رسم بیضی — آموزش تصویری و گام به گام هفت روش — به زبان ساده

رسم بیضی با استفاده از ابزارهایی نظیر مداد، خط‌کش، نخ، پرگار، نقاله یا گونیا انجام می‌گیرد. ابزار مورد استفاده برای این کار، به روش انتخابی و دقت مورد نظر وابسته است. علاوه بر ابزارهای دستی، امکان ترسیم بیضی با استفاده از نرم افزارهای کامپیوتری نیز وجود دارد. در این آموزش، انواع روش‌های رسم بیضی نظیر نوار کاغذی، نخ، دایره‌های هم‌مرکز، نقطه کانونی (کمان‌های متقاطع)، مستطیل، معادله و نرم افزار را به صورت تصویری و گام به گام توضیح می‌دهیم.

بیضی چیست و چه ویژگی‌هایی دارد؟

پیش از شروع یادگیری روش‌های رسم بیضی، باید با تعریف این شکل هندسی و خواص آن آشنا شوید. آشنایی با این موارد، روند رسم بیضی را ساده‌تر و قابل فهم‌تر می‌کند.

فیلم آموزش هندسه پایه دهم – هندسه ۱ در فرادرس

کلیک کنید

بیضی، شکلی است که از یک منحنی بسته تشکیل می‌شود. تصویر زیر، نمونه‌ای از یک بیضی را نمایش می‌دهد.

از مهم‌ترین ویژگی‌های بیضی می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

• تمام بیضی‌ها، دارای دو نقطه کانونی هستند. محل قرارگیری کانون‌های بیضی، ثابت است.
• جمع فاصله هر نقطه از بیضی تا نقاط کانونی، همواره یک عدد ثابت است.
• هر بیضی دارای یک محور اصلی و یک محور فرعی است.
• محورهای اصلی و فرعی بیضی، بر یکدیگر عمود می‌شوند و همدیگر را در مرکز بیضی قطع می‌کنند.
• به محل برخورد محورهای اصلی و فرعی با محیط بیضی، گوشه می‌گویند.

شکل بیضی، از اهمیت بالایی در معماری، مخصوصا معماری ایرانی، برخوردار است. یادگیری نحوه رسم این شکل، علاوه بر جنبه‌های آموزشی آن برای دانش‌آموزان، کاربرد حرفه‌ای، مهندسی و هنری نیز دارد.

بیضی چگونه رسم می شود ؟

روش‌های متعددی برای رسم بیضی وجود دارند. برخی از این روش‌ها عبارت هستند از:

فیلم آموزش هندسه ۳ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

• رسم بیضی با خط‌کش کاغذی
• رسم بیضی با نخ
• رسم بیضی با دو دایره هم مرکز
• رسم بیضی با نقاط کانونی یا کمان‌های متقاطع
• رسم بیضی با مستطیل

در ادامه، به آموزش هر یک از روش‌های بالا می‌پردازیم. در هر روش، فرض می‌کنیم که اندازه محورهای اصلی و فرعی بیضی مورد نظر را می‌دانیم.

روش اول: رسم بیضی با خط‌کش کاغذی

یکی از ساده‌ترین روش‌های رسم بیضی، استفاده از یک تکه کاغذ یا نوار کاغذی است. از ابزارهای دیگر مورد نیاز در این روش می‌توان به خط‌کش و مداد اشاره کرد.

مرحله اول: رسم محورهای بیضی

در اولین مرحله از رسم بیضی، باید راستای محورهای اصلی و فرعی را مشخص کنیم. به این منظور، یک خط افقی را می‌کشیم. در اینجا، محور اصلی یا قطر بزرگ را بر روی راستای افقی در نظر می‌گیریم.

با استفاده از خط‌کش، ابتدا و انتها (گوشه‌ها) و مرکز محور اصلی را بر اساس اندازه مورد نظر مشخص می‌کنیم. سپس، این نقاط را علامت می‌زنیم.

راستای محور فرعی را عمود بر مرکز محور اصلی می‌کشیم. سپس، گوشه‌های آن را با استفاده از خط‌کش علامت می‌زنیم.

به منظور رسم محور فرعی عمود بر محور اصلی، می‌توانیم از لبه خط‌کش یا ابزارهای مخصوص این کار، مانند نقاله و گونیا استفاده کنیم.

در انتها، گوشه‌های محور فرعی را نیز علامت می‌زنیم. با این کار، محدود اولیه ترسیم بیضی، مشخص می‌شود.

مرحله دوم: تهیه نوار کاغذی

یک نوار کاغذی به اندازه مناسب (کمی بزرگ‌تر از شعاع بزرگ) تهیه می‌کنیم. لبه نوار را روی راستای محور اصلی قرار می‌دهیم. بر روی کاغذ، محل گوشه را با کلمه «محیط» و مرکز بیضی را با کلمه «اصلی» مشخص می‌کنیم.

نوار کاغذ را ۹۰ درجه می‌چرخانیم. محل علامت‌گذاری شده با عنوان «محیط» را با مرکز بیضی مطابقت می‌دهیم. سپس، محل گوشه محور فرعی را با عنوان «فرعی» بر روی کاغذ مشخص می‌کنیم.

مرحله سوم: رسم نقاط تشکیل دهنده محیط

در این مرحله، نوار کاغذی را به گونه‌ای تنظیم می‌کنیم که علامت «اصلی» بر روی محور فرعی قرار گرفته و علامت «فرعی» بر روی محور اصلی قرار بگیرید. سپس، در کنار علامت «محیط»، یک نقطه می‌گذاریم.

نوار کاغذی را دوران می‌دهیم. با انجام تنظیمات مرحله قبل، بار دیگر، کنار علامت «محیط» را با یک نقطه مشخص می‌کنیم. این کار را چندین بار دیگر انجام می‌دهیم.

با تکرار این کار، مجموعه‌ای از نقاط در اطراف مرکز بیضی مورد نظر ایجاد می‌شود. اکنون، نوار کاغذی را از روی محورها بر می‌داریم.

مرحله چهارم: اتصال نقاط به یکدیگر

با اتصال نقاط مشخص شده در مرحله قبلی، یک منحنی بسته به وجود می‌آید.

منحنی نهایی، یک بیضی با محورهای اصلی و فرعی مورد نظر ما است. هر چه تعداد نقاط مشخص شده در مرحله قبل بیشتر باشد، دقت ترسیم بیضی نیز افزایش می‌یابد.

در صورت تمایل به یادگیری در مورد نحوه محاسبه اندازه محیط و مساحت بیضی، مطالعه مطالب زیر را به شما پیشنهاد می‌کنم:

• فرمول محیط بیضی چیست؟ — معرفی ۹ فرمول پرکاربرد
• محاسبه آنلاین محیط بیضی — معرفی بهترین سایت‌ها
• فرمول مساحت بیضی — به زبان ساده + حل تمرین و مثال
• محاسبه آنلاین مساحت بیضی — معرفی بهترین سایت‌ها

روش دوم: رسم بیضی با نخ

یکی دیگر از روش‌های متداول، ساده و سریع رسم بیضی، استفاده از نخ و میخ یا پونز است. در این روش، به دو عدد میخ یا پونز، مقداری نخ، خط‌کش و مداد نیاز داریم.

فیلم آموزش ریاضی ۳ – پایه دوازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

مرحله اول: رسم محور اصلی، محور فرعی و مرکز بیضی

در ابتدا، راستای محور اصلی بیضی را به کمک خط‌کش رسم می‌کنیم. سپس، نقطه‌ای از آن را به عنوان مرکز بیضی در نظر می‌گیریم. گوشه‌های محور اصلی را بر روی راستای آن علامت می‌زنیم. در انتها، محور فرعی را عمود بر مرکز محور اصلی رسم می‌کنیم.

برای انجام محاسبات مرحله بعدی، به اندازه شعاع کوچک و بزرگ محورها نیاز داریم. این اندازه‌ها از تقسیم محورهای اصلی و فرعی بر عدد ۲ به دست می‌آیند. در تصویر بالا، شعاع بزرگ با حرف a و شعاع کوچک با حرف b نمایش داده شده است.

مرحله دوم: تعیین محل میخ‌ها

مهم‌ترین مرحله در رسم بیضی با نخ، تعیین دو محل ثابت برای قرار دادن میخ‌ها است. این دو محل، حکم کانون‌های بیضی را دارند. دقیق‌ترین روش برای تعیین محل قرارگیری کانون‌ها، استفاده از فرمول زیر است:

$$
C = \sqrt {a^۲-b^۲}
$$

• C: فاصله هر کانون تا مرکز بیضی
• a: شعاع بزرگ (نصف محور اصلی)
• b: شعاع کوچک (نصف محور فرعی)

در صورت عدم آشنایی با نحوه محاسبه فاصله کانونی بیضی، می‌توانید فاصله بین دو پونز را با آزمون و خطا تغییر دهید تا به بیضی دلخواه برسید. البته با استفاده از پرگار، دیگر نیاز به محاسبه فاصله کانونی یا آزمون و خطا نیست. در این روش، دهانه پرگار را با اندازه شعاع بزرگ باز می‌کنیم.

سپس، سوزن پرگار را بر روی گوشه محور فرعی قرار می‌دهیم. با رسم دو کمان در دو طرف محور اصلی، نقاط کانونی مشخص می‌شوند.

نقاط، محل برخورد کمان‌ها با محور اصلی، کانون‌های بیضی هستند.

در انتهای این مرحله، میخ‌ها را بر روی نقاط کانونی مستقر می‌کنیم.

مرحله سوم: تنظیم نخ به دور میخ‌ها

در این مرحله، طول مشخصی از نخ را جدا می‌کنیم و دو انتهای آن را گره می‌زنیم. سپس، نخ بسته شده را دور میخ‌ها قرار می‌دهیم.

طول نخ باید دو برابر فاصله یک کانون تا گوشه مقابل محور اصلی باشد. این فاصله در تصویر زیر نمایش داده شده است.

برای اطمینان از درست بودن طول نخ، می‌توانیم آن را با فاصله بالا تنظیم کنیم. اگر طول نخ صحیح باشد، لبه آن بر روی گوشه محور قرار می‌گیرد.

مرحله چهارم: رسم بیضی

در مرحله آخر، مداد را درون محدوده نخ قرار می‌دهیم.

سپس، آن را مانند تصویر زیر از محور اصلی دور می‌کنیم. در هنگام رسم، نخ نباید شل باشد. بنابراین، مداد باید تا حد ممکن در فاصله دور از محور اصلی فاصله قرار گیرد.

در ادامه، با حفظ حداکثر فاصله ممکن و با جلوگیری از شل شدن نخ‌‌‌ها، مداد را در اطراف دو میخ حرکت می‌دهیم.

با برگشتن به نقطه اول، بیضی مورد نظر رسم می‌شود.

روشی که در این بخش معرفی کردیم، در عین سادگی، دقت خوبی را به همراه دارد. این روش، مبنای ساخت یکی از ابزارهای معماری است. این ابزار، با عنوان بیضی‌نگار، خاگار یا «ترامل» (Trammel) شناخته می‌شود. خاگار، امکان رسم المان‌های بیضی‌شکل را فراهم می‌کند.

روش سوم: رسم بیضی با دو دایره هم مرکز

رسم بیضی به روش دوایر هم‌مرکز، با خط‌کش، مداد، پرگار و نقاله صورت می‌گیرد. مراحل این روش نسبت به دو روش قبلی بیشتر هستند.

مرحله اول: رسم محور اصلی بیضی

در اولین مرحله، با استفاده از خط‌کش، محور اصلی بیضی را رسم می‌کنیم. سپس، مرکز این خط را توسط یک نقطه علامت می‌زنیم.

مرحله دوم: رسم محور فرعی

از روی مرکز بیضی، خطی عمود بر محور اصلی و به اندازه محور فرعی رسم می‌کنیم. مرکز محور فرعی باید بر روی مرکز محور اصلی منطبق باشد. نقاله، ابزار بسیاری خوبی برای اطمینان از عمود بودن محورهای رسم شده است. نقاله را به صورت زیر بر روی محور اصلی تنظیم می‌کنیم.

مرکز نقاله باید بر روی مرکز محور اصلی قرار داشته باشد. در این حالت، کنار عدد ۹۰ درجه، یک علامت می‌زنیم. سپس، نقاله را ۱۸۰ درجه می‌چرخانیم و فرآیند قبل را برای طرف دیگر محور تکرار می‌کنیم.

با اتصال این دو نقطه به هم، راستای محور فرعی تشکیل می‌شود. با استفاده از خط‌کش، گوشه‌‌های محور فرعی را مشخص می‌کنیم.

مرحله سوم: رسم دایره‌ها

دهانه پرگار را به اندازه شعاع بزرگ بیضی (فاصله یکی از گوشه‌های محور اصلی تا مرکز) باز می‌کنیم و یک دایره می‌کشیم.

در ادامه، دهانه پرگار را به اندازه شعاع کوچک بیضی (فاصله یکی از گوشه‌های محور فرعی تا مرکز) باز کرده و دایره دوم را رسم می‌کنیم. با این کار، دو دایره هم‌مرکز به وجود می‌آیند.

محدوده بین این دو دایره، گسترش افقی و عمودی بیضی را مشخص می‌کند. به عبارت دیگر، محیط بیضی مورد نظر، در این محدوده قرار می‌گیرد.

مرحله چهارم: تقسیم‌بندی دایره‌ها به چندین قطاع برابر

هر دایره، ۳۶۰ درجه است. در این مرحله، بادی دایره‌ها را به چندین قطاع تقسیم کنیم. این کار، به کمک نقاله انجام می‌شود.

هر چه زاویه قطاع‌ها کمتر باشد، تعداد آن‌ها بیشتر و دقت رسم بیضی بالاتر می‌رود. البته زیاد بودن قطاع‌ها، بر روی پیچیدگی رسم و طولانی‌تر شدن زمان آن تاثیر می‌گذارد. به همین دلیل، در اینجا، دایره‌ها را به ۱۲ قطاع ۳۰ درجه تقسیم می‌کنیم.

مرحله پنجم: پیدا کردن نقاط روی محیط بیضی

قطاع‌هایی که در مرحله قبل رسم کردیم، به منظور پیدا کردن برخی از نقاط روی محیط بیضی مورد استفاده قرار می‌گیرند. به این منظور، از محل برخورد دایره کوچک با شعاع هر قطاع، یک خط افقی رسم می‌کنیم و آن را به اندازه کافی امتداد می‌دهیم. در محل برخورد دایره کوچک با محور فرعی، نیازی به انجام این کار نیست.

در ادامه، از محل برخورد دایره بزرگ با شعاع هر قطاع، یک خط عمودی می‌کشیم. این خط را تا برخورد با خط افقی رسم شده در تصویر بالا (خط‌های قرمز) ادامه می‌دهیم. در محل برخورد دایره بزرگ با محور اصلی، نیازی به این کار نیست. در انتها، محل برخورد هر دو خط را با نقطه پررنگ می‌کنیم.

محل برخورد دایره کوچک با محور فرعی و محل برخورد دایره بزرگ با محور اصلی نیز به عنوان نقاط روی محیط بیضی در نظر گرفته می‌شوند.

مرحله ششم: رسم بیضی

محل برخورد خط‌‌های افقی و عمودی رسم شده در مرحله قبل، نقاط روی محیط بیضی را نمایش می‌دهند. اگر این نقاط را با انحنای مناسب به یکدیگر وسط کنیم. یک بیضی با مشخصات مورد نظر به وجود می‌آید.

هرچه تعداد قطاع‌ها، بیشتر باشد، تعداد نقاط روی محیط بیضی افزایش می‌یابد. به این ترتیب، دقت رسم بیضی بالا می‌رود. علاوه بر این، استفاده از کاغذ شفاف در مرحله آخر، امکان ترسیم بیضی، بدون المان‌های اضافی رسم شده در مراحل قبلی را فراهم می‌کند.

روش چهارم: رسم بیضی با کمان های متقاطع

اصول رسم بیضی‌ها به کمک کمان‌های متقاطع، تا حدودی شبیه به روش دوایر هم‌مرکز است. در اینجا نیز با پیدا کردن نقاط روی محیط بیضی، رسم این شکل انجام می‌گیرد. برای اجرای این روش، به مداد، خط‌کش و پرگار نیاز داریم.

فیلم آموزش هندسه ۳ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

مرحله اول: رسم محورهای اصلی و فرعی

در ابتدای کار، مانند سه روش قبلی، محورهای افقی و عمودی را رسم می‌کنیم. سپس، گوشه‌های محورهای اصلی و فرعی را به همراه مرکز بیضی علامت می‌زنیم.

مرحل دوم: تعیین نقاط کانونی

دهانه پرگار را به اندازه نصف محور اصلی باز می‌کنیم. سوزن پرگار را بر روی گوشه محور فرعی قرار می‌دهیم. پس از نزدیک کردن مداد پرگار به محور اصلی، یک کمان می‌کشیم. این کار را برای طرف دیگر محور اصلی نیز تکرار می‌کنیم. محل برخورد کمان‌های رسم شده با محور اصلی، نقاط کانونی بیضی مورد نظر ما هستند. این نقاط را با F_۱ و F_۲ یا دیگر حروف دلخواه مشخص می‌کنیم.

مرحله سوم: تقسیم‌بندی فاصله کانونی

در این مرحله، باید فاصله نقاط کانونی بر روی محور اصلی را به اندازه‌های مساوی تقسیم کنیم. هرچه این اندازه‌ها کوچک‌تر باشند، دقت رسم بالاتر می‌رود. در اینجا، سه نقطه را با فواصل یکسان بر روی هر طرف مشخص می‌کنیم. هر نقطه را با یک شماره نمایش می‌دهیم.

مرحله چهارم: رسم کمان‌های متقاطع

این مرحله، مهم‌ترین مرحله از روش رسم بیضی با کمان‌های متقاطع است. برای ادامه فرآیند رسم، باید چندین کمان متقاطع رسم کنیم. به این منظور، سوزن پرگار را بر روی گوشه محور اصلی قرار داده و دهانه آن را تا نقطه شماره ۱ باز می‌کنیم.

در ادامه، بدون تغییر دهانه پرگار، سوزن آن را بر روی نقطه کانونی F_۱ می‌گذاریم. سپس، دو کمان در بالا و پایین محور اصلی رسم می‌کنیم.

اکنون، سوزن پرگار را بر روی گوشه دیگر محور اصلی قرار می‌دهیم و دهانه آن را تا نقطه شماره ۱ باز می‌کنیم.

بدون تغییر دهانه، سوزن را به روی نقطه کانونی F_۲ انتقال می‌دهیم. سپس، دو کمان را به گونه‌ای رسم می‌کنیم که هر کدام از آن‌ها، یکی از کمان‌های رسم شده در مرحله قبل را قطع کنند.

این فرآیند را برای نقاط ۲، ۳ و غیره ادامه می‌دهیم. به این ترتیب، مجموعه‌ای از کمان‌های متقاطع به وجود می‌آید.

مرحله پنجم: اتصال محل تقاطع کمان‌‌ها

محل‌های برخورد کمان‌های رسم شده در مرحله قبل، نقاط روی محیط بیضی هستند. این نقاط را پررنگ می‌کنیم. در انتها، با اتصال آن‌ها به یکدیگر، بیضی مورد نظر رسم می‌شود.

این روش، تعریف بیضی را به خوبی نمایش می‌دهد. بیضی، از مجموعه نقاطی تشکیل می‌شود که جمع فاصله آن‌ها از دو نقطه ثابت، همواره برابر است.

روش پنجم: رسم بیضی با مستطیل

در این بخش، نحوه رسم یک بیضی را با استفاده از مستطیل آموزش می‌دهیم. برای اجرای این روش، به ابزاری نظیر مداد، خط‌کش و گونیا یا نقاله نیاز داریم.

فیلم آموزش ریاضی ۳ – پایه دوازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

مرحله اول: رسم مستطیل

در مرحله اول، یک مستطیل رسم می‌کنیم. طول و عرض مستطیل، به ترتیب برابر با اندازه محور اصلی و محور فرعی هستند.

مرحله دوم: رسم محورهای اصلی و فرعی بیضی

مرکز تمام ضلع‌های مستطیل را با نقطه مشخص کرده می‌کنیم. با اتصال نقاط روبه‌رویی به هم، محورهای اصلی و فرعی بیضی تشکیل می‌شوند. محل برخورد این محورها، مرکز بیضی است.

مرحله سوم: تقسیم‌بندی عرض مستطیل

در این مرحله، عرض مستطیل را به قسمت‌های مساوی تقسیم کرده و آن‌ها را عددگذاری می‌کنیم. هر بازه تقسیم‌بندی کمتر و تعداد قسمت‌ها بیشتر باشد، دقت ترسیم بیضی افزایش می‌یابد.

به منظور سهولت در اجرای مراحل، عددگذاری بخش‌های مختلف را مانند تصویر بالا انجام دهید.

مرحله چهارم: تقسیم‌بندی محور اصلی

تقسیم‌بندی محور اصلی، به تعداد قسیمت‌های ایجاد شده در مرحله قبل بستگی دارد. به عنوان مثال، در اینجا، بخش‌های بالا و پایین عرض مستطیل را به چهار قسمت مساوی تقسیم کردیم. بنابراین، باید هر طرف محور اصلی را نیز به چهار قسمت مساوی تقسیم کنیم.

مرحله پنجم: تعیین نقاط روی محیط بیضی

تعیین نقاط روی محیط بیضی، با رسم دو پاره‌خط انجام می‌شود. به منظور رسم پاره‌خط اول، نیمه بالایی مستطیل را در نظر می‌گیریم. سپس، مرکز طول مستطیل را به نقطه شماره ۱ وصل می‌کنیم.

برای رسم پاره‌خط دوم، نیمه پایینی مستطیل را در نظر می‌گیریم. سپس، از مرکز طول مستطیل، پاره‌خطی را به گونه‌ای رسم می‌کنیم که از نقطه شماره ۱ بر روی محور اصلی عبور کرده و پاره‌خط رسم شده در تصویر بالا را قطع کند.

محل برخورد این دو پاره‌خط، یکی از نقاط بیضی است.

در ادامه، این فرآیند را برای دیگر نقاط نیمه بالایی و پایینی مستطیل تکرار می‌کنیم.

با رسم خطوط متقاطع سمت راست، تمام نقاط مورد نیاز ما برای ترسیم بیضی به وجود می‌آیند.

مرحله پنجم: اتصال تقاطع پاره‌خط‌ها

با اتصال نقاط تقاطع به دست آمده از قبل به یکدیگر، بیضی مورد نظر ما رسم می‌شود.

تصویر متحرک زیر، روند اجرای ترسیم بیضی با مستطیل را نمایش می‌دهد.

روش ششم: رسم بیضی با معادله

اغلب شکل‌های هندسی را می‌توان در غالب معادله‌های ریاضی بیان کرد. بیضی نیز از این قضیه مستثنی نیست. معادله بیضی به صورت زیر بیان می‌شود:

$$
\frac{x^{ ۲ }}{a^{ ۲ }}+\frac{y^{ ۲ }}{b^{ ۲ }} = ۱$$

در این معادله، یک بیضی با شعاع a، شعاع b و مرکز (۰ و ۰) را نمایش می‌دهد. راستای محور اصلی و فرعی به اندازه a و b‌ بستگی دارد. اگر a بزرگ‌تر از b باشد، محور اصلی بر روی محور x و محور فرعی بر روی محور y قرار می‌گیرد. در صورت بزرگ‌تر بودن b نسبت به a، محور اصلی بر روی محور y و محور فرعی بر روی محور x قرار خواهد داشت.

مختصات گوشه‌های یک بیضی با مرکز (۰ و ۰) برابر با (a± و ۰) و (۰ و b±) است. مختصات کانون‌های بیضی نیز به صورت (c± و ۰) نوشته می‌شود. این کانون‌ها با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آیند:

$$
c^۲ =a^۲ - b^۲
$$

به عنوان مثال، یک بیضی با معادله زیر را در نظر بگیرید:

$$
\frac{ x^{ ۲ }}{ ۹ } + \frac{ y^{ ۲ }}{ ۲۵ } = ۱
$$

با توجه به معادله، محور اصلی بر روی محور y قرار دارد. اندازه‌های شعاع‌های بزرگ و کوچک بیضی به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$
a^۲ = ۲۵
$$

$$
a = \sqrt { ۲۵ }
$$

$$
a = ۵
$$

شعاع بزرگ بیضی برابر با ۵ است. بنابراین، مختصات گوشه‌های آن برابر با (۵± و ۰) خواهد بود. به همین صورت، داریم:

$$
b^۲ = ۹
$$

$$
b = \sqrt {۹}
$$

$$
b = ۳
$$

شعاع بزرگ بیضی برابر با ۳ است. بنابراین، مختصات گوشه‌های آن برابر با (۰ و ۳±) خواهد بود. گوشه‌های بیضی و مرکز آن را بر روی محور مختصات مشخص می‌کنیم.

به منظور تعیین نقاط دیگر بیضی، می‌توانیم مقادیر دلخواه x بین ۳- تا ۳ یا مقادیر دلخواه y بین ۵- تا ۵ را درون معادله بیضی قرار دهیم و مختصات نقطه مورد نظر را تعیین کنیم. به عنوان مثال، اگر معادله بیضی را برای x=۲ حل کنیم، مقدار y به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$
\frac{۲^{ ۲ }}{۹}+\frac{y^{ ۲ }}{۲۵} = ۱
$$

$$
\frac{۴}{۹}+\frac{y^{ ۲ }}{۲۵} = ۱
$$

$$
\frac{( ۴ \times ۲۵ ) + ۹ y^{ ۲ }}{ ۹ \times ۲۵ } = ۱
$$

$$
\frac{ ۱۰۰ + ۹ y^{ ۲ }}{ ۲۲۵ } = ۱
$$

$$
۱۰۰ + ۹ y^{ ۲ } = ۲۲۵
$$

$$
۹ y^{ ۲ } = ۲۲۵ -۱۰۰
$$

$$
۹ y^{ ۲ } = ۱۲۵
$$

$$
y^{ ۲ } = ۱۳/۸۸
$$

$$
y = ۳/۷۳
$$

در نتیجه، مختصات یکی دیگر از نقاط روی بیضی برابر (۳/۷۳ و ۲) است. این نقطه را در دستگاه مختصات مشخص می‌کنیم.

با تعیین مختصات نقاط دیگر، امکان رسم بیضی با دقت مناسب فراهم می‌شود.

توجه داشته باشید که ترسیم بیضی با معادله و محاسبه تک تک نقاط، فرآیند وقت‌گیر و نسبتا پیچیده‌ای است. این فرآیند می‌تواند با خطای زیادی همراه باشد. به همین دلیل، رسم بیضی با معادله، معمولا به با استفاده از نرم افزارهای تخصصی تخصصی انجام می‌گیرد.

رسم بیضی در نرم افزارهای تخصصی

رسم بیضی در حوزه‌های مختلف ریاضی و مهندسی کاربرد دارد. در این بخش، نحوه ترسیم بیضی در نرم افزار متلب و اتوکد را به طور مختصر آموزش می‌دهیم.

رسم بیضی در متلب

به منظور رسم بیضی در نرم افزار متلب می‌توانید از کد زیر استفاده کنید:

فیلم آموزش برنامه نویسی متلب پیشرفته در فرادرس

کلیک کنید

1a = input ('Major Axis');
2b = input ('Minor Axis');
3x1 = input ('X Coordinate of Center');
4y1 = input ('Y Coordinate of Center');
5t = -pi:0.01:pi;
6x = x1 + a*cos(t);
7y = y1 + b*sin(t);
8plot(x,y);

پس از اجرای کد بالا در نرم افزار متلب، از شما خواسته می‌شود تا به ترتیب، طول محور اصلی (a)، طول محور فرعی (b)، مختصات افقی مرکز بیضی (x۱) و مختصات عمودی مرکز بیضی (y۱) را وارد کنید. پس از این کار، یک بیضی بر اساس اطلاعات وارد شده شما رسم می‌شود.

رسم بیضی در اتوکد

اتوکد، محبوب‌ترین نرم افزار طراحی در حوزه‌های معماری و نقشه کشی مهندسی است. رسم المان‌های بیضی‌شکل در این نرم افزار، با استفاده از دستور «ELLIPSE» انجام می‌گیرد. با تایپ عبارت «ellipse» در نوار خط فرمان اتوکد و فشردن کلید Enter، دستور رسم بیضی فعال می‌شود.

فیلم مجموعه آموزش اتوکد AutoCAD – مقدماتی تا پیشرفته در فرادرس

کلیک کنید

این کار، با کلیک بر روی آیکون ELLIPSE در پنل «Draw» از زبانه «Home» نیز قابل انجام است.

گزینه‌های ترسیم بیضی در اتوکد عبارت هستند از:

• Center: ترسیم بیضی بر اساس مختصات مرکز آن
• Axis, End: ترسیم بیضی بر اساس گوشه‌های محور اصلی و فرعی
• Elliptical Arc: ترسیم کمان بیضی (بخشی از یک بیضی کامل)

حالت پیش‌فرض نرم افزار اتوکد برای رسم بیضی بر روی گزینه «Center» قرار دارد. با انتخاب این گزینه، بیضی مورد نظر طی مراحل زیر رسم می‌شود:

1. وارد کردن مختصات مرکز بیضی
2. وارد کردن یکی از گوشه‌های محور اول (مختصات یا طول آن)
3. وارد کردن یکی از گوشه‌های محور دوم (مختصات یا طول آن)

در انتهای هر یک از مراحل بالا باید کلید Enter را فشار دهید. پس از اجرای مرحله ۳، بیضی مورد نظر رسم می‌شود.

سخن پایانی

ساخت المان‌های بیضی‌شکل، مهارتی است که نیاز به درک مناسب از مفهوم بیضی دارد. در این مقاله، برخی از بهترین، ساده‌ترین و سریع‌ترین روش‌های رسم بیضی را آموزش دادیم. البته روش‌های موجود، به موارد معرفی شده محدود نمی‌شوند. روش لوزی، چهار نقطه، کانون هادی و بسیاری از ترفندهای دیگر نیز می‌توانند در ترسیم بیضی به شما کمک کنند.

به غیر از روش اول (ترسیم با نوار کاغذی) و دوم (ترسیم با نخ)، تعداد ترسیمات زیاد است و صفحه ترسیم، اصطلاحا شلوغ می‌شود. برای حل این مشکل، می‌توانید پس از تعیین نقاط، یک کاغذ شفاف را بر روی صفحه قرار دهید و بیضی را بر روی آن رسم کنید.