ماتریس چیست؟ | ماتریس در ریاضی – به زبان ساده
در درس هندسه تحلیلی به آرایشی مستطیلی از اعداد، علائم یا عبارات که بهصورت سطر و ستون مرتب شدهاند، ماتریس گفته میشود. هر ماتریس معمولا با یک حرف بزرگ انگلیسی مانند A نامگذاری میشود و اعضای آن داخل یک کروشه [] یا پرانتز () قرار میگیرند. در این مطلب از مجله فرادرس توضیح میدهیم ماتریس چیست، چه اجزایی دارد و عملیات روی آن چگونه انجام میشود.
- یاد میگیرید ماتریس در ریاضی چگونه تعریف میشود.
- درایهها، سطرها و ستونهای ماتریس را خواهید شناخت.
- میآموزید که با چه شرطی میتوان دو ماتریس را جمع کرد.
- با انواع عملیات ریاضی روی ماتریسها آشنا میشوید.
ماتریس چیست؟
ماتریس آرایشی منظم از اعداد است که در سطر و ستونهای مشخصی مرتب شدهاند. برای مثال در تصویر زیر یک ماتریس با ۲ سطر و ۳ ستون را مشاهده میکنید که یک ماتریس ۳ × ۲ نامیده میشود:
ماتریسها کاربردهای زیادی در محاسبات شاخههای مختلف دارند و در واقع کارهای بسیاری را میتوان با ماتریسها انجام داد. برای نمونه میتوان با استفاده از آنها معادلات درجه ۳، ۴ و بالاتر را تحلیل کرده و پاسخهای آنها را بهدست آورد. همچنین میتوان معادله صفحه و یا معادله خط را با استفاده از یک آرایش ماتریسی توصیف کرد. در تمامی شاخههای فیزیک، شامل مکانیک کلاسیک، نورشناسی، الکترومغناطیس، مکانیک کوانتوم و الکترودینامیک کوانتومی، ماتریس برای مطالعه پدیدههای فیزیکی بکار میرود.
سطرها و ستون های ماتریس در ریاضی
هر ماتریس از یک یا چند سطر و ستون تشکیل شده که به شکل زیر تعریف میشوند:
- سطرها از چپ به راست هستند.
- ستونها از بالا به پایین هستند.
باید توجه داشته باشید که در انجام هر عملیاتی بر روی ماتریس، سطرها بر ستونها مقدم هستند.
درایه های ماتریس
ماتریس معمولا با یک حرف بزرگ انگلیسی مانند A یا B نمایش داده میشود. به هر یک از اعداد درون ماتریس، یک عنصر یا درایه ماتریس گفته میشود. برای مشخص کردن هر درایه در ماتریس، عدد ردیف و ستون آن را به ترتیب بهصورت زیرنویس حرف کوچک نام ماتریس مینویسیم. برای نمونه، اگر یک ماتریس ما A نام دارد، درایهای که در سطر دوم و ستون سوم آن قرار دارد بهصورت a23 مشخص میشود.
برای مثال، فرض کنید ماتریس B برابر است با:
برخی از درایههای این ماتریس عبارتاند از:
- درایه ماتریس در سطر ۱ و ستون ۱ برابر است با ۶ یا b1,1 = 6
- درایه ماتریس در سطر ۱ و ستون ۳ برابر است با ۲۴ یا b1,3 = 24
- درایه ماتریس در سطر ۲ و ستون ۳ برابر است با ۸ یا b2,3 = 8
مرتبه ماتریس چیست؟
به تعداد سطرها و ستونهای ماتریس که بهصورت (ستون × سطر) نوشته میشود، مرتبه ماتریس میگوییم. برای مثال، مرتبه ماتریس تصویر بخش قبل ۳ × ۲ است و میگوییم این یک ماتریس ۲ در ۳ است. چند تعریف مهم زیر را به خاطر بسپارید:
- ماتریس سطری: ماتریسی که تنها یک سطر داشته باشد.
- ماتریس ستونی: ماتریسی که تنها یک ستون داشته باشد.
- ماتریس تهی: ماتریسی که هیچ درایهای ندارد.
- ماتریس مربعی: ماتریسی که تعداد سطرها و ستونهایش برابر باشند.
عملیات ماتریس ها
در ادامه به انواع مختلف عملیات ریاضی در مورد ماتریسها میپردازیم.
جمع ماتریس ها
برای جمع دو ماتریس، اعداد هممرتبه آنها را با هم جمع کنید:
محاسبات به شکل زیر انجام میشود:
3+4=7 8+0=8
4+1=5 6-9=-3
نکته: دو ماتریس برای جمع شدن باید هممرتبه باشند، یعنی باید تعداد سطرها و همچنین تعداد ستونهای دو ماتریس با هم برابر باشند.
برای مثال، یک ماتریس با ۳ سطر و ۵ ستون میتواند با یک ماتریس دیگر که ۳ سطر و ۵ ستون دارد جمع شود. اما این ماتریس نمیتواند با یک ماتریس که ۳ سطر و ۴ ستون دارد جمع شود، چون تعداد ستونهایشان با هم برابر نیست.
منفی کردن ماتریس
بهدست آوردن منفی یک ماتریس کار سادهای است:
:محاسبات به شکل زیر است
-(2) = -2 -(-4) = +4
-(7) = -7 -(10) = -10
تفریق ماتریس ها
:برای تفریق دو ماتریس باید اعداد هممرتبه ماتریسها را از هم تفریق کنید
:محاسبات به شکل زیر است
3-4 = -1 8-0 = 8
4-1 = 3 6-(-9) = 15
در واقع عملیات تفریق ماتریسها بهصورت جمع کردن یک ماتریس با منفی یک ماتریس دیگر تعریف میشود، یعنی A + (−B).
ضرب عدد ثابت در ماتریس
ما می توانیم یک عدد ثابت را در ماتریس ضرب کنیم. در مثال زیر عدد ۲ در یک ماتریس ضرب شده است:
:محاسبات به شکل زیر است
2 × 4 = 8 2 × 0 = 0
2 × 1 = 2 2 × -9 = -18
ضرب یک ماتریس در ماتریس دیگر
با توجه به این که عمل ضرب دو ماتریس در هم کمی متفاوت است، پیشنهاد میکنیم مطلب ضرب ماتریس ها از مجله فرادرس را در این زمینه مطالعه کنید تا روش ضرب دو ماتریس را یاد بگیرید.
تقسیم ماتریس ها
در مورد تقسیم ماتریسها باید بگوییم که ما در واقع ماتریسها را تقسیم نمیکنیم، بلکه بهجای تقسیم، از روش زیر استفاده میکنیم:
A / B = A × (1 / B) = A × B -1
در عبارت بالا منظور از B -1، معکوس ماتریس B است. پس در واقع ما ماتریسها را تقسیم نمیکنیم و بهجای آن، ماتریس را در معکوس ماتریس دیگر ضرب میکنیم.
ترانهاده ماتریس
برای یافتن ترانهاده یا Transpose یک ماتریس، جای سطرها و ستونها را عوض کنید. از حرف T در سمت بالا و راست ماتریس، به عنوان نماد ترانهاده استفاده میشود:
آزمون ماتریس
۱. برای مشخصکردن مرتبه یک ماتریس، ترتیب صحیح ذکر تعداد سطرها و ستونها به چه صورت است؟
ابتدا تعداد سطرها سپس تعداد ستونها نوشته میشود.
ابتدا تعداد ستونها سپس تعداد سطرها نوشته میشود.
فقط تعداد سطرها برای مرتبه اهمیت دارد.
تعداد ستونها و سطرها بدون ترتیب خاص بیان میشود.
در تعریف مرتبه ماتریس، باید ابتدا تعداد سطرها را بیان کنیم و سپس تعداد ستونها را بنویسیم. این ترتیب مهم است و فقط همین قالب برای بیان مرتبه درست است.
۲. برای اینکه جمع دو ماتریس قابل انجام باشد، چه شرطی باید برقرار باشد و اگر این شرط برقرار نباشد، چه اتفاقی میافتد؟
اگر تعداد سطرها بیشتر باشد، جمع با صفر تکمیل میشود.
جمع ماتریسها تنها به مقدار عناصر بستگی دارد نه ساختار آنها.
هر دو ماتریس باید تعداد سطرها و ستونهای برابر داشته باشند، در غیر این صورت جمع ممکن نیست.
اگر تنها یکی از سطر یا ستون برابر باشد، جمع ممکن است.
برای جمع دو ماتریس، لازم است هر دو ماتریس دقیقا همان تعداد سطر و ستون را داشته باشند؛ یعنی فقط عناصر هممحل (همسطر و همستون) را میتوان با هم جمع کرد. اگر این هماهنگی نباشد، هیچ درایهای نیست که دقیقا با درایه متناظر جمع شود و جمع کردن ممکن نمیشود. متن اشاره میکند که جمع یا تفریق فقط بین ماتریسهای هممرتبه امکانپذیر است. ع
پاسخ سوال نخست گزینه نخست است نه گزینه دو عدد نخست بیانگر تعداد سطر و عدد دوم بیانگر تعداد ستون در صورتیکه شما دقیقا برعکس را به عنوان گزینه نخست برگزیدید
با سلام خدمت شما همراه گرامی؛
نکته بیان شده صحیح است و اصلاحات لازم اعمال شد.
از بازخورد و همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.
در صفحه لینکی برای ضرب ماتریسها وجود دارد وقتی روی آن کلیک میکنیم به صفحه که موجود نیست میرود و پیام این صفحه موجود نیست نشان میدهد به نظرم لینگ درست این است :
https://blog.faradars.org/how-to-multiply-matrices/
لطفا اصلاح فرمایید
با سلام و وقت بخیر؛
لینک اصلاح شد. ممنون از توجه شما.
از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.
سلام ، من هنوز یک چیزی رو متوجه نشدم ، مگر یک مرتب مختصه یک نقطه رو در دستگاه مختصات به ما نشون نمیده؟! خب ماتریس در دستگاه مختصات (مثلا ماتریس 3×3) چی رو بما نشون میده ؟ اگه برداره نمایشش به چه صورته درک نمیکنم
سلام.مرسی از آموزش خوبتون.چطوری میشه با استفاده از ضرب ماتریس،جای بردار رو عوض کرد؟
سلام وقت بخیر
من یک کتاب به زبان ساده از ماتریس میخوام که راحت تر بتونم بفهمم.
تو سایت مطالب پخشه
کاش یه کتابی معرفی کنید که pdfش رو دانلود کنم.
من خارج از کشور هستم و درسی در مورد ماتریس دارم.ولی مطالب استاد رو به زبان انگلیسی متوجه نمیشم.
به نظرتون چیکار کنم؟
به روش وزبان سادهبود مناستفادهکردم
سلام فرادرس. یک سوال داشتم. عدد به توان ماتریس چطور حساب می شود. مثلا عدد 2 به توان ماتریس [4 2:3 1]؟
2 1
4 3
2
فرادرس فوق العاده است.
اصلاحاتی که به نظرم اومد:
در قسمت ترانهاده ماتریس، فعل جمله آخر پاراگراف “میضود” نوشته شده به جای “میشود”
سوال اول آزمون ماتریس گزینه اشتباهی رو صحیح در نظر گرفته و پاسخ تشریحیش هم میگه ابتدا تعداد ستونهارو میگیم و بعدش تعداد سطرها
با سلام خدمت شما همراه گرامی؛
نکات بیان شده اصلاح شد.
از بازخورد شما متشکریم.
سلام
تا اونجا که من میدونم توان ماتریسی نداریم. ولی یه ماتریس میتونه به توان برسه که خب به همون تعداد توان، ماتریس ضرب در خودش میشه.
ممنون از آموزش روان و عالیتون.
در متن توضیح داده شده در قسمت تفریق ماتریسها، چرا
۱۵=(۹-)-۶
؟
یا درود و سپاس از مطالب مفید شما
فقط خواستم یاد آوری کنم که کلمه عمل یک کلمه عربی هست و جمع آن عملیات است. بنابراین دیگر نیازی به اضافه کردن “ها” بعنوان نشان ندارد.
سلام، وقت شما بخیر؛
از تذکر به جای شما بسیار سپاسگزاریم، مطلب بر همین اساس مورد بازبینی و اصلاح قرار گرفت.
از همراهی شما با مجله فرادرس و ارائه بازخورد ممنونیم.
چون منفی در منفی میشه مثبت و میشه 6 به علاوه 9 که میشه 15
سلام
یه سوال داشتم
با فرض ماتریس [A=[a1 a2 a3 a4 a5 و
ماتریس [B=[b1 b2 b3 b4 b5
در یک نرم افزار مثل متلب چگونه میتونم ماتریس
[c=[ a1*b1*a2*b2*…*a5*b5 * را محاسبه کنم؟
ممنون
واقعا عالی. سپاس از سایتتان که قطب اصلی آموزشی دانش است.
بسیار ممنون از آموزش خوبتون
عالی بود ممنون.
سلام وقت بخیر، a=b*c ماتریس aوb را داریم، a ستونی 1*3 هست و b 3*3 هست ، ماتریس c را چگونه باید بدست آورد؟
سلام. با توجه به رابطه A3×1=B3×3C3×1، ماتریس C ستونی و ۳ در ۱ است. برای به دست آوردن C، معموس ماتریس B را از چپ در دو طرف تساوی ضرب میکنیم. بنابراین، B−1A=B−1BC. از آنجا که B−1B=I، ماتریس C برابر خواهد بود با C=B−1A.
خوشحالیم که همراه مجله فرادرس هستید.
سلام اگه ماتریسی به نامAداشته باشیم ماتریس Aبه توان دوچطوری محاسبه میشه
به راحتی
سلام و با تشکر از همراهی شما با فرادرس!
منظور از توان دوم یک ماتریس، ضرب ماتریس در خودش است. البته به شرطی که ماتریس مربعی باشد، میتوان این کار را صورت داد. ولی اگر ماتریس nxn نباشد معمولا برای محاسبه مربع ماتریس A نتیجه حاصل ضرب ماتریس در ترانهاده آن در نظر گرفته خواهد شد.
باز هم از اینکه به نوشتههای مجله فرادرس توجه دارید سپاسگزاریم.
بسیار عالی و جامع
با سلام به تمامی دست اندرکاران سایت پر محتوا و مفید فرادرس من مدتی است که از آموزشها و مقالات شما استفاده میکنم ناسپاسی و دور از انصاف است که بخاطر تلاش اثرگذار شما مراتب قدردانی و تشکر خودم را اعلام ننمایم
عالی بود
بسیار علی بود ممنون از زحمتتون
مطالب سایت خیلی زیاد ساده و مفید….تشکرات فراوان
وبلاگتون عالیه. ولی هنوز جای کار داره. مثلاً میتونین برای هر مطلب، یه بخش جدید به عنوان نمونه سوالات اضافه کنین.
ضمن تشکر از مطالب ارزشمندتان احتمالا دو جمله اول نیاز به اصلاح دارند و جای سطر و ستون بایست تعویض گردد:
سطر ها از چپ به راست هستند.
ستون ها از بالا به پایین هستند.
سلام
دو ماتریس دارم به ابعاد 8×8 و 8×2 که میخوام باهم جمعشون کنم . ولی هر کاری میکنم error میده . میشه لطفا یه پیشنهاد بدید که چیکار کنم.
تشکر …
با درود و سپاس از اینکه همراه فرادرس هستید.
متاسفانه برای جمع دو ماتریس باید آنها دارای تعداد سطر و ستونهای یکسانی باشند. بنابراین جمع دو ماتریس ۸×۸ با ۸×۲ امکان پذیر نیست. بعضی از نرمافزارهای محاسباتی مانند پایتون با تکرار مولفههای ماتریس کوچکتر آن را هم اندازه با ماتریس بزرگتر کرده تا قابل جمع باشند. ولی در بقیه مواقع ممکن است انجام این کار در نرمافزارهای محاسباتی دیگر با پیغام خطا همراه باشد.
موفق و سربلند باشید.
توضیحات و نحوه تدریس در این سایت عالی هستش،بخصوص تدریسهایی که توسط خانم مریم دانیالی ارائه شدند،از ایشون و تمام مدرسان این سایت متشکرم?
سلام اگر ممکنه در مورد بدست آوردن ماتریس همنهشت و ماتریس متشابه آموزش ارائه کنید ممنون
ممنون عالی بود
یعنی واقعا ممنونم خیلی خوب بود معلم هرچی میگفت نمیفهمیدم ولی خدایی با مطالعه سایت شما مبحث ماتریس هارو در عرض ۵ دقیقه کامل فهمیدم همشو خیلی قشنگ و ب زبان ساده بیان کردین همه قسمت هارو واقعا ممنونم
به زبانی ساده سلیس و روان
درود بر شما
سلام خيلي ممنون از زحماتتون .ولي چرا در مورد ضرب ماتريس ها مطلب نگذاشته بودين ؟؟؟؟در حقيقت اشكال من در مورد ضرب ماتريس ها بود كه رفع نشد .
به دلیل اهمیت مبحث ضرب ماتریسها، این موضوع در نوشته جداگانهای تنظیم شده است که می توانید در اینجا بخوانید.
عالیه، عالی اموزش سریع و جذاب این سایت قابل تقدیره ممنونم واقعا
سلام عالی بود مشکلاتم حل شد ممنون از سایت خوبتون
سلام خسته نبااشید.عالی بود.سپاسگذارم ……
اگر میشه واسه من یکی توضیح بده که چرا ماتریس تقسیم نمیشه ؟ممنونم
عالی بود…با بیانی ساده و قابل فهم توضیح دادید…
سرکار خانم مریم دانیالی و مسئولین محترم سایت وزین فرادرس عالی بود. مشکلی در مورد ماتریسها داشتم که با توضیحات سایت شما کاملا مشکلم حل شد. همواره موفق باشید
با سلام
چطور دو ماتریس غیر هم سطح مثلا ۲در۲ را منهای ماتریس ۱ در ۱ کنیم؟
سلام.
دو ماتریس را تنها زمانی میتوانیم جمع یا تفریق کنیم که ابعاد یکسانی داشته باشند.
موفق باشید.
از توضیحات ساده و عالی شما سپاسگذارم
درود بر شما که در جهت علم آموزی رایگان قدم برمیدارید و درود بر آن هایی که با یادگرفتن این مطالب از زحماتتان سپاسگزاری میکنند 🙂