در مطالب قبلی مجله فرادرس، با روش محاسبه مساحت برخی از اشکال و احجام هندسی از قبیل مثلث، دایره، مربع، مستطیل، کره، استوانه، ذوزنقه و متوازی الاضلاع آشنا شدیم. همچنین، روش محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه را معرفی کردیم. در این آموزش، فرمول محاسبه مساحت یک نوع مثلث دیگر، یعنی مساحت مثلث متساوی الاضلاع را همراه با حل چند مثال بیان خواهیم کرد.

انواع مثلث

قبل از بیان فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین، ابتدا در این بخش با انواع مثلث آشنا می‌شویم. هنگام مقایسه طول اضلاع مثلث، هر سه ضلع ممکن است برابر باشند، دو ضلع از آن‌ها مساوی باشند یا هر سه ضلع طول‌های متفاوتی داشته باشند. این موارد اساس دسته‌بندی مثلث‌ها را تشکیل می‌دهد.

مثلث متساوی الاضلاع

در یک مثلث متساوی الاضلاع طول همه اضلاع مساوی هم است. «متساوی الاضلاع» از دو کلمه تشکیل شده است: «متساوی» به معنی «برابر» و «الاضلاع» به معنی «ضلع‌ها» است. از آنجا که اضلاع مساوی در یک مثلث زاویه برابر می‌سازند، تمام زاویه‌های یک مثلث متساوی برابر هستند و همچنین، اندازه هریک برابر با 60 درجه است.

مثلث متساوی الاضلاع

مثلث متساوی الساقین

مثلث متساوی الساقین دو ضلع برابر (و در نتیجه دو زاویه مساوی) دارد. دو ضلع برابر در مقابل دو زاویه مساوی هستند. از آنجا که هر دو ضلع مثلث متساوی الساقین برابر هستند، همه مثلث‌های متساوی الاضلاع مثلث متساوی الساقین نیز هستند، اما مثلث‌های متساوی الساقین الزاماً متساوی الاضلاع نیستند.

مثلث متساوی الساقین

مثلث مختلف الاضلاع

در یک مثلث مختلف الاضلاع، تمام اضلاع دارای طول‌های متفاوتی هستند. اگر یک مثلث متساوی الاضلاع نباشد، یک مثلث مختلف الاضلاع است.

مثلث مختلف الاضلاع

برای آشنایی بیشتر با اشکال مختلف هندسی، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

مساحت مثلث متساوی الاضلاع

مساحت مثلث متساوی الاضلاع را می‌توان با دو روش محاسبه کرد که در ادامه آن‌ها را معرفی می‌کنیم. برای آشنایی بیشتر با روش‌های محاسبه مساحت مثلث، پیشنهاد می‌کنیم آموزش «مساحت مثلث — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» را مطالعه کنید.

فرمول محاسبه مساحت مثلث متساوی الاضلاع با ضلع

همان‌طور که می‌دانیم، مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع، مانند هر مثلث دیگری، برابر با نصف حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع است. در مثلث متساوی الساقینی که طول هر ضلع آن برابر با $$ a $$ است، ارتفاع ($$h$$) را از هر رأسی که رسم کنیم، قاعده را ($$a$$) نصف می‌کند.

مثلث متساوی الاضلاع

با داشتن اندازه ضلع مثلث، ارتفاع را می‌توان به سادگی و با کمک قضیه فیثاغورس محاسبه کرد. اضلاع $$h$$، $$a/2$$ و $$a$$ مثلث قائم الزاویه سمت چپ را تشکیل می‌دهند که $$a$$ وتر آن است. با نوشتن قضیه فیثاغورس برای مثلث قائم الزاویه، ارتفاع $$h$$ برحسب طول ضلع $$ a $$ به دست می‌آید:

فیثاغورس

روش دیگر محاسبه ارتفاع، استفاده از نسبت‌های مثلثاتی است. با توجه به زاویه 60 درجه مثلث متساوی الاضلاع، نسبت بین ارتفاع $$h$$ و وتر $$a$$ سمت چپ برابر با سینوس 60º است.

مثلث متساوی الاضلاع

از این رو، داریم:

ارتفاع مثلث

اکنون با دانستن این دو مقدار ارتفاع و قاعده مثلث، با استفاده از فرمول زیر می‌توانیم مساحت را محاسبه کنیم:

مساحت مثلث متساوی الاضلاع

فرمول محاسبه مساحت مثلث متساوی الاضلاع با ارتفاع

اما گاهی پیش می‌آید که ارتفاع مثلث را می‌دهند و از ما مساحت مثلث متساوی الاضلاع را می‌خواهند. در این صورت نیز این اصل استفاده می‌کنیم که مساحت مثلث متساوی الاضلاع برابر با نصف حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع است. بنابراین، باید ضلع را از ارتفاع به دست آوریم. باز هم شکل زیر را در نظر می‌گیریم.

مثلث متساوی الاضلاع

با استفاده از قضیه فیثاغورس، ضلع $$ a $$ را برحسب ارتفاع $$h$$ محاسبه می‌کنیم:

$$ \large h ^ 2 + \left (\frac {a}{2} \right )^2 = a ^ 2 \;\;\; \Rightarrow h ^ 2 + \frac {a^ 2 }{4} = a ^ 2 \\
\large \frac {3a^2 }{4}= h ^ 2 \;\;\; \Rightarrow a^ 2 = \frac { 4}{3} h^2 \;\;\; \Rightarrow a = \frac {2\sqrt{3}}{3} h $$

بنابراین، مساحت برحسب ارتفاع، برابر است با:

$$ \large A = \frac {a \cdot h }{2} =\frac {\frac {2\sqrt{3}}{3} h\cdot h}{2}= \frac {\sqrt{3}}{3} h^2 =\frac {h^2}{\sqrt 3} $$

مثال های مساحت مثلث متساوی الاضلاع

در این بخش، چند مثال را حل می‌کنیم.

مثال اول مساحت مثلث متساوی الاضلاع

مساحت مثلث زیر را محاسبه کنید.

مساحت مثلث متساوی الاضلاع

حل: همان‌طور که می‌بینیم، مثلث متساوی الاضلاع است و با توجه به داشتن طول ضلع آن، می‌توانیم از فرمول استفاده کنیم و مساحت آن را به صورت زیر به دست آوریم:

مساحت مثلث متساوی الاضلاع

مثال دوم مساحت مثلث متساوی الاضلاع

ارتفاع مثلث متساوی الاضلاعی را پیدا کنید که مساحت آن $$3\sqrt 3$$ سانتی‌متر است.

حل: با توجه به رابطه بین ارتفاع و مساحت مثلث متساوی الاضلاع، داریم:

$$\large A = \frac {\sqrt{3}}{3} h^2 \;\; \Rightarrow \;\;3\sqrt 3 = \frac {\sqrt{3}}{3} h^2 \;\; \Rightarrow \;\; h^2 =9 \;\;\Rightarrow \;\; h = 3 \, \text{cm}^2 $$

مثال سوم مساحت مثلث متساوی الاضلاع

محیط یک مثلث متساوی الاضلاع برابر با $$ 3\; \text{cm}$$‌ است. مساحت آن را به دست آورید.

حل: با توجه به برابر بودن اندازه سه ضلع مثلث متساوی الاضلاع، محیط آن سه برابر ضلح است و ضلع یک‌سوم محیط. بنابراین، اندازه هر ضلع برابر با $$ a=\frac  3  3 = 1 \; \text{cm}$$ به دست می‌آید. اکنون که طول ضلع را داریم، به راحتی مساحت را محاسبه می‌کنیم:

$$\large A = \frac {\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac {\sqrt 3}{4}(1)^2 \approx 0.43\;\text {cm}^2 $$

معرفی فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) فرادرس

معرفی فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) فرادرس

برای آشنایی بیشتر با چندضلعی‌ها و محاسبه مساحت و محیط آن‌ها، پیشنهاد می‌کنیم به فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) مراجعه کنید که توسط فرادرس تهیه شده است. این آموزش ویدیویی که مدت زمان آن ۴ ساعت و ۳ دقیقه است، در چهار درس تهیه شده است.

در درس اول این آموزش، ترسیم‌های هندسی و استدلال معرفی شده‌اند. موضوعات درس دوم، به قضیه تالس و تشابه مثلث‌ها و کاربردهای آن‌ها اختصاص یافته است. در درس سوم، مباحث مربوط به چندضلعی‌ها و ویژگی‌هایی از آن‌ها و همچنین، مساحت و کاربردهای آن مورد بیان شده است. در نهایت، موضوع درس چهارم، تجسم فضایی است که خط، نقطه و صفحه و همچنین تفکر تجسمی را شامل می‌شود.

برای یادگیری اشکال مختلف هندسی و محاسبه محیط، مساحت و حجم آن‌ها، توصیه می‌کنیم آموزش‌های مجله فرادرس را که در این زمینه تهیه شده‌اند، مطالعه کنید:

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

سید سراج حمیدی (+)

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 20 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *