فرمول مساحت مثلث چیست؟ — تمام فرمول ها + حل تمرین

آخرین به‌روزرسانی: ۳ دی ۱۴۰۱
زمان مطالعه: ۱۳ دقیقه
فرمول مساحت مثلث

فرمول مساحت مثلث برابر «یک دوم قاعده ضرب در ارتفاع» است. البته فرمول‌های دیگری نظیر فرمول هرون، فرمول مثلثاتی و فرمول برداری نیز برای محاسبه مساحت مثلث مورد استفاده قرار می‌گیرند. در این آموزش، به معرفی فرمول‌های پرکاربرد مساحت مثلث و حل چند مثال توسط آن‌ها می‌پردازیم. در آخرین بخش از این آموزش، فرمول کلی مساحت مثلث را اثبات می‌کنیم.

فهرست مطالب این نوشته

مثلث چیست؟

مثلث، یکی از شکل‌های چند ضلعی و بسته دو بعدی است که از سه ضلع و سه راس تشکیل می‌شود. تصویر زیر، نمونه‌ای از یک مثلث مختلف اضلاع را نمایش می‌دهد.

مثلث مختلف اضلاع با طول ضلع و زوایای متفاوت
مثلث مختلف اضلاع با طول ضلع و زوایای متفاوت

مساحت مثلث چیست؟

مساحت (به انگلیسی Area)، اندازه سطح قرار گرفته در داخل ضلع‌های یک شکل بسته هندسی است. سطح درون ضلع‌های مثلث، با عنوان مساحت مثلث شناخته می‌شود. در تصویر زیر، ناحیه هاشور خورده، مساحت مثلث را نمایش می‌دهد.

نمایش سطح محدود به ضلع‌های مثلث (مساحت مثلث)
نمایش سطح محدود به ضلع‌های مثلث (مساحت مثلث)

جدول فرمول‌های مساحت مثلث

جدول زیر، پرکاربردترین فرمول‌های محاسبه مثلث را بر اساس انداز‌های مورد نیاز و نوع مثلث نمایش می‌دهد. در بخش‌های بعدی، به توضیح کامل‌تر و ارائه مثال در زمینه هر یک از این فرمول‌ها خواهیم پرداخت.

اندازه‌های مورد نیاز نوع مثلث فرمول مساحت مثلث
ارتفاع و قاعده تمام مثلث‌ها $$
A = \frac {h \times b } { 2 }
$$
یک ضلع متساوی الاضلاع فرمول با ضلع:
$$
A=\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}
$$
فرمول با ارتفاع:
$$
A=\frac{\sqrt{3}}{3} h^{2}
$$
متساوی الساقین قائم الزاویه فرمول با ساق:
$$
A=\frac{ a^ {2} }{2}
$$
فرمول با وتر:
$$
A=\frac{ c^ {2} }{4}
$$
یک ضلع و وتر قائم الزاویه $$
A = \frac { a \sqrt { c^{ 2 } – a^{ 2 }} } {2}
$$
سه ضلع تمام مثلث‌ها $$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
دو ضلع و زاویه بین تمام مثلث‌ها $$
Area=\frac{1}{2} a b \sin C
$$
دو زاویه و ضلع بین تمام مثلث‌ها $$
\text { Area }=\frac{c^{2} \sin A \sin B}{2 \sin C}
$$
مختصات دو بعدی سه راس تمام مثلث‌ها $$
A = (1/2) [x_A (y_B − y_C) + x_B (y_C − y_A) + x_C (y_A−y_B)]$$
مختصات سه بعدی سه راس تمام مثلث‌ها $$
Area=\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|
$$

فرمول اصلی مساحت مثلث چیست ؟

شناخته شده‌ترین و پرکاربردترین فرمول مساحت مثلث برابر قاعده ضرب‌در ارتفاع تقسیم بر دو است. فرم ریاضی فرمول مساحت مثلث به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A = \frac {h \times b } { 2 }
$$

  • A: حرف اول کلمه انگلیسی «Area» به معنای «مساحت»
  • h: حرف اول کلمه انگلیسی «height» به معنای «ارتفاع»
  • b: حرف اول کلمه انگلیسی «base» به معنای «قاعده»

یکی دیگر از روش‌های بیان کلامی فرمول بالا، «مساحت مثلث برابر یک دوم ارتفاع ضرب در قاعده» است. همان طور که مشاهده می‌کنید، برای به دست آوردن مساحت مثلث ابتدا باید قاعده و ارتفاع آن را تعیین کرد. به همین دلیل، آشنایی با این مفاهیم از اهمیت بالایی برخوردار است.

قاعده و ارتفاع مثلث چه هستند؟

به ضلع مورد استفاده برای محاسبه مساحت مثلث، قاعده مثلث می‌گویند. هر مثلث دارای سه قاعده است. به فاصله عمودی بین راس تا قاعده مثلث، ارتفاع مثلث گفته می‌شود. هر مثلث دارای سه قاعده و سه ارتفاع است. تصویر زیر، قاعده‌ها و ارتفاع‌های نظیر در یک مثلث متساوی الاضلاع را نمایش می‌دهد.

ارتفاع ها و قاعده های مثلث
هر رنگ، معرف ارتفاع و قاعده مورد نیاز برای محاسبه مساحت مثلث است.

مثال: محاسبه مساحت مثلث با ارتفاع و قاعده

مساحت مثلثی به قاعده 7 و ارتفاع 6 چقدر است؟

به دلیل مشخص بودن قاعده و ارتفاع، فرمول مساحت مثلث با قاعده و ارتفاع را می‌نویسیم:

$$
A = \frac {h \times b } { 2 }
$$

  • A: مساحت
  • h: ارتفاع مثلث و برابر 6
  • b: قاعده مثلث و برابر 7

اندازه‌های داده شده را در فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$
A = \frac {6 \times 7 } { 2 }
$$

$$
A = \frac {42 } { 2 }
$$

$$
A = 21
$$

مساحت مثلث برابر 21 است.

فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع

مثلث متساوی الاضلاع، مثلثی با طول ضلع‌های برابر است. یکسان بودن اندازه ضلع‌ها، امکان محاسبه مساحت این مثلث را با یک فرمول اختصاصی فراهم می‌کند.

فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع
مثلث متساوی الاضلاع

رابطه معرفی شده در بخش قبلی، به عنوان یک رابطه کلی بین قاعده، ارتفاع و مساحت مثلث شناخته می‌شود. فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع به ضلع a برابر است با:

$$
A=\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}
$$

  • A: مساحت
  • a: طول یکی از ضلع‌های مثلث متساوی الاضلاع

در صورت مشخص بودن ارتفاع این مثلث، فرمول بالا را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$
A=\frac{\sqrt{3}}{3} h^{2}
$$

  • A: مساحت
  • h: طول یکی از ارتفاع‌های مثلث متساوی الاضلاع

مثال: محاسبه مساحت مثلث با یک ضلع

اندازه یکی از ضلع‌های یک مثلث متساوی الاضلاع، برابر 10 است. مساحت این مثلث و ارتفاع آن را محاسبه کنید.

مثلث متساوی الاضلاع به ضلع 10
مثلث متساوی الاضلاع به ضلع 10

به دلیل برابر بودن طول تمام ضلع‌ها، می‌توانیم از فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع استفاده کنیم:

$$
A=\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}
$$

  • A: مساحت
  • a: اندازه ضلع مثلث برابر 10

$$
A=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^{2}
$$

$$
A=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 100
$$

$$
A=25\sqrt{3}
$$

مساحت مثلث برابر $$25\sqrt{3}$$ است. برای به دست آوردن ارتفاع مثلث، فرمول کلی مساحت مثلث را می‌نویسیم:

$$
A = \frac {h \times b } { 2 }
$$

  • A: مساحت برابر $$25\sqrt{3}$$
  • b: قاعده مثلث برابر طول یکی از ضلع‌های آن (10)
  • h: ارتفاع مثلث
قاعده و ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع
قاعده و ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع

اطلاعات مسئله و مساحت به دست آمده را درون فرمول کلی قرار می‌دهیم:

$$
25 \sqrt {3} = \frac {h \times 10 } { 2 }
$$

$$
2 \times 25 \sqrt {3} = h \times 10
$$

$$
50 \sqrt {3} = h \times 10
$$

$$
\frac{50 \sqrt {3} } {10}= h
$$

$$
5 \sqrt {3}= h
$$

ارتفاع مثلث برابر $$5 \sqrt {3}$$ است.

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه با وتر

مثلث قائم الزاویه، مثلثی با یک راس 90 درجه است. به ضلع‌های متصل به راس 90 درجه، ساق‌های مثلث و ضلع رو به روی این راس، وتر مثلث گفته می‌شود. ساق‌های مثلث قائم الزاویه، قاعده و ارتفاع نظیر یکدیگر هستند.

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه با وتر
ساق و وتر مثلث قائم الزاویه

مطابق با قضیه فیثاغورس، رابطه زیر بین ساق‌ها و وتر مثلث قائم الزاویه برقرار است:

$$
c^ { 2 } = a^ { 2 } + b^ {2}
$$

  • c: وتر مثلث قائم الزاویه
  • a: یکی از ساق‌های مثلث
  • b: ساق دیگر مثلث

در صورتی که اندازه یکی از ساق‌ها و وتر مثلث قائم الزاویه مشخص باشد، اندازه ساق دیگر از رابطه فیثاغورس به دست می‌آید. از آنجایی که دو ساق، قاعده و ارتفاع نظیر یکدیگر هستند، مساحت مثلث با استفاده از فرمول کلی محاسبه می‌شود. البته با جانمایی قضیه فیثاغورس در فرمول کلی، به فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه با وتر می‌رسیم:

$$
A = \frac { a \sqrt { c^{ 2 } – a^{ 2 }} } {2}
$$

  • A: مساحت
  • a: یکی از ساق‌های مثلث قائم الزاویه
  • c: وتر مثلث قائم الزاویه

مثال: محاسبه مساحت مثلث با وتر

مساحت یک مثلث قائم الزاویه با وتر 5 و اندازه ساق 4 را حساب کنید. طول ساق دیگر مثلث چقدر است؟

مثلث قائم الزاویه با وتر 5 و ساق 4
مثلث قائم الزاویه با وتر 5 و ساق 4

به دلیل داشتن اندازه ساق و وتر، امکان استفاده از فرمول مخصوص مساحت مثلث قائم الزاویه وجود دارد. این فرمول به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A = \frac { a \sqrt { c^{ 2 } – a^{ 2 }} } {2}
$$

  • A: مساحت
  • a: یکی از ساق‌های مثلث برابر 4
  • c: وتر مثلث برابر 5

اندازه‌های مشخص را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$
A = \frac { 4 \sqrt { 5^{ 2 } – 4^{ 2 }} } {2}
$$

$$
A = 2 \sqrt { 25 – 16}
$$

$$
A = 2 \sqrt { 9 }
$$

$$
A = 2 \times 3
$$

$$
A = 6
$$

فیلم‌های آموزشی مرتبط

مساحت مثلث برابر 6 است.

مثلثی با ساق 4، وتر 5 و مساحت 6
مثلثی با ساق 4، وتر 5 و مساحت 6

به منظور محاسبه اندازه ساق دیگر، از فرمول کلی مساحت مثلث استفاده می‌کنیم:

$$
A = \frac {h \times b } { 2 }
$$

  • A: مساحت برابر 6
  • b: قاعده مثلث برابر اندازه یکی از ساق‌ها (4)
  • h: اندازه ساق دیگر

مقادیر را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$
6 = \frac {h \times 4 } { 2 }
$$

$$
6 = h \times 2
$$

$$
\frac {6} {2} = h
$$

$$
3 = h
$$

ساق دیگر این مثلث برابر 3 است. البته در دنیای مثلث‌های قائم الزاویه و قضیه فیثاغورس، ترکیب اعداد ۳، ۴ و ۵ بسیار شناخته شده و قابل تشخیص هستند.

فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه

مثلث متساوی الساقین، مثلثی با دو ضلع هم اندازه است. دو ضلع هم اندازه این مثلث با عنوان ساق‌ شناخته می‌شوند. اگر زاویه بین ساق‌های مثلث متساوی الساقین برابر 90 درجه باشد، یکی از انواع خاص مثلث با عنوان «مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه» به وجود می‌آید.

فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه
مثلث متساوی الساقین و مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه

فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه با ضلع a برابر است با:

$$
A=\frac{ a^ {2} }{2}
$$

به کمک قضیه فیثاغورس، فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه با وتر c به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A=\frac{ c^ {2} }{4}
$$

در این حالت خاص نیز مانند مثلث متساوی الاضلاع، داشتن یکی از انداز‌ه‌ها برای محاسبه مساحت کفایت می‌کند.

مثال اول: محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه با یک ضلع

اندازه هر دو ساق یک مثلث قائم الزاویه برابر 9 است. مساحت این مثلث را محاسبه کنید.

مثلث قائم الزاویه با ساق‌هایی به اندازه 9
مثلث قائم الزاویه با ساق‌هایی به اندازه 9

در صورت برابر بودن اندازه ساق‌های یک مثلث قائم الزاویه، رابطه مخصوص محاسبه مساحت آن به صورت زیر خواهد بود:

$$
A=\frac{ a^ {2} }{2}
$$

  • A: مساحت
  • a: اندازه ساق برابر 9

$$
A=\frac{ 9^ {2} }{2}
$$

$$
A=\frac{ 81 }{2}
$$

$$
A=40.5
$$

مثال دوم: محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه با وتر

مساحت مثلث قائم الزاویه زیر چند است؟

مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین به وتر 8
مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین به وتر 8

به دلیل برابر بودن اندازه ساق‌های مثلث قائم الزاویه بالا، امکان محاسبه مساحت آن به صورت مستقیم و توسط اندازه وتر وجود دارد. فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه با وتر برابر است با:

$$
A=\frac{ c^ {2} }{4}
$$

$$
A=\frac{ 8^ {2} }{4}
$$

$$
A=\frac{ 64 }{4}
$$

$$
A=16
$$

فرمول مساحت مثلث با سه ضلع یا فرمول هرون

فرمول هرون، یک رابطه ریاضی است که به منظور محاسبه مساحت مثلث با طول ضلع‌های مشخص مورد استفاده قرار می‌گیرد.

فرمول مساحت مثلث با سه ضلع یا فرمول هرون
مثلثی با ضلع معلوم (مثلث ض ض ض)

اگر اندازه هر ضلع مثلث معلوم باشد، فرمول مساحت مثلث به روش هرون به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$

  • A: مساحت
  • s: نصف محیط مثلث
  • a: طول ضلع اول
  • b: طول ضلع دوم
  • c: طول ضلع سوم

نصف محیط مثلث، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$

نکته: برای مثلث‌های متساوی الاضلاع، نیازی به نوشتن فرمول هرون به شکل بالا نیست. برای این مثلث‌ها، همان رابطه خاص معرفی شده در بخش‌های قبلی کفایت می‌کند.

مثال: محاسبه مساحت مثلث با سه ضلع

مساحت مثلث مختلف الاضلاع با اندازه ضلع‌های 4، 5 و 6 را حساب کنید.

فیلم‌های آموزشی مرتبط
مثلثی با ضلع‌های 4 و 5 و 6
مثلثی با ضلع‌های 4 و 5 و 6

به دلیل معلوم بودن اندازه ضلع‌ها، محاسبه مساحت مثلث را با استفاده از فرمول هرون انجام می‌دهیم:

$$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$

  • A: مساحت
  • s: نصف محیط مثلث
  • a: طول ضلع اول برابر 4
  • b: طول ضلع دوم برابر 5
  • c: طول ضلع سوم برابر 6

پیش از جایگذاری اندازه‌های مشخص، نصف محیط مثلث را با فرمول زیر تعیین می‌کنیم:

$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$

$$
s=\frac{4+5+6}{2}
$$

$$
s=\frac{15}{2}
$$

$$
s=7.5
$$

اکنون، اندازه ضلع‌ها و نصف محیط را درون فرمول هرون قرار می‌دهیم:

$$
A=\sqrt{7.5 \times (7.5-4)(7.5-5)(7.5-6)}
$$

$$
A=\sqrt{7.5 \times (3.5)(2.5)(1.5)}
$$

$$
A=\sqrt{7.5 \times 13.125}
$$

$$
A=\sqrt{98.4375}
$$

$$
A=9.9
$$

مساحت مثلث حدود 9.9 است.

فرمول مساحت مثلث با سینوس

روابط و فرمول‌های مثلثاتی، قانون سینوس ها و مقادیر سینوس زوایا، از ابزارهای دیگری هستند در محاسبه مساحت مثلث مورد استفاده قرار می‌گیرند. در صورت مشخص بودن دو ضلع و زاویه بین (مثلث ض ز ض)، دو زاویه و ضلع بین (مثلث ز ض ز)، دو ضلع و زاویه غیر بین (مثلث ض ض ز) و دو زاویه و ضلع غیر بین (مثلث ز ز ض)، می‌توان از فرمول مساحت مثلث با سینوس استفاده کرد.

فرمول مساحت مثلث با سینوس
عبارت‌های جبری برای تعیین اندازه ضلع‌ها و زاویه راس‌های مثلث

فرمول مساحت مثلث با دو ضلع و سینوس زاویه بین

اگر اندازه دو ضلع (مانند a و b) و زاویه بین این دو ضلع (A) مشخص باشد، مساحت مثلث از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$
Area=\frac{1}{2} a b \sin C
$$

  • Area: مساحت
  • a: طول ضلع CB
  • b: طول ضلع AC
  • C: زاویه راس C

فرمول مساحت مثلث با یک ضلع و سینوس زوایا

در صورت مشخص بودن اندازه دو زاویه (مانند A و B) و ضلع بین این دو زاویه (c)، مساحت مثلث از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$
\text { Area }=\frac{c^{2} \sin A \sin B}{2 \sin C}
$$

فرمول مساحت مثلث با دو ضلع و زاویه غیر بین یا دو زاویه و ضلع غیر بین

در صورتی که دو ضلع و زاویه غیر بین یا دو زاویه و ضلع غیر بین مشخص باشد، محاسبه اندازه‌های نامشخص توسط قانون سینوس‌ها صورت می‌گیرد:

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}
$$

  • a: طول ضلع BC
  • A: زاویه راس A
  • b: طول ضلع AC
  • B: زاویه راس B
  • c: طول ضلع AB
  • C: زاویه راس C

در مرحله بعدی، مساحت مثلث با استفاده از فرمول هرون یا یکی از دو فرمول قبلی تعیین می‌شود.

مثال: محاسبه مساحت مثلث با روابط مثلثاتی

مساحت مثلث زیر چقدر را تعیین کنید.

مثلثی با دو زاویه 35 و 62 و ضلع غیر بین 7
مثلثی با دو زاویه 35 و 62 و ضلع غیر بین 7

در مثلث بالا، اندازه دو زاویه و ضلع غیر بین مشخص است. به همین دلیل، ابتدا باید با استفاده از قانون سینوس‌ها، اندازه‌های دیگر را به دست آورد. قانون سینوس‌ها را برای مثلث بالا می‌نویسیم:

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}
$$

  • a: طول ضلع BC
  • A: زاویه راس A برابر 35 درجه
  • b: طول ضلع AC
  • B: زاویه راس B
  • c: طول ضلع AB برابر 7
  • C: زاویه راس C برابر 62 درجه

بر اساس قانون جمع زوایای داخلی، زاویه B برابر (°B=180°-35°-62°=83) است. مقادیر مشخص را درون نسبت‌های بالا قرار می‌دهیم:

$$
\frac{a}{\sin 35°}=\frac{b}{\sin 83°}=\frac{7}{\sin 62°}
$$

با توجه به سینوس زاویه 35 درجه برابر 0.57، سینوس زاویه 62 درجه برابر 0.88 و سینوس زاویه 83 درجه برابر 0.99 است:

$$
\frac{a}{0.57}=\frac{b}{0.99}=\frac{7}{0.88}
$$

با حل نسبت‌های بالا، طول ضلع BC برابر 4.55 و طول ضلع AC برابر 7.87 به دست می‌آید. با داشتن اندازه تمام ضلع‌ها و زوایا می‌توان از فرمول هرون یا فرمول‌های سینوس برای محاسبه مساحت استفاده کرد. در صورت استفاده از دو ضلع مانند a و c و زاویه بین آن‌ها (B)، فرمول محاسبه مساحت مثلث به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
Area=\frac{1}{2} a c \sin B
$$

$$
Area=\frac{1}{2} \times 4.55 \times 7 \times \sin 83°
$$

$$
Area=\frac{1}{2} \times 4.55 \times 7 \times 0.99
$$

$$
Area=15.7
$$

اگر می‌خواستیم مسئله را با دو زاویه مانند A و C و ضلع بین آن‌ها (b) حل کنیم، می‌توانستیم رابطه زیر را بنویسیم:

$$
\text { Area }=\frac{c^{2} \sin A \sin B}{2 \sin C}
$$

$$
\text { Area }=\frac{7.87^{2} \times 0.57 \times 0.88}{2 \times 0.99}
$$

$$
\text { Area }=\frac{ 31.07 }{ 1.98 }
$$

$$
\text { Area }=\frac{ 31.07 }{ 1.98 }
$$

$$
\text { Area }= 15.7
$$

مساحت‌های به دست آمده با استفاده از هر دو فرمول با هم برابر هستند. در نتیجه، انتخاب مناسب‌ترین فرمول بر عهده شما خواهد بود.

فرمول مساحت مثلث با سه راس

فرمول مساحت مثلث با داشتن سه نقطه توسط مفاهیم مرتبط با دستگاه مختصات، بردارها، ماتریس‌ها و دترمینان نوشته می‌شود.

فرمول مساحت مثلث با سه راس
نقاط معرف راس‌های مثلث در دستگاه مختصات

برای راس‌های بالا، فرمول مساحت مثلث با سه راس عبارت است از:

$$
\alpha=1 / 2\left[\begin{array}{lll}
x_{A} & y_{A} & 1 \\
x_{B} & y_{B} & 1 \\
x_{C} & y_{C} & 1
\end{array}\right] $$

  • α: مساحت
  • xA: مختصات راس A بر روی محور x
  • yA: مختصات راس A بر روی محور y
  • xB: مختصات راس B بر روی محور x
  • yB: مختصات راس B بر روی محور y
  • xC: مختصات راس C بر روی محور x
  • yC: مختصات راس C بر روی محور y

شکل ساده‌تر فرمول محاسبه مساحت مثلث بر اساس مختصات راس‌ها (بدون نیاز به آشنایی با مفهوم دترمینان)، به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A = (1/2) [x_A (y_B − y_C) + x_B (y_C − y_A) + x_C (y_A−y_B)]$$

مثال: محاسبه مساحت مثلث با مختصات سه نقطه

تصویر زیر ، سه راس مثلث در دستگاه مختصات دو بعدی را نمایش می‌دهد. مساحت مثلث ABC چقدر است؟

سه نقطه معلوم در دستگاه مختصات دو بعدی
سه نقطه معلوم در دستگاه مختصات دو بعدی

برای حل این مسئله، از فرمول مساحت مثلث با سه راس استفاده می‌کنیم. مطابق با این فرمول، داریم:

$$
A = (1/2) [x_A (y_B − y_C) + x_B (y_C − y_A) + x_C (y_A−y_B)]$$

مطابق با اطلاعات مسئله داریم:

  • xA=-2
  • yA=-5
  • xB=0
  • yB=3
  • xC=6
  • yC=-3

اطلاعات مسئله را درون فرمول قرار می‌هیم:

$$
A = ( 1/2 ) | ( -2 ) [ ( 3 ) − ( -3 )] + (0) [(-3) − (-5)] + ( 6 ) [ ( -5 ) − ( 3 ) ] |
$$

فیلم‌های آموزشی مرتبط

$$
A = ( 1/2 ) | [ ( -2 ) \times ( 6 ) ] + [ ( 6 ) ( -8 ) ] |
$$

$$
A = ( 1/2 ) | [ (-12) + (-48) ] |
$$

$$
A = ( 1/2 ) | -60 |
$$

$$
A = ( 1/2 ) ( 60 )
$$

$$
A = 30
$$

مساحت مثلث ABC برابر 30 است.

فرمول مساحت مثلث مساحت مثلث در فضای سه بعدی

در دستگاه مختصات سه بعدی، ضلع‌های مثلث به عنوان بردار در نظر گرفته می‌شوند. با دانستن مختصات سه راس مثلث، نوشتن بردارهای معرف ضلع‌های مثلث و ضرب خارجی بردارها، مساحت مثلث در فضای سه بعدی به دست می‌آید.

فرمول مساحت مثلث مساحت مثلث در فضای سه بعدی
راس‌ها و ضلع‌های مثلث در دستگاه مختصات سه بعدی

اگر بردارهای معرف ضلع‌های b و c را در نظر بگیریم، فرمول محاسبه اندازه سطح مثلث به روش برداری به صورت زیر خواهد بود:

$$
Area=\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|
$$

  • Area: مساحت
  • $$\overrightarrow{A B}$$: بردار رسم شده از راس A به راس B
  • $$\overrightarrow{A C}$$: بردار رسم شده از راس A به راس C

اثبات فرمول مساحت مثلث

اثبات فرمول کلی مساحت مثلث، با استفاده از قضیه فیثاغورس در مثلث‌های قائم الزاویه و رابطه مساحت مستطیل انجام می‌گیرد. برای اثبات فرمول مساحت مثلث، ابتدا یک مستطیل مشابه تصویر زیر را در نظر بگیرید.

مستطیلی با ضلع‌های نامعلوم
مستطیلی با ضلع‌های نامعلوم

مطابق با فرمول مساحت مستطیل، داریم:

$$
A = l \times w
$$

  • A: مساحت
  • l: طول
  • w: عرض

اگر قطر مستطیل را رسم کنیم، مستطیل به دو مثلث قائم الزاویه با ابعاد برابر تبدیل می‌شود.

تبدیل مستطیل به دو مثلث قائم الزاویه برابر
تبدیل مستطیل به دو مثلث قائم الزاویه برابر

عرض مستطیل بالا برابر ارتفاع (h) و طول آن برابر قاعده (b) مثلث است. به این ترتیب، می‌توان فرمول قبلی را به شکل زیر بازنویسی کرد:

$$
A = b \times h
$$

از آنجایی که مستطیل بالا، از دو مثلث قائم الزاویه تشکیل می‌شود، مساحت یکی از مثلث‌های قائم الزاویه برابر فرمول زیر خواهد بود:

$$
A = \frac {h \times b } { 2 }
$$

به این ترتیب، اثبات می‌شود که مساحت مثلث قائم الزاویه برابر حاصل ضرب ساق‌ها تقسیم بر دو است. در مرحله بعد، مثلث مختلف الاضلاع زیر را در نظر بگیرید.

برای شروع اثبات فرمول مساحت، از راس (الف)، ارتفاع نظیر ضلع (ب پ) را رسم می‌کنیم. ارتفاع (الف ت)، مثلث (الف ب پ) را به دو مثلث قائم الزاویه (الف ب ت) و (الف ت پ) تقسیم می‌کند.

تقسیم مثلث به دو مثلث قائم الزاویه
تقسیم مثلث به دو مثلث قائم الزاویه

با توجه به تصویر بالا، داریم:

مساحت (الف ت پ) + مساحت (الف ب ت) = مساحت (الف ب پ)

مساحت مثلث قائم الزاویه (الف ب ت) برابر است با:

$$
A_{ت ب ا} = \frac {h \times y } { 2 }
$$

مساحت مثلث قائم الزاویه (الف ت پ) نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$
A_{پ ت ا} = \frac {h \times x } { 2 }
$$

اکنون، مساحت این دو مثلث را باهم جمع می‌کنیم:

$$\frac {h \times y } { 2 } + \frac {h \times y } { 2 }$$

$$
\frac { ( h \times y ) + ( h \times y ) } { 2 }
$$

از h در رابطه بالا فکتور می‌گیریم:

$$
\frac { h \times ( y + x ) } { 2 }
$$

حاصل y+x، همان طول قاعده b است. بنابراین، داریم:

$$
\frac { h \times b } { 2 }
$$

در نتیجه، فرمول مساحت مثلث مختلف الاضلاع (الف ب پ)، برابر فرمول کلی قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر دو است.

مطلبی که در بالا مطالعه کردید بخشی از مجموعه مطالب «محاسبه محیط و مساحت مثلث — انواع مثلث و تمامی فرمول ها» است. در ادامه، می‌توانید فهرست این مطالب را ببینید:

بر اساس رای ۱۵ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
One thought on “فرمول مساحت مثلث چیست؟ — تمام فرمول ها + حل تمرین

خوب بود ممنون

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *