ریاضی, علوم پایه 6437 بازدید

در مطالب قبلی مجله فرادرس، با روش محاسبه مساحت برخی از اشکال و احجام هندسی از قبیل مثلث، دایره، مربع، مستطیل، کره، متوازی‌الاضلاع، و ذوزنقه آشنا شدیم. در این آموزش، فرمول محاسبه مساحت استوانه را همراه با حل چند مثال بیان خواهیم کرد.

استوانه چیست؟

اگر به شکل یک قوطی نوشابه دقت کرده باشید، می‌بینید که شبیه یک استوانه است. «استوانه» (Cylinder) یک حجم است که دو دایره موازی و هم‌اندازه در بالا و پایین دارد. این دایره‌ها را «قاعده» (Base) می‌نامیم. فاصله بین دو قاعده را نیز «ارتفاع» (Height) می‌گوییم و معمولاً با $$h$$ نشان می‌دهیم. اگر قاعده‌های بالا و پایین استوانه در یک راستا باشند، استوانه را قائم و اگر بر هم منطبق نباشند، استوانه را مایل می‌نامیم. شکل زیر استوانه مایل و قائم را نشان می‌دهد.

انواع استوانه

فرمول مساحت استوانه قائم چیست؟

منظور از مساحت استوانه، در واقع مساحت سطح آن است. برای درک بهتر اندازه سطح احجام هندسی، بهترین کار این است که اصطلاحاً آن‌ها را باز کنیم. استوانه سه وجه دارد: یک وجه جانبی و دو وجه بالا و پایین که دایره هستند. اگر استوانه را باز کنیم، می‌توانیم به راحتی فرمولی برای محاسبه مساحت آن ارائه کنیم. شکل زیر استوانه‌ای را نشان می‌دهد که ارتفاع آن برابر با $$h$$ و شعاع قاعده آن $$r$$ است. در این شکل، سطوح باز شده استوانه نیز نشان داده شده‌اند. همان‌طور که می‌بینیم، برای محاسبه مساحت استوانه باید مساحت دو دایره بالا و پایین مربوط به قاعده‌ها و مساحت مستطیل را که مربوط به سطح جانبی استوانه است، با هم جمع کنیم.

مساحت استوانه

بنابراین، مساحت استوانه‌ای که ارتفاع آن برابر با $$h$$ و شعاع قاعده آن $$r$$ است، برابر خواهد بود با:

$$ \large \boxed{ A = 2 \pi r ^ 2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (h + r )} $$

تصویر متحرک زیر مفهوم مساحت استوانه و فرمول آن را به خوبی نشان می‌دهد.

مساحت استوانه

برای آشنایی بیشتر با محاسبه مساحت اشکال مختلف هندسی، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

مساحت استوانه مایل چگونه به دست می‌آید؟

مساحت استوانه مایل نیز دقیقاً با همان فرمول محاسبه مساحت استوانه قائم به دست می‌آید؛ یعنی اگر استوانه‌ مایلی با ارتفاع $$h$$ و شعاع قاعده $$r$$ داشته باشیم، مساحت آن برابر خواهد بود با:

$$ \large \boxed{ A = 2 \pi r ^ 2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (h + r )} $$

مثال های محاسبه مساحت استوانه

در این بخش، چند مثال از محاسبه مساحت استوانه را حل می‌کنیم.

مثال اول مساحت استوانه

یک قوطی استوانه‌ای شکل داریم که شعاع قاعده آن برابر با ۴ سانتی‌متر و ارتفاعش ۱۳ سانتی‌متر است. مساحت سطح قوطی چقدر است؟ (فرض کنید قوطی یک استوانه کامل است)

مساحت سطح استوانه

حل: با توجه به اینکه شعاع $$r=4\,\text{cm}$$ و ارتفاع $$h=13\, \text{cm}$$ است، از فرمول بالا استفاده می‌کنیم ($$\pi$$ را برابر با $$3.14$$ در نظر می‌گیریم):

$$ \large \begin {align*}
S & = 2 \pi { r } ^ { 2} +2 \pi r h \\
& = 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) { 4 } ^ { 2 } + 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) \left ( 4 \right ) 1 3 \\ & = 427.04 \;\text{cm}^2
\end {align*} $$

مثال دوم مساحت استوانه

یک پیتزا به شکل استوانه داریم که ارتفاع آن برابر با $$a=2 \, \text{cm}$$ و شعاع قاعده‌اش برابر با $$z=15\, \text{cm}$$ است.

مساحت پیتزا

حل: مساحت سطح پیتزا برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
S & = 2 \pi { z } ^ { 2} +2 \pi z a \\
& = 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) { 15} ^ { 2 } + 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) \left ( 15 \right ) 2 \\ & = 1601.4 \;\text{cm}^2
\end {align*} $$

مثال سوم مساحت استوانه

استوانه مایل زیر با ارتفاع و شعاع قاعده مشخص داده شده است. مساحت سطح این استوانه را محاسبه کنید.

مساحت استوانه مایل

حل: با توجه به شکل، ارتفاع $$ h = 15$$ و شعاع قاعده $$ r = 6 $$ را داریم. بنابراین، مساحت آن به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*}
S & = 2 \pi { r } ^ { 2} +2 \pi r h \\
& = 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) { 6 } ^ { 2 } + 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) \left ( 6 \right ) 15 \\ & = 791.28
\end {align*} $$

مثال چهارم مساحت استوانه

مساحت سطح استوانه‌ای برابر با ۴۰۰ سانتی‌متر مربع است. اگر شعاع قاعده آن ۵ سانتی‌متر باشد، ارتفاع استوانه چقدر است؟

حل: از فرمول مساحت استوانه استفاده می‌کنیم:

$$ \large
\begin {align*} A & = 2 \pi r ^ 2 + 2 \pi r h
\\ 400 & =2 (3.14)( 5)^2 + 2 (3.14) (5)h
\\ 400 & = 157+31.4 (h)
\\ & \Rightarrow 243 = 31.4 h \Rightarrow h = 7.74 \, \text{cm}
\end {align*}$$

برای یادگیری اشکال مختلف هندسی و محاسبه محیط، مساحت و حجم آن‌ها، توصیه می‌کنیم آموزش‌های مجله فرادرس که در این زمینه تهیه شده‌اند را مطالعه کنید:

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

سید سراج حمیدی (+)

«سید سراج حمیدی» دانش‌آموخته مهندسی برق است. او مدتی در زمینه انرژی‌های تجدیدپذیر فعالیت کرده، و در حال حاضر، آموزش‌های ریاضیات، مهندسی برق و بورس مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 4 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *