مساحت استوانه و محاسبه آن | به زبان ساده

۱۰۵۷۴۷ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۱ شهریور ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۳ دقیقه
مساحت استوانه و محاسبه آن | به زبان ساده

در مطالب قبلی مجله فرادرس، با روش محاسبه مساحت برخی از اشکال و احجام هندسی از قبیل مثلث، دایره، مربع، مستطیل، کره، متوازی‌الاضلاع، و ذوزنقه آشنا شدیم. در این آموزش، فرمول محاسبه مساحت استوانه را همراه با حل چند مثال بیان خواهیم کرد.

997696

استوانه چیست؟

اگر به شکل یک قوطی نوشابه دقت کرده باشید، می‌بینید که شبیه یک استوانه است. «استوانه» (Cylinder) یک حجم است که دو دایره موازی و هم‌اندازه در بالا و پایین دارد.

این دایره‌ها را «قاعده» (Base) می‌نامیم. فاصله بین دو قاعده را نیز «ارتفاع» (Height) می‌گوییم و معمولاً با hh نشان می‌دهیم. اگر قاعده‌های بالا و پایین استوانه در یک راستا باشند، استوانه را قائم و اگر بر هم منطبق نباشند، استوانه را مایل می‌نامیم. شکل زیر استوانه مایل و قائم را نشان می‌دهد.

انواع استوانه

فرمول مساحت استوانه قائم چیست؟

منظور از مساحت استوانه، در واقع مساحت سطح آن است. برای درک بهتر اندازه سطح احجام هندسی، بهترین کار این است که اصطلاحاً آن‌ها را باز کنیم.

استوانه سه وجه دارد: یک وجه جانبی و دو وجه بالا و پایین که دایره هستند. اگر استوانه را باز کنیم، می‌توانیم به راحتی فرمولی برای محاسبه مساحت آن ارائه کنیم. شکل زیر استوانه‌ای را نشان می‌دهد که ارتفاع آن برابر با hh و شعاع قاعده آن rr است. در این شکل، سطوح باز شده استوانه نیز نشان داده شده‌اند. همان‌طور که می‌بینیم، برای محاسبه مساحت استوانه باید مساحت دو دایره بالا و پایین مربوط به قاعده‌ها و مساحت مستطیل را که مربوط به سطح جانبی استوانه است، با هم جمع کنیم.

مساحت استوانه

بنابراین، مساحت استوانه‌ای که ارتفاع آن برابر با hh و شعاع قاعده آن rr است، برابر خواهد بود با:

A=2πr2+2πrh=2πr(h+r) \large \boxed{ A = 2 \pi r ^ 2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (h + r )}

تصویر متحرک زیر مفهوم مساحت استوانه و فرمول آن را به خوبی نشان می‌دهد.

مساحت استوانه

مساحت استوانه مایل چگونه به دست می‌آید؟

مساحت استوانه مایل نیز دقیقاً با همان فرمول محاسبه مساحت استوانه قائم به دست می‌آید؛

یعنی اگر استوانه‌ مایلی با ارتفاع hh و شعاع قاعده rr داشته باشیم، مساحت آن برابر خواهد بود با:

A=2πr2+2πrh=2πr(h+r) \large \boxed{ A = 2 \pi r ^ 2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (h + r )}

مثال های محاسبه مساحت استوانه

در این بخش، چند مثال از محاسبه مساحت استوانه را حل می‌کنیم.

مثال اول مساحت استوانه

یک قوطی استوانه‌ای شکل داریم که شعاع قاعده آن برابر با ۴ سانتی‌متر و ارتفاعش ۱۳ سانتی‌متر است. مساحت سطح قوطی چقدر است؟ (فرض کنید قوطی یک استوانه کامل است)

مساحت سطح استوانه

حل: با توجه به اینکه شعاع r=4cmr=4\,\text{cm} و ارتفاع h=13cmh=13\, \text{cm} است، از فرمول بالا استفاده می‌کنیم (π\pi را برابر با 3.143.14 در نظر می‌گیریم):

S=2πr2+2πrh=2(3.14)42+2(3.14)(4)13=427.04  cm2 \large \begin {align*} S & = 2 \pi { r } ^ { 2} +2 \pi r h \\ & = 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) { 4 } ^ { 2 } + 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) \left ( 4 \right ) 1 3 \\ & = 427.04 \;\text{cm}^2 \end {align*}

مثال دوم مساحت استوانه

یک پیتزا به شکل استوانه داریم که ارتفاع آن برابر با a=2cma=2 \, \text{cm} و شعاع قاعده‌اش برابر با z=15cmz=15\, \text{cm} است.

مساحت پیتزا

حل: مساحت سطح پیتزا برابر است با:

S=2πz2+2πza=2(3.14)152+2(3.14)(15)2=1601.4  cm2 \large \begin {align*} S & = 2 \pi { z } ^ { 2} +2 \pi z a \\ & = 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) { 15} ^ { 2 } + 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) \left ( 15 \right ) 2 \\ & = 1601.4 \;\text{cm}^2 \end {align*}

مثال سوم مساحت استوانه

استوانه مایل زیر با ارتفاع و شعاع قاعده مشخص داده شده است. مساحت سطح این استوانه را محاسبه کنید.

مساحت استوانه مایل

حل: با توجه به شکل، ارتفاع h=15 h = 15 و شعاع قاعده r=6 r = 6 را داریم. بنابراین، مساحت آن به صورت زیر محاسبه می‌شود:

S=2πr2+2πrh=2(3.14)62+2(3.14)(6)15=791.28 \large \begin {align*} S & = 2 \pi { r } ^ { 2} +2 \pi r h \\ & = 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) { 6 } ^ { 2 } + 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) \left ( 6 \right ) 15 \\ & = 791.28 \end {align*}

مثال چهارم مساحت استوانه

مساحت سطح استوانه‌ای برابر با ۴۰۰ سانتی‌متر مربع است. اگر شعاع قاعده آن ۵ سانتی‌متر باشد، ارتفاع استوانه چقدر است؟

حل: از فرمول مساحت استوانه استفاده می‌کنیم:

A=2πr2+2πrh400=2(3.14)(5)2+2(3.14)(5)h400=157+31.4(h)243=31.4hh=7.74cm \large \begin {align*} A & = 2 \pi r ^ 2 + 2 \pi r h \\ 400 & =2 (3.14)( 5)^2 + 2 (3.14) (5)h \\ 400 & = 157+31.4 (h) \\ & \Rightarrow 243 = 31.4 h \Rightarrow h = 7.74 \, \text{cm} \end {align*}

بر اساس رای ۱۳۱ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
۹ دیدگاه برای «مساحت استوانه و محاسبه آن | به زبان ساده»

میشه مال ربع استوانه هم بگذارید؟

سلام. یه سوالی داشتم ممنون میشم کسی کمکم کنه. یه استوانه ایستاده داریم که ارتفاع ۱۶ متر هست و قطر آن ۱۰ متر و به اندازه ۱۵ درصد درون آن آب است. اگر ما استوانه را بخوابانیم چند درصد استوانه با آب پر میشود.

۱۵درصد
سوال نکته انحرافی داره….

بدک نی

عالییییییییییییییییی

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *