ریاضی , علوم پایه 43915 بازدید

در این مطلب قصد داریم با مفهومی پرکاربرد تحت عنوان ماتریس‌ها را توضیح دهیم. البته در آینده ضرب ماتریس‌ها، ترانهاده ماتریس و معکوس ماتریس‌ها را نیز توضیح خواهیم داد. ماتریس، آرایشی منظم از اعداد است که در سطر و ستون‌های مشخصی مرتب شده‌اند. برای مثال در تصویر زیر یک ماتریس با 2 سطر و 3 ستون مشاهده می‌کنید که ماتریس 3×2 نامیده می‌شود:

ماتریس‌ها کاربردهای زیادی در محاسبات شاخه‌های مختلف دانش دارند و در واقع کارهای بسیاری را می شود با ماتریس ها انجام داد. برای نمونه می‌توان با استفاده از آن‌ها معادلات با درجه 3، 4 و بالاتر را تحلیل و پاسخ‌های آن‌ها را بدست آورد. حتی می‌توان معادله صفحه و یا خط را با استفاده از آرایش ماتریسی توصیف کرد. در تمامی شاخه‌های فیزیک، شامل مکانیک کلاسیک، نورشناسی، الکترومغناطیس، مکانیک کوانتوم و الکترودینامیک کوانتومی، ماتریس برای مطالعه‌ی پدیده‌های فیزیکی به کار می‌رود.

سطر ها و ستون های ماتریس

هر ماتریس از یک یا چند سطر و ستون تشکیل یافته است.

  • سطر ها از چپ به راست هستند.
  •  ستون ها از بالا به پایین هستند.

باید توجه داشته باشید که در هر عملیاتی بر روی ماتریس، سطرها بر ستون‌ها مقدم هستند.

دَرایه

ماتریس معمولا با یک حرف بزرگ انگلیسی (مانند A یا B) نمایش داده می شود. به هر یک از اعداد درون ماتریس یک عنصر یا درایه ماتریس گفته می شود. برای مشخص کردن هر درایه در ماتریس عدد ردیف و ستون آن را  به ترتیب بصورت زیرنویس حرف کوچک نام ماتریس می نویسیم. برای نمونه اگر یک ماتریس A نام دارد، درایه ای که در سطر دوم و ستون سوم آن قرار دارد به صورت a23 مشخص می‌شود.

مثال:

ماتریس B برابر است با:

 

برخی از درایه های نمونه عبارتند از:

  •  b1,1 = 6 (درایه ماتریس در سطر 1 و ستون 1 برابر 6 است)
  •  b1,3 = 24 (درایه ماتریس در سطر 1 و ستون 3 برابر 24 است)
  •  b2,3 = 8 (درایه ماتریس در سطر 2 و ستون 3 برابر 8 است)

مرتبه ماتریس

به تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس که به صورت (ستون×سطر) نوشته می‌شود، مرتبه ماتریس می گوییم. برای مثال مرتبه ماتریس تصویر فوق 3×2 است و می گوییم این یک ماتریس 2 در 3 است. ماتریسی که تنها یک سطر داشته باشد، ماتریس سطری و ماتریسی که تنها یک ستون داشته باشد، ماتریس ستونی نامیده می‌شود. البته ماتریس تهی هم داریم، که ماتریسی است که هیچ درایه‌ای ندارد. به ماتریسی که تعداد سطر ها و ستونهایش برابر باشند ماتریس مربعی گفته می شود.

عملیات‌های ماتریس‌ها

جمع ماتریس‌ها

برای جمع دو ماتریس، اعداد هم مرتبه آن‌ها را با هم جمع کنید:

محاسبات به حالت زیر است:

3+4=7           8+0=8

4+1=5           6-9=-3

دو ماتریس برای جمع شدن باید هم‌مرتبه باشند، یعنی باید تعداد سطرها و همچنین تعداد ستون های دو ماتریس با هم برابر باشند.

مثال: یک ماتریس با 3 سطر و 5 ستون می تواند با یک ماتریس دیگر که 3 سطر و 5 ستون دارد جمع شود؛ اما این ماتریس نمی تواند با یک ماتریس که 3 سطر و 4 ستون دارد جمع شود؛ چون اندازه ستون ها برابر نیست.

منفی کردن ماتریس

به دست آوردن منفی یک ماتریس کار ساده‌ای است:

:محاسبات به نحو زیر است

-(2) = -2           -(-4) = +4

-(7) = -7           -(10) = -10

تفریق ماتریس‌ها

:برای تفریق دو ماتریس می بایست اعداد هم مرتبه ماتریس ها را از هم تفریق کنید

:محاسبات به نحو زیر است

3-4 = -1            8-0 = 8

     4-1 = 3           6-(-9) = 15

در واقع عمل تفریق ماتریس به صورت جمع کردن ماتریس با منفی یک ماتریس دیگر تعریف می‌شود، یعنی A + (−B).

ضرب عدد ثابت در ماتریس

ما می توانیم یک عدد ثابت را در ماتریس ضرب کنیم. در مثال زیر عدد 2 در یک ماتریس ضرب شده است:

:محاسبات به نحو زیر است

2 × 4 = 8              2 × 0 = 0

2 × 1 = 2            2 × -9 = -18

این مضرب ثابت «اسکالر» (Scalar) نام دارد و این روش ضرب نیز اصولاً به نام «ضرب اسکالر» یا «ضرب نرده ای» نامیده می‌شود.

ضرب یک ماتریس در ماتریس دیگر

با توجه به این که عمل ضرب دو ماتریس در هم کمی متفاوت است، شما می توانید نوشته ضرب ماتریس ها را مطالعه کنید تا روش ضرب دو ماتریس در هم را یاد بگیرید.

تقسیم

در مورد تقسیم ماتریس‌ها باید بگوییم که ما در واقع ماتریس ها را تقسیم نمی کنیم؛ بلکه به جای تقسیم، از روش زیر استفاده می‌کنیم:

A / B = A × (1 / B) = A × B -1­

در عبارت فوق منظور از B -1­، «معکوس ماتریس» B است.

پس در واقع ما ماتریس ها را تقسیم نمی‌کنیم و به جای آن، ماتریس را در معکوس ماتریس دیگر ضرب می‌کنیم. اما معکوس ماتریس چیست و چگونه می‌توان آن را محاسبه کرد. برای اطلاعات بیشتر در مورد معکوس یک ماتریس می توانید به نوشته «معکوس ماتریس‌ها – به زبان ساده» مراجع کنید.

ترانهاده ماتریس

برای یافتن «ترانهاده» (Transpose) یک ماتریس، جای سطر ها و ستون ها را عوض کنید. از حرف ” T ” در سمت بالا و راست ماتریس، به عنوان نماد ترانهاده استفاده می‌ضود.

اگر این مطلب مورد توجه شما واقع شده است، موارد زیر نیز احتمالاً برای شما مفید خواهند بود:

==

بر اساس رای 204 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

15 نظر در “ماتریس‌ها — به زبان ساده

  1. درود بر شما که در جهت علم آموزی رایگان قدم برمیدارید و درود بر آن هایی که با یادگرفتن این مطالب از زحماتتان سپاسگزاری میکنند 🙂

  2. سرکار خانم مریم دانیالی و مسئولین محترم سایت وزین فرادرس عالی بود. مشکلی در مورد ماتریسها داشتم که با توضیحات سایت شما کاملا مشکلم حل شد. همواره موفق باشید

  3. سلام خیلی ممنون از زحماتتون .ولی چرا در مورد ضرب ماتریس ها مطلب نگذاشته بودین ؟؟؟؟در حقیقت اشکال من در مورد ضرب ماتریس ها بود که رفع نشد .

    1. به دلیل اهمیت مبحث ضرب ماتریس‌ها، این موضوع در نوشته جداگانه‌ای تنظیم شده است که می توانید در اینجا بخوانید.

  4. یعنی واقعا ممنونم خیلی خوب بود معلم هرچی میگفت نمیفهمیدم ولی خدایی با مطالعه سایت شما مبحث ماتریس هارو در عرض ۵ دقیقه کامل فهمیدم همشو خیلی قشنگ و ب زبان ساده بیان کردین همه قسمت هارو واقعا ممنونم

  5. سلام اگر ممکنه در مورد بدست آوردن ماتریس همنهشت و ماتریس متشابه آموزش ارائه کنید ممنون

  6. توضیحات و نحوه تدریس در این سایت عالی هستش،بخصوص تدریسهایی که توسط خانم مریم دانیالی ارائه شدند،از ایشون و تمام مدرسان این سایت متشکرم🌹

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

برچسب‌ها