشد، مقدار $$ f’ (x)$$ را به دست آورید.

حل: از آنجا که $$(\sin x)’=\cos x$$ و $$\left(x^3\right)’=3x^2$$، می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {aligned} f’ ( x ) & = \frac { \left ( x ^ 3 \right ) \left ( \cos x \right ) – \left ( \sin x \right ) \left ( 3 x ^ 2 \right ) } { x ^ 6 } \\ & = \frac { x ^ 2 \left ( x \cos x – 3 \sin x \right ) } { x ^ 6 } \\ & = \frac { x \cos x – 3 \sin x } { x ^ 4 } . \ _ \square \end {aligned} $$

مثال ۱۰ مشتق توابع کسری

مشتق تابع زیر را به دست آورید:

$$ \large f ( x ) = \frac { e ^ { \cos x } + \tan x } { e ^ { 3 x } } . $$

حل: با توجه به $$(e^{\cos x} + \tan x)’=-\sin x e^{\cos x} + \sec ^2 x$$ و $$ \big(e^{3x}\big)’ = 3e^{3x} $$، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned} f’ ( x ) & = \frac { \big ( e ^ { 3 x } \big ) ( – \sin x e ^ { \cos x } + \sec ^ 2 x ) – \big ( 3 e ^ { 3 x } \big ) ( e ^ { \cos x } + \tan x ) } { ( e ^ { 3 x } ) ^ 2 } \\ & = \frac { ( – \sin x e ^ { \cos x } + \sec ^ 2 x ) – 3 ( e ^ { \cos x } + \tan x ) } { e ^ { 3 x } } \\ & = \frac { – \sin x e ^ { \cos x } + \sec ^ 2 x – 3 e ^ { \cos x } – 3 \tan x }{ e ^ { 3 x } } . \ _ \square \end {aligned} $$

مثال ۱۱ مشتق توابع کسری

مشتق تابع کسری زیر را به دست آورید:

$$ \large f (x) = – \frac { x ^ 2 + 1 } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 } $$

حل: مشتق این تابع به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*}
\frac { d } { d x } \left ( – \frac { x ^ 2 + 1 } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 } \right ) & = – \frac { d } { d x } \left ( \frac { x ^ 2 + 1 } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 } \right ) \\
& = – \left ( \frac { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 ( x ^ 2 + 1 )’ – ( x ^ 2 + 1 ) \left ( ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 \right )’ } { \left ( ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 \right ) ^ 2 } \right ) \\
& = – \frac { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 ( 2 x ) – ( x ^ 2 + 1 ) \left ( 2 ( x ^ 2 – 1 ) ( x ^ 2 – 1 )’ \right ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 4 } \\
& = – \frac { 2 x ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 – ( x ^ 2 + 1 ) ( 2 ( x ^ 2 – 1 ) 2 x ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 4 } \\
& = – \frac { 2 x ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 – 4 x ( x ^ 2 + 1 ) ( x ^ 2 – 1 ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 4 } \\
& = – \frac { 2 x ( x ^ 2 – 1 ) \left ( ( x ^ 2 – 1 ) – 2 ( x ^ 2 + 1 ) \right ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 4 } \\
& = – \frac { 2 x ( x ^ 2 – 1 ) \left ( x ^ 2 – 1 – 2 x ^ 2 – 2 \right ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 4 } \\
& = – \frac { 2 x ( x ^ 2 – 1 ) ( – x ^ 2 – 3 ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 4 } \\
& = – \frac { 2 x ( – x ^ 2 – 3 ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 3 } \\
& = – \frac { – 2 x ( x ^ 2 + 3 ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 3 } \\
& = – ( – 2 ) \frac { x ( x ^ 2 + 3 ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 3 } \\
& = 2 \frac { x ( x ^ 2 + 3 ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 3 } .
\end {align*} $$

مثال ۱۲ مشتق توابع کسری

مشتق تابع تانژانت را محاسبه کنید.

حل: با توجه به اینکه تانژانت برابر با نسبت سینوس به کسینوس است، می‌توان مشتق آن را به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ \large \begin {aligned}
\frac { d } { d x } \tan ( x ) & = \frac { d } { d x } \left ( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ) \\
& = \frac { ( \cos ( x ) ) ( \cos ( x ) ) – ( \sin ( x ) ) ( – \sin ( x ) ) } { \cos ^ { 2 } ( x ) } \\
& = \frac { \cos ^ { 2 } ( x ) + \sin ^ { 2 } (x ) } { \cos ^ { 2 } ( x ) } \\
& = \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } ( x ) } \\
& = \sec ^ { 2 } ( x )
\end {aligned} $$

مثال ۱۳ مشتق توابع کسری

مشتق تابع کتانژانت را محاسبه کنید.

حل: با توجه به اینکه کتانژانت برابر با نسبت کسینوس به سینوس است، می‌توان مشتق آن را به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ \large \begin {aligned}
\frac { d } { d x } \cot ( x ) & = \frac { d } { d x} \left ( \frac { \cos ( x ) } { \sin ( x ) } \right ) \\
& = \frac { ( \sin ( x ) ) ( – \sin ( x ) ) – ( \cos ( x ) ) ( \cos ( x ) ) } { \sin ^ { 2 } ( x ) } \\
& = – \frac { \sin ^ { 2 } ( x ) + \cos ^ { 2 } ( x ) } { \sin ^ { 2 } ( x ) } \\
& = – \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } ( x ) } \\
& = – \csc ^ { 2 } ( x )
\end {aligned} $$

مثال ۱۴ مشتق توابع کسری

مشتق تابع سکانت را محاسبه کنید.

حل: با توجه به اینکه سکانت عکس کسینوس است، می‌توان مشتق آن را به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ \large \begin {aligned}
\frac { d } { d x } \sec ( x ) & = \frac { d } { d x } \frac { 1 } { \cos ( x ) } \\
& = \frac { \cos ( x ) ( 0 ) – ( – \sin ( x ) ) } { \cos ^ { 2 }( x ) } \\
& = \frac { \sin ( x ) } { \cos ^ { 2 } ( x ) } \\
& = \frac { 1 } { \cos ( x ) } \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \\
& = \sec ( x ) \tan ( x )
\end {aligned} $$

مثال ۱۵ مشتق توابع کسری

مشتق تابع کسکانت را محاسبه کنید.

حل: با توجه به اینکه کسکانت عکس سینوس است، می‌توان مشتق آن را به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ \large \begin {aligned}
\frac { d } { d x } \csc ( x ) & = \frac { d } { d x } \frac { 1 } { \sin ( x ) } \\
& = \frac { \sin ( x ) ( 0 ) – \cos ( x ) } { \sin ^ { 2 } ( x ) } \\
& = – \frac { \cos ( x ) } { \sin ^ { 2 } ( x ) } \\
& = – \frac { 1 } { \sin ( x ) } \frac { \cos ( x ) } { \sin ( x ) } \\
& = – \csc ( x ) \cot ( x )
\end {aligned} $$

مثال ۱۶ مشتق توابع کسری

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید:

$$ \large y = \frac { { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } } { { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } } $$

حل: با استفاده از قاعده زنجیره‌ای و قاعده خارج قسمت، خواهیم داشت:

$$ \large \require {cancel} \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \frac { { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } } { { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } } } \right ) ^ \prime = { \frac { { \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) – \left ( { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } \right ) \left ( { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } \right ) } }{ {{ { \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { { { { \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) } ^ 2 } – { { \left ( { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } \right ) } ^ 2 } } } { { { { \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) } ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { \cancel { e ^ { 2 x } } + 2 + \cancel { e ^ { – 2 x } } – \cancel { e ^ { – 2 x } } + 2 – \cancel { e ^ { – 2 x } } } } { { { { \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { 4 } { { { { \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) } ^ 2 } } } . } \end {align*} $$

مثال ۱۷ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ y = \frac { { { x ^ 2 } } } { { { 2 ^ x } } } $$ را به دست آورید.

حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت برای مشتق توابع کسری می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*}
\require {cancel} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } } } { { { 2 ^ x } } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { { { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } ^ \prime } \cdot { 2 ^ x } – { x ^ 2 } \cdot { { \left ( { { 2 ^ x } } \right ) } ^ \prime } } } { { { { \left ( { { 2 ^ x } } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { { 2 x \cdot { 2 ^ x } – { x ^ 2 } \cdot { 2 ^ x } \ln 2 } } { { { { \left ( { { 2 ^ x } } \right ) } ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { x \cancel { 2 ^ x } \left ( { 2 – x \ln 2 } \right ) } } { { { { \left ( { { 2 ^ x } } \right ) } ^ { \cancel { 2 } } } } } } = { \frac { { x \left ( { 2 – x \ln 2 } \right ) } } {{ { 2 ^ x } } } . \; \; }
\end {align*} $$

مثال ۱۸ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ y = { \large \frac { { 1 + \cos x } } { { \sin x } } \normalsize } $$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*}
\require {cancel} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { 1 + \cos x } } { { \sin x } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { \left ( { – \sin x } \right ) \sin x – \left ( { 1 + \cos x } \right ) \cos x } } { { { { \sin } ^ 2 } x } } } \\ & = { \frac { { – { { \sin } ^ 2 } x – \cos x – { { \cos } ^ 2 } x } } { { { { \sin } ^ 2 } x } } } = { \frac { { – \left ( { { { \sin } ^ 2 } x + { { \cos } ^ 2 } x } \right ) – \cos x } } { { { { \sin } ^ 2 } x } } } \\ &= { \frac { { – 1 – \cos x } } { { { { \sin } ^ 2 } x } } = \frac { { – 1 – \cos x } } { { 1 – { { \cos } ^ 2 } x } } } = { \frac { { – \cancel { \left ( { 1 + \cos x } \right ) } } } { { \left ( { 1 – \cos x } \right ) \cancel { \left ( { 1 + \cos x } \right ) } } } } \\ & = { \frac { { – 1 } } { { 1 – \cos x } } = \frac { 1 } { { \cos x – 1 } } . } \end {align*} $$

توجه کنید که دامنه عبارت نهایی مشتق متفاوت از دامنه تابع اصلی است. این امر به دلیل حذف ریشه در هنگام ساده کردن عبارت $${\left( {1 + \cos x} \right)} $$ از صورت و مخرج است. در حقیقت، دامنه تابع اصلی و مشتق آن کل مجموعه اعداد حقیقی است، به جز $$x = \pi n,\;n \in \mathbb{Z}$$.

مثال ۱۹ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ y = {\large\frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}\normalsize} $$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*}
\require {cancel} y’ \left ( x \right ) & = { { \left ( { \frac { { \sqrt x – 1 } } { { \sqrt x + 1 } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { { \large \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } \normalsize \left ( { \sqrt x + 1 } \right ) – \left ( { \sqrt x – 1 } \right ) \large \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } \normalsize } } { { { { \left ( { \sqrt x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { \large \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } \normalsize \left ( { \cancel { \color {blue}{ \sqrt x } } + \color {red} { 1 } – \cancel { \color {blue} { \sqrt x } } + \color {red} { 1 } } \right ) } } { { { { \left ( { \sqrt x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { { \large \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } \normalsize \cdot \color {red} { 2 } } } { { { { \left ( { \sqrt x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { 1 } { { \sqrt x { { \left ( { \sqrt x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } . } \end {align*} $$

مثال ۲۰ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ f \left ( x \right ) = { \large \frac { { u \left ( x \right ) v \left ( x \right ) } } { { w \left ( x \right ) } } \normalsize } $$ ا محاسبه کنید.

حل: ابتدا با استفاده از قاعده خارج قسمت از تابع مشتق می‌گیریم:

$$ \large { f’ \left ( x \right ) = { \left ( { \frac { { u v } } { w } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { { { { \left ( { u v } \right ) } ^ \prime } \cdot w – u v \cdot w’ } } { { { w ^ 2 } } } . } $$

در ادامه، با استفاده از قاعده زنجیره‌ای، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*}
f’ \left ( x \right ) & = { \frac { { { { \left ( { u v } \right ) } ^ \prime } \cdot w – u v \cdot w’ } } { { { w ^ 2 } } } } = { \frac { { \left ( { u’ v + u v’ } \right ) w – u v w’ } } { { { w ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { u’ v w + u v’ w – u v w’ } } { { { w ^ 2 } } } . } \end {align*} $$

مثال ۲۱ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ y = \frac { { { { \log } _ 2 } \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } } { { { x ^ 2 } } } $$ را به دست آورید.

حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت، داریم:

$$ \large { y’ \left ( x \right ) = { \left ( { \frac { { { { \log } _2 } \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } } { { { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { { \frac { { 2 { x ^ 3 } } } {{ { x ^ 2 } \ln 2 } } – 2 x { { \log } _ 2 } \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } }{ { { x ^ 4 } } } } = { \frac { { 2 \left [ { 1 – { { \log } _ 2 } \left ( { { x ^ 2 } } \right ) \ln 2 } \right ] } } { { { x ^ 3 } \ln 2 } } } $$

که در آن، $$x \ne 0 $$ است.

مثال ۲۲ مشتق توابع کسری

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید:

$$ \large y = \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { 1 + \cot x } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { 1 + \tan x } } $$

حل: ابتدا تابع را برحسب جملات سینوس و کسینوس ساده می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
y & = \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { 1 + \cot x } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { 1 + \tan x } } = { \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { 1 + \frac { { \cos x } } { { \sin x } } } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { 1 + \frac { { \sin x } } { { \cos x } } } } } \\ & = { \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { \frac { { \sin x + \cos x } } { { \sin x } } } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { \frac { { \cos x + \sin x } } { { \cos x } } } } } = { \frac { { { { \sin } ^ 3 } x } } { { \sin x + \cos x } } + \frac { { { { \cos } ^ 3 } x } }{ { \sin x + \cos x } } } \\ & = { \frac { { { { \sin } ^ 3 } x + { { \cos } ^ 3 } x } } { { \sin x + \cos x } } . }
\end {align*} $$

از اتحاد چاق و لاغر برای صورت کسر استفاده می‌کنیم:

$$ \large { { a ^ 3 } + { b ^ 3 } } = { \left ( { a + b } \right ) \left ( { { a ^ 2 } – a b + { b ^ 2 } } \right ) } $$

بنابراین، تابع به فرم زیر در می‌آید:

$$ \large y = { \sin ^ 2 } x – \sin x \cos x + { \cos ^ 2 } x . $$

اکنون از قاعده زنجیره‌ای و ضرب استفاده می‌کنیم و از تابع مشتق می‌گیریم:

$$ \large \begin {align*} \require {cancel}
y ^ \prime & = \left ( { { { \sin } ^ 2 } x } \right ) ^ \prime – { \left ( { \sin x \cos x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { { { \cos } ^ 2 } x } \right ) ^ \prime } \\ &= { 2 \sin \cos x } – { \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime \cos x } – { \sin x\left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } + { 2 \cos x \left ( { – \sin x } \right ) } \\ & = { \cancel { 2 \sin x \cos x } } – { { \cos ^ 2 } x } + { { \sin ^ 2 } x } – { \cancel { 2 \sin x \cos x } } \\ & = { – \left ( { { { \cos } ^ 2 } x – { { \sin } ^ 2 } x } \right ) } = { – \cos 2 x . }
\end {align*} $$

مثال ۲۳ مشتق توابع کسری

مشتق مرتبه $$n$$اُم تابع $$ \large y = \large { \frac { 1 } { { 1 – 5 x } } } \normalsize $$ را به دست آورید.

حل: ابتدا مشتق اول تابع را با استفاده از قاعده توان و زنجیره‌ای می‌نویسیم:

$$ \large \begin {align*}
y ^ \prime & = \left ( { \frac { 1 } { { 1 – 5 x } } } \right ) ^ \prime = { \left ( { { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ { – 1 } } } \right ) ^ \prime } = { – 1 \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 2 } } \cdot \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ \prime } \\ & = { – 1 \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 2 } } \cdot \left ( { – 5 } \right ) } = { 1 \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 2 } } \cdot 5 } = { \frac { { 1 \cdot 5 } }{ { { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ 2 } } } ; }
\end {align*} $$

مشتق دوم و سوم و چهارم نیز به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } & = \left ( { 1 \cdot { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ { – 2 } } \cdot 5 } \right ) ^ \prime = { 1 \cdot \left ( { – 2 } \right ) \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 3 } } \cdot 5 \cdot \left ( { – 5 } \right ) } \\ & = { 2 ! \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 3 } } \cdot { 5 ^ 2 } } = { \frac { { 2 ! \, { 5 ^ 2 } } } { { { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ 3 } } } ; }
\end {align*} $$

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime \prime } & = \left ( { 2 ! \cdot { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ { – 3 } } \cdot { 5 ^ 2 } } \right ) ^ \prime = { 2 ! \cdot \left ( { – 3 } \right ) \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 4 } } \cdot { 5 ^ 2 } \cdot \left ( { – 5 } \right ) } \\ & = { 3 ! \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 4 } } \cdot { 5 ^ 3 } } = { \frac { { 3 ! \, { 5 ^ 3 } } }{ { { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ 4 } } } ; }
\end {align*} $$

$$ \large \begin {align*}
{ y ^ { \left ( 4 \right ) } } & = \left ( { 3 ! \cdot { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ { – 4 } } \cdot { 5 ^ 3 } } \right ) ^ \prime = { 3 ! \cdot \left ( { – 4 } \right ) \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 5 } } \cdot { 5 ^ 3 } \cdot \left ( { – 5 } \right ) } \\ & = { 4 ! \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 5 } } \cdot { 5 ^ 4 } } = { \frac { { 4 ! \, { 5 ^ 4 } } } { { { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ 5 } } } . }
\end {align*} $$

بنابراین، مشتق مرتبه $$n$$اُم تابع برابر خواهد بود با:

$$ \large { y ^ { \left ( n \right ) } } = \frac { { n ! \, { 5 ^ n } } } { { { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ { n + 1 } } } } . $$

مثال ۲۴ مشتق توابع کسری

مشتق تابع کسری زیر را بیابید:

$$ \large { y \left ( x \right ) } = { \frac { { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } { { { { \left ( { x + 2 } \right ) } ^ 3 }{ { \left ( { x + 3 } \right ) } ^ 4 } } } , \; \; } \kern-0.3pt { x \gt – 1 } $$

حل: اگر از قاعده خارج قسمت مشتق توابع کسری استفاده کنیم، محاسبات بسیار طولانی خواهند بود. بنابراین، از دو طرف تابع لگاریتم می‌گیریم:

$$ \large \begin {align*}
\ln y & = \ln \frac { { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 2 } } }{ { { { \left ( { x + 2 } \right ) } ^ 3 } { { \left ( { x + 3 } \right ) } ^ 4 } } } , \; \; \\ &\Rightarrow { \ln y = \ln { \left ( { x + 1 } \right ) ^ 2 } } – { \ln { \left ( { x + 2 } \right ) ^ 3 } } – { \ln { \left ( { x + 3 } \right ) ^ 4 } , \; \; } \\ & \Rightarrow { \ln y = 2 \ln \left ( { x + 1 } \right ) } – { 3 \ln \left ( { x + 2 } \right ) } – { 4 \ln \left ( { x + 3 } \right ) . } \end {align*} $$

اکنون از دو طرف عبارت بالا مشتق می‌گیریم و مشتق تابع اصلی را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
{ \frac { { y’ } } { y } } & = { \frac { 2 } { { x + 1 } } } – { \frac { 3 } { { x + 2 } } } – { \frac { 4 } { { x + 3 } } , \; \; } \Rightarrow { y’ = y \cdot } \kern0pt { \left ( { \frac { 2 } { { x + 1 } } – \frac { 3 } { { x + 2 } } – \frac { 4 } { { x + 3 } } } \right ) , \; \; } \\ & \Rightarrow { y’ = \frac { {{ { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } { { { { \left ( { x + 2 } \right ) } ^ 3 } { { \left ( { x + 3 } \right ) } ^ 4 } } } \cdot } \kern0pt { \left ( { \frac { 2 } { { x + 1 } } – \frac { 3 } { { x + 2 } } – \frac { 4 } { { x + 3 } } } \right ) . } \end {align*} $$

معرفی فیلم آموزش ریاضی و آمار (۱) – پایه دهم علوم انسانی

آموزش ریاضی و آمار (۱) - پایه دهم علوم انسانی

یکی از آموزش‌های ویدیویی دوره دبیرستان فرادرس، «آموزش ریاضی و آمار (۱) – پایه دهم علوم انسانی» است که به طور ویژه مربوط به دانش‌آموزان رشته علوم انسانی است. این آموزش ویدیویی در قالب چهار درس و در زمان ۶ ساعت و ۱۹ دقیقه تدوین شده است. در درس یکم، معادله درجه دوم مورد بحث قرار گرفته که شامل مطالب اصلی درس، نکات مهم و مثال‌های حل شده است. در درس دوم، موضوع مهم تابع ارائه شده و در آن، به موارد مهمی از قبیل تعریف ضابطه و تابع، رسم آن، دامنه و برد تابع و… پرداخته شده است. کار با داده‌های آماری موضوع درس سوم است. در نهایت، در درس چهارم به طور کامل، مطالب کتاب درسی درباره نمایش داده‌ها ارائه شده است.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

یکی از آموزش‌هایی که برای آشنایی بیشتر با مبحث اتحاد و تجزیه می‌توانید به آن مراجعه کنید، آموزش ریاضی پایه دانشگاهی است. این آموزش که مدت آن ۱۲ ساعت و ۴۶ دقیقه است، در قالب ۱۰ درس تهیه شده است.

در درس اول، مجموعه‌ها، مجموعه اعداد، توان، ب.م.م و ک.م.م معرفی شده‌اند. موضوعات درس دوم، چندجمله‌ای‌ها و اتحاد و تجزیه است. در درس سوم، نامساوی‌ها، نامعادلات، طول پاره‌خط، ضریب زاویه و معادله خط مورد بحث قرار گرفته‌اند. مثلثات موضوع مهم درس چهارم است. تصاعد حسابی و هندسی در درس پنجم بررسی شده‌اند. تابع و دامنه و برد آن موضوعات مهم درس ششم هستند. در درس هفتم، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع و ترکیب توابع ارائه شده‌اند. در درس هشتم به توابع زوج و فرد، تابع یک به یک و تابع وارون پرداخته شده است. انواع توابع از قبیل تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیح موضوع درس نهم هستند. در نهایت، در درس دهم توابع نمایی و لگاریتمی مورد بحث قرار گرفته‌اند.

 

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد)

فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد) در ۵ ساعت و ۱۶ دقیقه و در قالب ۴ درس تهیه شده است. درس یکم این آموزش درباره مجموعه‌ها، چندجمله‌ای‌ها، اتحاد و تجزیه، نامساوی و نامعادلات است. در درس دوم، معادله درجه 2 مورد بررسی قرار گرفته است. موضوع درس سوم مثلثات است. در نهایت، در درس چهارم به تابع، دامنه و برد آن، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع، ترکیب توابع، توابع زوج و فرد، توابع یک به یک، وارون تابع، تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق، تابع جزء صحیح، تابع نمایی و تابع لگاریتمی پرداخته شده است.

فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد)

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای ۹ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

یک نظر ثبت شده در “مشتق توابع کسری — به زبان ساده