انتگرال چیست؟ – به زبان ساده + حل تمرین

در قلمرو ریاضیات، انتگرال جایگاه ویژه‌ای دارد که اغلب در هاله‌ای از ابهام است. انتگرال ابزاری کاربردی برای اندازه‌گیری مساحت زیر منحنی و حجم یک جسم است. همچنین انتگرال را به عنوان عکس مشتق نیز می‌شناسند برای مثال انتگرال تابع $$f(x)=2x$$ برابر $$x^2+c$$ است که در اینجا c یک ثابت دلخواه است. اگرچه چنین تعریفی خیلی ساده است، کاربردهای زیادی در زمینه‌های مختلف از فیزیک، مهندسی تا آمار و اقتصاد دارد و در ادامه با جزئیات بیشتر خواهیم آموخت که انتگرال چیست. در این مطلب از مجله فرادرس ابتدا ماهیت انتگرال را بررسی می‌کنیم و سپس عدد ثابت انتگرال را توضیح می‌دهیم. در ادامه، فرمول‌های مهم انتگرال را به صورت یک جدول ارائه می‌کنیم و انواع روش‌های حل انتگرال را نیز مرور می‌کنیم. در انتها، کاربردها و ابزارهای آنلاین حل انتگرال را نیز معرفی می‌کنیم.

ماهیت انتگرال چیست؟

انتگرال ارتباط نزدیکی با مشتق دارد، در واقع انتگرال عکس مشتق است. مفهوم انتگرال را می‌توان با این مثال ساده بیان کرد که مشتق مانند میزان آبی است که از یک شیر آب در لحظه خارج می‌شود و انتگرال میزان کل آبی است که از شیر آب خارج شده است.

به عبارت دیگر، اگر روند مشتق را معکوس کنید، انتگرال‌گیری کرده‌اید. در مثال زیر این موضوع نشان داده شده است:

$$y=x^{2}\rightarrow\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2x$$

بنابراین:

$$\int\frac{\text{d}y}{\text{d}x} dx=\int 2xdx=x^{2}+c$$

عدد ثابت C در انتگرال چیست؟

c نمایانگر عدم قطعیت است که می‌تواند در انتگرال گیری نامعین هر مقداری داشته باشد. برای توضیح این مورد به مثال‌های زیر توجه کنید:

$$y=x^{2}\rightharpoonup\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2x$$

$$y=x^{2}+3\rightharpoonup\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2x$$

$$y=x^{2}-5\rightharpoonup\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2x$$

برای محاسبه‌ $$\int 2xdx$$ یک مشکل وجود دارد چون نمی‌توان مقدار واقعی آن را بدست آورد و مقدار آن می‌تواند هر کدام از $$y=x^{2} ,y=x^{2}+3 ,y=x^{2}-5$$ باشد. برای مقابله با این عدم قطعیت، یک نماد C به جواب انتگرال اضافه می‌کنیم که به آن ثابت دلخواه گویند. بنابراین شکل کلی انتگرال به صورت $$\int (\frac{\text{d}y}{\text{d}x})dx=y+c$$ خواهد بود. اگر به مثال قبل برگردیم $$\int 2xdx=x^{2}+c$$ تبدیل می شود که در اینجا c می‌تواند ۰ یا ۳ یا ۵- باشد.

اندازه‌گیری مساحت سطح زیر نمودار

تا اینجا یاد گرفتیم که انتگرال چیست و چه ماهیتی دارد. مساحت زیر نمودار یک مفهوم اساسی در هندسه است. انتگرال یک روش برای اندازه‌گیری انواع مساحت و حجم است و قابلیت این را دارد که مساحت و حجم اشکال پیچیده (مانند تصویر زیر) را نیز محاسبه کند.

فرمول های مهم انتگرال

تا اینجا فهمیدیم که ماهیت انتگرال چیست و نقش عدد ثابت C در انتگرال را نیز بیان کردیم. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، به مهم‌ترین فرمول‌ها و قوانین انتگرال اشاره شده است:

انواع مختلف انتگرال چیست؟

انواع مختلفی از انتگرال وجود دارد که هر کدام هدف و کاربرد خاصی دارند. انتگرال معین که برای محاسبه‌ مساحت بین دو مقدار خاص روی منحنی مورد استفاده قرار می‌گیرد. درحالی که انتگرال نامعین نشان‌دهنده جمع مقادیر بی‌نهایت کوچک در زیر یک منحنی است.

• انتگرال معین
• انتگرال نامعین
• انتگرال دو گانه
• انتگرال سه گانه

انتگرال نامعین

انتگرال نامعین نیز تابع فقط یک متغیر است. شکل کلی انتگرال نامعین به صورت زیر است. همان طور که پیش‌تر نیز گفته شد f تابع مشتق پذیر و c ثابت دلخواه است:

$$\int f^{'}(x)dx=f(x)+c$$

برای انتگرال نامعین به مثال زیر توجه کنید:

$$\int x^2dx$$

برای حل این انتگرال ساده فقط کافی است تا از جدول فوق استفاده کنیم و طبق تعریف پاسخ به شرح زیر خواهد بود:

$$\int x^2dx=\frac{x^{3}}{3}+c$$

انتگرال معین

انتگرال معین تابع فقط یک متغیر است. شکل کلی انتگرال معین به صورت زیر است که f تابع مشتق پذیر و b کران بالا و a کران پایین آن هستند:

$$\int_{a}^{b} f^{'}(x)dx=[f(x)+c]_a^b=(f(b)+c)-(f(a)+c)=f(b)-f(a)$$

انتگرال $$\int_{1}^{2} 2xdx$$ را برای مثال در نظر بگیرید ابتدا باید انتگرال را به شکل نامعین حل کرد و با توجه به جدول پاسخ انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

$$\int_{1}^{2} 2xdx=x^2+c$$

سپس طبق فرمول ارائه شده برای حد بالای انتگرال به جای x، عدد ۲ را جایگرین کرده و  بار دیگر برای حد پایین انتگرال به جای x، عدد ۱ را قرار می‌دهیم سپس حاصل را از یکدیگر تفریق می‌کنیم:

$$(2^2+c)-(1^2+c)$$

$$2^2+c-1^2-c$$

$$4-1+c-c=3$$

البته می‌توان برای سادگی بیشتر از همان ابتدا از C صرف نظر کرد.

به اصطلاح به انتگرال‌های معین و نامعین که فقط تابع یک متغیر هستند انتگرال خطی یا یگانه نیز گفته می‌شود.

انتگرال چندگانه

تا اینجا فهمیدیم که انتگرال چیست و ماهیت آن چگونه است، انتگرال چندگانه گونه‌ای از انتگرال‌ است که توابع بیش از یک متغیر حقیقی دارند.

انتگرال دوگانه

انتگرال تابعی با دو متغیر در فضای دو بعدی است. همانطور که انتگرال ساده نمایانگر مساحت زیر منحنی بود انتگرال دوگانه نیز نمایانگر حجم زیر سطح معین است و به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$\int_{a}^{b} \int_{a}^{b} f(x,y)dxdy$$

برای مثال انتگرال $$\int \int_{D}^{}xy^2dA $$ را در نظر بگیرید. برای راهنمایی بیشتر به شکل زیر توجه کنید:

با توجه به شکل حدود D به صورت $$0\leq x\leq2 $$ و $$0\leq y\leq1 $$ تعریف می‌شود. در ادامه این انتگرال را به صورت معین حل می‌کنیم:

$$\int_{0}^{1}(\int_{0}^{2}xy^2dx )dy $$

ابتدا مانند مشتق‌گیری از داخل پرانتز شروع به انتگرال گرفتن تابع نسبت به x می‌کنیم و در این مرحله y را مثل عدد ثابت در نظر می‌گیریم:

$$\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{2}xy^{2}dx\right)dy=\int_{0}^{1}\left(\frac{x^2}{2}y^2\right)\Bigg|_{x=0}^{x=2}dy$$

$$=\int_{0}^{1}\left(\frac{2^2}{2}y^2-\frac{0^2}{2}y^2\right)dy$$

$$=\int_{0}^{1}2y^2dy$$

حالا ما یک انتگرال خطی داریم و این بار نسبت به y انتگرال می‌گیریم و حدود y را قرار خواهیم داد:

$$\iint_{D}xy^{2}dA=\int_{0}^{1}2y^{2}dy$$

$$=\frac{2y^{3}}{3}|_{0}^{1}=\frac{2(1^{3})}{3}-\frac{2(0^{3})}{3}=\frac{2}{3}.$$

انتگرال سه گانه

انتگرال تابعی با سه متغیر در فضای سه بعدی است و نمایانگر حجم یک جسم است و به صورت زیر تعریف می شود:

$$\int_{a}^{b} \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} f(x,y,z)dxdydz$$

برای مثال انتگرال زیر را با حدود مشخص شده B در نظر بگیرید:

$$\iiint\limits_{B}{{8xyz\,dV}} \hspace{0.5in} B = \left[ {2,3} \right] \times \left[ {1,2} \right] \times \left[ {0,1} \right]$$

ترتیب انتگرال گرفتن در اینجا اهمیتی ندارد و ما در این مثال ابتدا نسبت به z سپس نسبت به x و در نهایت نسبت به y انتگرال می‌گیریم و در هر مرحله حدود آن‌ها را قرار خواهیم داد:

$$\begin{align*}\iiint\limits_{B}{{8xyz\,dV}} & = \int_{{\,1}}^{{\,2}}{{\int_{{\,2}}^{{\,3}}{{\int_{{\,0}}^{1}{{8xyz\,dz}}\,dx}}\,dy}}\\ & = \int_{{\,1}}^{{\,2}}{{\int_{{\,2}}^{{\,3}}{{\left. {4xy{z^2}} \right|_0^1\,dx}}\,dy}}\\ & = \int_{{\,1}}^{{\,2}}{{\int_{{\,2}}^{{\,3}}{{4xy\,dx}}\,dy}}\\ & = \int_{{\,1}}^{{\,2}}{{\left. {2{x^2}y} \right|_2^3\,dy}}\\ & = \int_{{\,1}}^{{\,2}}{{10y\,dy}} = 15\end{align*}$$

روش های حل انتگرال چیست؟

در این قسمت به انواع روش‌های رایج حل انتگرال پرداخته شده و برای هر کدام از آن‌ها مثالی آورده شده است.

• انتگرال با روش جایگزینی
• انتگرال با توان های sin و cos
• انتگرال با روش جایگزینی مثلثاتی
• انتگرال با روش جز به جز
• انتگرال توابع کسری

۱. حل انتگرال با روش جایگزینی (جانشینی)

بیشتر مسائلی که با آن‌ها روبرو می‌‌شویم آن‌ قدر ساده نیستند بنابراین لازم است تا با روش‌های جدیدی آشنا شویم. یکی از این روش‌ها، جایگزینی یا جانشینی نام دارد. در این روش سعی می‌شود قسمتی از تابع را با تغییر متغیر و همچنین به تبع آن انتگرالده (به طور معمول dx) به شکلی ساده‌تر تبدیل کرد با این روش حل یک انتگرال مشکل را به یک انتگرال ساده تغییر می‌دهیم.

