مشتق پذیری و تابع مشتق پذیر | به زبان ساده

۱۵۴۵۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۳ آبان ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۰ دقیقه
مشتق پذیری و تابع مشتق پذیر | به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با مفهوم پیوستگی توابع آشنا شدیم. یکی دیگر از موضوعات مربوط به توابع، مفهوم مشتق پذیری است. در این آموزش، درباره مشتق پذیری توابع بحث می‌کنیم.

مفهوم مشتق پذیری

به زبان ساده، می‌توان گفت که مشتق پذیری تابع در یک نقطه یعنی اینکه مشتق تابع در آن نقطه وجود داشته باشد. همان‌طور که می‌دانیم، مشتق مفهومی هم‌ارز با شیب یک خط دارد. پس می‌توانیم بگوییم اگر تابع در نقطه‌ای مشتق پذیر باشد، یعنی می‌توانیم برای خط مماس بر نمودار تابع در آن نقطه یک شیب یکتا تعریف کنیم یا به عبارتی، باید بتوانیم خط یکتایی را بر آن نقطه مماس کنیم.

شکل زیر این موضوع را به خوبی نشان می‌دهد. در شکل زیر، نمودار دو تابع را می‌بینیم که یکی از آن‌ها مشتق پذیر و دیگری مشتق ناپذیر است. همان‌طور که مشاهده می‌کنیم، برای تابع مشتق پذیر می‌توانیم یک شیب مماس بر نمودار در نقطه مورد نظر بیان کنیم. اما در مورد تابع مشتق پذیر چنین چیزی ممکن نیست.

مفهوم مشتق پذیری

اگر $$f$$ در نقطه $$x_0$$ مشتق پذیر باشد، آنگاه $$f$$ باید در $$ x _ 0 $$ پیوسته نیز باشد. به طور خاص، هر تابع مشتق پذیر باید در هر نقطه‌ای از دامنه‌اش پیوسته باشد. اما عکس این گفته صادق نیست، یعنی یک تابع پیوسته لزوماً مشتق پذیر نخواهد بود. به عنوان مثال، تابعی با نقطه زانویی، نقطه بازگشت یا مماس عمودی ممکن است پیوسته باشد، اما در محل ناهنجاری مشتق پذیر نیست. در ادامه، با این مفاهیم بیشتر آشنا می‌شویم.

تعریف مشتق پذیری تابع

یک تابع در نقطه $$ x $$ مشتق پذیر است اگر یک مشتق در آنجا داشته باشد. به عبارت دیگر، حد زیر وجود داشته باشد:

$$ \large \lim _ { h \to 0 } = \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } $$

بنابراین، نمودار $$ f $$ یک خط مماس غیرقائم در $$ (x , f ( x )) $$ دارد. مقدار حد و شیب خط مماس همان مشتق $$ f $$ در $$ x _ 0 $$ هستند.

چند تابع مشتق ناپذیر

در این بخش، چند تابع مشتق ناپذیر را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱: اگر تابع در نقطه‌ای پیوسته نباشد، در آنجا مشتق پذیر نیست. شکل زیر این موضوع را به خوبی نشان می‌دهد.

تابع مشتق ناپذیر

همان‌طور که مشاهده می‌کنیم، نمی‌توان خط مماس را در نقطه $$ x = 0 $$ رسم کرد.

مثال ۲: تابع شکل زیر را در نظر بگیرید. همان‌طور که می‌بینیم، نمی‌توان در $$ x = 0 $$ خط مماس بر منحنی رسم کرد. بنابراین، تابع در این نقطه مشتق ناپذیر است.

تابع مشتق ناپذیر

مثال ۳: برای نمودار تابع شکل زیر نیز نمی‌توان در $$ x = 0 $$ خط مماس بر منحنی رسم کرد. بنابرین، تابع در این نقطه مشتق ناپذیر است.

تابع مشتق ناپذیر

در نقطه $$ c $$ روی بازه $$ [ a , b ] $$ از تابع $$ f ( x ) $$، که تابع روی $$ [ a , b ] $$ پیوسته باشد، یک «گوشه» (Corner) وجود دارد، اگر داشته باشیم:

$$ \large \lim _ { x \rightarrow c ^ { - } } \dfrac { d } { d x } \big [ f ( x ) \big ] \neq \lim _ { x \rightarrow c ^ { + } } \dfrac { d } { d x } \big [ f ( x ) \big ] .$$

مثال ۴: تابع زیر در هر دو سمت $$ x = 0 $$ به صورت بی‌کران افزایش پیدا می‌کند. بنابراین، در $$ x = 0 $$ تعریف نشده و ناپیوسته است. در نتیجه، در $$ x = 0 $$ مشتق ناپذیر است.

تابع مشتق ناپذیر

مثال ۵: گاهی تابع یک خط عمود (قائم) در نقطه مورد نظر دارد. برای مثال، تابع زیر مشتق پذیر نیست، زیرا در $$ x = 0 $$ دارای مماس عمود است و بنابراین، شیب در $$ x = 0 $$ تعریف نشده است.

تابع مشتق ناپذیر

در نقطه $$ c $$ روی بازه $$ [ a , b ] $$ از تابع $$ f ( x ) $$، که تابع روی $$ [ a , b ] $$ پیوسته باشد، یک شیب قائم وجود دارد، اگر دقیقاً یکی از عبارت‌های زیر صحیح باشد:

  • $$ \displaystyle \lim _ { x \rightarrow c ^ { - } } \dfrac { d } { d x } \left [ f ( x ) \right ] = + \infty $$ و $$ \displaystyle \lim _ { x \rightarrow c ^ { + } } \dfrac { d }{ d x } \left [ f ( x ) \right ] = + \infty $$ یا
  • $$ \displaystyle \lim _ { x \rightarrow c ^ { - } } \dfrac { d }{ d x } \left [ f ( x ) \right ] = - \infty $$ و $$ \displaystyle \lim _ { x \rightarrow c ^ { + } } \dfrac { d } { d x } \left [ f ( x ) \right ] = - \infty $$.

مثال ۶: تابع زیر در $$ x = 0 $$ داری یک تیزه است و مشتق پذیر نیست.

تابع مشتق ناپذیر

در نقطه $$ c $$ روی بازه $$ [ a , b ] $$ از تابع $$ f ( x ) $$، که تابع روی $$ [ a , b ] $$ پیوسته باشد، یک «تیزه» یا «نقطه بازگشت» (Curp) وجود دارد، اگر دقیقاً یکی از عبارت‌های زیر صحیح باشد:

  • $$ \displaystyle \lim _ { x \rightarrow c ^ { - } } \dfrac { d } { d x } \left [ f ( x ) \right ] = - \infty $$ و $$ \displaystyle \lim _ { x \rightarrow c ^ { + } } \dfrac { d }{ d x } \left [ f ( x ) \right ] = + \infty $$ یا
  • $$ \displaystyle \lim _ { x \rightarrow c ^ { + } } \dfrac { d }{ d x } \left [ f ( x ) \right ] = - \infty $$ و $$ \displaystyle \lim _ { x \rightarrow c ^ { - } } \dfrac { d } { d x } \left [ f ( x ) \right ] = + \infty $$.

مشتق پذیری تابع قدر مطلق

تابع زیر را در نظر بگیرید.

$$ \large f ( x ) = |x| =\begin {cases} x & \text{ } x \ge 0 \\ -x & \text{ } x < 0 \end{cases} $$

تابع قدر مطلق

در $$ x = 0 $$، یک گوشه در $$ ( 0 , 0 ) $$ وجود دارد. تصویر نمودار در سمت چپ و راست $$ (0, 0 ) $$ با یکدیگر متفاوت است. حدهای سمت چپ و راست را می‌یابیم.

حد راست برابر است با:

$$ \large \lim _ { h \to 0 _ + } \frac { f ( h ) - f ( 0 ) } { h } = \lim _ { h \to 0 _ + } \frac { h - 0 } { h } = \lim _ { h \to 0 _ + } 1 = 1 $$

اما حد از چپ، به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \lim _ { h \to 0 _ - } \frac { f ( h ) - f ( 0 ) } { h } = \lim _ { h \to 0 _ - } \frac { -h - 0 } { h } = \lim _ { h \to 0 _ - } -1 = -1 $$

از آنجا که حد چپ و راست با هم برابر نیستند، حدِ

$$ \lim _ { h \to 0 } \frac { f ( h ) - f ( 0 ) } { h } $$

وجود ندارد و بنابراین، تابع $$ |x| $$ در $$ x = 0 $$ مشتق پذیر نیست.

پیوستگی تابع مشتق پذیر

قضیه زیر پیوستگی تابع مشتق پذیر را به خوبی روشن می‌کند.

قضیه: یک تابع مشتق پذیر پیوسته است، یعنی اگر $$ f ( x ) $$ در $$ x = a $$ مشتق پذیر باشد، در این نقطه پیوسته نیز هست.

اثبات:  از آنجا که $$ f $$ در  $$  x = a $$ مشتق پذیر است، حد زیر وجود دارد:

$$ \large f' ( a ) = \lim _ { x \to a } \frac { f ( x ) - f ( a ) } { x - a } $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large \lim _ { x \to a } ( { f ( x ) - f ( a ) )} = \lim _ { x \to a } ( x - a ) \cdot \frac { f ( x ) - f ( a ) } { x - a } $$

از آنجا که $$ x - a \neq 0 $$ برای حد در $$ a$$ برقرار است، این رابطه درست است.

$$ \large = \lim _ { x \to a } ( x - a ) \lim _ {x \to a } \frac { f ( x ) - f ( a ) } { x - a } = 0 $$

بنابراین، $$ f' ( a ) = 0 $$ است. در نتیجه، $$ \lim _ { x \to a } ( f ( x ) - f ( a )) = 0 $$ است و اگر ثابت $$ f ( a) $$ را به دو طرف اضافه کنیم، خواهیم داشت:

$$ \large \lim _ { x \to a } f ( x ) = f ( a ) $$

که همان تعریف پیوستگی $$ f $$ در $$ x = a $$ است.

تابع هموار

تابع $$ f (x) $$ را در بازه $$ ( a , b ) $$ «هموار» (Smooth) می‌نامیم، اگر مشتق اول، یعنی $$ f' ( x ) $$ در $$ ( a , b ) $$ پیوسته باشد.

مثال های مشتق پذیری

در این بخش، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال اول مشتق پذیری

درباره صحت این جمله بحث کنید: «اگر تابعی در کل دامنه‌اش پیوسته باشد، آنگاه در کل دامنه مشتق پذیر است.»

حل: این جمله نادرست است. برای مثال، تابع وایرشتراس بی‌نهایت شکستگی دارد، به طوری که هیچ نقطه‌ای را در آن نمی‌توان یافت که بتوان مشتق در آن نقطه را محاسبه کرد. این در حالی است که این تابع همه جا پیوسته است.

به عنوان یک مثال دیگر، تابع $$ f ( x ) = |x|$$ را در نظر بگیرید که همه جا پیوسته است، اما در $$ x = 0 $$ دارای شکستگی است. نمی‌توانیم مشتق را در این نقطه محاسبه کنیم، زیرا طبق تعریف، مشتق یک حد است و حدود چپ و راست در صفر برابر نیستند.

مثال دوم مشتق پذیری

نقاطی از توابع زیر را پیدا کنید که در آن، تابع مشتق پذیر نیست.

(الف) $$ f ( x ) = ( x - 1 ) ^ {1/3} $$

(ب) $$ g ( x ) = | x + 2 | $$

(ج) $$ r ( x ) = \frac { x ^ 2 } { x - 1 } $$

(د) $$  f ( x ) = \begin {cases} 0 & \text{ } x < 0\\1 &\text{ } x \ge 0 \end{cases} $$

(ه) $$ g ( x ) = x ^ { 1 / 3 } $$

حل (الف): طبق قانون توان، مشتق تابع $$ f ( x ) = ( x - 1 ) ^ {1/3} $$ برابر با $$ f' ( x ) = (1/3)( x - 1 ) ^ {-2/3}$$ است. بنابراین، وقتی $$  (1/3)( x - 1 ) ^ {-2/3}$$ تعریف نشده باشد، تابع مشتق پذیر نخواهد بود. از آنجا که $$ ( x - 1 ) $$ دارای نمای منفی است، $$ f' (x) $$ وقتی $$ x = 1 $$ باشد تعریف نشده است (کسری با مخرج صفر داریم). در واقع، به زبان محاسباتی، می‌توان نوشت:

$$ \large \lim _ { h \to 0 } \frac { f ( 1 + h ) - f ( 1 ) } { h } = \lim _ { h \to 0 } \frac { h ^ { 1 / 3 } } { h } = \lim _ { h \to 0 } \frac { 1 } { h ^ {2 / 3 }} = + \infty $$

که نشان می‌دهد $$ f $$ در $$ x = 1 $$ مشتق پذیر نیست.

تابع مشتق ناپذیر

حل (ب): تابع $$ g ( x ) $$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large g ( x ) = | x + 2 | = \begin {cases} - ( x + 2), & x \le -2 \\ x + 2 , & x > - 2 \end {cases} $$

و از آنجا که می‌دانیم $$ - ( x + 2 ) $$ و $$ x + 2 $$ مشتق پذیر هستند، تنها نقطه‌ای که برای مشتق پذیری مشکل ایجاد می‌کند، $$ x = - 2 $$ است. در این نقطه، می‌توانیم از تعریف حدی مشتق استفاده کنیم:

$$ \large \lim _ { h \to 0 } \frac { f ( -2 + h ) - f ( -2 ) } { h } = \lim _ { h \to 0 } \frac { | h | } { h }. $$

این حد وجود ندارد، زیرا حد چپ و راست آن برابر نیستند.

تابع مشتق ناپذیر

حل (ج): طبق قاعده خارج قسمت، $$ r ( x ) = x ^ 2 / ( x - 1 ) $$ در هر نقطه‌ای جز $$ x = 1 $$ مشتق پذیر است. البته، $$ x = 1 $$ در دامنه $$ r $$ نیست، بنابراین، $$ r $$ در هر نقطه‌ای در دامنه‌اش مشتق پذیر است.

همان‌طور که از نمودار بالا مشخص است، نقطه بازگشت یا مماس قائم وجود ندارد.

مشتق پذیری

حل (د): تابع در $$ 0 $$ پیوسته نیست، بنابراین در این نقطه مشتق پذیر نیست.

حل (ه): نمودار در $$x= 0$$ هموار است، اما به نظر می‌رسد که یک مماس قائم داشته باشد.

تابع ریشه سوم

$$ \large \lim _ { h \to 0} \frac { ( 0 + h ) ^ { 1 / 3 } - 0 ^ {1 / 3 } } { h } = \lim _ { h \to 0 } \frac { ( h ) ^ { 1 / 3 } } { h } = \lim _ { h \to 0 } \frac { 1 } { h ^ { 2 / 3 } } $$

 وقتی $$ h \to 0 $$، مخرج کوچک شده و کسر بدون محدودیت رشد می‌کند. بنابراین، $$ g $$ در $$ x = 0 $$ مشتق پذیر نیست.

مثال سوم مشتق پذیری

نشان دهید تابع زیر در $$ x = 0 $$ مشتق ناپذیر است.

$$ \large f ( x ) = \begin {cases} x ^ 2 & x > 0 \\ - x & x < 0 \\ 0 & x = 0 \end {cases} $$

حل:‌ یک راه برای جواب این مسئله این است که مشتق را در $$ x = 0 $$ محاسبه کنیم. از یافتن حد خارج قسمت تفاضل شروع می‌کنیم. از آنجا که تابع $$ f $$ چندضابطه‌ای است، لازم است مشتق را در $$ x = 0 $$ با استفاده از حدهای چپ و راست بیابیم.

$$ \large f' ( x ) = \lim _ { h \to 0 } \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } $$

در سمت چپ $$x=0$$ (یعنی $$x<0$$)، مشتق به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large f' ( 0 ) = \lim _ { h \to 0^ - } \frac { f ( 0 + h ) - f ( 0 ) } { h } = \lim _ { h \to 0^ - } \frac { - h - 0 } { h } = -1 $$

در سمت راست $$ x = 0 $$ (یعنی $$ x > 0 $$)، مشتق این‌گونه به دست می‌آید:

$$ \large f' ( 0 ) = \lim _ { h \to 0^ + } \frac { f ( 0 + h ) - f ( 0 ) } { h } = \lim _ { h \to 0 } \frac { h^2 - 0 } { h } =\lim _{h \to 0 } h = 0 $$

می‌بینیم که حدهای چپ و راست $$x= 0 $$ با هم برابر نیستند، بنابراین، $$f' ( 0 ) $$ تعریف نشده و تابع $$ f $$ در $$ x = 0 $$ مشتق ناپذیر است.

بر اساس رای ۵۷ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Calculus Applied to the Real WorldBrilliantFree Mathematics Tutorials
۶ دیدگاه برای «مشتق پذیری و تابع مشتق پذیر | به زبان ساده»

اگر ۲تابع توی هم ضرب بشن و سوال بگه در یک نقطه مشتق داریم، و یکی از توابع براکت x به توان ۲ باشه و اون یکی یه تابع درجه ۲ ، یعنی هردو تابع در نقطه صفر فقط میتونن مشتق داشته باشند؟

سلام میشه کمک کنید شرایط مشتق پذیری تابع مشتق آنرا بیابید z روی< 1 =(F(z

سلام . چرا مثلا میگن وقتی یک تایع به یک تابع دیگه بخش پذیر هست باید مشتق تابع اول رو مساوی صفر قرار بدیم؟

سلام
1-مشتق پذیری تابع دو ضابطه ای زیر را در x=1 بررسی کنید؟

2x به توان دو+۱0 x
1》x

1 《x
14x+2
?? این یعنی چی جواب داره ایا؟☹

چرا مطالب و نوشته ها بزبان ماشین شدند
نمیشه استفاده کرد
علتش رو بهم بگین ممنونم

سلام، وقت شما بخیر؛

این مشکل به علت یک اشکال فنی در مجله فرادرس رخ داده بود که اکنون برطرف شده است.

از اینکه با مجله فرادرس همراه هستید از شما سپاسگزاریم.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *