در آموزشهای قبلی مجله فرادس ، با مفاهیم مشتق و روشهای مشتقگیری آشنا شدیم. همچنین، مباحثی مانند مشتق لگاریتم و تابع نمایی ، مشتق ضمنی ، مشتق جزئی ، مشتق زنجیرهای ، مشتق توابع معکوس ، و مشتق جهتی را توضیح دادیم. در این آموزش، با مشتق توابع کسری آشنا میشویم.
مشتق توابع کسری و قاعده خارج قسمت
مشتق توابع کسری یا گویا را میتوان با استفاده از «قاعده خارج قسمت» (Quotient Rule) به دست آورد. تابع کسری h ( x ) = f ( x ) g ( x ) { h ( x ) = \frac { f ( x ) } { g ( x ) } } h ( x ) = g ( x ) f ( x ) را در نظر بگیرید. مشتق این تابع برابر است با:
h ′ ( x ) = g ( x ) ⋅ f ′ ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) ( g ( x ) ) 2 \large { h' ( x ) = \frac { g ( x ) \cdot f' ( x ) - f ( x ) \cdot g' ( x ) } { \left ( g ( x ) \right ) ^ 2 } } h ′ ( x ) = ( g ( x ) ) 2 g ( x ) ⋅ f ′ ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′ ( x )
اثبات: از تعریف پایه مشتق استفاده میکنیم:
d h ( x ) d x = lim Δ x → 0 h ( x + Δ x ) − h ( x ) Δ x . \large \displaystyle \dfrac { d h ( x ) } { d x } = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { h ( x + \Delta x ) - h ( x ) } { \Delta x } } . d x d h ( x ) = Δ x → 0 lim Δ x h ( x + Δ x ) − h ( x ) .
از آنجا که f ( x ) g ( x ) = h ( x ) \frac { f ( x ) } { g ( x ) } = h ( x ) g ( x ) f ( x ) = h ( x ) است، میتوان نوشت:
d h ( x ) d x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x ) Δ x . \large \displaystyle \dfrac { d h ( x ) } { d x } = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \dfrac { \frac { f ( x + \Delta x ) } { g ( x + \Delta x ) } - \frac { f ( x ) } { g ( x ) } } { \Delta x } } . d x d h ( x ) = Δ x → 0 lim Δ x g ( x + Δ x ) f ( x + Δ x ) − g ( x ) f ( x ) .
عبارت بالا را به صورت زیر ساده میکنیم:
d h ( x ) d x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + Δ x ) Δ x g ( x ) g ( x + Δ x ) = lim Δ x → 0 1 g ( x ) g ( x + Δ x ) lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + Δ x ) Δ x = 1 ( g ( x ) ) 2 lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + Δ x ) Δ x . \large \begin {aligned} \frac { d h ( x ) } { d x } & = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) -f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x g ( x ) g ( x + \Delta x ) } } \\\\ & = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { 1 } { g ( x ) g ( x + \Delta x ) } } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) - f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x } } \\\\ & = \frac { 1 } { \big ( g ( x ) \big ) ^ 2 } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) -f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x } } . \end {aligned} d x d h ( x ) = Δ x → 0 lim Δ xg ( x ) g ( x + Δ x ) f ( x + Δ x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + Δ x ) = Δ x → 0 lim g ( x ) g ( x + Δ x ) 1 Δ x → 0 lim Δ x f ( x + Δ x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + Δ x ) = ( g ( x ) ) 2 1 Δ x → 0 lim Δ x f ( x + Δ x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + Δ x ) .
با اضافه و کم کردن f ( x ) g ( x ) f (x) g ( x ) f ( x ) g ( x ) در صورت کسر، داریم:
d h ( x ) d x = 1 ( g ( x ) ) 2 lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + Δ x ) Δ x \large \displaystyle \frac { d h ( x ) } { d x } = \frac { 1 } { { \big ( g ( x ) \big ) } ^ { 2 } } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) - f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x } } d x d h ( x ) = ( g ( x ) ) 2 1 Δ x → 0 lim Δ x f ( x + Δ x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + Δ x )
با اعمال چند تغییر کوچک در عبارت بالا، خواهیم داشت:
d h ( x ) d x = 1 g ( x ) 2 lim Δ x → 0 ( g ( x ) ( f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x ) − f ( x ) ( g ( x + Δ x ) − g ( x ) Δ x ) ) = ( g ( x ) ( lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x ) − f ( x ) ( lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) − g ( x ) Δ x ) ) g ( x ) 2 . \large \begin {aligned} \frac { d h ( x ) } { d x } & = \frac { 1 } { { g ( x ) } ^ { 2 } } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \left ( g ( x ) \bigg ( \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x } \bigg ) - f ( x ) \bigg ( \frac { g ( x + \Delta x ) - g ( x ) } { \Delta x } \bigg ) \right ) } \\\\ & = \dfrac { \displaystyle \left ( g ( x ) \bigg ( \lim _ { \Delta x\rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x } } \bigg ) - f ( x ) \bigg ( \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { g ( x + \Delta x ) -g ( x ) } { \Delta x } } \bigg ) \right) } { { g ( x ) } ^ { 2 } } . \end {aligned} d x d h ( x ) = g ( x ) 2 1 Δ x → 0 lim ( g ( x ) ( Δ x f ( x + Δ x ) − f ( x ) ) − f ( x ) ( Δ x g ( x + Δ x ) − g ( x ) ) ) = g ( x ) 2 ( g ( x ) ( Δ x → 0 lim Δ x f ( x + Δ x ) − f ( x ) ) − f ( x ) ( Δ x → 0 lim Δ x g ( x + Δ x ) − g ( x ) ) ) .
در نهایت، فرمول مورد نظر به دست میآید:
d h ( x ) d x = f ′ ( x ) g ( x ) − g ′ ( x ) f ( x ) ( g ( x ) ) 2 . □ \large \displaystyle \boxed { \dfrac { d h ( x ) } { d x } = \dfrac { f' ( x ) g ( x ) - g' ( x ) f ( x ) } { { \big ( g ( x ) \big ) } ^ { 2 } } } . \ _ \square d x d h ( x ) = ( g ( x ) ) 2 f ′ ( x ) g ( x ) − g ′ ( x ) f ( x ) . □
مثالهای مشتق توابع کسری
در این بخش، مثالهای متنوعی را از مشتق توابع کسری بررسی میکنیم.
مثال ۱ مشتق توابع کسری
حاصل d d x ( 3 x 3 − x − 2 2 x ) \frac { d } { d x } \left ( \frac { 3 x ^ 3 - x - 2 } { 2 x } \right ) d x d ( 2 x 3 x 3 − x − 2 ) را به دست آورید.
حل: با توجه به فرمول بالا، توابع 3 x 3 − x − 2 = f ( x ) 3x^3-x-2=f(x) 3 x 3 − x − 2 = f ( x ) و 2 x = g ( x ) 2x=g(x) 2 x = g ( x ) را داریم. با جایگذاری این توابع در فرمول، خواهیم داشت:
d d x h ( x ) = ( 2 x ) ( 9 x 2 − 1 ) − ( 3 x 3 − x − 2 ) ( 2 ) ( 2 x ) 2 = 18 x 3 − 2 x − 6 x 3 + 2 x + 4 4 x 2 = 3 x 3 + 1 x 2 . □ \large \begin {aligned} \frac { d } { d x } h ( x ) & = \frac { ( 2 x ) ( 9 x ^ 2 - 1 ) - ( 3 x ^ 3 - x - 2 ) ( 2 ) } { ( 2 x ) ^ 2 } \\ & = \frac { 1 8 x ^ 3 - 2 x - 6 x ^ 3 + 2 x + 4 } { 4 x ^ 2 } \\ & = \frac { 3 x ^ 3 + 1 } { x ^ 2 } . \ _ \square \end {aligned} d x d h ( x ) = ( 2 x ) 2 ( 2 x ) ( 9 x 2 − 1 ) − ( 3 x 3 − x − 2 ) ( 2 ) = 4 x 2 18 x 3 − 2 x − 6 x 3 + 2 x + 4 = x 2 3 x 3 + 1 . □
وقتی عبارات صورت و مخرج یک عبارت کسری پیچیده باشند، مشتقگیری از آن کسر کاملاً پیچیده و گیجکننده خواهد بود. در چنین مواردی، میتوانیم صورت را به عنوان یک عبارت و مخرج را به عنوان یک عبارت فرض کرده و مشتقات آنها را جداگانه بیابیم. پس از آن، مشتقات ترکیبی کسر را با استفاده از فرمول فوق برای مشتق توابع کسری مینویسیم و مستقیماً جایگزین میکنیم تا هیچگونه سردرگمی ایجاد نشود و احتمال اشتباه کاهش یابد. در ادامه، چند مثال را برای این مورد بیان میکنیم.
