تعیین علامت معادله درجه دوم – به زبان ساده با مثال و تمرین

معادله درجه دوم یکی از مفاهیم بنیادی در ریاضی است و کاربردهای زیادی در مهندسی دارد. با تعیین علامت می‌توانیم رفتار تابع را در اطراف ریشه‌های آن بررسی کنیم. تعیین علامت معادله درجه دوم بستگی به علامت دلتا دارد، در نتیجه سه حالت ممکن برای تعیین علامت وجود دارد. در این مطلب از مجله فرادرس به بررسی تعیین علامت معادله درجه دوم با مثال پرداخته خواهد شد. اگر به این موضوع علاقه‌مند هستید این مطلب را تا آخر مطالعه کنید.

معادله درجه دوم چیست؟

شکل کلی معادله درجه دوم به صورت زیر است:

$$ax^{2}+bx+c=0$$

که عوامل به کار رفته به شرح زیر هستند:

• $$x$$: متغیر معادله
• b، a و c: ضرایب متغیر معادله

شکل معادله درجه دوم به صورت یک منحنی است و این بخاطر وجود $$x^{2}$$ می‌تواند باشد. اگر در معادله فوق a=0 باشد آنگاه معادله به درجه یک تبدیل می‌شود. همان‌طور که می‌دانید روش حل عمومی معادله درجه دوم، روش دلتا نام دارد که به صورت زیر است:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\triangle}}{2a}$$

و در این معادله دلتا ($$\triangle$$) به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$b^{2}-4ac$$

گاهی به جواب‌های معادله، ریشه هم گفته می‌شود. جواب‌های معادله به علامت دلتا بستگی دارد. در شکل زیر جواب‌های معادله درجه دوم با توجه به علامت دلتا و شکل تابع با توجه به علامت a آورده شده هست.

a<0	a>0	علامت دلتا - ریشه‌های معادله
		$$\triangle<0$$ - ریشه وجود ندارد (ریشه‌ها حقیقی نیستند)
		$$\triangle=0$$ - ریشه‌ها حقیقی و یکسان هستند (ریشه مضاعف است)
		$$\triangle>0$$ - ریشه‌ها حقیقی و یکسان هستند.

تعیین علامت معادله درجه دوم

همان‌طور که در قسمت قبل گفته شد ریشه‌های معادله درجه دوم به علامت دلتا بستگی دارد. برای تعیین علامت راحت‌تر از جدولی استفاده ‌می‌کنیم که سطر اول آن جواب‌های معادله بین منفی بینهایت تا مثبت بینهایت است و سطر دوم آن تعیین علامت جواب‌های معادله و نقاطی که باعث صفر شدن معادله می‌شوند، خواهد بود. در ادامه این مطلب به سه حالت مختلف پرداخته خواهد شد و مثال‌هایی برای درک بهتر آورده می‌شود.

دلتا بزرگتر از صفر

اگر علامت دلتا بزرگتر از صفر باشد پس معادله دو ریشه حقیقی و متمایز دارد. با توجه به جدول زیر اگر $$x_1$$ و $$x_2$$ جواب‌های معادله باشند، علامت در محدوده آن‌ها همیشه مخالف علامت a خواهد بود و علامت خارج از محدوده آن‌ها موافق a خواهد بود. برای درک بهتر این موضوع به شکل زیر توجه کنید.

مثال اول دلتا بزرگتر از صفر

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$x^2-2x-7=0$$ را بدست آوریم و آن‌ها را تعیین علامت کنیم و سپس معادله را در دستگاه مختصات رسم کنیم.

پاسخ:

ابتدا باید با محاسبه مقدار دلتا ریشه‌های معادله را بدست آوریم:

$$\begin{align*} Δ &= b^2-4ac \\ &= (-2)^2-4(1)(-7) \\ &= 4+28 \\ &= 32 \end{align*}$$

مشاهده می‌کنید که دلتا بزرگتر از صفر هست پس معادله دارای دو ریشه حقیقی است.

پس از حل کامل معادله ریشه‌های آن به ترتیب $$x_1=1-2\sqrt{2}$$ و $$x_2=1+2\sqrt{2}$$ به شمار می‌روند. چون معادله به شکل استاندارد هست در نتیجه $$a=1$$ است.

تعیین علامت معادله درجه دوم به شکل زیر خواهد شد:

$$\boxed{\begin{matrix}x &-\infty&x_1& & x_2&+\infty & \\ x^2-2x-7& + &0 &-&0& +\end{matrix}}$$

مثال دوم دلتا بزرگتر از صفر

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$x^2-4x+5=0$$- را بدست آوریم و آن‌ها را تعیین علامت کنیم و سپس معادله را در دستگاه مختصات رسم کنیم.

پاسخ:

ابتدا باید با محاسبه مقدار دلتا ریشه‌های معادله را بدست آوریم:

$$\begin{align*} Δ &= b^2-4ac \\ &= (-4)^2-4(-1)(5) \\ &= 36 \\ \end{align*}$$

مشاهده می‌کنید که دلتا بزرگتر از صفر هست پس معادله دارای دو ریشه حقیقی است.

پس از حل کامل معادله ریشه‌های آن به ترتیب $$x_1=-5$$ و $$x_2=1$$ به شمار می‌روند. چون معادله به شکل استاندارد هست در نتیجه a=-1 است.

تعیین علامت معادله درجه دوم به شکل زیر خواهد شد:

$$\boxed{\begin{matrix}x &-\infty&x_1& & x_2&+\infty & \\ -x^2-4x+5& - &0 &+&0& -\end{matrix}}$$

مثال سوم دلتا بزرگتر از صفر

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$x^2 + 5x + 6 = 0$$ را بدست آوریم و آن‌ها را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

ابتدا باید با محاسبه مقدار دلتا ریشه‌های معادله را بدست آوریم:

$$\begin{align*} Δ &= b^2-4ac \\ &= (5)^2-4(1)(6) \\ &= 1 \\ \end{align*}$$

مشاهده می‌کنید که دلتا بزرگتر از صفر هست پس معادله دارای دو ریشه حقیقی است.

پس از حل کامل معادله ریشه‌های آن به ترتیب $$x_1=-3$$ و $$x_2=-2$$ به شمار می‌روند. چون معادله به شکل استاندارد هست در نتیجه a=1 است.

تعیین علامت معادله درجه دوم به شکل زیر خواهد شد:

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &-3& & -2&+\infty & \\ x^2+5x+6& + &0 &- &0 & +\end{matrix}}$$

مثال چهارم دلتا بزرگتر از صفر

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$x^2 + 10x + 24 = 0 $$ را بدست آوریم و آن‌ها را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

ابتدا باید با محاسبه مقدار دلتا ریشه‌های معادله را بدست آوریم:

$$\begin{align*} Δ &= b^2-4ac \\ &= (10)^2-4(1)(24) \\ &= 4 \\ \end{align*}$$

مشاهده می‌کنید که دلتا بزرگتر از صفر هست پس معادله دارای دو ریشه حقیقی است.

پس از حل کامل معادله ریشه‌های آن به ترتیب $$x_1=-6$$ و $$x_2=-4$$ به شمار می‌روند. چون معادله به شکل استاندارد هست در نتیجه a=1 است.

تعیین علامت معادله درجه دوم به شکل زیر خواهد شد:

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &-6& & -4&+\infty & \\ x^2+10x+24& + &0 &- &0 & +\end{matrix}}$$

دلتا مساوی صفر

اگر علامت دلتا برابر صفر بود پس معادله ریشه‌های حقیقی و یکسان دارد که گاهی به آن ریشه مضاعف نیز می‌گویند و علامت معادله بیشتر یا کمتر از ریشه معادله ($$x_1$$) همواره موافق علامت a خواهد بود. برای درک بهتر به شکل زیر توجه کنید.

مثال اول دلتا مساوی صفر

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$y = - x^{2} + 4 x - 4$$ را بدست آوریم و آن‌ها را تعیین علامت کنیم و سپس معادله را در دستگاه مختصات رسم کنیم.

پاسخ:

ابتدا باید با محاسبه مقدار دلتا ریشه‌های معادله را بدست آوریم:

$$\begin{align*} Δ &= b^2-4ac \\ &= (4)^2-4(-1)(-4) \\ &= 0 \\ \end{align*}$$

مشاهده می‌کنید که دلتا مساوی صفر هست پس معادله دارای دو ریشه حقیقی و برابر است.

پس از حل کامل معادله ریشه‌ آن  $$x_1=2$$ به شمار می‌رود. چون معادله به شکل استاندارد هست در نتیجه a=-1 است.