مثال اول برای حل انتگرال به روش جایگزینی

در اینجا یک مثال کمی پیچیده‌تر ارائه شده است که ابتدا آن را با روش عادی حل می‌کنیم و سپس با روش تغییر متغیر جدید حل می‌کنیم:

$$\int x^{3} \sqrt{1-x^{2}} dx$$

در این مثال می‌توانیم دو عامل $$x^{3}$$ و $$\sqrt{1-x^{2}}$$ را مورد توجه قرار دهیم اما نمی‌توانیم به سادگی قاعده زنجیره‌ای را در آن ببینم، پس با کمی تغییر چیدمان عبارت می‌توانیم به شکل زیر برسیم:

$$\int x^{3} \sqrt{1-x^{2}} dx = \int (-2x)(\frac{-1}{2})(1-(1-x^{2})) \sqrt{1-x^{2}} dx$$

در نگاه اول به نظر گیج کننده است اما ما الان چیزی داریم که قاعده زنجیره‌‌ای را می‌توانیم به کار بگیریم عبارت $$1-x^{2}$$ جایگزین عبارت $$-(\frac{1}{2})(1-x)\sqrt{x}$$ شده است و مشتق $$-2x$$ و $$1-x^{2}$$ در خارج ضرب شده است. اگر ما بتوانیم تابع اولیه یعنی $$F(x)$$ که مشتق آن $$-(\frac{1}{2})(1-x)\sqrt{x}$$ است را پیدا کنیم آنگاه کار تمام است.

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} F(1-x^{2}) = -2xF^{'}(1-x^{2})= (-2x)(\frac{-1}{2})(1-(1-x^{2}))\sqrt{1-x^{2}}=x^{3}\sqrt{1-x^{2}}$$

اما این زیاد سخت نیست

$$\int -(\frac{1}{2})(1-x)\sqrt{x} dx = \int -(\frac{1}{2})(x^{1/2}-x^{3/2})dx =-(\frac{1}{2})(\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{2}{5}x^{5/2})+c =(\frac{1}{5}x-\frac{1}{3})x^{3/2}+c$$

بنابراین در انتها خواهیم داشت:

$$\int x^{3} \sqrt{1-x^{2}} dx = (\frac{1}{5}(1-x^{2})-\frac{1}{3})(1-x^{2})^{3/2}+c$$

اما این روش کم ابتکار و خلاقیت نیاز داشت که در آن تابع اصلی را به صورتی بازنویسی کردیم که شبیه به نتیجه استفاده از قانون زنجیره‌ای بود. خوشبختانه، روش استفاده از تغییر متغیر بسیار ساده‌تر است اما این تکنیک گاهی اوقات کار نمی‌کند، یا ممکن است نیاز به بیش از یک بار تلاش داشته باشد. محتمل‌ترین کاندیدا را برای تابع داخلی را حدس بزنید، سپس کمی جبر انجام دهید تا ببینید که چه چیزی برای بقیه تابع ضروری است تا بتوان از قاعده زنجیره‌ای استفاده کرد.

به طور معمول یک حدس خوب عبارت مربع زیر رادیکال است. بنابراین سعی می‌کنیم که در مثال قبل عبارت $$1-x^{2}$$ را با متغیر جدید u جایگزین کنیم. همچنین باید مشتق پذیر یعنی dx را بر حسب متغیر جدید محاسبه کرد:

$$u=1-x^{2}$$

$$\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=-2x$$

پس باید مثال قبل را با متغیر جدید بازنویسی کنیم:

$$\int x^{3} \sqrt{1-x^{2}} dx=\int \frac{x^{2}}{-2}\sqrt{u} du$$

تقریبا به جواب رسیده‌ایم، از آنجایی که $$u=1-x^{2}$$ و $$x^{2}=1-u$$ انتگرال به شکل زیر تبدیل می‌شود:

$$\int\frac{-1}{2} (1-u)\sqrt{u}du$$

این دقیقا همان انتگرالی است که در ابتدا محاسبه کردیم اما این بار با یک تغییر متغیر ساده حل آن را آسان‌تر کردیم. مانند قبل ادامه می‌دهیم:

$$\int\frac{-1}{2} (1-u)\sqrt{u}du=(\frac{1}{5}u-\frac{1}{3})u^{3/2}+c$$

از آنجایی که داشتیم $$u=1-x^{2}$$

$$\int x^{3} \sqrt{1-x^{2}} dx =(\frac{1}{5}(1-x^{2})-\frac{1}{3})(1-x^{2})^{3/2}+c$$

۲. حل انتگرال حاصل ضرب سینوس و کسینوس

توابعی که از حاصل ضرب سینوس و کسینوس تشکیل شده‌اند، می‌توان با استفاده از قاعده جابجایی و اتحادهای مثلثاتی انتگرال گرفت. یک مثال کافی است تا این روش را توضیح دهد.