مثال ۲ مشتق توابع کسری
اگر y = a − x a + x y = \frac { a - x } { a + x } y = a + x a − x باشد (x ≠ − a x \neq - a x = − a )، عبارت d y d x \frac{dy}{dx} d x d y را به دست آورید.
حل: توابع u ( x ) = a − x ⟹ u ′ ( x ) = − 1 u ( x ) = a - x \implies u' ( x ) = - 1 u ( x ) = a − x ⟹ u ′ ( x ) = − 1 و v ( x ) = a + x ⟹ v ′ ( x ) = 1 v ( x ) = a + x \implies v' ( x ) = 1 v ( x ) = a + x ⟹ v ′ ( x ) = 1 را در نظر بگیرید، به گونهای که y = u ( x ) v ( x ) y = \frac { u ( x ) } { v ( x ) } y = v ( x ) u ( x ) . بنابراین، خواهیم داشت:
d y d x = v ( x ) u ′ ( x ) − v ′ ( x ) u ( x ) ( v ( x ) ) 2 = ( a + x ) ( − 1 ) − ( a − x ) ( 1 ) ( a + x ) 2 = − 2 a a 2 + 2 a x + x 2 . □ \large \begin {aligned} \dfrac { d y } { d x } & = \dfrac { v ( x ) u' ( x ) - v' ( x ) u ( x ) } { \big ( v ( x ) \big ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { ( a + x ) ( - 1 ) - ( a - x ) ( 1 ) } { ( a + x ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { - 2 a } { a ^ 2 + 2 a x + x ^ 2 } . \ _ \square \end {aligned} d x d y = ( v ( x ) ) 2 v ( x ) u ′ ( x ) − v ′ ( x ) u ( x ) = ( a + x ) 2 ( a + x ) ( − 1 ) − ( a − x ) ( 1 ) = a 2 + 2 a x + x 2 − 2 a . □
مثال ۳ مشتق توابع کسری
اگر y = p x 2 + q x + r a x + b y = \frac { p x ^ 2 + q x + r } { a x + b } y = a x + b p x 2 + q x + r را داشته باشیم (∣ a ∣ + ∣ b ∣ ≠ 0 | a | + | b | \neq 0 ∣ a ∣ + ∣ b ∣ = 0 )، آنگاه d y d x \frac { d y } { d x } d x d y را بیابید.
حل: تابع را به صورت y = u ( x ) v ( x ) y = \frac{u(x)}{v(x)} y = v ( x ) u ( x ) مینویسیم که در آن، u ( x ) = p x 2 + q x + r ⟹ u ′ ( x ) = 2 p x + q u ( x ) = p x ^ 2 + q x + r \implies u' ( x ) = 2 p x + q u ( x ) = p x 2 + q x + r ⟹ u ′ ( x ) = 2 p x + q و v ( x ) = a x + b ⟹ v ′ ( x ) = a v ( x ) = a x + b \implies v' ( x ) = a v ( x ) = a x + b ⟹ v ′ ( x ) = a است. بنابراین، حاصل مشتق y = u ( x ) v ( x ) y = \frac { u ( x ) } { v ( x ) } y = v ( x ) u ( x ) به شکل زیر محاسبه میشود:
d y d x = d d x ( u ( x ) v ( x ) ) = v ( x ) u ′ ( x ) − v ′ ( x ) u ( x ) ( v ( x ) ) 2 = ( a x + b ) ( 2 p x + q ) − ( a ) ( p x 2 + q x + r ) ( a x + b ) 2 = a p x 2 + 2 b p x + b q − a r a 2 x 2 + 2 a b x + b 2 . □ \large \begin {aligned} \dfrac { d y } { d x } & = \dfrac { d }{ d x } \left ( \dfrac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ) \\\\ & = \dfrac{ v ( x ) u' ( x ) - v' ( x ) u ( x ) } { \big ( v ( x ) \big ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { ( a x + b ) ( 2 p x + q ) - ( a ) ( p x ^ 2 + q x + r ) } { ( a x + b ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { a p x ^ 2 + 2 b p x + b q - a r } { a ^ 2 x ^ 2 + 2 a b x + b ^ 2 } . \ _ \square \end {aligned} d x d y = d x d ( v ( x ) u ( x ) ) = ( v ( x ) ) 2 v ( x ) u ′ ( x ) − v ′ ( x ) u ( x ) = ( a x + b ) 2 ( a x + b ) ( 2 p x + q ) − ( a ) ( p x 2 + q x + r ) = a 2 x 2 + 2 ab x + b 2 a p x 2 + 2 b p x + b q − a r . □
مثال ۴ مشتق توابع کسری
اگر y = 1 a x 2 + b x + c y = \frac { 1 } { a x ^ 2 + b x + c } y = a x 2 + b x + c 1 باشد (∣ a ∣ + ∣ b ∣ + ∣ c ∣ ≠ 0 |a| + |b| + |c| \neq 0 ∣ a ∣ + ∣ b ∣ + ∣ c ∣ = 0 )، آنگاه حاصل d y d x \frac{dy}{dx} d x d y را بیابید.
حل: تابع را به صورت y = u ( x ) v ( x ) y = \frac{u(x)}{v(x)} y = v ( x ) u ( x ) مینویسیم که در آن، u ( x ) = 1 ⟹ u ′ ( x ) = 0 u(x) = 1 \implies u'(x) = 0 u ( x ) = 1 ⟹ u ′ ( x ) = 0 و v ( x ) = a x 2 + b x + c ⟹ v ′ ( x ) = 2 a x + b v(x) = ax^2 + bx + c \implies v'(x) = 2ax + b v ( x ) = a x 2 + b x + c ⟹ v ′ ( x ) = 2 a x + b است. بنابراین، حاصل مشتق تابع کسری y = u ( x ) v ( x ) y = \frac { u ( x ) } { v ( x ) } y = v ( x ) u ( x ) به شکل زیر محاسبه میشود:
d y d x = d d x ( u ( x ) v ( x ) ) = v ( x ) u ′ ( x ) − v ′ ( x ) u ( x ) ( v ( x ) ) 2 = ( a x 2 + b x + c ) ( 0 ) − ( 2 a x + b ) ( 1 ) ( a x 2 + b x + c ) 2 = − ( 2 a x + b ) ( a x 2 + b x + c ) 2 . □ \large \begin {aligned} \dfrac { d y } { d x } & = \dfrac { d } { d x } \left ( \dfrac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ) \\\\ & = \dfrac { v ( x ) u' ( x ) - v' ( x ) u ( x ) } { \big ( v ( x ) \big ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { ( a x ^ 2 + b x + c ) ( 0 ) - ( 2 a x + b ) ( 1 ) }{ ( a x ^ 2 + b x + c ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { - ( 2 a x + b ) }{ ( a x ^ 2 + b x + c ) ^ 2 } .\ _ \square \end {aligned} d x d y = d x d ( v ( x ) u ( x ) ) = ( v ( x ) ) 2 v ( x ) u ′ ( x ) − v ′ ( x ) u ( x ) = ( a x 2 + b x + c ) 2 ( a x 2 + b x + c ) ( 0 ) − ( 2 a x + b ) ( 1 ) = ( a x 2 + b x + c ) 2 − ( 2 a x + b ) . □
مثال ۵ مشتق توابع کسری
اگر y = a x + b c x + d y = \frac{ax + b}{cx + d} y = c x + d a x + b باشد (∣ c ∣ + ∣ d ∣ ≠ 0 |c| + |d| \neq 0 ∣ c ∣ + ∣ d ∣ = 0 )، آنگاه حاصل d y d x \frac{dy}{dx} d x d y را بیابید.
حل: تابع را به صورت y = u ( x ) v ( x ) y = \frac{u(x)}{v(x)} y = v ( x ) u ( x ) مینویسیم که در آن، u ( x ) = a x + b ⟹ u ′ ( x ) = a u(x) = ax + b \implies u'(x) = a u ( x ) = a x + b ⟹ u ′ ( x ) = a و v ( x ) = c x + d ⟹ v ′ ( x ) = c v(x) = cx + d \implies v'(x) = c v ( x ) = c x + d ⟹ v ′ ( x ) = c است. بنابراین، مشتق y = u ( x ) v ( x ) y = \frac { u ( x ) } { v ( x ) } y = v ( x ) u ( x ) به شکل زیر محاسبه میشود:
d y d x = d d x ( u ( x ) v ( x ) ) = v ( x ) u ′ ( x ) − v ′ ( x ) u ( x ) ( v ( x ) ) 2 = ( c x + d ) ( a ) − ( c ) ( a x + b ) ( c x + d ) 2 = a d − b c ( c x + d ) 2 . □ \large \begin {aligned} \dfrac { d y } { d x } & = \dfrac { d } { d x } \left ( \dfrac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ) \\\\ & = \dfrac { v ( x ) u' ( x ) - v' ( x ) u ( x ) } { \big ( v ( x ) \big ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { ( c x + d ) ( a ) - ( c ) ( a x + b ) } { ( c x + d ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { a d - b c } { ( c x + d ) ^ 2 } . \ _ \square \end {aligned} d x d y = d x d ( v ( x ) u ( x ) ) = ( v ( x ) ) 2 v ( x ) u ′ ( x ) − v ′ ( x ) u ( x ) = ( c x + d ) 2 ( c x + d ) ( a ) − ( c ) ( a x + b ) = ( c x + d ) 2 a d − b c . □
مثال ۶ مشتق توابع کسری
اگر y = 1 − x x 1 + x x y = \frac { 1 - x \sqrt { x } } { 1 + x \sqrt { x } } y = 1 + x x 1 − x x باشد، آنگاه حاصل d y d x \frac{dy}{dx} d x d y را بیابید.
حل: تابع را به صورت y = u ( x ) v ( x ) y = \frac{u(x)}{v(x)} y = v ( x ) u ( x ) مینویسیم که در آن، u ( x ) = 1 − x x ⟹ u ′ ( x ) = 0 − x − x 2 x = − 3 x 2 u ( x ) = 1 - x \sqrt { x } \implies u' ( x ) = 0 - \sqrt { x } - \frac { x } { 2 \sqrt { x } } = - \frac { 3 \sqrt { x } } { 2 } u ( x ) = 1 − x x ⟹ u ′ ( x ) = 0 − x − 2 x x = − 2 3 x و v ( x ) = 1 + x x ⟹ v ′ ( x ) = 0 + x + x 2 x = 3 x 2 v ( x ) = 1 + x \sqrt { x } \implies v' ( x ) = 0 + \sqrt { x } + \frac { x } { 2 \sqrt { x } } = \frac { 3 \sqrt { x } } { 2 } v ( x ) = 1 + x x ⟹ v ′ ( x ) = 0 + x + 2 x x = 2 3 x است. بنابراین، خواهیم داشت:
y = u ( x ) v ( x ) ⇒ d y d x = v ( x ) u ′ ( x ) − v ′ ( x ) u ( x ) ( v ( x ) ) 2 = ( 1 + x x ) ( − 3 x 2 ) − ( 3 x 2 ) ( 1 − x x ) ( 1 + x x ) 2 = − 3 x − 3 x 2 − ( 3 x − 3 x 2 ) 2 ( 1 + x x ) 2 = − 6 x 2 ( 1 + x x ) 2 = − 3 x ( 1 + x x ) 2 . □ \large \begin {aligned} y & = \dfrac { u ( x ) } { v ( x ) } \\\\ \Rightarrow \dfrac { d y } { d x } & = \dfrac { v ( x ) u' ( x ) - v' ( x ) u ( x ) } { \big ( v ( x ) \big ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { ( 1 + x \sqrt { x } ) \left ( - \dfrac { 3 \sqrt { x } } { 2 } \right ) - \left ( \dfrac { 3 \sqrt { x } } { 2 } \right ) ( 1 - x \sqrt { x } ) } { ( 1 + x \sqrt { x } ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { - 3 \sqrt { x } - 3 x ^ 2 - ( 3 \sqrt { x } - 3 x ^ 2 ) } { 2 ( 1 + x \sqrt { x } ) ^ 2 } \\\\ & = \dfrac { - 6 \sqrt { x } } { 2 ( 1 + x \sqrt { x } ) ^ 2 } \\\\ & = - \dfrac { 3 \sqrt { x } } { ( 1 + x \sqrt { x } ) ^ 2 } . \ _ \square \end {aligned} y ⇒ d x d y = v ( x ) u ( x ) = ( v ( x ) ) 2 v ( x ) u ′ ( x ) − v ′ ( x ) u ( x ) = ( 1 + x x ) 2 ( 1 + x x ) ( − 2 3 x ) − ( 2 3 x ) ( 1 − x x ) = 2 ( 1 + x x ) 2 − 3 x − 3 x 2 − ( 3 x − 3 x 2 ) = 2 ( 1 + x x ) 2 − 6 x = − ( 1 + x x ) 2 3 x . □
مثال ۷ مشتق توابع کسری
مشتق تابع f ( x ) = x 2 + 1 x f ( x ) = \frac { x ^ 2 + 1 } { x } f ( x ) = x x 2 + 1 را محاسبه کنید.
حل: از آنجا که ( x 2 + 1 ) ′ = 2 x (x^2+1)' = 2x ( x 2 + 1 ) ′ = 2 x و ( x ) ′ = 1 (x)' = 1 ( x ) ′ = 1 ، داریم:
f ′ ( x ) = x ( 2 x ) − ( 1 ) ( x 2 + 1 ) x 2 = 2 x 2 − x 2 − 1 x 2 = x 2 − 1 x 2 . □ \large \begin {aligned} f' ( x ) & = \frac { x ( 2 x ) -( 1 ) \big ( x ^ 2 + 1 \big ) } { x ^ 2 } \\ & = \frac { 2 x ^ 2 - x ^ 2 - 1 } { x ^ 2 } \\ & = \frac { x ^ 2 - 1 } { x ^ 2 } . \ _ \square \end {aligned} f ′ ( x ) = x 2 x ( 2 x ) − ( 1 ) ( x 2 + 1 ) = x 2 2 x 2 − x 2 − 1 = x 2 x 2 − 1 . □
مثال ۸ مشتق توابع کسری
مشتق تابع f ( x ) = e x x 2 f ( x ) = \frac { e ^ x } {x ^ 2 } f ( x ) = x 2 e x را محاسبه کنید.
حل: از آنجا که ( e x ) ′ = e x (e^x)'=e^x ( e x ) ′ = e x و ( x 2 ) ′ = 2 x \big(x^2\big)'=2x ( x 2 ) ′ = 2 x ، خواهیم داشت:
f ′ ( x ) = ( x 2 ) ( e x ) − ( 2 x ) ( e x ) x 4 = x 2 e x − 2 x e x x 4 = x e x − 2 e x x 3 . □ \large \begin {aligned} f' ( x ) & = \frac { \big ( x ^ 2 \big ) ( e ^ x ) - ( 2 x ) ( e ^ x ) } { x ^ 4 } \\ & = \frac { x ^ 2 e ^ x - 2 x e ^ x } { x ^ 4 } \\ & = \frac { x e ^ x - 2 e ^ x } { x ^ 3 } . \ _ \square \end {aligned} f ′ ( x ) = x 4 ( x 2 ) ( e x ) − ( 2 x ) ( e x ) = x 4 x 2 e x − 2 x e x = x 3 x e x − 2 e x . □
مثال ۹ مشتق توابع کسری
اگر f ( x ) = sin x x 3 \displaystyle f ( x ) = \frac { \sin x } { x ^ 3 } f ( x ) = x 3 sin x باشد، مقدار f ′ ( x ) f' (x) f ′ ( x ) را به دست آورید.
حل: از آنجا که ( sin x ) ′ = cos x (\sin x)'=\cos x ( sin x ) ′ = cos x و ( x 3 ) ′ = 3 x 2 \left(x^3\right)'=3x^2 ( x 3 ) ′ = 3 x 2 ، میتوان نوشت:
f ′ ( x ) = ( x 3 ) ( cos x ) − ( sin x ) ( 3 x 2 ) x 6 = x 2 ( x cos x − 3 sin x ) x 6 = x cos x − 3 sin x x 4 . □ \large \begin {aligned} f' ( x ) & = \frac { \left ( x ^ 3 \right ) \left ( \cos x \right ) - \left ( \sin x \right ) \left ( 3 x ^ 2 \right ) } { x ^ 6 } \\ & = \frac { x ^ 2 \left ( x \cos x - 3 \sin x \right ) } { x ^ 6 } \\ & = \frac { x \cos x - 3 \sin x } { x ^ 4 } . \ _ \square \end {aligned} f ′ ( x ) = x 6 ( x 3 ) ( cos x ) − ( sin x ) ( 3 x 2 ) = x 6 x 2 ( x cos x − 3 sin x ) = x 4 x cos x − 3 sin x . □
مثال ۱۰ مشتق توابع کسری
مشتق تابع زیر را به دست آورید:
f ( x ) = e cos x + tan x e 3 x . \large f ( x ) = \frac { e ^ { \cos x } + \tan x } { e ^ { 3 x } } . f ( x ) = e 3 x e c o s x + tan x .
حل: با توجه به ( e cos x + tan x ) ′ = − sin x e cos x + sec 2 x (e^{\cos x} + \tan x)'=-\sin x e^{\cos x} + \sec ^2 x ( e c o s x + tan x ) ′ = − sin x e c o s x + sec 2 x و ( e 3 x ) ′ = 3 e 3 x \big(e^{3x}\big)' = 3e^{3x} ( e 3 x ) ′ = 3 e 3 x ، خواهیم داشت:
f ′ ( x ) = ( e 3 x ) ( − sin x e cos x + sec 2 x ) − ( 3 e 3 x ) ( e cos x + tan x ) ( e 3 x ) 2 = ( − sin x e cos x + sec 2 x ) − 3 ( e cos x + tan x ) e 3 x = − sin x e cos x + sec 2 x − 3 e cos x − 3 tan x e 3 x . □ \large \begin {aligned} f' ( x ) & = \frac { \big ( e ^ { 3 x } \big ) ( - \sin x e ^ { \cos x } + \sec ^ 2 x ) - \big ( 3 e ^ { 3 x } \big ) ( e ^ { \cos x } + \tan x ) } { ( e ^ { 3 x } ) ^ 2 } \\ & = \frac { ( - \sin x e ^ { \cos x } + \sec ^ 2 x ) - 3 ( e ^ { \cos x } + \tan x ) } { e ^ { 3 x } } \\ & = \frac { - \sin x e ^ { \cos x } + \sec ^ 2 x - 3 e ^ { \cos x } - 3 \tan x }{ e ^ { 3 x } } . \ _ \square \end {aligned} f ′ ( x ) = ( e 3 x ) 2 ( e 3 x ) ( − sin x e c o s x + sec 2 x ) − ( 3 e 3 x ) ( e c o s x + tan x ) = e 3 x ( − sin x e c o s x + sec 2 x ) − 3 ( e c o s x + tan x ) = e 3 x − sin x e c o s x + sec 2 x − 3 e c o s x − 3 tan x . □
مثال ۱۱ مشتق توابع کسری
مشتق تابع کسری زیر را به دست آورید:
f ( x ) = − x 2 + 1 ( x 2 − 1 ) 2 \large f (x) = - \frac { x ^ 2 + 1 } { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 2 } f ( x ) = − ( x 2 − 1 ) 2 x 2 + 1
حل: مشتق این تابع به صورت زیر به دست میآید:
d d x ( − x 2 + 1 ( x 2 − 1 ) 2 ) = − d d x ( x 2 + 1 ( x 2 − 1 ) 2 ) = − ( ( x 2 − 1 ) 2 ( x 2 + 1 ) ′ − ( x 2 + 1 ) ( ( x 2 − 1 ) 2 ) ′ ( ( x 2 − 1 ) 2 ) 2 ) = − ( x 2 − 1 ) 2 ( 2 x ) − ( x 2 + 1 ) ( 2 ( x 2 − 1 ) ( x 2 − 1 ) ′ ) ( x 2 − 1 ) 4 = − 2 x ( x 2 − 1 ) 2 − ( x 2 + 1 ) ( 2 ( x 2 − 1 ) 2 x ) ( x 2 − 1 ) 4 = − 2 x ( x 2 − 1 ) 2 − 4 x ( x 2 + 1 ) ( x 2 − 1 ) ( x 2 − 1 ) 4 = − 2 x ( x 2 − 1 ) ( ( x 2 − 1 ) − 2 ( x 2 + 1 ) ) ( x 2 − 1 ) 4 = − 2 x ( x 2 − 1 ) ( x 2 − 1 − 2 x 2 − 2 ) ( x 2 − 1 ) 4 = − 2 x ( x 2 − 1 ) ( − x 2 − 3 ) ( x 2 − 1 ) 4 = − 2 x ( − x 2 − 3 ) ( x 2 − 1 ) 3 = − − 2 x ( x 2 + 3 ) ( x 2 − 1 ) 3 = − ( − 2 ) x ( x 2 + 3 ) ( x 2 − 1 ) 3 = 2 x ( x 2 + 3 ) ( x 2 − 1 ) 3 . \large \begin {align*} \frac { d } { d x } \left ( - \frac { x ^ 2 + 1 } { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 2 } \right ) & = - \frac { d } { d x } \left ( \frac { x ^ 2 + 1 } { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 2 } \right ) \\ & = - \left ( \frac { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 2 ( x ^ 2 + 1 )' - ( x ^ 2 + 1 ) \left ( ( x ^ 2 - 1 ) ^ 2 \right )' } { \left ( ( x ^ 2 - 1 ) ^ 2 \right ) ^ 2 } \right ) \\ & = - \frac { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 2 ( 2 x ) - ( x ^ 2 + 1 ) \left ( 2 ( x ^ 2 - 1 ) ( x ^ 2 - 1 )' \right ) } { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 4 } \\ & = - \frac { 2 x ( x ^ 2 - 1 ) ^ 2 - ( x ^ 2 + 1 ) ( 2 ( x ^ 2 - 1 ) 2 x ) } { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 4 } \\ & = - \frac { 2 x ( x ^ 2 - 1 ) ^ 2 - 4 x ( x ^ 2 + 1 ) ( x ^ 2 - 1 ) } { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 4 } \\ & = - \frac { 2 x ( x ^ 2 - 1 ) \left ( ( x ^ 2 - 1 ) - 2 ( x ^ 2 + 1 ) \right ) } { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 4 } \\ & = - \frac { 2 x ( x ^ 2 - 1 ) \left ( x ^ 2 - 1 - 2 x ^ 2 - 2 \right ) } { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 4 } \\ & = - \frac { 2 x ( x ^ 2 - 1 ) ( - x ^ 2 - 3 ) } { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 4 } \\ & = - \frac { 2 x ( - x ^ 2 - 3 ) } { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 3 } \\ & = - \frac { - 2 x ( x ^ 2 + 3 ) } { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 3 } \\ & = - ( - 2 ) \frac { x ( x ^ 2 + 3 ) } { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 3 } \\ & = 2 \frac { x ( x ^ 2 + 3 ) } { ( x ^ 2 - 1 ) ^ 3 } . \end {align*} d x d ( − ( x 2 − 1 ) 2 x 2 + 1 ) = − d x d ( ( x 2 − 1 ) 2 x 2 + 1 ) = − ( ( ( x 2 − 1 ) 2 ) 2 ( x 2 − 1 ) 2 ( x 2 + 1 ) ′ − ( x 2 + 1 ) ( ( x 2 − 1 ) 2 ) ′ ) = − ( x 2 − 1 ) 4 ( x 2 − 1 ) 2 ( 2 x ) − ( x 2 + 1 ) ( 2 ( x 2 − 1 ) ( x 2 − 1 ) ′ ) = − ( x 2 − 1 ) 4 2 x ( x 2 − 1 ) 2 − ( x 2 + 1 ) ( 2 ( x 2 − 1 ) 2 x ) = − ( x 2 − 1 ) 4 2 x ( x 2 − 1 ) 2 − 4 x ( x 2 + 1 ) ( x 2 − 1 ) = − ( x 2 − 1 ) 4 2 x ( x 2 − 1 ) ( ( x 2 − 1 ) − 2 ( x 2 + 1 ) ) = − ( x 2 − 1 ) 4 2 x ( x 2 − 1 ) ( x 2 − 1 − 2 x 2 − 2 ) = − ( x 2 − 1 ) 4 2 x ( x 2 − 1 ) ( − x 2 − 3 ) = − ( x 2 − 1 ) 3 2 x ( − x 2 − 3 ) = − ( x 2 − 1 ) 3 − 2 x ( x 2 + 3 ) = − ( − 2 ) ( x 2 − 1 ) 3 x ( x 2 + 3 ) = 2 ( x 2 − 1 ) 3 x ( x 2 + 3 ) .
مثال ۱۲ مشتق توابع کسری
مشتق تابع تانژانت را محاسبه کنید.
حل: با توجه به اینکه تانژانت برابر با نسبت سینوس به کسینوس است، میتوان مشتق آن را به صورت زیر محاسبه کرد:
d d x tan ( x ) = d d x ( sin ( x ) cos ( x ) ) = ( cos ( x ) ) ( cos ( x ) ) − ( sin ( x ) ) ( − sin ( x ) ) cos 2 ( x ) = cos 2 ( x ) + sin 2 ( x ) cos 2 ( x ) = 1 cos 2 ( x ) = sec 2 ( x ) \large \begin {aligned} \frac { d } { d x } \tan ( x ) & = \frac { d } { d x } \left ( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ) \\ & = \frac { ( \cos ( x ) ) ( \cos ( x ) ) - ( \sin ( x ) ) ( - \sin ( x ) ) } { \cos ^ { 2 } ( x ) } \\ & = \frac { \cos ^ { 2 } ( x ) + \sin ^ { 2 } (x ) } { \cos ^ { 2 } ( x ) } \\ & = \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } ( x ) } \\ & = \sec ^ { 2 } ( x ) \end {aligned} d x d tan ( x ) = d x d ( cos ( x ) sin ( x ) ) = cos 2 ( x ) ( cos ( x )) ( cos ( x )) − ( sin ( x )) ( − sin ( x )) = cos 2 ( x ) cos 2 ( x ) + sin 2 ( x ) = cos 2 ( x ) 1 = sec 2 ( x )
مثال ۱۳ مشتق توابع کسری
مشتق تابع کتانژانت را محاسبه کنید.
حل: با توجه به اینکه کتانژانت برابر با نسبت کسینوس به سینوس است، میتوان مشتق آن را به صورت زیر محاسبه کرد:
d d x cot ( x ) = d d x ( cos ( x ) sin ( x ) ) = ( sin ( x ) ) ( − sin ( x ) ) − ( cos ( x ) ) ( cos ( x ) ) sin 2 ( x ) = − sin 2 ( x ) + cos 2 ( x ) sin 2 ( x ) = − 1 sin 2 ( x ) = − csc 2 ( x ) \large \begin {aligned} \frac { d } { d x } \cot ( x ) & = \frac { d } { d x} \left ( \frac { \cos ( x ) } { \sin ( x ) } \right ) \\ & = \frac { ( \sin ( x ) ) ( - \sin ( x ) ) - ( \cos ( x ) ) ( \cos ( x ) ) } { \sin ^ { 2 } ( x ) } \\ & = - \frac { \sin ^ { 2 } ( x ) + \cos ^ { 2 } ( x ) } { \sin ^ { 2 } ( x ) } \\ & = - \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } ( x ) } \\ & = - \csc ^ { 2 } ( x ) \end {aligned} d x d cot ( x ) = d x d ( sin ( x ) cos ( x ) ) = sin 2 ( x ) ( sin ( x )) ( − sin ( x )) − ( cos ( x )) ( cos ( x )) = − sin 2 ( x ) sin 2 ( x ) + cos 2 ( x ) = − sin 2 ( x ) 1 = − csc 2 ( x )
مثال ۱۴ مشتق توابع کسری
مشتق تابع سکانت را محاسبه کنید.
حل: با توجه به اینکه سکانت عکس کسینوس است، میتوان مشتق آن را به صورت زیر محاسبه کرد:
d d x sec ( x ) = d d x 1 cos ( x ) = cos ( x ) ( 0 ) − ( − sin ( x ) ) cos 2 ( x ) = sin ( x ) cos 2 ( x ) = 1 cos ( x ) sin ( x ) cos ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) \large \begin {aligned} \frac { d } { d x } \sec ( x ) & = \frac { d } { d x } \frac { 1 } { \cos ( x ) } \\ & = \frac { \cos ( x ) ( 0 ) - ( - \sin ( x ) ) } { \cos ^ { 2 }( x ) } \\ & = \frac { \sin ( x ) } { \cos ^ { 2 } ( x ) } \\ & = \frac { 1 } { \cos ( x ) } \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \\ & = \sec ( x ) \tan ( x ) \end {aligned} d x d sec ( x ) = d x d cos ( x ) 1 = cos 2 ( x ) cos ( x ) ( 0 ) − ( − sin ( x )) = cos 2 ( x ) sin ( x ) = cos ( x ) 1 cos ( x ) sin ( x ) = sec ( x ) tan ( x )
مثال ۱۵ مشتق توابع کسری
مشتق تابع کسکانت را محاسبه کنید.
حل: با توجه به اینکه کسکانت عکس سینوس است، میتوان مشتق آن را به صورت زیر محاسبه کرد:
d d x csc ( x ) = d d x 1 sin ( x ) = sin ( x ) ( 0 ) − cos ( x ) sin 2 ( x ) = − cos ( x ) sin 2 ( x ) = − 1 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x ) = − csc ( x ) cot ( x ) \large \begin {aligned} \frac { d } { d x } \csc ( x ) & = \frac { d } { d x } \frac { 1 } { \sin ( x ) } \\ & = \frac { \sin ( x ) ( 0 ) - \cos ( x ) } { \sin ^ { 2 } ( x ) } \\ & = - \frac { \cos ( x ) } { \sin ^ { 2 } ( x ) } \\ & = - \frac { 1 } { \sin ( x ) } \frac { \cos ( x ) } { \sin ( x ) } \\ & = - \csc ( x ) \cot ( x ) \end {aligned} d x d csc ( x ) = d x d sin ( x ) 1 = sin 2 ( x ) sin ( x ) ( 0 ) − cos ( x ) = − sin 2 ( x ) cos ( x ) = − sin ( x ) 1 sin ( x ) cos ( x ) = − csc ( x ) cot ( x )
مثال ۱۶ مشتق توابع کسری
مشتق تابع زیر را محاسبه کنید:
y = e x – e – x e x + e – x \large y = \frac { { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } } { { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } } y = e x + e – x e x – e – x
حل: با استفاده از قاعده زنجیرهای و قاعده خارج قسمت، خواهیم داشت:
$$ \large \require {cancel} \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \frac { { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } } { { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } } } \right ) ^ \prime = { \frac { { \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) – \left ( { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } \right ) \left ( { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } \right ) } }{ {{ { \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { { { { \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) } ^ 2 } – { { \left ( { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } \right ) } ^ 2 } } } { { { { \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) } ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { \cancel { e ^ { 2 x } } + 2 + \cancel { e ^ { – 2 x } } – \cancel { e ^ { – 2 x } } + 2 – \cancel { e ^ { – 2 x } } } } { { { { \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { 4 } { { { { \left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } \right ) } ^ 2 } } } . } \end {align*} $$
مثال ۱۷ مشتق توابع کسری
مشتق تابع y = x 2 2 x y = \frac { { { x ^ 2 } } } { { { 2 ^ x } } } y = 2 x x 2 را به دست آورید.
حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت برای مشتق توابع کسری میتوان نوشت:
$$ \large \begin {align*}<br />
\require {cancel} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } } } { { { 2 ^ x } } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { { { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } ^ \prime } \cdot { 2 ^ x } – { x ^ 2 } \cdot { { \left ( { { 2 ^ x } } \right ) } ^ \prime } } } { { { { \left ( { { 2 ^ x } } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { { 2 x \cdot { 2 ^ x } – { x ^ 2 } \cdot { 2 ^ x } \ln 2 } } { { { { \left ( { { 2 ^ x } } \right ) } ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { x \cancel { 2 ^ x } \left ( { 2 – x \ln 2 } \right ) } } { { { { \left ( { { 2 ^ x } } \right ) } ^ { \cancel { 2 } } } } } } = { \frac { { x \left ( { 2 – x \ln 2 } \right ) } } {{ { 2 ^ x } } } . \; \; }<br />
\end {align*} $$
مثال ۱۸ مشتق توابع کسری
مشتق تابع y = 1 + cos x sin x y = { \large \frac { { 1 + \cos x } } { { \sin x } } \normalsize } y = sin x 1 + cos x را محاسبه کنید.
حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت میتوان نوشت:
$$ \large \begin {align*}<br />
\require {cancel} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { 1 + \cos x } } { { \sin x } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { \left ( { – \sin x } \right ) \sin x – \left ( { 1 + \cos x } \right ) \cos x } } { { { { \sin } ^ 2 } x } } } \\ & = { \frac { { – { { \sin } ^ 2 } x – \cos x – { { \cos } ^ 2 } x } } { { { { \sin } ^ 2 } x } } } = { \frac { { – \left ( { { { \sin } ^ 2 } x + { { \cos } ^ 2 } x } \right ) – \cos x } } { { { { \sin } ^ 2 } x } } } \\ &= { \frac { { – 1 – \cos x } } { { { { \sin } ^ 2 } x } } = \frac { { – 1 – \cos x } } { { 1 – { { \cos } ^ 2 } x } } } = { \frac { { – \cancel { \left ( { 1 + \cos x } \right ) } } } { { \left ( { 1 – \cos x } \right ) \cancel { \left ( { 1 + \cos x } \right ) } } } } \\ & = { \frac { { – 1 } } { { 1 – \cos x } } = \frac { 1 } { { \cos x – 1 } } . } \end {align*} $$
توجه کنید که دامنه عبارت نهایی مشتق متفاوت از دامنه تابع اصلی است. این امر به دلیل حذف ریشه در هنگام ساده کردن عبارت ( 1 + cos x ) {\left( {1 + \cos x} \right)} ( 1 + cos x ) از صورت و مخرج است. در حقیقت، دامنه تابع اصلی و مشتق آن کل مجموعه اعداد حقیقی است، به جز x = π n , n ∈ Z x = \pi n,\;n \in \mathbb{Z} x = πn , n ∈ Z .
مثال ۱۹ مشتق توابع کسری
مشتق تابع y = x – 1 x + 1 y = {\large\frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}\normalsize} y = x + 1 x –1 را محاسبه کنید.
حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت، خواهیم داشت:
$$ \large \begin {align*}<br />
\require {cancel} y’ \left ( x \right ) & = { { \left ( { \frac { { \sqrt x – 1 } } { { \sqrt x + 1 } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { { \large \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } \normalsize \left ( { \sqrt x + 1 } \right ) – \left ( { \sqrt x – 1 } \right ) \large \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } \normalsize } } { { { { \left ( { \sqrt x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { \large \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } \normalsize \left ( { \cancel { \color {blue}{ \sqrt x } } + \color {red} { 1 } – \cancel { \color {blue} { \sqrt x } } + \color {red} { 1 } } \right ) } } { { { { \left ( { \sqrt x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { { \large \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } \normalsize \cdot \color {red} { 2 } } } { { { { \left ( { \sqrt x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { 1 } { { \sqrt x { { \left ( { \sqrt x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } . } \end {align*} $$
مثال ۲۰ مشتق توابع کسری
مشتق تابع f ( x ) = u ( x ) v ( x ) w ( x ) f \left ( x \right ) = { \large \frac { { u \left ( x \right ) v \left ( x \right ) } } { { w \left ( x \right ) } } \normalsize } f ( x ) = w ( x ) u ( x ) v ( x ) ا محاسبه کنید.
حل: ابتدا با استفاده از قاعده خارج قسمت از تابع مشتق میگیریم:
f ’ ( x ) = ( u v w ) ′ = ( u v ) ′ ⋅ w – u v ⋅ w ’ w 2 . \large { f’ \left ( x \right ) = { \left ( { \frac { { u v } } { w } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { { { { \left ( { u v } \right ) } ^ \prime } \cdot w – u v \cdot w’ } } { { { w ^ 2 } } } . } f ’ ( x ) = ( w uv ) ′ = w 2 ( uv ) ′ ⋅ w – uv ⋅ w ’ .
در ادامه، با استفاده از قاعده زنجیرهای، خواهیم داشت:
f ’ ( x ) = ( u v ) ′ ⋅ w – u v ⋅ w ’ w 2 = ( u ’ v + u v ’ ) w – u v w ’ w 2 = u ’ v w + u v ’ w – u v w ’ w 2 . \large \begin {align*} f’ \left ( x \right ) & = { \frac { { { { \left ( { u v } \right ) } ^ \prime } \cdot w – u v \cdot w’ } } { { { w ^ 2 } } } } = { \frac { { \left ( { u’ v + u v’ } \right ) w – u v w’ } } { { { w ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { u’ v w + u v’ w – u v w’ } } { { { w ^ 2 } } } . } \end {align*} f ’ ( x ) = w 2 ( uv ) ′ ⋅ w – uv ⋅ w ’ = w 2 ( u ’ v + uv ’ ) w – uv w ’ = w 2 u ’ v w + uv ’ w – uv w ’ .
مثال ۲۱ مشتق توابع کسری
مشتق تابع y = log 2 ( x 2 ) x 2 y = \frac { { { { \log } _ 2 } \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } } { { { x ^ 2 } } } y = x 2 log 2 ( x 2 ) را به دست آورید.
حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت، داریم:
y ’ ( x ) = ( log 2 ( x 2 ) x 2 ) ′ = 2 x 3 x 2 ln 2 – 2 x log 2 ( x 2 ) x 4 = 2 [ 1 – log 2 ( x 2 ) ln 2 ] x 3 ln 2 \large { y’ \left ( x \right ) = { \left ( { \frac { { { { \log } _2 } \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } } { { { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { { \frac { { 2 { x ^ 3 } } } {{ { x ^ 2 } \ln 2 } } – 2 x { { \log } _ 2 } \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } }{ { { x ^ 4 } } } } = { \frac { { 2 \left [ { 1 – { { \log } _ 2 } \left ( { { x ^ 2 } } \right ) \ln 2 } \right ] } } { { { x ^ 3 } \ln 2 } } } y ’ ( x ) = ( x 2 log 2 ( x 2 ) ) ′ = x 4 x 2 l n 2 2 x 3 –2 x log 2 ( x 2 ) = x 3 ln 2 2 [ 1– log 2 ( x 2 ) ln 2 ]
که در آن، x ≠ 0 x \ne 0 x = 0 است.
مثال ۲۲ مشتق توابع کسری
مشتق تابع زیر را محاسبه کنید:
y = sin 2 x 1 + cot x + cos 2 x 1 + tan x \large y = \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { 1 + \cot x } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { 1 + \tan x } } y = 1 + cot x sin 2 x + 1 + tan x cos 2 x
حل: ابتدا تابع را برحسب جملات سینوس و کسینوس ساده میکنیم:
y = sin 2 x 1 + cot x + cos 2 x 1 + tan x = sin 2 x 1 + cos x sin x + cos 2 x 1 + sin x cos x = sin 2 x sin x + cos x sin x + cos 2 x cos x + sin x cos x = sin 3 x sin x + cos x + cos 3 x sin x + cos x = sin 3 x + cos 3 x sin x + cos x . \large \begin {align*} y & = \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { 1 + \cot x } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { 1 + \tan x } } = { \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { 1 + \frac { { \cos x } } { { \sin x } } } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { 1 + \frac { { \sin x } } { { \cos x } } } } } \\ & = { \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { \frac { { \sin x + \cos x } } { { \sin x } } } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { \frac { { \cos x + \sin x } } { { \cos x } } } } } = { \frac { { { { \sin } ^ 3 } x } } { { \sin x + \cos x } } + \frac { { { { \cos } ^ 3 } x } }{ { \sin x + \cos x } } } \\ & = { \frac { { { { \sin } ^ 3 } x + { { \cos } ^ 3 } x } } { { \sin x + \cos x } } . } \end {align*} y = 1 + cot x sin 2 x + 1 + tan x cos 2 x = 1 + s i n x c o s x sin 2 x + 1 + c o s x s i n x cos 2 x = s i n x s i n x + c o s x sin 2 x + c o s x c o s x + s i n x cos 2 x = sin x + cos x sin 3 x + sin x + cos x cos 3 x = sin x + cos x sin 3 x + cos 3 x .
از اتحاد چاق و لاغر برای صورت کسر استفاده میکنیم:
a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 – a b + b 2 ) \large { { a ^ 3 } + { b ^ 3 } } = { \left ( { a + b } \right ) \left ( { { a ^ 2 } – a b + { b ^ 2 } } \right ) } a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 – ab + b 2 )
بنابراین، تابع به فرم زیر در میآید:
y = sin 2 x – sin x cos x + cos 2 x . \large y = { \sin ^ 2 } x – \sin x \cos x + { \cos ^ 2 } x . y = sin 2 x – sin x cos x + cos 2 x .
اکنون از قاعده زنجیرهای و ضرب استفاده میکنیم و از تابع مشتق میگیریم:
$$ \large \begin {align*} \require {cancel}<br />
y ^ \prime & = \left ( { { { \sin } ^ 2 } x } \right ) ^ \prime - { \left ( { \sin x \cos x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { { { \cos } ^ 2 } x } \right ) ^ \prime } \\ &= { 2 \sin \cos x } - { \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime \cos x } - { \sin x\left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } + { 2 \cos x \left ( { – \sin x } \right ) } \\ & = { \cancel { 2 \sin x \cos x } } - { { \cos ^ 2 } x } + { { \sin ^ 2 } x } - { \cancel { 2 \sin x \cos x } } \\ & = { – \left ( { { { \cos } ^ 2 } x – { { \sin } ^ 2 } x } \right ) } = { – \cos 2 x . }<br />
\end {align*} $$
مثال ۲۳ مشتق توابع کسری
مشتق مرتبه n n n اُم تابع y = 1 1 – 5 x \large y = \large { \frac { 1 } { { 1 – 5 x } } } \normalsize y = 1–5 x 1 را به دست آورید.
حل: ابتدا مشتق اول تابع را با استفاده از قاعده توان و زنجیرهای مینویسیم:
y ′ = ( 1 1 – 5 x ) ′ = ( ( 1 – 5 x ) – 1 ) ′ = – 1 ⋅ ( 1 – 5 x ) – 2 ⋅ ( 1 – 5 x ) ′ = – 1 ⋅ ( 1 – 5 x ) – 2 ⋅ ( – 5 ) = 1 ⋅ ( 1 – 5 x ) – 2 ⋅ 5 = 1 ⋅ 5 ( 1 – 5 x ) 2 ; \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \frac { 1 } { { 1 – 5 x } } } \right ) ^ \prime = { \left ( { { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ { – 1 } } } \right ) ^ \prime } = { – 1 \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 2 } } \cdot \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ \prime } \\ & = { – 1 \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 2 } } \cdot \left ( { – 5 } \right ) } = { 1 \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 2 } } \cdot 5 } = { \frac { { 1 \cdot 5 } }{ { { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ 2 } } } ; } \end {align*} y ′ = ( 1–5 x 1 ) ′ = ( ( 1–5 x ) –1 ) ′ = –1 ⋅ ( 1–5 x ) –2 ⋅ ( 1–5 x ) ′ = –1 ⋅ ( 1–5 x ) –2 ⋅ ( –5 ) = 1 ⋅ ( 1–5 x ) –2 ⋅ 5 = ( 1–5 x ) 2 1 ⋅ 5 ;
مشتق دوم و سوم و چهارم نیز به صورت زیر هستند:
y ′ ′ = ( 1 ⋅ ( 1 – 5 x ) – 2 ⋅ 5 ) ′ = 1 ⋅ ( – 2 ) ⋅ ( 1 – 5 x ) – 3 ⋅ 5 ⋅ ( – 5 ) = 2 ! ⋅ ( 1 – 5 x ) – 3 ⋅ 5 2 = 2 ! 5 2 ( 1 – 5 x ) 3 ; \large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } & = \left ( { 1 \cdot { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ { – 2 } } \cdot 5 } \right ) ^ \prime = { 1 \cdot \left ( { – 2 } \right ) \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 3 } } \cdot 5 \cdot \left ( { – 5 } \right ) } \\ & = { 2 ! \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 3 } } \cdot { 5 ^ 2 } } = { \frac { { 2 ! \, { 5 ^ 2 } } } { { { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ 3 } } } ; } \end {align*} y ′′ = ( 1 ⋅ ( 1–5 x ) –2 ⋅ 5 ) ′ = 1 ⋅ ( –2 ) ⋅ ( 1–5 x ) –3 ⋅ 5 ⋅ ( –5 ) = 2 ! ⋅ ( 1–5 x ) –3 ⋅ 5 2 = ( 1–5 x ) 3 2 ! 5 2 ;
y ′ ′ ′ = ( 2 ! ⋅ ( 1 – 5 x ) – 3 ⋅ 5 2 ) ′ = 2 ! ⋅ ( – 3 ) ⋅ ( 1 – 5 x ) – 4 ⋅ 5 2 ⋅ ( – 5 ) = 3 ! ⋅ ( 1 – 5 x ) – 4 ⋅ 5 3 = 3 ! 5 3 ( 1 – 5 x ) 4 ; \large \begin {align*} y ^ { \prime \prime \prime } & = \left ( { 2 ! \cdot { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ { – 3 } } \cdot { 5 ^ 2 } } \right ) ^ \prime = { 2 ! \cdot \left ( { – 3 } \right ) \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 4 } } \cdot { 5 ^ 2 } \cdot \left ( { – 5 } \right ) } \\ & = { 3 ! \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 4 } } \cdot { 5 ^ 3 } } = { \frac { { 3 ! \, { 5 ^ 3 } } }{ { { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ 4 } } } ; } \end {align*} y ′′′ = ( 2 ! ⋅ ( 1–5 x ) –3 ⋅ 5 2 ) ′ = 2 ! ⋅ ( –3 ) ⋅ ( 1–5 x ) –4 ⋅ 5 2 ⋅ ( –5 ) = 3 ! ⋅ ( 1–5 x ) –4 ⋅ 5 3 = ( 1–5 x ) 4 3 ! 5 3 ;
y ( 4 ) = ( 3 ! ⋅ ( 1 – 5 x ) – 4 ⋅ 5 3 ) ′ = 3 ! ⋅ ( – 4 ) ⋅ ( 1 – 5 x ) – 5 ⋅ 5 3 ⋅ ( – 5 ) = 4 ! ⋅ ( 1 – 5 x ) – 5 ⋅ 5 4 = 4 ! 5 4 ( 1 – 5 x ) 5 . \large \begin {align*} { y ^ { \left ( 4 \right ) } } & = \left ( { 3 ! \cdot { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ { – 4 } } \cdot { 5 ^ 3 } } \right ) ^ \prime = { 3 ! \cdot \left ( { – 4 } \right ) \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 5 } } \cdot { 5 ^ 3 } \cdot \left ( { – 5 } \right ) } \\ & = { 4 ! \cdot { \left ( { 1 – 5 x } \right ) ^ { – 5 } } \cdot { 5 ^ 4 } } = { \frac { { 4 ! \, { 5 ^ 4 } } } { { { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ 5 } } } . } \end {align*} y ( 4 ) = ( 3 ! ⋅ ( 1–5 x ) –4 ⋅ 5 3 ) ′ = 3 ! ⋅ ( –4 ) ⋅ ( 1–5 x ) –5 ⋅ 5 3 ⋅ ( –5 ) = 4 ! ⋅ ( 1–5 x ) –5 ⋅ 5 4 = ( 1–5 x ) 5 4 ! 5 4 .
بنابراین، مشتق مرتبه n n n اُم تابع برابر خواهد بود با:
y ( n ) = n ! 5 n ( 1 – 5 x ) n + 1 . \large { y ^ { \left ( n \right ) } } = \frac { { n ! \, { 5 ^ n } } } { { { { \left ( { 1 – 5 x } \right ) } ^ { n + 1 } } } } . y ( n ) = ( 1–5 x ) n + 1 n ! 5 n .
مثال ۲۴ مشتق توابع کسری
مشتق تابع کسری زیر را بیابید:
y ( x ) = ( x + 1 ) 2 ( x + 2 ) 3 ( x + 3 ) 4 , x > – 1 \large { y \left ( x \right ) } = { \frac { { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } { { { { \left ( { x + 2 } \right ) } ^ 3 }{ { \left ( { x + 3 } \right ) } ^ 4 } } } , \; \; } \kern-0.3pt { x \gt – 1 } y ( x ) = ( x + 2 ) 3 ( x + 3 ) 4 ( x + 1 ) 2 , x > –1
حل: اگر از قاعده خارج قسمت مشتق توابع کسری استفاده کنیم، محاسبات بسیار طولانی خواهند بود. بنابراین، از دو طرف تابع لگاریتم میگیریم:
ln y = ln ( x + 1 ) 2 ( x + 2 ) 3 ( x + 3 ) 4 , ⇒ ln y = ln ( x + 1 ) 2 − ln ( x + 2 ) 3 − ln ( x + 3 ) 4 , ⇒ ln y = 2 ln ( x + 1 ) − 3 ln ( x + 2 ) − 4 ln ( x + 3 ) . \large \begin {align*} \ln y & = \ln \frac { { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 2 } } }{ { { { \left ( { x + 2 } \right ) } ^ 3 } { { \left ( { x + 3 } \right ) } ^ 4 } } } , \; \; \\ &\Rightarrow { \ln y = \ln { \left ( { x + 1 } \right ) ^ 2 } } - { \ln { \left ( { x + 2 } \right ) ^ 3 } } - { \ln { \left ( { x + 3 } \right ) ^ 4 } , \; \; } \\ & \Rightarrow { \ln y = 2 \ln \left ( { x + 1 } \right ) } - { 3 \ln \left ( { x + 2 } \right ) } - { 4 \ln \left ( { x + 3 } \right ) . } \end {align*} ln y = ln ( x + 2 ) 3 ( x + 3 ) 4 ( x + 1 ) 2 , ⇒ ln y = ln ( x + 1 ) 2 − ln ( x + 2 ) 3 − ln ( x + 3 ) 4 , ⇒ ln y = 2 ln ( x + 1 ) − 3 ln ( x + 2 ) − 4 ln ( x + 3 ) .
اکنون از دو طرف عبارت بالا مشتق میگیریم و مشتق تابع اصلی را به دست میآوریم:
y ’ y = 2 x + 1 − 3 x + 2 − 4 x + 3 , ⇒ y ’ = y ⋅ ( 2 x + 1 – 3 x + 2 – 4 x + 3 ) , ⇒ y ’ = ( x + 1 ) 2 ( x + 2 ) 3 ( x + 3 ) 4 ⋅ ( 2 x + 1 – 3 x + 2 – 4 x + 3 ) . \large \begin {align*} { \frac { { y’ } } { y } } & = { \frac { 2 } { { x + 1 } } } - { \frac { 3 } { { x + 2 } } } - { \frac { 4 } { { x + 3 } } , \; \; } \Rightarrow { y’ = y \cdot } \kern0pt { \left ( { \frac { 2 } { { x + 1 } } – \frac { 3 } { { x + 2 } } – \frac { 4 } { { x + 3 } } } \right ) , \; \; } \\ & \Rightarrow { y’ = \frac { {{ { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } { { { { \left ( { x + 2 } \right ) } ^ 3 } { { \left ( { x + 3 } \right ) } ^ 4 } } } \cdot } \kern0pt { \left ( { \frac { 2 } { { x + 1 } } – \frac { 3 } { { x + 2 } } – \frac { 4 } { { x + 3 } } } \right ) . } \end {align*} y y ’ = x + 1 2 − x + 2 3 − x + 3 4 , ⇒ y ’ = y ⋅ ( x + 1 2 – x + 2 3 – x + 3 4 ) , ⇒ y ’ = ( x + 2 ) 3 ( x + 3 ) 4 ( x + 1 ) 2 ⋅ ( x + 1 2 – x + 2 3 – x + 3 4 ) .
مشتق ضمنی توابع کسری چجوری محاسبه میشه؟