ترمودینامیک فیزیک دهم – توضیح به زبان ساده + حل مسائل

ترمودینامیک یکی از بخش‌های مهم علم فیزیک است که کاربرد زیادی در زندگی روزمره دارد. با استفاده از این بخش از علم فیزیک، موتور بخار ساخته و یخچال اختراع شد. بنابراین، آشنایی با مفاهیم اولیه قوانین مهم ترمودینامیک بسیار ضروری و لازم است. از این‌رو، بسیاری از دانش‌آموزان در سراسر جهان با این مبحث مهم در درس فیزیک آشنا می‌شویم. در ایران، دانش‌آموزان رشته‌های ریاضی‌فیزیک و تجربی با مبحث ترمودینامیک در ترمودینامیک فیزیک دهم آشنا می‌شوند. دانش‌آموزان رشته ریاضی در دو فصل و دانش‌آموزان رشته تجربی در یک فصل، مباحث اصلی ترمودینامیک را مطالعه می‌کنند.

در این مطلب از مجله فرادرس، ابتدا با اصول و مفاهیم اولیه ترمودینامیک مانند دما، گرما، دماسنج و فرایندهای ترمودینامیکی آشنا می‌شویم. سپس، در مورد دو قانون اصلی ترمودینامیک صحبت می‌کنیم. برای درک بهتر این مفاهیم، برخی از مهم‌ترین مسائل ترمودینامیک فیزیک دهم نیز حل شده‌اند.

فصل چهارم ترمودینامیک فیزیک دهم

در فصل چهارم از ترمودینامیک فیزیک دهم با مباحث زیر آشنا می‌شویم:

•  دما و دماسنجی
• انبساط گرمایی
• مفهوم گرما
• تغییر حالت‌های ماده
• روش‌های انتقال گرما
• قوانین گازها

دما چیست؟

در لیوانی آب سرد و در لیوانی دیگر آب جوش بریزید. این دو لیوان چه تفاوتی با یکدیگر دارند؟ یکی از لیوان‌ها سرد و دیگری داغ است. به بیان دیگر، دمای این دو لیوان متفاوت است. فرض کنید با دوستان خود به گردش رفته‌اید. پس از بالا رفتن از کوه و عبور از جنگل به محلی برای استراحت می‌رسید. ناگهان برف شروع به باریدن می‌کند و تمام افراد گروه احساس سرما می‌کنند. برای غلبه بر سرما، پتوها را به دور خود می‌پیچید و به دور آتش می‌نشینید. پس از گذشت مدت زمانی مشخص، احساس گرمای مطبوعی به شما دست می‌دهد. با استفاده از دما می‌توانیم میزان سردی و گرمی اجسام مختلف و هوا را مشخص کنیم.

دما توسط دماسنج اندازه گرفته می‌شود. اساس کار دماسنج‌ها بر مبنای کمیتی به نام متغیر دماسنجی است. این کمیت در برابر تغییر دما تغییر خواهد کرد. رابطه بین دما و متغیر دماسنجی ممکن است مستقیم یا برعکس باشد. همچنین این رابطه ‌با استفاده از چندجمله‌ای‌ها یا تابع توانی تعیین خواهد شد. در هر صورت، متغیر دماسنجی اندازه گرفته می‌شود. هیچ راهی برای اندازه‌گیری مستقیم دما وجود ندارد. پس از مشخص کردن متغیر دماسنجی، گام بعدی انتخاب مقیاس دمایی است. اندازه‌گیری دما بدون انتخاب مقیاس مناسب، معنایی ندارد. ما در دماسنج نیاز به داشتن نقاط ثابت داریم. این نقاط ثابت براساس آزمایش‌های تکرارپذیر در دمای مشخص انتخاب می‌شوند. در واقع در هر دماسنجی حداقل به دو نقطه ثابت و محدوده تعریف شده‌ای از اعداد نیاز است.

مقیاس اندازه گیری دما چیست؟

در حالت کلی سه مقیاس دمایی وجود دارند:

• سلسیوس
• کلوین
• فارنهایت

مقیاس دمای سلسیوس

درجه سلسیوس واحد اندازه‌گیری دما در مقیاس سلسیوس است و به طور معمول با عنوان درجه سانتی‌گراد شناخته می‌شود. ذکر این نکته مهم است که در این مقیاس فاصله بین نقاط ثابت مرجع ( ۰ و ۱۰۰) به ۱۰۰ درجه تقسیم شده است. از سال ۱۷۴۳ میلادی به بعد نقطه $$0^o$$ مربوط به نقطه انجماد آب و نقطه $$100^o$$ برای نقطه جوش آب در فشار جو در نظر گرفته شده‌اند. یکای درجه سلسیوس را با $$^oC$$ نشان داده می‌شود.

مقیاس دمای فارنهایت

فارنهایت یکی از مقیاس‌های دمایی است که از قرن ۱۸ میلادی تاکنون استفاده می‌شود. این مقیاس توسط «دنیل گابریل فارنهایت» (Daniel Gabriel Fahrenheit) اختراع شد. این یکا با نماد $$^oF$$ نشان داده می‌شود.

مقیاس دمای کلوین

یکای دیگری به نام کلوین نیز برای اندازه‌گیری دما وجود دارد که از سال ۱۹۵۴ میلادی به عنوان مقیاس بین‌المللی دما انتخاب شد. این یکا با نماد K نشان داده می‌شود.

تبدیل دما

آسان‌ترین تبدیل دمایی از کلوین به درجه سلسیوس انجام می‌شود. اندازه دو واحد یکسان و فاصله دمایی یک کلوین برابر با یک درجه سلسیوس است. دمای صفر مطلق در مقیاس کلوین برابر $$0 \ K$$ و در مقیاس سلسیوس برابر $$-273.15 \ ^o C$$ است. بنابراین برای تبدیل بین این دو مقیاس عدد $$-273 \ ^o C$$ نیاز خواهد بود. در ادامه، تبدیل بین این دو مقیاس به زبان ریاضی را مشاهده می‌کنید:

تبدیل کلوین به سلسیوس

$$ K \rightarrow ^o C \\ T[ ^o C] = \frac{1 \ ^o C}{1 \ K}T[k] - 273.15 \ ^o C \\ ^o C = K - 273.15$$

تبدیل سلیوس به کلوین

$$ ^o C \rightarrow \ K \\ T[ K ] = \frac{1 \ K }{1 \ ^o C}T[ ^o C] - 273.15 \ K \\ ^o C = K + 273.15$$

درجه سلسیوس با استفاده از فرمول زیر به درجه فارنهایت تبدیل می‌شود:

$$(T_{^{\circ}\text{F}}=\frac{9}{5}T_{^{\circ}\text{C}}+32)
$$

درجه فارنهایت با استفاده از فرمول زیر به درجه سلسیوس تبدیل می‌شود:

$$T_{^{\circ}\text{C}}=({^{\circ}\text{F}}-32) \times \frac{5}{9}$$

انواع دماسنج

دماسنج‌ها بر اساس مقیاس اندازه‌گیری درجه‌بندی شده‌اند. همچنین بخش اصلی دماسنج، ماده دماسنجی است. این ماده در دماهای بالا یا پایین واکنش نشان می‌دهد. جنس ماده دماسنجی به نوع دماسنج بستگی خواهد داشت. دماسنج‌ها انواع مختلفی دارند:

• دماسنج جیوه‌ای: در دماسنج جیوه‌ای از جیوه به عنوان ماده دماسنجی استفاده شده است. جیوه پس از تماس با جسم داغ منبسط می‌شود و در لوله باریک دماسنج به سمت بالا حرکت می‌کند. در پایان، جیوه در نقطه مشخصی متوقف خواهد شد. این نقطه، دمای جسم داغ را نشان می‌دهد.
• دماسنج الکلی: دماسنج الکلی شبیه دماسنج جیوه‌ای است. الکل‌ها در مقایسه با جیوه، نسبت به دما حساس‌تر هستند.

• دماسنج دو‌ فلزی: در این دماسنج مکانیکی از ویژگی‌های دو فلز با ضریب انبساط‌های متفاوت استفاده می‌شود. به هنگام تغییر دما، دو فلز، منبسط و از جایگاه خود منحرف می‌شوند. پس از خمیدگی دو فلز، سوزن درون دماسنج حرکت می‌کند و دمای اندازه‌گیری شده را نشان می‌دهد. از این دماسنج برای اندازه‌گیری دمای ترموستات‌ها و فرها استفاده می‌کنند.

• دماسنج دیجیتالی: از دماسنج دیجیتالی برای اندازه‌گیری دمای بدن استفاده می‌شود.
• دماسنج مادون قرمز: به هنگام اندازه‌گیری دمای جسمی مشخص یا قسمتی از بدن، بدون لمس کردن جسم یا آن قسمت از بدن، از دماسنج مادون قرمز استفاده می‌شود.

انبساط گرمایی چیست؟

انبساط گرمایی یکی دیگر از مبحث‌های ترمودینامیک فیزیک دهم است که در این بخش به اختصار در مورد آن توضیح می‌دهیم. به طور حتم با این صحنه مواجه شده‌اید، شیشه مربایی را از داخل یخچال بیرون می‌آورید اما نمی‌توانید در آن را به راحتی باز کنید. شیشه مربا را مدت کوتاهی زیر آب گرم نگه می‌دارید و سپس در آن را به راحتی باز می‌کنید. چرا در شیشه مربا به راحتی باز می‌شود؟ زیرا با نگه داشتن ظرف مربا زیر آب گرم، حجم آن افزایش می‌یابد. حجم مواد و اجسام مختلف با افزایش دما، افزایش می‌یابد. به این عمل انبساط گرمایی گفته می‌شود. دماسنج‌ها براساس انبساط گرمایی کار می‌کنند. به عنوان مثال،‌ انبساط الکل در دماسنج الکلی،‌ نمونه‌ای از انبساط گرمایی محسوب می‌شود.

حجم بیشتر اجسام با افزایش دما، افزایش و با کاهش دما، کاهش می‌یابد. به هنگام ساخت پل‌ها، ریل‌های قطار و بسیاری از سازه‌های دیگر باید به انبساط گرمایی در اثر تغییر دما توجه شود. به احتمال زیاد از خود پرسیده‌اید چرا حجم بیشتر اجسام پس از افزایش دما، افزایش می‌یابد. اتم‌ها و مولکول‌ها در مواد مختلف، مانند مواد جامد، به طور پیوسته حول نقطه تعادلشان نوسان می‌کنند. به این حرکت، حرکت گرمایی گفته می‌شود. هنگامی‌‌که جسمی گرم و دمای آن افزایش می‌یابد، ذرات تشکیل‌دهنده آن با سرعت بیشتری حرکت می‌کنند و میانگین فاصله آن‌ها از ذرات مجاور افزایش می‌یابد. انبساط گرمایی می‌تواند، خطی، سطحی یا حجمی باشد.

انبساط خطی چیست؟

میله‌ای با طول اولیه $$L_1$$ و دمای اولیه $$T_1$$ داریم. دمای میله را تا مقدار $$T_2$$ افزایش می‌دهیم. بنا بر مشاهدات تجربی، طول میله نیز باید تا مقدار $$L_2$$ افزایش یابد. اگر تغییر دمای میله خیلی زیاد نباشد، تغییر طول آن، $$\triangle L = L_2 - L_1$$ را می‌توانیم با استفاده از رابطه زیر به‌دست آوریم:

$$\triangle L = \alpha L_1 \triangle T$$

در رابطه فوق:

• $$\alpha$$ ضریب انبساط طولی میله و یکای اندازه‌گیری آن $$\frac { 1 } { K }$$ یا $$\frac { 1 } { ^o C }$$ است. مقدار ضریب انبساط طولی به جنس میله بستگی دارد.
• $$\triangle L$$ و $$L_1$$ به ترتیب تغییر طول و طول اولیه میله هستند و یکای اندازه‌گیری آن‌ها متر است. این بدان معنا است که طول برحسب سانتی‌متر یا میلی‌متر باید به متر تبدل شوند.
• $$\triangle T$$ تغییر دما و یکای اندازه‌گیری آن کلوین یا درجه سلسیوس است.

انبساط سطحی چیست؟

جسمی با مساحت اولیه $$A_1$$ و دمای اولیه $$T_1$$ داریم. دمای جسم را تا مقدار $$T_2$$ افزایش می‌دهیم. بنا بر مشاهدات تجربی، مساحت جسم نیز باید تا مقدار $$A_2$$ افزایش یابد. تغییر مساحت جسم، $$\triangle A = A_2 - A_1$$ را می‌توانیم با استفاده از رابطه زیر به‌دست آوریم:

$$\triangle A = 2 \alpha A_1 \triangle T$$

در رابطه فوق:

• $$\alpha$$ ضریب انبساط طولی جسم و یکای اندازه‌گیری آن $$\frac { 1 } { K }$$ یا $$\frac { 1 } { ^o C }$$ است.
• $$\triangle A$$ و $$A_1$$ به ترتیب تغییر مساحت و مساحت اولیه جسم هستند و یکای اندازه‌گیری آن‌ها مترمربع است.
• $$\triangle T$$ تغییر دما و یکای اندازه‌گیری آن کلوین یا درجه سلسیوس است.

انبساط حجمی چیست؟

جسمی با حجم اولیه $$A_1$$ و دمای اولیه $$T_1$$ داریم. دمای جسم را تا مقدار $$T_2$$ افزایش می‌دهیم. بنا بر مشاهدات تجربی، حجم جسم نیز باید تا مقدار $$V_2$$ افزایش یابد. تغییر حجم جسم، $$\triangle V = V_2 - V_1$$ را می‌توانیم با استفاده از رابطه زیر به‌دست آوریم:

$$\triangle V = \beta V_1 \triangle T$$

در رابطه فوق،‌ $$\beta$$ ضریب انبساط حجمی جسم است. افزایش حجم بیشتر مواد جامد به هنگام افزایش دما در تمام راستاها به صورت یکسان انجام می‌شود. بنابراین، در حالت کلی ضریب انبساط حجمی، $$\beta$$، سه برابر ضریب انبساط طولی، $$\beta$$، است:

$$\beta = 3 \alpha$$

تا اینجا با مفاهیمی مانند دما و و انبساط گرمایی از ترمودینامیک فیزیک دهم آشنا شدیم. در ادامه، در مورد انبساط غیر عادی آب صحبت می‌کنیم.

انبساط غیر عادی آب

در حالت کلی، بیشتر مواد با افزایش دما منبسط می‌شوند و چگالی آن‌ها کاهش می‌یابد. همچنین، با کاهش دما حجم ماده کاهش و چگالی آن افزایش خواهد یافت. اما آب رفتار متفاوتی نسبت به دما از خود نشان می‌دهد. رفتار آب تا دمای ۴ درجه سانتی‌گراد مشابه تمام مواد دیگر است. چگالی آب با سرد شدن آن افزایش می‌یابد. با کاهش دما تا ۴ درجه سانتی‌گراد، چگالی آب به بیشینه مقدار خود می‌رسد. با کاهش بیشترِ دمای آب، رفتار متفاوتی را از آن مشاهده می‌کنیم. با کاهش بیشتر دما و رسیدن آن به مقدار صفر درجه سلسیوس، حجم آب افزایش و چگالی آن کاهش می‌یابد.

گرما چیست؟

در زندگی روزمره، بارها با کلمه گرما روبرو شده‌اید و آن را احساس کرده‌اید. به عنوان مثال، هنگامی که لیوانی چای داغ را در دست می‌گیرید، گرمای آن را احساس خواهید کرد یا در یکی از روزهای گرم مرداد ماه با خود می‌گویید، چه هوای گرمی. گرما مفهومی است که در بسیار از مبحث‌های فیزیک، مانند فیزیک گرما و ترمودینامیک، استفاده می‌شود. فنجان قهوه داغی را با دمای ۹۰ درجه سلسیوس در نظر بگیرید. فرض کنید دمای محیط نیز برابر ۳۰ درجه سلسیوس باشد. چه اتفاقی رخ می‌دهد؟ همان‌طور که بارها مشاهده کرده‌اید فنجان قهوه به تدریج سرد و با دمای اتاق برابر می‌شود. در این حالت می‌گوییم قهوه و هوای اتاق به تعادل گرمایی رسیده‌اند.

در مقیاس ماکروسکوپی می‌گوییم گرما از فنجان قهوه به محیط اطراف منتقل می‌شود. حقیقت آن است که گرما از قهوه به محیط اطراف منتقل می‌شود و دمای قهوه و انرژی آن کاهش می‌یابد. به انتقال انرژی از جسم داغ به جسم سرد، گرما می‌گوییم.

ظرفیت گرمایی چیست؟

به مقدار انرژی گرمای لازم برای افزایش دمای جسمی مشخص به اندازه یک درجه سلسیوس، ظرفیت گرمایی گفته می‌شود. ظرفیت گرمایی یکی دیگر از مباحث مهم ترمودینامیک فیزیک دهم است. مواد مختلف، پاسخ‌های متفاوتی به گرما می‌دهند. صندلی فلزی خود را در یک روز آفتابی و گرم، زیر نور خورشید قرار دهید. پس از مدتی با لمس صندلی متوجه داغی سطح آن می‌شوید. حال مقداری آب با جرمی برابرِ جرم صندلی فلزی را در برابر نور خورشید قرار دهید. پس از مدت زمان مشابه خواهید دید که دمای آب به اندازه دمای صندلی فلزی بالا نرفته است. این بدان معنا است که ظرفیت گرمایی آب با ظرفیت گرمایی صندلی فلزی برابر نیست و آب ظرفیت گرمایی بالاتری دارد. دمای آب به آسانی افزایش نمی‌یابد، اما به راحتی می‌توانیم دمای فلزات را افزایش دهیم.

به مقدار انرژی گرمایی لازم برای افزایش دمای یک گرم از ماده‌ای مشخص به اندازه یک درجه سلسیوس، گرمای ویژه گفته می‌شود. گرمای ویژه با c و ظرفیت گرمایی با C نشان داده می‌شوند. واحد اندازه‌گیری گرمای ویژه برابر ژول بر گرم بر درجه سانتی‌گراد ($$\mathrm{J} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}$$) یا کالری بر گرم بر درجه سانتی‌گراد ($$\mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}$$) است. جسم دلخواهی را در نظر بگیرید که با محیط اطراف خود مقداری گرما به اندازه Q مبادله و به همین دلیل دمای جسم از مقدار $$T_1$$ به $$T_2$$ تغییر می‌کند. مقدار گرمای مبادله شده بین جسم و محیط اطراف آن با تغییرات دمای جسم متناسب است و به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$$Q = C \triangle T$$

C ظرفیت گرمایی جسم نام و به جنس و جرم جسم بستگی دارد. ظرفیت گرمایی با استفاده از رابطه زیر به گرمای ویژه مربوط می‌شود:

$$c = \frac { C } { m }$$

رابطه فوق را در رابطه $$Q = C \triangle T$$ قرار می‌دهیم. بنابراین، گرمای مبادله شده بین جسم و محیط به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$Q = mc \triangle T$$

گرمای ویژه هر جسمی به جنس ماده سازنده جسم و دمای آن بستگی دارد.

دمای تعادل چیست؟

دو جسم A و B با دماهای متفاوت را در نظر بگیرید که در تماس با یکدیگر قرار دارند. پس از گذشت مدت زمانی مشخص، دو جسم به دمای یکسانی می‌رسند. در ابتدا دمای دو جسم متفاوت و دمای جسم A بزرگ‌تر از دمای جسم B است. بنابراین، گرما از جسم A به B منتقل می‌شود. این انتقال گرما تا برابر شدن دمای دو جسم ادامه می‌یابد. به دمایی که دو جسم پس از مدتی به آن می‌رسند، دمای تعادل گفته می‌شود. مقدار آن را می‌توانیم با استفاده از قانون پایستگی انرژی به‌دست آوریم. توجه به این نکته مهم است که تعداد اجسام در تماس با یکدیگر می‌تواند بیشتر از دو باشد.

گرما از جسمی با دمای بالاتر به جسمی با دمای کمتر منتقل می‌شود. بر طبق قرارداد، Q برای اجسامی که گرما می‌گیرند، مثبت و برای اجسامی که گرما از دست می‌دهند، منفی در نظر گرفته می‌شود. فرض کنید دو جسم یک و دو با یکدیگر در تماس هستند و گرما از جسم یک به جسم دو منتقل می‌شود. بر طبق قانون بقای انرژی، تمام گرمای خارج شده از جسم یک به جسم دو منتقل می‌شود:

$$Q_1 + Q_2 = 0$$

اگر بیشتر از دو جسم با یکدیگر در تماس باشند، رابطه فوق را می‌توان به صورت زیر گسترش داد:

$$Q_1 + Q_2 + Q_3 + .. = 0$$

فرض کنید تعدادی جسم با جرم‌های $$m_1$$ و $$m_2$$ و $$m_3$$ و ...، گرماهای ویژه $$c_1$$ و $$c_2$$ و $$c_3$$ و ... و دماهای اولیه $$\theta _ 1$$ و $$\theta_2$$ و $$\theta_3$$ و ... در تماس با یکدیگر قرار دارند. دماهای این اجسام پس از مدتی با یکدیگر برابر می‌شوند. دمای تعادل، $$\theta$$، را می‌توانیم با استفاده را از رابطه زیر به‌دست آوریم:

$$m_1 c_1\left(\theta-\theta_1\right)+m_r c_r\left(\theta-\theta_r\right)+m_r c_r\left(\theta-\theta_r\right)+\ldots=0$$

گرماسنج و گرماسنجی

گرماسنج (کالری‌متر) ظرفی است که به خوبی از نظر گرمایی عایق‌بندی شده است و از آن برای اندازه‌گیری گرمای ویژه اجسام مختلف استفاده می‌شود. برای اندازه‌گیری گرمای ویژه جسمی توسط گرماسنج، مرحله‌های زیر را طی می‌کنیم:

1. مقدار آب با جرم معین داخل گرماسنج می‌ریزیم.
2. پس از رسیدن آب و گرماسنج به دمایی یکسان، دمای آب را اندازه می‌گیریم.
3. جسمی با جرم و دمای اولیه مشخص را درون گرماسنج قرار می‌دهیم.
4. برای آن‌که مجموعه گرماسنج، آب و جسم زودتر به دمای تعادل برسد، آب را هم‌ می‌زنیم.
5. پس از رسیدن مجموعه به دمای تعادل، مقدار آن را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

$$Q_{ water } + Q_ { object } + Q_ { cal } = 0 \\ m _ { waer } c_ { water } ( \theta - \theta_ { 1 water } )  + m_ { object } c_ { object } ( \theta - \theta _ { 1 object } ) + m _ { cal } c _ cal ( \theta - \theta _ { 1 cal } ) = 0$$

تغییر حالت های ماده

ماده حالت‌‌های مختلفی (فازهای مختلفی) مانند جامد، مایع و گاز دارد. به طور معمول، مواد با دریافت یا از دست دادن گرما از حالتی به حالت دیگر تغییر می‌کنند. در این بخش از ترمودینامیک فیزیک دهم در مورد انواع تغییر حالت های ماده صحبت می‌کنیم.

تبدیل حالت مایع به جامد

نوشیدن آب خنک در گرمای تابستان بسیار لذت‌بخش است. آب را می‌توانیم به کمک قالب‌های کوچک یخ خنک کنیم. سوالی که ممکن است مطرح شود آن است که قالب‌های جامد یخ چگونه تشکیل شده‌اند؟ برای انجام این کار، ظرفی را از آب پر می‌کنیم و آن را داخل یخچال فریزر با دمای بسیار کم قرار می‌دهیم. گرما بین آب داخل ظرف و هوای سرد داخل فریزر مبادله و از جسمی با دمای بالاتر به جسمی با دمای پایین‌تر منتقل می‌شود. انتقال گرما تا جایی ادامه می‌یابد که هیچ انرژی برای حرکت ذرات نسبت به یکدیگر وجود نداشته باشد.

در این حالت، آب مایع به یخ جامد تبدیل شده است. به فرایند تبدیل آب مایع به یخ جامد، انجماد گفته می‌شود. به دمای تبدیل مایع به جامد، دمای انجماد می‌گوییم. نقطه انجماد، دمایی است که در آن مایع در فشار اتمسفر، از حالت مایع به جامد تبدیل می‌شود.

تبدیل حالت جامد به مایع

فرایندی که در آن ماده جامد با اضافه کردن گرما به مایع تبدیل می‌شود، ذوب نام دارد. به عنوان مثال، تکه‌های کوچک یخ با قرار گرفتن در دمای اتاق، ذوب می‌شوند. به دمایی که در آن ماده جامد با گرفتن گرما به مایع تبدیل می‌شود، نقطه ذوب می‌گوییم. این اتفاق در فشار یک اتمسفر رخ می‌دهد. در نقطه ذوب، دو فاز مایع و جامد در حالت تعادل در کنار یکدیگر قرار دارند. به مقدار گرمای لازم بر حسب ژول برای تبدیل جامد به مایع در نقطه ذوب و در دمای ثابت، گرمای نهان ذوب گفته می‌شود. گرمای نهان ذوب برابر مقدار انرژی لازم برای تبدیل ماده از حالت جامد به مایع در دمای ثابت است و با استفاده از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

$$Q = m L_F$$

در رابطه فوق:

• $$Q$$ برابر مقدار انرژی جذب شده برای تبدیل ماده از مایع به جامد است و بر حسب ژول یا کالری اندازه گرفته می‌شود.
• $$m$$ جرم است و بر حسب کیلوگرم اندازه گرفته می‌شود.
•  $$L_F$$ گرمای ویژه نهان ذوب است.

توجه به این نکته مهم است که اگر تغییر فاز مایع به جامد انجام شود، ماده گرما از دست خواهد داد و مقدار گرمای از دست داده برابر است با:

$$Q = - \ m L_F$$

تبدیل حالت گاز به مایع

به هنگام دوش آبِ گرم در حمام بسته، آینه داخل حمام مه‌آلود می‌شود. قسمتی از آبِ داغِ دوش به بخار تبدیل و در تماس با سطوح سرد، مانند آینه داخل حمام، سرد می‌شود و انرژی از دست می‌دهد. ذرات آبِ سرد شده دیگر انرژی لازم برای غلبه بر نیروی جاذبه را ندارند. بنابراین به یکدیگر نزدیک و قطرات آب را تشکیل می‌دهند. به فرایند تبدیل گاز به مایع، میعان می‌گوییم.

تبدیل حالت مایع به گاز

اگر آب را به اندازه کافی گرم کنیم، شروع به جوشیدن می‌کند. حباب‌های بخار آب در آب جوش تشکیل می‌شوند. این حالت به این دلیل رخ می‌دهد که مولکول‌های تشکیل‌دهنده آب، انرژی کافی برای غلبه بر نیروی جاذبه بین یکدیگر به‌دست می‌آورند به حالت گازی (بخار) تبدیل می‌شوند. به فرایندی که طی آن مایع می‌جوشد و به گاز تبدیل می‌شود، تبخیر می‌گوییم. گرمای نهان تبخیر برابر مقدار انرژی لازم برای تبدیل ماده از حالت مایع به گاز در دمای ثابت است و از حاصل‌ضرب جرم جسم در گرمای نهان تبخیر به‌دست می‌آید:

$$Q = m L_V$$

در رابطه فوق:

• $$Q$$ برابر مقدار انرژی جذب شده برای تبدیل ماده از مایع به بخار است و بر حسب ژول یا کالری اندازه گرفته می‌شود.
• $$m$$ جرم است و بر حسب کیلوگرم اندازه گرفته می‌شود.
•  $$L_V$$ گرمای ویژه نهان تبخیر است.

توجه به این نکته مهم است که اگر تغییر فاز گاز به مایع انجام شود، ماده گرما از دست خواهد داد و مقدار گرمای از دست داده برابر است با:

$$Q = - \ m L_V$$

روش های انتقال گرما چیست؟

پس از بازگشت از مدرسه، دانشگاه یا سرکار به خانه، غذای باقی‌مانده از دیشب را از یخچال برداشته‌اید و روی اجاق گاز یا داخل فِر گرم کرده‌اید. قبل از قرار دادن غذا روی گاز یا داخل فِر، با دست زدن به ظرف فهمیده‌اید دمای آن پایین است و برای خوردن مناسب نیست. غذا پس از مدتی قرار گرفتن داخل فِر یا روی شعله اجاق گاز، گرم می‌شود. شاید از خود پرسیده باشید غذا چگونه گرم می‌شود. به مثال مشابه دیگری توجه کنید. در یکی از روزهای سرد زمستان از بیرون به خانه آمده‌اید و احساس سرمای زیادی می‌کنید. بهترین کار برای گرم کردن چیست؟ کنار بخاری ایستادن. بخاری دمای بالاتری نسبت به بدن شما دارد. با ایستادن کنار بخاری، پس از مدت زمان مشخصی احساس گرمای مطبوعی به شما دست می‌دهد.

گرم شدن غذا داخل فِر یا گرم شدن شما پس از ایستادن کنار بخاری به دلیل پدیده انتقال گرما یا انتقال حرارت است. انتقال حرارت را می‌توان در همه جا مشاهده کرد. به انتقال گرما یا حرارت از نقطه‌ای به نقطه دیگر یا از جسمی به جسم دیگر، انتقال حرارت می‌گوییم. در مثال‌‌های ذکر شده، گرما از فِر یا اجاق گاز به غذای سرد و از بخاری به دست‌های سرد شما منتقل می‌شود. این بدان معنا است که گرما یا حرارت یکی از انواع انرژی است که از اجسام گرم به اجسام سرد حرکت می‌کند. حرکت یا انتقال حرارت از اجسام گرم به سرد می‌تواند از سه طریق رخ دهد:

• هدایتی: انتقال حرارت از طریق هدایت زمانی رخ می‌دهد که گرما داخل جسم حرکت می‌کند و از نقطه‌ای به نقطه دیگر می‌رود. به عنوان مثال، اگر دست خود با دمای کمتر را به فنجان چای با دمای بیشتر بچسبانید، انتقال حرارت را از فنجان به دست خود حس خواهید کرد.

• همرفتی: انتقال حرارت از طریق همرفت یا جابجایی هنگامی رخ می‌دهد که گرما به دلیل حرکت مایع یا گاز از نقطه‌ای به نقطه دیگر منتقل شود.

• تشعشع: در انتقال حرارت از طریق تشعشع، گرما بین اجسام، بدون آن‌که با یکدیگر تماسی داشته باشند، منتقل می‌شود. به عنوان مثال، اگر در یکی از شب‌های سرد زمستان کنار آتش بنشینید، به طور قطع گرمای آتش را حس خواهید کرد یا اگر در یکی از روزهای گرم تابستان، زیر نور خورشید بایستید، گرمای زیادی را حس می‌کنید.

قوانین گازها

قوانین گازها یکی دیگر از مباحث مهم ترمودینامیک فیزیک دهم است. تمام گازها در شرایط معمولی رفتار مشابهی را از خود نشان می‌دهند. اما اگر مقدار یکی از مشخصه‌های گاز مانند فشار، دما یا حجم تغییر بسیار کوچکی کند، رفتار گاز نیز تغییر خواهد کرد. با استفاده از قوانین گازها می‌توانیم رفتار گازهای مختلف را پس از تغییر هر مشخصه، بررسی کنیم.

بررسی گاز در فشار ثابت

دانشمندی فرانسوی به نام «ژاک شارل» (Jacques Charles) در سال ۱۷۸۷ میلادی اثر دما بر حجم ماده گازی را در فشار ثابت بررسی کرد. بر طبق یافته‌های این دانشمند، در فشار ثابت و در شرایطی که جرم ثابت است، حجم گاز به طور مستقیم با دما متناسب است. این بدان معنا است که با افزایش دما، حجم گاز افزایش و با کاهش دما، حجم گاز کاهش می‌یابد. نتیجه این آزمایش به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\frac { V } { T } = constant$$

به این نکته توجه داشته باشد که در رابطه فوق، دما برحسب کلوین نوشته می‌شود. فرض کنید بادکنکی پر شده از هوا دارید. داخل خانه هوا گرم و بیرون از خانه هوا برفی و بسیار سرد است. بادکنک خود را از داخل خانه با دمای بالاتر به بیرون از خانه با دمای پایین‌تر می‌برید. بادکنک فشرده می‌شود. زیرا حجم هوای داخل بادکنک با کاهش دما، کاهش می‌یابد.

بررسی گاز در حجم ثابت

شیمی‌دانی فرانسوی به نام «ژوزف لوئیس گی‌لوساک» (Gay Lussac) در سال ۱۸۰۲ میلادی به هنگام ساخت دماسنجی هوایی و به صورت تصادفی کشف کرد که در حجم و جرم ثابتِ گازی مشخص، فشار گاز به صورت مستقیم با دما متناسب است.

$$\frac { P } { T } = constant$$

به این نکته توجه داشته باشد که در رابطه فوق دما برحسب کلوین نوشته می‌شود. بطری نوشابه‌ای را در نظر بگیرید. داخل بطری مقدار مشخصی گاز کربن‌دی‌اکسید با فشار بالا وجود دارد. اگر قوطی نوشابه را در معرض نور خورشید قرار دهید، دمای گاز داخل آن افزایش می‌یابد. بر طبق قانون گی‌لوساک، در حجم ثابت، فشار گاز به طور مستقیم با دما تغییر می‌کند. از این‌رو، فشار گاز کربن‌دی‌اکسید داخل قوطی افزایش می‌یابد. اگر دمای گاز افزایش چشم‌گیری داشته باشد، قوطی نوشابه می‌تواند منفجر شود. اگر فشار و دما به ترتیب از مقدارهای $$P_1$$ و $$T_1$$ به مقدارهای $$P_1$$ و $$T_1$$ تغییر کنند، قانون گی‌لوساک را می‌توان به صورت زیر نیز نوشت:

$$\frac { P _ 1 } { T_ 1 } = \frac { P _ 2 } { T _2 } $$

بررسی گاز در دمای ثابت

قانون بویل رابطه بین حجم و فشار گاز را در دما و جرمِ ثابت، توضیح می‌دهد. دانشمندی انگلیسی به نام «رابرت بویل» (Robert Boyle) در سال ۱۶۶۲ میلادی آزمایشی روی گازها به منظور مطالعه رفتار آن‌ها به هنگام تغییرات فیزیکی انجام داد. بر طبق این قانون، با ثابت نگه داشتن دمای گاز، حجم آن با افزایش فشار، کاهش خواهد یافت. به بیان دیگر، با ثابت نگه داشتن دمای گاز، حجم به صورت معکوس با فشار تغییر می‌کند. به این نکته توجه داشته باشید که در این حالت، تعداد مولکول‌های گاز نیز باید ثابت باشند:

$$\begin{gathered}
\mathrm{p} \propto 1 / \mathrm{V} \\
\mathrm{p}=\mathrm{k}_1 1 / \mathrm{V}
\end{gathered}$$

در رابطه فوق، $$k_1$$ ثابت تناسب دارد و می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

$$k_1 = PV$$

اگر گازی با جرم ثابت در دمای ثابت منبسط شود، به حجم و فشار نهایی $$V_2$$ و $$P_2$$ می‌رسد. اگر فشار و حجم اولیه گاز به ترتیب برابر $$P_1$$ و $$V_1$$ باشند، بر طبق قانون بویل داریم:

$$\mathrm{p}_1 \times \mathrm{V}_1=\mathrm{p}_2 \times \mathrm{V}_2=\operatorname{constant}\left(\mathrm{k}_1\right)$$

رابطه فوق را به صورت زیر مرتب می‌کنیم:

$$\mathrm{p}_1 / \mathrm{p}_2=\mathrm{V}_2 / \mathrm{V}_1$$

غواصی را در نظر بگیرید که داخل آب شیرجه می‌زند. هر چه فاصله غواص از سطح آب بیشتر می‌شود، فشار وارد شده بر او به دلیل وزن آب افزایش می‌یابد. بر طبق قانون بویل، حجم هوای داخل ریه غواص با افزایش فشار، کاهش می‌یابد. برعکس، با نزدیک شدن به سطح آب، فشار کاهش و حجم هوا داخل ریه افزایش می‌یابد.

قانون آووگادرو

در سه قانون بالا جرم گاز را ثابت در نظر گرفتیم. دانشمندی ایتالیایی به نام «‌آمدئو آووگادرو» (Amedeo Avogadro) در سال ۱۸۱۱ میلادی با ترکیب کردن نتایج به‌دست آمده از نظریه اتمی دالتون و قانون گی‌لوساک، قانون مهم دیگری در گازها را به نام قانون آووگادرو ارائه داد. بر طبق این قانون،‌ در دما و فشار ثابت، حجم تمام گازها از تعداد مساوی مولکول تشکیل شده است. به بیان دیگر، در دما و فشار ثابت، حجم هر گازی به صورت مستقیم با تعداد مولکول‌های آن گاز تغییر می‌کند:

$$\mathrm{V} \propto \mathrm{n}$$

n در رابطه فوق تعداد مول‌های گاز را نشان می‌دهد. تعداد مولکول‌ها در یک مول از هر گازی برابر عددِ ثابت $$6.22 \times 10 ^ { 23 }$$ است و عدد آووگادرو نام دارد. مقدارهای دما وفشار را در اینجا مقدارهای استاندارد آن‌ها، یعنی ۲۷۳/۱۵ کلوین و $$10^ 5$$ پاسکال، در نظر می‌گیریم.

$$N = n N_A \enspace and \enspace \frac { V } { n } = constant$$

در رابطه فوق، n تعداد مول $$N_A$$ همان عدد آووگادرو است. بادکنکی را فرض کنید که با یک مول گاز هلیوم پر شده است. اگر بخواهید بدون تغییر فشار و دما، یک مول گاز هلیوم به بادکنک اضافه کنید، حجم بادکنک دو برابر خواهد شد.

قانون گاز کامل

گاز کامل یکی از مباحث مهم ترمودینامیک فیزیک دهم است. گازها پیچیده هستند. آن‌ها از میلیاردها مولکول گازی پرانرژی ساخته شده‌اند که به طور مداوم به یکدیگر برخورد می‌کنند. از آنجا که توصیف گاز واقعی بسیار سخت و چالش‌برانگیز است، مفهومی به نام گاز ایده‌ال ابداع شد. گاز ایده‌ال از دو قانون اصلی پیروی می‌کند:

1. مولکول‌های گاز ایده‌ال یکدیگر را جذب یا دفع نمی‌کنند. این مولکول‌ها، تنها می‌توانند به صورت کشسان با یکدیگر یا با دیواره محفظه برخورد کنند.
2. مولکول‌های تشکیل‌دهنده گاز ایده‌ال هیچ فضایی را اشغال نمی‌کنند. این بدان معنا است که مولکول‌ها در گاز ایده‌ال به صورت نقطه‌هایی بدون حجم در نظر گرفته می‌شوند.

شاید با خود فکر کنید، این دو قانون بسیار ایده‌ال و به دور از واقعیت هستند. بله، هیچ گازی به طور کامل ایده‌ال نیست. اما با تقریب خوبی بسیاری از گازها را می‌توانیم نزدیک به گاز ایده‌ال در نظر بگیریم. در حقیقت، در دماهای نزدیک به دمای اتاق و در فشارهای نزدیک به فشار اتمسفر، بسیاری از گازها همانند گاز ایده‌ال رفتار می‌کنند. گازها را در فشارهای بسیار بالا و دماهای بسیار پایین نمی‌توانیم همانند گاز ایده‌ال در نظر بگیریم. فشار، حجم، و دمای گاز ایده‌ال با استفاده از فرمولی به نام قانون گاز ایده‌ال به یکدیگر مربوط می‌شوند:

$$PV = nRT$$

در رابطه فوق، R ثابت جهانی گازها نام دارد. به هنگام استفاده از این رابطه باید به یکاهای اندازه‌گیری استفاده شده بسیار دقت کنیم. اگر یکاهای اندازه‌گیری فشار، حجم و دما به ترتیب برابر پاسکال، مترمکعب و کلوین باشند، مقدار R برابر $$R=8.31 \frac{J}{K \cdot m o l}$$ است. اگر یکاهای اندازه‌گیری فشار، حجم و دما به ترتیب برابر اتمسفر، لیتر و کلوین باشند، مقدار R برابر $$R=0.082 \frac{L \cdot a t m}{K \cdot m o l}$$ خواهد بود.

حل مسائل فصل چهارم ترمودینامیک فیزیک دهم

در مطالب بالا با برخی از مفاهیم اولیه ترمودینامیک فیزیک دهم مانند دما، گرما، ظرفیت گرمایی، روش‌های انتقال حرارت یا گرما و تغییر حالت‌های ماده آشنا شدیم. در این قسمت مسائل مربوط به این مباحث از فیزیک دهم را با یکدیگر حل می‌کنیم.

مسائل مربوط به دما و دماسنجی فصل چهارم ترمودینامیک فیزیک دهم

در ابتدا دو مسئله در ارتباط با دما و دماسنجی با یکدیگر حل می‌کنیم.

مسئله ۱

دماهای زیر را برحسب درجه سلسیوس و فارنهایت مشخص کنید:

1. صفر کلوین
2. $$273 \ K$$
3. $$373 \ K$$
4. $$546 \ K$$

پاسخ

تمام دماها برحسب کلوین داده شده‌اند. برای تبدیل دما برحسب کلوین به دما برحسب درجه سلسیوس و فارنهایت از دو رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

تبدیل کلوین به سلسیوس

$$ K \rightarrow ^o C \\ T[ ^o C] = \frac{1 \ ^o C}{1 \ K}T[k] - 273.15 \ ^o C \\ ^o C = K - 273.15$$

تبدیل کلوین به فارنهایت

$$^oF = (K − 273.15) × 1.8 + 32$$

دماهای داده شده برحسب کلوین را در دو رابطه بالا قرار می‌دهیم و مقدار آن‌ها را برحسب درجه سلسیوس و فارنهایت به‌دست می‌آوریم.

دمای صفر کلوین

$$^o C = K - 273.15 \\ ^ o C = 0 - 273.15 $$

در نتیجه، صفر کلوین معادل ۲۷۳/۱۵- درجه سلسیوس است.

$$^oF = (K − 273.15) × 1.8 + 32 \\ ^oF = ( 0 − 273.15) × 1.8 + 32 = -459.67 $$

دمای ۲۷۳ کلوین

$$^o C = K - 273.15 \\ ^ o C = 273 - 273.15 $$

در نتیجه، صفر کلوین معادل ۰/۱۵- درجه سلسیوس است.

$$^oF = (K − 273.15) × 1.8 + 32 \\ ^oF = ( 273 − 273.15) × 1.8 + 32 = 31.775 $$

دمای ۳۷۳ کلوین

$$^o C = K - 273.15 \\ ^ o C = 373 - 273.15 $$

در نتیجه، صفر کلوین معادل ۱۰۰/۱۵ درجه سلسیوس است.

$$^oF = (K − 273.15) × 1.8 + 32 \\ ^oF = ( 373 − 273.15) × 1.8 + 32 = 212.27 $$

دمای ۵۴۶ کلوین

$$^o C = K - 273.15 \\ ^ o C = 546 - 273.15 $$

در نتیجه، صفر کلوین معادل ۲۷۲/۸۵ درجه سلسیوس است.

$$^oF = (K − 273.15) × 1.8 + 32 \\ ^oF = ( 546 − 273.15) × 1.8 + 32 = 523.13 $$

مسئله ۲

برای اندازه‌گیری دما جسمی توسط دماسنج به چه نکاتی باید توجه کنیم؟

پاسخ

به هنگام اندازه‌گیری دمای جسم با دماسنج باید به نکته‌های زیر توجه داشته باشیم:

• قبل از اندازه‌گیری دما، دماسنج باید به خوبی کالیبره شده باشد. به طور معمول، دماسنج با استفاده از جسمی که دمای آن مشخص است، کالیبره می‌شود.
• دماسنج باید در مکانی قرار داشته باشد که بتواند به طور دقیق دمای جسم را اندازه بگیرد. در واقع دماسنج نباید تحت‌تاثیر منبع گرمایی خارجی قرار داشته باشد.
• دماسنج و جسم باید در تماس مستقیم با یکدیگر قرار داشته باشند. در این حالت، گرما می‌تواند به خوبی بین جسم و دماسنج مبادله شود.
• جسم و دماسنج پس از تماس با یکدیگر، پس از مدت زمان مشخصی به دمای تعادل می‌رسند. در این حالت می‌توانیم دمای جسم را از روی دماسنج بخوانیم.
• محیط، اندازه‌گیری باید به گونه‌ای باشد که بر دمای اندازه‌گیری شده توسط دماسنج تاثیر نداشته باشد.
• همان‌طور که در مطالب بالا دیده شد، دماسنج‌ها انواع متفاوتی دارند. به هنگام اندازه‌گیری دما باید دماسنج مناسبی انتخاب شود.
• دماسنج باید تمیز باشد.