مثال اول برای حل انتگرال حاصل ضرب سینوس و کسینوس

در ادامه، مثالی را برای حل انتگرال حاصل‌ضرب بیان می‌کنیم.

$$\int \sin^{5}xdx$$

تابع را بازنویسی می‌کنیم:

$$\int \sin^{5}xdx=\int \sin x \sin^{4}xdx= \int \sin x (\sin^{2}x)^{2}dx=\int\sin x (1-\cos^{2}x)^{2}dx$$

حالا تغییر متغیر را انجام می‌دهیم:

$$u=\cos x$$

$$du = -\sin xdx$$

بنابراین:

$$\int\sin x (1-\cos^{2}x)^{2}dx=\int-(1-u^{2})^{2}du=\int-(1-2u^{2}+u^{4})du=-u+\frac{2}{3}u^{3}-\frac{1}{5}u^{5}+c=-\cos x +\frac{2}{3}\cos^{3}x-\frac{1}{5}\cos^{5}x+c$$

۳. حل انتگرال با روش جایگزینی مثلثاتی

انتگرال گیری با روش جایگزینی معمولی که در قسمت قبل توضیح داده شد گاهی اوقات مناسب نیست، در این حالت جایگزینی مثلثاتی یک روش خوب برای توابع مثلثاتی است. روش کلی به این صورت است که قسمتی از تابع زیر انتگرال را با عبارات مثلثاتی جایگزین کنیم و سپس انتگرال گیری را با مشتق توابع مثلثاتی ادامه دهیم. انتگرال‌‌هایی که با استفاده از این روش حل می‌شوند عبارت است از:

1. انتگرال‌های شامل $$\sqrt{a^{2}-x^{2}}$$ که در این حالت جایگزینی ما و $$x=a\sin \theta$$ و $$dx=a\cos \theta d\theta$$ خواهد بود
2. انتگرال‌های شامل $$\sqrt{a^{2}+x^{2}}$$ یا $$\frac{1}{x^{2}+a^{2}}$$ که در این حالت جایگزینی ما $$x=a\tan \theta$$ و $$dx=a\sec^{2} \theta d\theta$$ خواهد بود
3. انتگرال‌های شامل $$\sqrt{x^{2}-a^{2}}$$ که در این حالت جایگزینی ما $$x=a\sec \theta$$ و $$dx=a\sec \theta \tan\theta d\theta$$ خواهد بود

مثال اول برای انتگرال‌های شامل $$\sqrt{a^{2}-x^{2}}$$

انتگرال زیر را در نظر بگیرید:

$$∫ x^3\sqrt{1−x^2}dx$$

مطابق فرمول اول جایگزینی‌های مثلثاتی ما به شکل زیر خواهد بود:

$$x=\sin θ$$

$$dx=\cos θ \, dθ.$$

انتگرال با متغیر جدید به شکل زیر خواهد شد:

$$∫ x^3\sqrt{1−x^2}dx=∫ \sin^3θ\cos^2θ \, dθ = ∫ (1−\cos^2θ)\cos^2θ\sin θ \, dθ$$

اکنون باید یک جایگزینی جدید نیز انجام دهیم.

$$u=\cos θ$$

$$du=−\sin θ \, dθ.$$

انتگرال به شکل زیر تبدیل می‌شود.

$$=∫ (u^4−u^2)\,du$$

$$=\dfrac{1}{5}u^5−\dfrac{1}{3}u^3+C$$

اکنون که حاصل انتگرال بعد از دو بار جایگزینی بدست آمد باید گام به گام به متغیر اولیه یعنی x باز گردیم ابتدا $$\cos θ=u.$$.

$$=\dfrac{1}{5}\cos^5θ−\dfrac{1}{3}\cos^3θ+C$$

سپس $$\cos θ=\sqrt{1−x^2}.$$.

و پاسخ نهایی به شکل زیر خواهد بود:

$$=\dfrac{1}{5}(1−x^2)^{5/2}−\dfrac{1}{3}(1−x^2)^{3/2}+C.$$

مثال دوم برای انتگرال‌های شامل $$\sqrt{a^{2}+x^{2}}$$

انتگرال زیر را در نظر بگیرید:

$$\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$$

با استفاده از جایگزینی مثلثاتی زیر را انجام می‌دهیم.

$$x=\tan θ$$

$$dx=sec^2θ\,dθ$$

انتگرال با متغیر جدید به شکل زیز است:

$$∫\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}} =∫\dfrac{\sec^2θ}{\sec θ}dθ=\int \sec \theta d \theta$$

جواب انتگرال به صورت زیر است:

$$\ln |\sec θ+\tan θ|+C$$

بازگشت به متغیر اولیه یعنی x:

$$\ln |\sqrt{1+x^2}+x|+C$$

مثال سوم برای انتگرال‌های شامل $$\sqrt{x^{2}-a^{2}}$$

به نظر شما، روش مناسب برای حل این انتگرال چیست؟

$$\int \frac{dx}{\sqrt{{x^{2}-4}}}$$

با استفاده از جایگزینی مثلثاتی، متغیرهای جدید به شکل زیر خواهند بود:

$$x=2 \sec \theta$$

$$dx=2 \sec \theta \tan \theta d \theta$$

$$\sqrt{{x^{2}-4}}=\sqrt{4\sec^{2} \theta-4}=2\tan \theta$$

بنابراین انتگرال با متغیرهای جدید به صورت زیر است:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{{x^{2}-4}}}=\int \frac{2\sec \theta \cdot \tan \theta}{2\tan \theta}=\int \sec \theta d \theta$$

پاسخ انتگرال به شکل زیر خواهد شد:

$$ln \mid \sec \theta+ \tan \theta\mid +c$$

اکنون باید جواب را برحسب متغیر اولیه یعنی x بنویسیم:

$$x=2 \sec \theta\Rightarrow \sec \theta=\frac{x}{2}$$

$$\sec^{2}=1+\tan 2\Rightarrow\frac{x^{2}}{4}=1+\tan 2\Rightarrow \tan \theta=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}$$

با جایگذاری جواب نهایی به شکل زیر است:

$$ln \mid \sec \theta+ \tan \theta\mid +c=ln \mid \frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}\mid+c$$

۴. حل انتگرال با روش جز به جز

برخلاف روش جایگزینی، در این روش نیازی به ابتکار برای حل انتگرال نیست.

