شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
در انتگرال یگانه، انتگرالگیری روی یک تابعِ تک متغیره انجام میشد. از طرفی در انتگرال دوگانه بیان شد که ناحیه انتگرالگیری در دو بعد است. به همین صورت در انتگرال سهگانه نیز ناحیه انتگرالگیری به شکلی سه بعدی در نظر گرفته میشود.
فرض کنید میخواهیم از تابع f(x,y,z)dV روی ناحیه E انتگرال بگیریم. چنین انتگرالی به صورت زیر نمایش داده میشود.
E∭f(x,y,z)dV
برای نمونه ناحیهای مکعبی شکل را به صورت زیر در نظر بگیرید.
B=[a,b]×[c,d]×[r,s]
توجه داشته باشید که بازههای انتگرالگیری بایستی متناسب با ترتیب dx،dy و dz باشند. برای نمونه اگر بازه [r,s] بیرون باشد، dz نیز بایستی در آخر قرار گیرد. یکی از حالات انتگرالگیری در زیر نمایش داده شده است.
B∭f(x,y,z)dV=∫rs∫cd∫abf(x,y,z)dxdydz
همانطور که میبینید در انتگرالگیری بالا ترتیب دیفرانسیلها به صورت dx,dy,dz بوده که متناسب با بازههای [r,s]، [c,d] و [a,b] هستند. البته همین انتگرال را میتوان به ترتیب دیگری نیز محاسبه کرد. در حالت کلی انتگرال فوق به ۶ طریق قابل بیان است. البته با مطالعه مثالهای زیر میتوانید به موضوع مسلط شوید.
مثال ۱
حاصل انتگرال سهگانه زیر را بیابید.
B∭8xyzdVB=[2,3]×[1,2]×[0,1]
همانطور که در بالا نیز بیان شد، در حالاتی که ناحیه انتگرالگیری به صورت مکعب باشد، ترتیب بازههای انتگرالگیری در پاسخ نهایی تاثیرگذار نیست.
توجه داشته باشید که ناحیه انتگرالگیری در مثال فوق یک مکعب است؛ لذا ناحیههای انتگرالگیری به هم وابسته نیستند. در ادامه مثالهایی را بیان خواهیم کرد که در آنها نواحی انتگرالگیری به هم وابسته است.
نکته، حجم ناحیه سهبعدی E برابر است با:
V=E∭dV
در شرایطی کلی، سه حالت میتواند برای ناحیه انتگرالگیری وجود داشته باشد. در هریک از این حالات، تصویر ناحیه انتگرالگیری روی یکی از صفحات x-y ,x-z یا y-z در نظر گرفته میشود. به منظور توضیح حالت اول، فرض کنید ناحیه انتگرالگیری به صورت زیر باشد. همانطور که از شکل نیز بر میآید در این حالت تصویر ناحیه انتگرالگیری (D) روی صفحه x-y قرار گرفته است.
ناحیه انتگرالگیری بالا را میتوان با استفاده از گزاره زیر بیان کرد:
E={(x,y,z)∣(x,y)∈D,u1(x,y)≤z≤u2(x,y)}
در گذاره فوق (x,y)∈D نمادی است که نشان میدهد نقطه (x,y) در ناحیه دوبعدی D قرار گرفته است. در این حالت در ابتدا انتگرالگیری روی z انجام شده و حاصل انتگرال تابع f به صورت زیر قابل بیان است.
E∭f(x,y,z)dV=D∬[∫u1(x,y)u2(x,y)f(x,y,z)dz]dA
در مرحله بعدی میتوان دیفرانسیل وسط را به دلخواه هریک از متغیرهای x یا y انتخاب کرد. اما توجه داشته باشید که در هریک از حالات مذکور، بازهها نیز بایستی متناسب با آنها در نظر گرفته شوند.
مثال ۲
حاصل انتگرال E∭2xdV را روی ناحیه E محاسبه کنید. فرض کنید ناحیه E برابر با صفحه 2x+3y+z=6 باشد.
حالت دوم زمانی است که تصویر ناحیه انتگرالگیری روی صفحه y-z بیافتد. شکل زیر این ناحیه را نشان میدهد.
در این حالت میتوان با استفاده از گذاره زیر ناحیه انتگرالگیری رو توصیف کرد.
E={(x,y,z)∣(y,z)∈D,u1(y,z)≤x≤u2(y,z)}
در ابتدا انتگرالگیری روی x انجام شده و حاصل انتگرال را میتوان به صورت زیر بدست آورد.
E∭f(x,y,z)dV=D∬[∫u1(y,z)u2(y,z)f(x,y,z)dx]dA
همانند حالتِ اول، در این حالت نیز میتوان حاصل انتگرال روی dA را به صورت dydz یا dzdy در نظر گرفت.
مثال ۳
حجم محصور بین صفحه x+y+z=8 و صفحه y-z را در فاصله z=23y و z=43y بیابید. از صورت این مسئله کاملا مشخص است که در ابتدا بایستی نمودارهای بیان شده، را رسم کنید.
همانطور که پیشتر نیز بیان شد، برای محاسبه انتگرال سهگانه در ابتدا بایستی سطوحی که هدف محاسبه انتگرال روی آنها است، به درستی ترسیم شوند. ناحیه انتگرالگیری در این مثال، در ادامه نشان داده شده است.
همانطور که در شکل فوق نیز میبینید، تصویر ناحیه انتگرالگیری روی صفحه x-z میافتد. بنابراین در ابتدا انتگرال روی y گرفته میشود. معادله سطح آبی رنگ را میتوان به صورت زیر بیان کرد:
2x2+2z2=8⇒x2+z2=4
با در نظر گرفتن x و z به صورت زیر، معادله صفحه مذکور به شکل قطبی قابل بیان خواهد بود.
x=rcosθz=rsinθ
با توجه به قطبی بیان شدن صفحه، y در معادله صفحه را برابر با z در مختصات قطبی در نظر میگیریم. بنابراین بازههای انتگرالگیری بهصورت زیر بدست میآیند.
در این مطلب مفاهیم انتگرال سه گانه و کاربردهایی از آن ارائه شد. در مطالب آینده بیشتر در مورد انتگرالهای سهگانه در مختصات کروی و استوانهای بحث خواهیم کرد.
در صورت علاقهمندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی آموزشهای زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:
«مجید عوضزاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آنها تولید محتوا میکند.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
سلام بنده دانشجوی مکانیک هستم و همیشه از آموزک های آقای عوض زاده استفاده میکنم ، براتون آرزوی سلامتی و پیشرفت میکنم🙏
سلام وقت بخیر
مثال شماره سه جواب اخرش رو اشتباه نوشتید
جواب اخرش 49/5-
با سلام؛
مطلب بازبینی شد و جواب صحیح بود.
با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس
سلام توضیحات مهندس عوض زاده عالی هستند از زحماتشون تشکر میکنم