فرادرس
مساحت کره و محاسبه آن | به زبان ساده
«کُره» (Sphere) یک حجم هندسی سه‌بعدی کاملاً گرد است. کره را می‌توان با مجموعه همه نقاطی که در فاصله $$ r $$ (شعاع) از یک نقطه مشخص (مرکز) دارند تعریف کرد. این حجم هندسی کاملاً متقارن است و یال یا رأس ندارد. در این آموزش می‌خواهیم فرمول محاسبه مساحت کره را معرفی کنیم.
فرمول مساحت کره
منظور از مساحت کره، مساحت سطح رویه آن است. کره چند ویژگی جالب دارد و یکی از آن‌ها این است که در میان همه احجام با سطح رویه برابر، کره حجم بیشتری دارد.
فرمول مساحت کره به صورت زیر بیان میشود:
بنابراین، مساحت سطح کره‌ای به شعاع $$r$$ برابر با $$ 4 \pi r ^ 2 $$ است. همچنین، حجم کره $$ \frac 43 \pi r ^ 3 $$ است.
اثبات فرمول مساحت کره
برای اثبات اینکه مساحت سطح کره‌ای به شعاع $$ r $$ برابر با $$ 4 \pi r ^ 2 $$ است، یک راه ساده استفاده از حسابان است. ابتدا باید به این نکته پی ببریم که برای یک منحنی که با $$ x ( t) $$ و $$ y ( t) $$ پارامتری شده است، طول کمان برابر خواهد بود با:
$$ \large S = \int _ a ^ b \sqrt { \left ( \frac { d y } { d t } \right ) ^ 2 + \left ( \frac { d x } { d t } \right ) ^ 2 } \, d t . $$
با توجه به این رابطه، می‌توانیم فرمول مساحت سطح یک جسم را با دوران منحنی حول محور $$ x $$ به دست آوریم. بنابراین، خواهیم داشت:
$$ \large A = 2 \pi \int _ a ^ b y \sqrt { \left ( \frac { d y } { d t } \right ) ^ 2 + \left ( \frac { d x } { d t } \right ) ^ 2 } \, d t . $$
با چرخاندن نیم‌دایره حول محور $$ x $$ می‌توانیم یک کره را ایجاد کنیم. معادلات این نیم‌دایره، $$ x ( t) = r \cos ( t ) $$ و $$ y ( t) = r \sin ( t) $$ برای $$ 0 \le t \le \pi $$ است. بنابراین، خواهیم داشت:
$$ \large \frac { d x } { d t } = – r \sin ( t ) , \quad \frac { d y } { d t } = r \cos ( t ) . $$
با جایگذاری این روابط در فرمول مساحت سطح، جواب مورد نظر که همان فرمول مساحت کره است، به دست می‌آید:
$$ \large \begin {aligned} A & = 2 \pi \int _ 0 ^ \pi r \sin ( t ) \sqrt { \big ( – r \sin ( t ) \big ) ^ 2 + \big ( r \cos ( t ) \big ) ^ 2 } \ d t \\ & = 2 \pi \int _ 0 ^ \pi r \sin ( t ) \sqrt { r ^ 2 \big ( \sin ( t) ^ 2 + \cos ( t ) ^ 2 \big ) } \ dt \\ & = 2 \pi \int _ 0 ^ \pi r ^ 2 \sin ( t ) \ d t \\ & = 2 \pi r ^ 2 \int _ 0 ^ \pi \sin ( t ) \ d t \\ & = 4 \pi r ^ 2 . \end{aligned} $$
قضیه جعبه کلاه ارشمیدس
قضیه جعبه کلاه ارشمیدس بیان می‌کند که برای هر برش مقطعی کره، مساحت سطح جانبی برابر مساحت سطح جانبی استوانه‌ای با همان ارتفاع و همان شعاع کره است. به عبارت بهتر، در شکل زیر، دو مساحت جانبی $$ S_ 1 $$ و $$ S_ 2 $$ برابرند.
اثبات: از اثبات قبلی استفاده می‌کنیم. پس از دوران نیم‌دایره حول محور $$ x $$، یک سطح کره خواهیم داشت و اگر یک مقطع جزئی را با قاعده مشابه از آن ببریم، مساحت سطح جدید مطابق شکل زیر خواهد بود.
با توجه به شکل بالا، سطح جانبی با رنگ آبی روشن با دو قاعده با شعاع متفاوت نشان داده شده است. برای نمایش بهتر ارتفاع قرص، آن را ۹۰ درجه می‌چرخانیم و به صورت شکل زیر نشان می‌دهیم.
اکنون درون قرص دو متغیر زاویه $$ \angle a $$ و $$ \angle b $$ وجود دارد که به عنوان حدود انتگرال‌گیری آن ظاهر می‌شوند.
مساحت سطح جانبی ($$ A’$$) را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:
$$ \large \begin {aligned} A’ & = 2 \pi r ^ 2 \int _ a ^ b \sin ( t ) \ d t \\ & = 2 \pi r ^ 2 \left [ \left . – \cos ( t ) \right | _ a ^ b \right ] \\ & = ( 2 \pi r ) r \big [ \cos ( a ) – \cos ( b ) \big ] . \end {aligned} $$
با توجه به مثلث‌های قائم‌الزاویه با شعاع $$ r $$ (قرمز ضخیم)، واضح است که $$ r $$ وتر هر دو است. در نتیجه، اضلاع عمود را می‌توان به صورت $$ r \times \cos (a ) $$ و $$ r \times \cos ( b ) $$، به ترتیب، برای مثلث‌های چپ و راست محاسبه کرد.
بنابراین، ارتفاع قرص $$ h = \big ( r \times \cos ( a ) \big ) – \big ( r \times \cos ( b ) \big ) = r \big [ \cos ( a ) – \cos ( b ) \big ] $$ خواهد بود. با جایگذاری این جمله در معادله قبلی، خواهیم داشت:
$$ \large A’ = ( 2 \pi r ) r \big [ \cos ( a ) – \cos ( b ) \big ] = 2 \pi r h . $$
واضح است که این فرمول برای سطح جانبی استوانه‌ای به شعاع $$ r $$ و ارتفاع $$ h $$ نیز وجود دارد. این بدین معنی است که مساحت سطح جانبی یک برش قرصی از کره برابر با مساحت سطح جانبی استوانه‌ای به شعاع $$ r $$ و ارتفاع $$ h $$ است و این گفته برای هر سطحی از کره صحیح است.
مثال‌های محاسبه مساحت کره
در این بخش، چند مثال را از محاسبه مساحت کره ارائه می‌کنیم.
مثال ۱: مساحت سطح یک کره با شعاع ۳ را به دست آورید.
حل: با توجه به فرمولی که گفتیم، مساحت سطح کره برابر خواهد بود با:
$$ \large A = 4 \pi \times r ^ 2 = 4 \pi \times 3 ^ 2 = 3 6 \pi$$
مثال ۲: اگر حجم کره‌ای $$ 36 \pi $$ باشد، مساحت سطح آن چقدر است؟
حل: حجم کره را می‌توان به صورت زیر نوشت:
$$ \large 3 6 \pi = \frac { 4 } { 3 } \pi \times 3 ^ 3 . $$
از آنجا که حجم یک کره با شعاع $$ r $$ برابر با $$\frac 43 \pi r ^ 3 $$ است، در می‌یابیم که شعاع کره برابر با $$ r = 3 $$ خواهد بود. بنابراین، با توجه به فرمولی که پیش‌تر ارائه کردیم، مساحت سطح کره به صورت زیر محاسبه میشود:
$$ \large 4 \pi r ^ 2 = 4 \pi \times 3 ^ 2 = 3 6 \pi . $$
مثال ۳: حجم یک کره ۸ برابر شده است. مساحت سطح آن چند برابر شده؟
حل: می‌دانیم که حجم کره برابر با $$ \frac 43 \pi r ^ 3 $$ است. این نتیجه می‌دهد که حجم با $$ r ^ 3 $$ متناسب است و می‌توان نوشت: $$ \frac { 4 } { 3 } \pi r ^ 3 \propto r ^ 3 $$. این یعنی ۸ برابر شدن حجم به معنی ۲ برابر شدن شعاع است. در نتیجه، از آنجا که مساحت سطح کره متناسب با $$ r ^ 2 $$ است، یعنی $$ 4 \pi r^2 \propto r^2 $$، می‌توانیم بگوییم مساحت سطح کره $$ 2 ^ 2 = 4 $$ برابر شده است.
مثال ۴: هندوانه‌ای داریم که حجم کل آن ۲۸۸ سانتی‌متر مکعب است. اگر آن را به دو قسمت تقسیم کنیم، مساحت سطح هر نصف هندوانه چقدر است؟ (فرض کنید هندوانه یک کره کامل است).
حل: با توجه به فرمول $$ V = \frac 43 \pi r ^ 3 $$ برای حجم یک کره به شعاع $$ r $$، در می‌یابیم که شعاع هندوانه $$ r = 6 $$ سانتی‌متر است. از آنجا که هندوانه را دقیقاً نصف کرده‌ایم، شاید بگویید که مساحت سطح نصف هندوانه، دقیقاً برابر با نصف مساحت سطح کل آن است. اما این گفته صحیح نیست.
همان‌طور که در شکل بالا می‌بینیم، مساحت سطح نصف هندوانه به اندازه سطح $$A$$ بزرگتر از نصف مساحت سطح هندوانه کامل است. بنابراین، مساحت سطح نصف هندوانه برابر است با:
$$ \large \frac { 1 } { 2 } \times 4 \pi \times 6 ^ 2 + \pi \times 6 ^ 2 = 1 0 8 \pi . $$
برای یادگیری اشکال مختلف هندسی و محاسبه محیط، مساحت و حجم آن‌ها، توصیه می‌کنیم آموزش‌های مجله فرادرس را که در این زمینه تهیه شده‌اند، مطالعه کنید:
- چهار ضلعی ها در هندسه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- چندضلعی و تعریف آن در هندسه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- آشنایی با چند وجهی ها — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- دایره، تعریف و محاسبات آن در هندسه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- مثلث، تعریف و محاسبات آن در هندسه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- مربع و محاسبه محیط و مساحت آن — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- مستطیل و محاسبات آن — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)
- متوازی‌الاضلاع، تعریف و محاسبات آن در هندسه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
- لوزی و محاسبات آن در هندسه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- کایت یا شبه‌لوزی، تعریف و محاسبات آن در هندسه — به زبان ساده
- ذوزنقه چیست؟ | محاسبات و فرمول‌ها به زبان ساده (+فیلم آموزش رایگان)
- بیضی، تعریف و محاسبات آن در هندسه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- مخروط، کره و استوانه — حجم و مساحت اشکال هندسی به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- مخروط و محاسبان آن در هندسه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- استوانه و مفاهیم آن در هندسه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- آشنایی با منشور و محاسبات آن — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- مکعب، منشور مربعی و مکعب‌مستطیل — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
- مکعب در هندسه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
- مساحت دایره — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)
- مساحت مثلث — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- مساحت مستطیل — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)
- مساحت لوزی — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)
- مساحت متوازی الاضلاع و محاسبه آن | به زبان ساده
- محاسبه مساحت ذوزنقه — به زبان ساده
- مساحت کره و محاسبه آن | به زبان ساده
- مساحت مکعب مستطیل و محاسبه آن | به زبان ساده
- مساحت استوانه و محاسبه آن | به زبان ساده
- محیط دایره — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)
- محیط مثلث — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- محیط مستطیل و محاسبه آن — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)
- محیط لوزی — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)
- محیط بیضی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
- حجم کره و محاسبه آن | به زبان ساده
- حجم مخروط و محاسبه آن | به زبان ساده
سلام
لطفا درصورت امکان راهنمایی بفرمایید!
در سوالی که به بنده داده شده؛ یک نیم کره ناقص هستش!
شعاع بزرگتر و ارتفاع تا شعاع کوچکتر معلومه؛ حال شعاع کوچکتر رو میخواهند.
سلام باتشکر از زحماتتان.
سوالی داشتم راجع به محاسبه سطح کره با توان منفی .
مثلا مساحت کره با شعاع (5.29) به توان ( ۱۱-) جوابش چه خواهد شد ممنون میشم مراحل بدست آوردنش را هم کامل وارد کنید.
با آرزوی موفقیت و تشکر
جواب مثال شماره یک غلط است.
جواب میشود
۱۱۳/۰۴
سلام.
بله، درست است. عدد $$\pi$$ از قلم افتاده بود و جواب $$36\pi$$ یا همان $$113.04$$ است.
سپاس از همراهی و بازخوردتان