ابتدا با حاصل ضرب شروع می‌کنیم:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

می‌توانیم آن را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$f(x)g(x)=\int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx$$

و در آخر به شکل زیر تبدیل می‌شود:

$$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$$

ممکن است در ابتدا غیرکاربردی به نظر آید اما در بسیاری از موارد انتگرال‌ها به شکل یکی از دو مورد زیر خواهند بود:

$$\int f(x)g'(x)dx$$

$$\int f'(x)g(x)dx$$

به زبان ساده‌تر این روش انتگرال را به انتگرال جز به جز تبدیل می‌کند و به طور معمول به شکل فشرده‌تری نوشته می‌شود. اگر ما $$u=f(x)$$ و $$v=g'(x)$$ را فرض کنیم آنگاه در ادامه $$du=f'(x)dx$$ و $$dv=g'(x)dx$$ را خواهیم داشت:

$$\int udv=uv-\int vdu$$

برای استفاده از روش جز به جز باید $$u=f(x)$$ و $$dv=g'(x)dx$$ را تعیین کنیم.

مثال اول برای حل انتگرال با روش جز به جز

مثال زیر یک تابع کسری است که می‌توان از روش فوق استفاده کرد.

$$\int xln x dx$$

در حل این مثال $$u=lnx$$ و $$du = \frac{1}{x}dx$$ بنابراین $$dv=xdx$$ و $$v = \frac{x^{2}}{2}$$ را خواهیم داشت. پس شکل انتگرال به صورت زیر تغییر می‌کند:

$$\int xln x dx=\frac{x^{2}lnx}{2}-\int\frac{x^{2}}{2}\frac{1}{x}dx=\frac{x^{2}lnx}{2}-\int\frac{x}{2}dx=\frac{x^{2}lnx}{2}-\frac{x^{2}}{4}+c$$

مثال دوم برای حل انتگرال به روش جز به جز

حدس بزنید روش مناسب برای حل این انتگرال چیست؟

$$\int x^{2}\sin xdx$$

در حل این مثال نیز $$u=x^{2}$$ و $$dv = \sin xdx$$ بنابراین $$du=2xdx$$ و $$v = -\cos x$$ را خواهیم داشت. پس شکل انتگرال به صورت زیر تغییر می‌کند:

$$\int x^{2}\sin xdx=-x^{2}\cos x+\int2x\cos xdx$$

این شکل ساده‌تری از انتگرال اولیه است اما باید یکبار دیگر نیز از انتگرال حاصل شده روش جز به جز را اجرا کنیم. پس $$u=2x$$ و $$dv = \cos xdx$$ بنابراین $$du=2$$ و $$v = \sin x$$ را خواهیم داشت.

$$\int x^{2}\sin xdx=-x^{2}\cos x+\int2x\cos xdx=-x^{2}\cos x+2x\sin x -\int2\sin xdx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+c$$

استفاده مجدد از روش انتگرال جز به جز بیشتر رایج است اما می تواند کمی خسته کننده باشد و خطاهای زیادی را ایجاد کند، به خصوص خطاهای مربوط به تعیین علامت در فرمول. جدولی برای انجام محاسبات وجود دارد که خطر خطا را به حداقل می رساند و کل فرآیند را تسریع می‌کند. ما با مثال قبلی خود این را نشان می‌دهیم:

ما از u یعنی بالای ستون وسط شروع به مشتق گرفتن پیوسته کردیم، سپس از dv انتگرال‌گیری پیوسته کردیم. تعیین علامت را مطابق ستون سمت چپ انجام دادیم. به این ترتیب خواهیم داشت:

$$-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x\int0dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+c$$

به طور معمول جدول را یک خط در هر بار پر می‌کنیم تا به اصطلاح ضرب مستقیم منجر به انتگرال ساده‌ای شود. اگر بتوانیم ببینیم که در نهایت ستون u صفر می‌شود، می‌توانیم کل جدول را کامل کنیم. محاسبه ضرب چنان که نشان داده شد حاصل کل انتگرال را با احتساب ثابت c می‌دهد.

۵. حل انتگرال توابع کسری

یک تابع کسری، تابعی است که صورت و مخرج آن می‌تواند شامل چندجمله‌ای باشد. برای مثال:

$$\frac{x^{3}}{x^{2}+x-6}$$

همانطور که مشخص است در مثال فوق یک کسر چندجمله‌ای با تابعیت x داریم. یک روش کلی به نام کسرهای جزئی برای حل این گونه مسایل وجود دارد که به ما توانایی انتگرال گرفتن از هر تابع کسری را می‌دهد. اگر درجه مخرج بالاتر از دو باشد فاکتورگیری با روش‌های جبری سخت خواهد بود که این روش همیشه امکان پذیر نیست. با این حال در عمل به ندرت با توابعی برخورد می‌کنیم که درجه چندجمله‌ای آن‌ها در مخرج بالا باشد و ما بخواهیم از آن انتگرال بگیریم. پس در اینجا فقط به توضیح حل انتگرال توابع کسری پرداخته می‌شود که درجه چندجمله‌ای مخرج حداکثر دو باشد.

در اینجا لازم است که به گونه‌ی خاصی از توابع کسری اشاره کنیم که در قبل محاسبه آن‌ها را آموخته‌ایم، اگر چندجمله‌ای مخرج به شکل $$(ax+b)^{n}$$ باشد آنگاه تغییر متغیر به صورت $$u=ax+b$$ همیشه جواب خواهد داد. مخرج به شکل $$u^{n}$$ خواهد شد و هر x در صورت با $$\frac{u-b}{a}$$ و $$dx=\frac{du}{a}$$ جایگزین خواهد شد. البته باید توجه داشت که درجه صورت باید همواره از درجه مخرج کوچکتر باشد در غیر این صورت باید صورت را تا جایی که این شرط محقق شود بر مخرج تقسیم کرد.

مثال اول برای حل انتگرال توابع کسری

$$\int \frac{x^{3}}{(3-2x)^{5}}dx$$

با جایگزینی $$u=3-2x$$ خواهیم داشت:

$$\int \frac{x^{3}}{(3-2x)^{5}}dx=\frac{-1}{2}\int\frac{(\frac{u-3}{-2})^{3}}{u^{5}}du=\frac{1}{16} \int\frac{u^{3}-9u^{2}+27u-27}{u^{5}}du=\frac{1}{16}\int u^{-2}-9u^{-3}+27u^{-4}-27u^{-5}du=\frac{1}{16}(\frac{u^{-1}}{-1}-\frac{9u^{-2}}{-2}+\frac{27u^{-3}}{-3}-\frac{27u^{-4}}{-4})+c=\frac{1}{16}(\frac{(3-2x)^{-1}}{-1}-\frac{9(3-2x)^{-2}}{-2}+\frac{27(3-2x)^{-3}}{-3}-\frac{27(3-2x)^{-4}}{-4})+c=-\frac{1}{16(3-2x)}+\frac{9}{32(3-2x)^{2}}-\frac{9}{16(3-2x)^{3}}+\frac{27}{64(3-2x)^{4}}+c$$

اکنون به بررسی مثالی خواهیم پرداخت که مخرج کسر یک چندجمله‌ای درجه دوم است. در این مواقع ما همیشه می‌توانیم یک ضریب $$x^{2}$$ از عبارت فاکتور گبری کنیم و آن را خارج انتگرال قرار دهیم، می‌توانیم فرض کنیم که شکل مخرج کسر $$x^{2}+bx+c$$ است. بنابراین سه حالت را برای شکل فاکتور‌های دو جمله‌ای خواهیم داشت:

1. $$(x-r)(x-s)$$
2. $$(x-r)^{2}$$
3. فاکتوری  ندارد

ما می‌توانیم از فرمول معادله درجه دوم استفاده کنیم تا ببینیم که کدام یک از شرایط فوق را داریم و در صورت امکان شروع به فاکتور گیری کنیم. به مثال زیر توجه کنید:

مثال دوم برای حل انتگرال توابع کسری

معادله $$x^{2}+x+1$$ را در نظر بگیرید، می‌خواهیم بررسی کنیم که آیا می‌توان از آن فاکتور گرفت و چگونه این کار را انجام دهیم.

مطابق فرمول حل معادله درجه دوم داریم:

زمانی که $$x= \frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}$$ باشد، خواهیم داشت $$x^{2}+x+1=0$$. و از آنجایی که جذر 3- وجود ندارد بنابراین نمی‌توان عامل فاکتور از معادله استخراج کرد.

مثال سوم برای حل انتگرال توابع کسری

معادله $$x^{2}-x-1$$ را در نظر بگیرید. می‌خواهیم بررسی کنیم که پاسخ این انتگرال چیست؟

مطابق فرمول حل معادله درجه دوم داریم:

زمانی که $$x= \frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$ باشد، خواهیم داشت $$x^{2}-x-1=0$$. بنابراین:

$$x^{2}-x-1=(x- \frac{1-\sqrt{5}}{2})(x- \frac{1+\sqrt{5}}{2})$$

اگر $$x^{2}+bx+c=(x-r)^{2}$$ باشد ما یک مورد خاص داریم که در قبل آن را دیده‌ایم و می‌توانیم با روش جایگزینی آن را حل کنیم. برای حل دو مورد دیگر راهکار متفاوتی وجود دارد.

اگر $$x^{2}+bx+c=(x-r)(x-s)$$ ما انتگرالی به شکل زیر خواهیم داشت:

$$\int \frac{p(x)}{(x-r)(x-s)}dx$$

که در اینجا $$p(x)$$ یک چندجمله‌ای است که اولین قدم برای حل آن این است که باید درجه صورت از مخرج کمتر باشد که اگر اینگونه نبود باید صورت را بر مخرج تقسیم کرد و این عمل را تا جایی ادامه داد تا این شرط برقرار شود

مثال چهارم برای حل انتگرال توابع کسری

انتگرال $$\int \frac{x^{3}}{(x-2)(x+3)}dx$$ را به گونه‌ای بازنویسی می‌کنیم تا درجه صورت از دو کمتر شود. برای این منظور صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم:

$$\int \frac{x^{3}}{(x-2)(x+3)}dx=\frac{x^{3}}{x^{2}+x-6}=x-1+\frac{7x-6}{x^{2}+x-6}=x-1+\frac{7x-6}{(x-2)(x+3)}$$

بنابراین:

$$\int \frac{x^{3}}{(x-2)(x+3)}dx=\int(x-1)dx+\int \frac{7x-6}{(x-2)(x+3)}dx $$

انتگرال جمله اول آسان است و فقط انتگرال جمله دوم کمی محاسبه دارد. به عبارت جبری زیر توجه کنید:

$$\frac{A}{x-r}+\frac{B}{x-s}=\frac{A(x-s)+B(x-r)}{(x-s)(x-r)}=\frac{(A+B)x-As-Br}{(x-s)(x-r)}$$

که اضافه کردن دو کسر با ثابت‌هایی در صورت و مخرج به صورت $$(x-r)$$ و $$(x-s)$$ یک کسر با مخرج $$(x-r)(x-s)$$ تولید می‌کند و چندجمله‌ای صورت نیز کمتر از دو خواهد بود. ما می‌خواهیم این فرآیند را معکوس کنیم. ابتدا از یک کسر شروع می‌کنیم و می‌خواهیم آن را به دو کسر ساده‌تر تبدیل کنیم. ادامه‌ می‌تواند این را به خوبی نشان دهد.

$$\frac{7x-6}{(x-2)(x+3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}$$

اگر در سمت راست معادله دو کسر را مخرج مشترک بگیریم و صورت هر کدام را در مخرج کسر دیگر ضرب کنیم و آن را ساده سازی کنیم خواهیم داشت:

$$\frac{7x-6}{(x-2)(x+3)}=\frac{(A+B)x+3A-2B}{(x-2)(x+3)}$$

اگر دقت کنید مخرج در هر دو سمت معادله یکسان است و فقط کافی است تا صورت‌های دو طرف معادله را برابر قرار دهیم:

$${7x-6}=(A+B)x+3A-2B$$

سپس می‌توانیم $$7=A+B$$ و $$-6=3A-2B$$ را در نظر بگیریم. آن‌ها را با حل دستگاه دو معادله‌ای می‌توان انجام داد. بنابراین خواهیم داشت:

$$A=\frac{8}{5}$$

$$B=\frac{27}{5}$$

پس انتگرال ما به شکل زیر در خواهد آمد:

$$\int \frac{7x-6}{(x-2)(x+3)}dx=\int \frac{8}{5}\frac{1}{(x-2)}+\frac{27}{5}\frac{1}{x+3}dx=\frac{8}{5}ln\mid x-2\mid+\frac{27}{5}ln\mid x+3\mid+c$$

حال پاسخ نهایی به سوال مطرح شده به شکل زیر خواهد بود:

$$\int \frac{x^{3}}{(x-2)(x+3)}dx=\int(x-1)dx+\int \frac{7x-6}{(x-2)(x+3)}dx =\frac{x^{2}}{2}-x+\frac{8}{5}ln\mid x-2\mid+\frac{27}{5}ln\mid x+3\mid+c$$

کاربردهای انتگرال چیست؟

تا اینجا یاد گرفتیم که انتگرال چیست و روش‌های محاسبه آن چگونه است. انتگرال کاربرد وسیعی در زمینه‌های مختلفی دارد. برای مثال در فیزیک می‌توان از انتگرال برای محاسبه میزان کار انجام شده توسط نیروی اعمال شده، محاسبه‌ حجم یک جامد و اندازه‌گیری نرخ شار یک مایع استفاده کرد. در مهندسی از انتگرال برای طراحی پل‌ها، بهینه سازی سازه‌ها و آنالیز انتقال حرارت استفاده می‌شود. در آمار از انتگرال برای محاسبه‌ توزیع احتمال و مقدار انتظاری (چشمداشتی) بهره برداری می‌شود.

انتگرال در زندگی روزمره

اگرچه به نظر می‌رسد که انتگرال یک مفهوم انتزاعی ریاضیاتی است اما اغلب کاربرد عملی در امور زندگی دارد. برای مثال از انتگرال برای محاسبه‌ مقدار مصرف سوخت خودروها استفاده می‌شود، مثال دیگر محاسبه‌ هزینه‌ ساخت یک دیوار را می‌توان نام برد.

تبدیل انتگرال چند گانه به انتگرال خطی

بنابر نوع تابع روش‌های مختلفی برای تبدیل انتگرال چند گانه به انتگرال خطی و سپس محاسبه‌ آن وجود دارد. روش نخست برای توابع به اصطلاح مستطیلی است که متغیرهای آن‌ها مستقل از یکدیگر هستند. برای مثال یک انتگرال دو گانه را ابتدا یک انتگرال خطی بر حسب یکی از متغیرها گرفته شود و سپس بر حسب متغیر دوم انتگرال گرفته می شود. برای سایر توابع که مستطیلی نیستند از روش‌هایی مانند قضیه گرین و قضیه دیورژانس استفاده می‌شود که جز کاربردهای انتگرال هستند.

قضیه گرین

قضیه گرین، یکی از قضایای پر کاربرد در علم حساب دیفرانسیل و انتگرال است که انتگرال خطی منحنی بسته را به انتگرال دو گانه تبدیل می‌‌کند و بالعکس. نام این نظریه از نام جرج گرین گرفته شده است.

فرض کنیم که C منحنی ساده و بسته در صفحه XY بوده و D ناحیه محدود و کران دار بین منحنی C باشد. اگر L و M توابعی از دو متغیر x و y بوده و در میدان D پیوسته و دارای مشتق جزئی مرتبه اول باشند، آنگاه داریم:

$$\oint_c(Ldx+Mdy)=\int \int_{D}^{} (\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})$$

که مسیر انتگرال گیری روی منحنی c و پادساعتگرد است.

