مساحت استوانه و محاسبه آن | به زبان ساده

در مطالب قبلی مجله فرادرس، با روش محاسبه مساحت برخی از اشکال و احجام هندسی از قبیل مثلث، دایره، مربع، مستطیل، کره، متوازی‌الاضلاع، و ذوزنقه آشنا شدیم. در این آموزش، فرمول محاسبه مساحت استوانه را همراه با حل چند مثال بیان خواهیم کرد.

استوانه چیست؟

اگر به شکل یک قوطی نوشابه دقت کرده باشید، می‌بینید که شبیه یک استوانه است. «استوانه» (Cylinder) یک حجم است که دو دایره موازی و هم‌اندازه در بالا و پایین دارد.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم در فرادرس

کلیک کنید

این دایره‌ها را «قاعده» (Base) می‌نامیم. فاصله بین دو قاعده را نیز «ارتفاع» (Height) می‌گوییم و معمولاً با $$h$$ نشان می‌دهیم. اگر قاعده‌های بالا و پایین استوانه در یک راستا باشند، استوانه را قائم و اگر بر هم منطبق نباشند، استوانه را مایل می‌نامیم. شکل زیر استوانه مایل و قائم را نشان می‌دهد.

فرمول مساحت استوانه قائم چیست؟

منظور از مساحت استوانه، در واقع مساحت سطح آن است. برای درک بهتر اندازه سطح احجام هندسی، بهترین کار این است که اصطلاحاً آن‌ها را باز کنیم.

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

استوانه سه وجه دارد: یک وجه جانبی و دو وجه بالا و پایین که دایره هستند. اگر استوانه را باز کنیم، می‌توانیم به راحتی فرمولی برای محاسبه مساحت آن ارائه کنیم. شکل زیر استوانه‌ای را نشان می‌دهد که ارتفاع آن برابر با $$h$$ و شعاع قاعده آن $$r$$ است. در این شکل، سطوح باز شده استوانه نیز نشان داده شده‌اند. همان‌طور که می‌بینیم، برای محاسبه مساحت استوانه باید مساحت دو دایره بالا و پایین مربوط به قاعده‌ها و مساحت مستطیل را که مربوط به سطح جانبی استوانه است، با هم جمع کنیم.

بنابراین، مساحت استوانه‌ای که ارتفاع آن برابر با $$h$$ و شعاع قاعده آن $$r$$ است، برابر خواهد بود با:

$$ \large \boxed{ A = 2 \pi r ^ 2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (h + r )} $$

تصویر متحرک زیر مفهوم مساحت استوانه و فرمول آن را به خوبی نشان می‌دهد.

مساحت استوانه مایل چگونه به دست می‌آید؟

مساحت استوانه مایل نیز دقیقاً با همان فرمول محاسبه مساحت استوانه قائم به دست می‌آید؛

فیلم آموزش هندسه پایه دهم – هندسه ۱ در فرادرس

کلیک کنید

یعنی اگر استوانه‌ مایلی با ارتفاع $$h$$ و شعاع قاعده $$r$$ داشته باشیم، مساحت آن برابر خواهد بود با:

$$ \large \boxed{ A = 2 \pi r ^ 2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (h + r )} $$

مثال های محاسبه مساحت استوانه

در این بخش، چند مثال از محاسبه مساحت استوانه را حل می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

مثال اول مساحت استوانه

یک قوطی استوانه‌ای شکل داریم که شعاع قاعده آن برابر با ۴ سانتی‌متر و ارتفاعش ۱۳ سانتی‌متر است. مساحت سطح قوطی چقدر است؟ (فرض کنید قوطی یک استوانه کامل است)

حل: با توجه به اینکه شعاع $$r=4\,\text{cm}$$ و ارتفاع $$h=13\, \text{cm}$$ است، از فرمول بالا استفاده می‌کنیم ($$\pi$$ را برابر با $$3.14$$ در نظر می‌گیریم):

$$ \large \begin {align*}
S & = 2 \pi { r } ^ { 2} +2 \pi r h \\
& = 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) { 4 } ^ { 2 } + 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) \left ( 4 \right ) 1 3 \\ & = 427.04 \;\text{cm}^2
\end {align*} $$

مثال دوم مساحت استوانه

یک پیتزا به شکل استوانه داریم که ارتفاع آن برابر با $$a=2 \, \text{cm}$$ و شعاع قاعده‌اش برابر با $$z=15\, \text{cm}$$ است.

حل: مساحت سطح پیتزا برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
S & = 2 \pi { z } ^ { 2} +2 \pi z a \\
& = 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) { 15} ^ { 2 } + 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) \left ( 15 \right ) 2 \\ & = 1601.4 \;\text{cm}^2
\end {align*} $$

مثال سوم مساحت استوانه

استوانه مایل زیر با ارتفاع و شعاع قاعده مشخص داده شده است. مساحت سطح این استوانه را محاسبه کنید.

حل: با توجه به شکل، ارتفاع $$ h = 15$$ و شعاع قاعده $$ r = 6 $$ را داریم. بنابراین، مساحت آن به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*}
S & = 2 \pi { r } ^ { 2} +2 \pi r h \\
& = 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) { 6 } ^ { 2 } + 2 \left ( 3 . 1 4 \right ) \left ( 6 \right ) 15 \\ & = 791.28
\end {align*} $$

مثال چهارم مساحت استوانه

مساحت سطح استوانه‌ای برابر با ۴۰۰ سانتی‌متر مربع است. اگر شعاع قاعده آن ۵ سانتی‌متر باشد، ارتفاع استوانه چقدر است؟

حل: از فرمول مساحت استوانه استفاده می‌کنیم:

$$ \large
\begin {align*} A & = 2 \pi r ^ 2 + 2 \pi r h
\\ 400 & =2 (3.14)( 5)^2 + 2 (3.14) (5)h
\\ 400 & = 157+31.4 (h)
\\ & \Rightarrow 243 = 31.4 h \Rightarrow h = 7.74 \, \text{cm}
\end {align*}$$