مسائل مربوط به انبساط گرمایی فصل چهارم ترمودینامیک فیزیک دهم

در ادامه، به منظور آشنایی با مفهوم انبساط گرمایی در ترمودینامیک فیزیک دهم، هشت مسئله را با یکدیگر حل می‌کنیم.

مسئله ۳

شکل زیر خط‌کشی فلزی را که در آن سوراخی ایجاد شده است در دو دمای متفاوت نشان می‌دهد (برای روشن بودن مطلب، انبساط به صورت اغراق‌آمیزی رسم شده است). از این شکل چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟

پاسخ

با استفاده از تصویر نشان داده شده در صورت مسئله می‌توان نتیجه گرفت که خط‌کش پس از افزایش دما به صورت خطی و یکنواخت منبسط شده است. انبساط گرمایی به این دلیل رخ می‌دهد که ذرات تشکیل‌دهنده ماده با افزایش دما سریع‌تر حرکت می‌کنند و از یکدیگر دور می‌شوند. با افزایش دمای خط‌کش فلزی، اتم‌ها تشکیل‌دهنده آن با سرعت بیشتری نوسان می‌کنند و در فاصله بیشتری نسبت به یکدیگر قرار می‌گیرند.

مسئله ۴

شکل زیر چهار صفحه فلزی هم‌جنس به اضلاع متفاوت را در یک دما نشان می‌دهد. اگر دمای همه آن‌ها را به اندازه یکسانی افزایش دهیم،

الف) ارتفاع کدام صفحه یا صفحه‌ها افزایش می‌یابد؟

ب) مساحت کدام‌یک بیشتر افزایش می‌یابد؟

پ) اگر در هر چهار تای آن‌ها روزنه کوچک هم‌اندازه‌ای وجود داشته باشد، افزایش قطر چهار روزنه در اثر افزایش دمای یکسان را با هم مقایسه کنید.

پاسخ

همان‌طور که در تصویر بالا مشاهده می‌کنید چهار صفحه فلزی هم‌جنس و هم‌دما با مساحت‌های مختلف داریم. دمای هر چهار صفحه را به اندازه یکسانی افزایش می‌دهیم. بنابراین، $$\triangle T$$ هر چهار صفحه با یکدیگر برابر است. در قسمت الف می‌خواهیم بدانیم ارتفاع کدام صفحه یا صفحه‌ها با افزایش دما، بیشتر افزایش می‌یابد. برای پاسخ به این قسمت از رابطه انبساط خطی استفاده می‌کنیم:

$$\Delta L=\alpha L \Delta T$$

از آنجا که هر چهار صفحه از فلز یکسانی ساخته شده‌اند، ضریب انبساط طولی آن‌ها، $$\alpha$$، نیز یکسان است. تغییر ارتفاع هر شکل را جداگانه به‌دست می‌آوریم و با یکدیگر مقایسه می‌کنیم.

تغییر ارتفاع شکل یک

$$\Delta L_1=\alpha ( 2 L ) \Delta T$$

تغییر ارتفاع شکل دو

$$\Delta L_2=\alpha ( 3 L ) \Delta T$$

تغییر ارتفاع شکل سه

$$\Delta L_3=\alpha ( 3 L ) \Delta T$$

تغییر ارتفاع شکل چهار

$$\Delta L_4=\alpha ( L ) \Delta T$$

با مقایسه تغییر ارتفاع هر چاهر شکل و با توجه به یکسان بودن ضریب انبساط طولی و تغییر دما در آن‌ها، ارتفاع دو صفحه ۲ و ۳ با افزایش دما، بیشتر افزایش پیدا می‌کند.

در ادامه، قسمت ب را حل می‌کنیم. در این قسمت باید انبساط سطحی را در نظر بگیریم. افزایش مساحت پس از افزایش دما با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$$\triangle A = 2 \alpha A_1 \triangle T$$

تغییر مساحت هر شکل را جداگانه به‌دست می‌آوریم و با یکدیگر مقایسه می‌کنیم.

تغییر مساحت شکل یک

$$A_1 = 2 L ^ 2 \\ \triangle A_1 = 2 \alpha ( 2 L ^ 2 ) \triangle T \\ \triangle A_1 = 4 \alpha L^ 2 \triangle T$$

تغییر مساحت شکل دو

$$A_2 = 3 L ^ 2 \\ \triangle A_2 = 2 \alpha ( 3 L ^ 2 ) \triangle T \\ \triangle A_2 =  6  \alpha L^ 2 \triangle T$$

تغییر مساحت شکل سه

$$A_3 = 6 L ^ 2 \\ \triangle A_3 = 2 \alpha ( 6 L ^ 2 ) \triangle T \\ \triangle A_3 = 12 \alpha L^ 2 \triangle T$$

تغییر مساحت شکل چهار

$$A_4 = 2 L ^ 2 \\ \triangle A_4 = 2 \alpha ( 2 L ^ 2 ) \triangle T \\ \triangle A_4 = 4 \alpha L^ 2 \triangle T$$

با توجه به محاسبات انجام شده، مساحت شکل ۳ افزایش بیشتری پیدا می‌کند. در قسمت پ، روزنه کوچک هم‌اندازه‌ای در هر چهار شکل ایجاد می‌شود. افزایش قطر چهار روزنه را در اثر افزایش دما با یکدیگر مقایسه می‌کنیم. فرض کنید قطر هر روزنه قبل از افزایش دما برابر R باشد. در این حالت، قطر روزنه‌ها با افزایش دما به صورت یکسان افزایش می‌یابد.

مسئله ۵