برای مثال به انتگرال $$ \oint_{C}{{xy\,dx + {x^2}{y^3}\,dy}}$$ توجه کنید با توجه به شکل زیر C (راس‌های مثلث) به صورت (0,0)، (1,0) و (1,2) است که می‌خواهیم با استفاده از  قضیه گرین مساحت شکل زیر را محاسبه کنیم.

بنابراین، منحنی شرایط قضیه گرین را برآورده می‌کند و ما می‌توانیم ببینیم که نامساوی‌های زیر منطقه محصور را تعریف می‌کنند.

$$0 \le x \le 1\hspace{0.5in}0 \le y \le 2$$

مطابق فرمول گفته شده در بالا می‌توانیم L و M را تعیین کنیم:

$$P = xy\hspace{0.5in}Q = {x^2}{y^3}\,$$

اکنون با استفاده از قضیه گرین انتگرال به شکل دو گانه تبدیل خواهد شد و به صورت زیر حل می‌شود:

$$\begin{align*}\oint_{C}{{xy\,dx + {x^2}{y^3}\,dy}} & = \iint\limits_{D}{{2x{y^3} - x\,dA}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\int_{{\,0}}^{{\,2x}}{{2x{y^3} - x\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\left. {\left( {\frac{1}{2}x{y^4} - xy} \right)} \right|_0^{2x}\,dx}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{8{x^5} - 2{x^2}\,dx}}\\ & = \left. {\left( {\frac{4}{3}{x^6} - \frac{2}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^1\\ & = \frac{2}{3}\end{align*}$$

قضیه دیورژانس در کاربرد انتگرال چیست؟

در حساب برداری، قضیه دیورژانس، که همچنین به نام قضیه گاوس (Gauss's theorem) یا قضیه اوستراگودسکی (Ostrogradsky's theorem) نیز شناخته می‌‌شود. قضیه دیورژانس بیان می­‌دارد که شار یک میدان برداری گذرنده از یک سطح بسته، با انتگرال حجمی دیورژانس آن میدان برداری در داخل آن سطح بسته برابر است.

$$\bf \int \int \int_{V}^{} (\triangledown.F)dV=\int \int_{S}^{}(\overrightarrow{F}.\widehat{n}) dS$$

برای مثال انتگرال $$\int \int_{S}^{}(\overrightarrow{F}.\widehat{n}) dS$$ را در نظر بگیرید که در اینجا $$\begin{align*} {\overrightarrow{F}}=(3x+z^{77}, y^2-\sin x^2z, xz+ye^{x^5})\end{align*}$$ است و S (حدود آن) $$\begin{align*} 0 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le 3, \quad 0 \le z \le 2.\end{align*}$$ است. می‌خواهیم با استفاده از قضیه دیورژانس آن را به یک انتگرال سه گانه تبدیل کنیم که ساده‌تر می‌شود و سپس حل نماییم.

$$\begin{align*} \triangledown. \overrightarrow{F} = 3 + 2y +x.\end{align*}$$

مطابق فرمول فوق عمل کرده دیورژانس تابع F را حساب کردیم و حدود را اعمال می‌کنیم:

$$\begin{align*} \int \int_{S}^{}(\overrightarrow{F}.\widehat{n}) dS & = \int_0^1 \int_0^3 \int_0^2 (3+2y+x) dz\,dy\,dx\\ &= \int_0^1\int_0^3 (6+4y+2x) dy\, dx\\ &= \int_0^1 (18+18+6x) dx\\ &= 36+3 = 39.\end{align*}$$

ابزار آنلاین محاسبه انتگرال چیست؟

ابزارهای آنلاین زیادی برای انجام محاسبات ریاضی از جمله انتگرال موجود است که به دو مورد از بهترین‌ها اشاره می‌شود:

• وب‌سایت (wolframalpha) «+» برای حل انواع مسایل ریاضی، مهندسی و غیره است که با محیط گرافیکی جذاب قابلیت‌های مختلفی را برای کاربران فراهم کرده است از جمله‌این قابلیت‌ها حل گام به گام انتگرال به همراه رسم آن‌ها را دارد همچنین اپلیکیشن اندروید و آیفون نیز برای آن موجود است.
• وب‌سایت (symbolab) «+» برای حل انواع مسایل ریاضی از جمله انتگرال بسیار مناسب است و دارای تمرین‌هایی نیز است که می‌توانید مهارت‌های خود را در زمینه انتگرال و سایر موضوعات ریاضی بهبود دهید. اپلیکیشن اندروید و آیفون نیز برای آن موجود است.

تمرین‌های مربوط به انتگرال‌گیری

اکنون که آموختید انتگرال چیست و ابزارهای آنلاین محاسبه آن را نیز شناختید، در انتهای این مطلب از مجله فرادرس برای خود آزمایی چند تمرین با جواب تشریحی قرار داده شده است که می‌توانید مهارت و دانسته‌های خود در رابطه با مبحث انتگرال را بسنجید.

نتیجه گیری

در این مقاله آموختیم که انتگرال چیست و چند مثال تمرین را نیز بررسی کردیم. انتگرال ابزار قدرتمندی هست که به ما امکان اندازه‌ گیری و تجزیه و تحلیل انواع مختلفی از کمیت‌‌ها در دنیای واقعی را می‌‌دهد. کاربردهای آن فراتر از قلمرو ریاضیات است که آن‌ را به بخش‌‌های مختلف مطالعه و پیشرفت‌‌های فناوری مرتبط می‌‌کند. یادگیری انتگرال ادراک در مورد جهان اطراف ما به ما می‌‌دهد و اجازه حل مشکلاتی را به ما می‌‌دهد که در غیر این صورت غیرقابل حل بودند.