تعیین علامت معادله درجه دوم به شکل زیر خواهد شد:

\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &2 &+\infty &\\ -x^2+4x-4& - &0 & -\end{matrix}}

مثال دوم دلتا مساوی صفر

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$y = 6 x^{2}-12 x +6$$ را بدست آوریم و آن‌ها را تعیین علامت کنیم و سپس معادله را در دستگاه مختصات رسم کنیم.

پاسخ:

ابتدا باید با محاسبه مقدار دلتا ریشه‌های معادله را بدست آوریم:

$$\begin{align*} Δ &= b^2-4ac \\ &= (-12)^2-4(6)(6) \\ &= 0 \\ \end{align*}$$

مشاهده می‌کنید که دلتا مساوی صفر هست پس معادله دارای دو ریشه حقیقی و برابر است.

پس از حل کامل معادله ریشه‌ آن  $$x_1=1$$ به شمار می‌رود. چون معادله به شکل استاندارد هست در نتیجه a=6 است.

تعیین علامت معادله درجه دوم به شکل زیر خواهد شد:

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &1 &+\infty &\\ 6x^2-12x+6& + &0 & +\end{matrix}}$$

مثال سوم دلتا مساوی صفر

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$x^2 - 2x+1 = 0$$ را بدست آوریم و آن‌ها را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

ابتدا باید با محاسبه مقدار دلتا ریشه‌های معادله را بدست آوریم:

$$\begin{align*} Δ &= b^2-4ac \\ &= (-2)^2-4(1)(1) \\ &= 0 \\ \end{align*}$$

مشاهده می‌کنید که دلتا مساوی صفر هست پس معادله دارای دو ریشه حقیقی و برابر است.

پس از حل کامل معادله ریشه‌ آن  $$x_1=1$$ به شمار می‌رود. چون معادله به شکل استاندارد هست در نتیجه a=1 است.

تعیین علامت معادله درجه دوم به شکل زیر خواهد شد:

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &1 &+\infty &\\ x^2-2x+1& + &0 & +\end{matrix}}$$

مثال چهارم دلتا مساوی صفر

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$x^2−4x+4=0$$ را بدست آوریم و آن‌ها را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

ابتدا باید با محاسبه مقدار دلتا ریشه‌های معادله را بدست آوریم:

$$\begin{align*} Δ &= b^2-4ac \\ &= (-4)^2-4(1)(4) \\ &= 0 \\ \end{align*}$$

مشاهده می‌کنید که دلتا مساوی صفر هست پس معادله دارای دو ریشه حقیقی و برابر است.

پس از حل کامل معادله ریشه‌ آن  $$x_1=4$$ به شمار می‌رود. چون معادله به شکل استاندارد هست در نتیجه a=1 است.

تعیین علامت معادله درجه دوم به شکل زیر خواهد شد:

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &4 &+\infty &\\ x^2-4x+4& + &0 & +\end{matrix}}$$

دلتا کوچکتر از صفر

اگر دلتا کوچکتر از صفر بود پس معادله ریشه حقیقی ندارد بنابراین علامت معادله همواره موافق علامت a خواهد بود.

مثال اول دلتا کوچکتر از صفر

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$x^2 + 2x + 3 = 0$$ را بدست آوریم و آن‌ها را تعیین علامت کنیم و سپس معادله را در دستگاه مختصات رسم کنیم.

پاسخ:

ابتدا باید با محاسبه مقدار دلتا ریشه‌های معادله را بدست آوریم:

$$\begin{align*} Δ &= b^2-4ac \\ &= (2)^2-4(1)(3) \\ &= -8 \\ \end{align*}$$

مشاهده می‌کنید که دلتا کوچکتر از صفر هست پس معادله دارای ریشه مختلط است.

پس از حل کامل معادله ریشه‌‌های آن  $$x_1=-1-i\sqrt{2}$$ و $$x_2=-1+i\sqrt{2}$$ به شمار می‌روند. چون معادله به شکل استاندارد هست در نتیجه a=1 است.

تعیین علامت معادله درجه دوم به شکل زیر خواهد شد. توجه کنید که (any x) به معنی هر مقداری از $$x$$ است.

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &\text{any x} &+\infty &\\ x^2+2x+3& &+ & \end{matrix}}$$

مثال دوم دلتا کوچکتر از صفر

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$-x^2 - 4x -5 = 0$$ را بدست آوریم و آن‌ها را تعیین علامت کنیم و سپس معادله را در دستگاه مختصات رسم کنیم.

پاسخ:

ابتدا باید با محاسبه مقدار دلتا ریشه‌های معادله را بدست آوریم:

$$\begin{align*} Δ &= b^2-4ac \\ &= (-4)^2-4(-1)(-5) \\ &= -4 \\ \end{align*}$$

مشاهده می‌کنید که دلتا کوچکتر از صفر هست پس معادله دارای ریشه مختلط است.

پس از حل کامل معادله ریشه‌‌های آن  $$x_1=-2-i$$ و $$x_2=-2+i$$ به شمار می‌روند. چون معادله به شکل استاندارد هست در نتیجه a=-1 است.

تعیین علامت معادله درجه دوم به شکل زیر خواهد شد:

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &\text{any x} &+\infty &\\ -x^2-4x-5& &- & \end{matrix}}$$

مثال سوم دلتا کوچکتر از صفر

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$x^2 +2x+5=0$$ را بدست آوریم و آن‌ها را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

ابتدا باید با محاسبه مقدار دلتا ریشه‌های معادله را بدست آوریم:

$$\begin{align*} Δ &= b^2-4ac \\ &= (2)^2-4(1)(5) \\ &= -16 \\ \end{align*}$$

مشاهده می‌کنید که دلتا کوچکتر از صفر هست پس معادله دارای ریشه مختلط است.

پس از حل کامل معادله ریشه‌‌های آن  $$x_1=-1-2i$$ و $$x_2=-1+2i$$ به شمار می‌روند. چون معادله به شکل استاندارد هست در نتیجه a=1 است.

تعیین علامت معادله درجه دوم به شکل زیر خواهد شد:

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &\text{any x} &+\infty &\\ x^2+2x+5& &+ & \end{matrix}}$$

مثال چهارم دلتا کوچکتر از صفر

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$2x^2 −4x+7=0$$ را بدست آوریم و آن‌ها را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

ابتدا باید با محاسبه مقدار دلتا ریشه‌های معادله را بدست آوریم:

$$\begin{align*} Δ &= b^2-4ac \\ &= (-4)^2-4(2)(7) \\ &= -40 \\ \end{align*}$$

مشاهده می‌کنید که دلتا کوچکتر از صفر هست پس معادله دارای ریشه مختلط است.

پس از حل کامل معادله ریشه‌‌های آن  $$x_1=1-i\frac{5}{2}$$ و $$x_2=1+i\frac{5}{2}$$ به شمار می‌روند. چون معادله به شکل استاندارد هست در نتیجه a=2 است.

تعیین علامت معادله درجه دوم به شکل زیر خواهد شد:

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &\text{any x} &+\infty &\\ 2x^2-4x+7& &+ & \end{matrix}}$$

نکات مهم در تعیین علامت معادله درجه دوم

در تعیین علامت چند نکته مهم از جمله قدرمطلق، توان بیرون پرانتز و ضرب و تقسیم عبارت‌ها را مورد بررسی قرار خواهیم داد.

تعیین علامت عبارت‌های شامل قدر مطلق

همان‌طور که می‌دانید هر تابع درون قدرمطلق، صفر یا مثبت است در نتیجه اگر جدول تعیین علامت را برای هر تابعی که درون قدرمطلق قرار دارد رسم کنیم به جز در نقطه ریشه که صفر می‌شود در سایر ناحیه همواره مثبت خواهد بود.

 مثال اول تعیین علامت عبارت‌های شامل قدرمطلق

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$\mid x^{2}-4\mid =0$$ را بدست آوریم و آن را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

در این معادله دلتا بزرگتر از صفر است در نتیجه دو ریشه حقیقی متمایز دارد. پس از حل کامل معادله ریشه‌‌های آن  $$x_1=-2$$ و $$x_2=+2$$ به شمار می‌روند. بنابراین معادله را به صورت زیر تعیین علامت می‌کنیم:

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &-2& & +2&+\infty & \\ \mid x^2-4\mid & + &0 &+ &0 & +\end{matrix}}$$

همان‌طور که گفته شد فارغ از ریشه‌های تابع و علامت دلتا، علامت قدرمطلق در همه‌جا مثبت است.

 مثال دوم تعیین علامت عبارت‌های شامل قدرمطلق

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$\mid 3x^2 −5x+2\mid =0$$ را بدست آوریم و آن را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

در این معادله دلتا بزرگتر از صفر است در نتیجه دو ریشه حقیقی متمایز دارد. پس از حل کامل معادله ریشه‌‌های آن  $$x_1=+1$$ و $$x_2=\frac{2}{3}$$ به شمار می‌روند. بنابراین معادله را به صورت زیر تعیین علامت می‌کنیم:

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &\frac{2}{3}& & 1&+\infty & \\ \mid 3x^2-5x+2\mid & + &0 &+ &0 & +\end{matrix}}$$

 مثال سوم تعیین علامت عبارت‌های شامل قدرمطلق

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$\mid -2x^2+4x−3\mid =0$$ را بدست آوریم و آن را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

در این معادله دلتا کوچکتر از صفر است در نتیجه دو ریشه مختلط دارد. پس از حل کامل معادله ریشه‌‌های آن  $$x_1=1-\frac{i}{\sqrt{2}}$$ و $$x_2=1+\frac{i}{\sqrt{2}}$$ به شمار می‌روند. بنابراین معادله را به صورت زیر تعیین علامت می‌کنیم:

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &1-\frac{i}{\sqrt{2}}& & 1+\frac{i}{\sqrt{2}}&+\infty & \\ \mid -2x^2+4x-3\mid & + &0 &+ &0 & +\end{matrix}}$$

تعیین علامت عبارت‌های توان‌دار

اگر کل تابع درون پرانتز به توان یک عدد فرد باشد آن را نادیده می‌گیریم و فقط تابع را تعیین علامت می‌کنیم ولی اگر توان پرانتز زوج باشد مانند قدرمطلق در همه جا مثبت خواهد شد. البته باید به علامت بیرون پرانتز هم توجه کرد.

مثال اول تعیین علامت عبارت‌های توان‌دار

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$(4x^2 + 16x)^4$$ را بدست آوریم و آن را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

هما‌ن‌طور که پیش‌تر گفته شد اگر عبارت داخل پرانتز توان زوج داشت، مانند قدرمطلق عمل می‌کنیم یعنی علامت تابع در همه‌جا مثبت است.

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &-4& & 0&+\infty & \\ (4x^2+16x)^4 & + &0 &+ &0 & +\end{matrix}}$$

مثال دوم تعیین علامت عبارت‌های توان‌دار

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$(4x^2 + 16x )^5$$ را بدست آوریم و آن را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

برای تعیین علامت عبارت داخل پرانتز با توان فرد کافی است تا آن را نادیده بگیریم و فقط خود تابع را تعیین علامت کنیم.

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &-4& & 0&+\infty & \\ (4x^2+16x) & + &0 &- &0 & +\end{matrix}}$$

مثال سوم تعیین علامت عبارت‌های توان‌دار

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$(2x^2 +4x−6)^8$$ را بدست آوریم و آن را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

چون کل عبارت داخل پرانتز به توان زوج است کل جدول تعیین علامت مثبت خواهد شد. اما دلتای خود معادله بزرگتر از صفر و دارای دو ریشه حقیقی $$x_1=-3$$ و $$x_2=1$$ است. جدول تعیین علامت کل عبارت به صورت زیر است:

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &-3& & 1&+\infty & \\ (2x^2+4x-6)^8 & + &0 &+ &0 & +\end{matrix}}$$

مثال چهارم تعیین علامت عبارت‌های توان‌دار

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$(x^2−8x+16)^9$$ را بدست آوریم و آن را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

چون کل عبارت داخل پرانتز به توان فرد است می‌توانیم پرانتز و توان آن را نادیده بگیریم. اما دلتای خود معادله برابر صفر و دارای دو ریشه حقیقی یکسان $$x_1=4$$  است. جدول تعیین علامت کل عبارت به صورت زیر است:

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &4 &+\infty &\\ (2x^2-8x+16)^9& + &0 &+ \end{matrix}}$$

تعیین علامت ضرب یا تقسیم عبارت‌ها

اگر یک معادله درجه دوم قابل تجزیه به ضرب دو یا چند عبارت درجه اول باشد می‌توان هرکدام از عبارت‌ها را در یک سطر جدول تعیین علامت کرد و ریشه هر یک را نیز تعیین کرد سپس علامت‌ها در هر ستون را درهم ضرب می‌کنیم تا علامت معادله اولیه را بدست آوریم.

اگر تابع ما یک عبارت کسری بود، صورت و مخرج را جداگانه تعیین علامت می‌کنیم و برای هرکدام در یک سطر از جدول می‌نویسیم و ریشه‌های هر عبارت را نیز صفر قرار می‌دهیم. سپس برای تعیین علامت تابع اولیه کافی است تا علامت هر ستون را در یکدیگر ضرب کنیم تا علامت تابع اولیه را بدست آوریم.

مثال اول تعیین ضرب یا تقسیم عبارت‌ها

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$x^2 + 3x + 2$$ را بدست آوریم و آن را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

می‌خواهیم این مثال را به روش متفاوتی حل کنیم. معادله فوق را می‌توان به صورت $$(x + 2)(x + 1)$$ تجزیه کرد. بنابراین حاصضرب دو عبارت درجه اول می‌شود که می‌توانیم هر یک را جداگانه تعیین علامت کنیم و بعد علامت‌های هر ستون را درهم ضرب کنیم تا علامت معادله اولیه بدست آید.

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &-2& & -1&+\infty & \\ x+1 & - &- &- &0 & +\\ x+2 & - &0 &+ &+ & +\\ x^2+3x+2 & + &0 &- &0 & +\end{matrix}}$$

این روش و روش قبلی هردو پاسخ یکسانی دارند.

مثال دوم تعیین ضرب یا تقسیم عبارت‌ها

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$\frac{x-4}{4x^{2}+16x}$$ را بدست آوریم و آن را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

همان‌گونه که پیش‌تر گفته شده باید عبارت صورت و مخرج را جداگانه تعیین علامت کرد و سپس تابع اصلی را تعیین علامت کنیم.

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &-4& & 0& &+4 &+\infty & \\ x-4 & - &- &- &- & -& 0 &+\\ 4x^2+16x & + &0&- &0 & +& +& +\\ (x-4)/(4x^2+16x) & - &\infty &+ &\infty & - &0&+\end{matrix}}$$

توجه کنید که نقاطی که باعث صفر شدن مخرج می‌شوند با علامت بینهایت مشخص شده‌اند.

مثال سوم تعیین ضرب یا تقسیم عبارت‌ها

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$x^2−5x+6$$ را بدست آوریم و آن را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

می‌توانیم این معادله را به صورت حاصلضرب دو عبارت $$(x-2)(x-3)$$ تبدیل کنیم و هرکدام را جداگانه تعیین علامت کنیم و در آخر معادله اولیه را تعیین علامت کنیم.

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &2& & 3&+\infty & \\ x-2 & - &0 &+ &+ & +\\ x-3 & - &- &- &0 & +\\ x^2-5x+6 & + &0 &- &0 & +\end{matrix}}$$

با توجه به جدول فوق ریشه‌های معادله اولیه $$x_1=2$$ و $$x_2=3$$ هستند و دلتای معادله نیز باید بزرگتر از صفر باشد.

مثال چهارم تعیین ضرب یا تقسیم عبارت‌ها

می‌خواهیم ریشه‌های معادله $$\frac{\mid -2x−6\mid }{2x^2−3x+1}$$ را بدست آوریم و آن را تعیین علامت کنیم.

پاسخ:

باید صورت و مخرج را به صورت جداگانه ریشه‌ها را محاسبه کنیم و تعیین علامت نمائیم سپس می‌توانیم مطابق جدول زیر با ضرب ستونی علامت‌ها معادله اولیه را تعیین علامت کنیم.

$$\boxed{\begin{matrix}x & -\infty &-3& & 1/2& &1 &+\infty & \\ \mid -2x-6\mid & + &0 &+ &+ & +& + &+\\ 2x^2-3x+1 & + &+&+ &0 & -& 0& +\\ \mid -2x-6\mid/(2x^2-3x+1) & + &0 &+ &\infty & - &\infty&+\end{matrix}}$$

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید در صورت کسر یک عبارت درجه اول داخل قدرمطلق داریم که علامت آن همواره مثبت است. در مخرج کسر یک معادله درجه دوم داریم که ریشه‌های آن $$x_1=\frac{1}{2}$$ و $$x_2=1$$ هستند و دلتای معادله نیز بزرگتر از صفر است. توجه کنید نقاطی را که باعث صفر شدن مخرج کسر می‌شوند را در جدول با علامت بینهایت نشان داده‌ایم.

تمرین تعیین علامت معادله درجه دوم

اکنون که روش تعیین علامت انواع معادله‌های درجه دوم آشنا شدید در این قسمت می‌توانید آموخته‌های خود را مورد سنجش قرار دهید.