ریاضی, علوم پایه 1413 بازدید

به جرأت می‌توان گفت که با ارائه مفهوم مشتق در ریاضی، نه تنها این علم بلکه تمامی علوم تحت تاثیر آن قرار گرفتند. معمولاً وقوع یک پدیده در طبیعت برخواسته از تغییرات مشخصه‌هایی از آن است. بنابراین به منظور مطالعه پدیده‌های تازه به وقع پیوسته نیازمند بررسی تغییرات مشخصه‌های عامل آن هستیم. تمامی این تغییرات با استفاده از مفاهیم مشتق مورد بررسی قرار می‌گیرند. در همین راستا و طی مقالات پیشین مجله فرادرس به جنبه‌های مختلف این مفهوم، یعنی مشتق پرداخته‌ایم و روش‌های محاسبه و کاربردهای آن را توضیح داده‌ایم. آنچه در ادامه آمده، جمع‌بندی و فهرستی از این مجموعه مقالات در رابطه با مشتق است.

مفاهیم مشتق

مشتق در حقیقت شیب نمودار تابع $$ f ( x ) $$ در یک نقطه است. در ابتدا دو نقطه از یک تابع را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید. اگر این دو نقطه را به یکدیگر متصل کنیم، خطی حاصل می‌شود که دارای شیب مشخصی است. با ثابت نگه داشتن نقطه اول و نزدیک کردن تدریجی نقطه دوم به آن، شیب خط نیز تغییر می‌کند. اما شیب دقیق در نقطه $$x$$ زمانی بدست می‌آید که دو نقطه به فاصله بسیار اندکی از یکدیگر قرار گرفته باشند.

derivative

برای نمونه اندازه شیب بین دو نقطه ۱ و ۲ برابر است با:

$$\large m = \frac { f ( x + h ) – f ( x ) } { h } $$

حال اگر فاصله بین دو نقطه را بسیار اندک در نظر بگیریم، شیب دقیق در نقطه اول بدست می‌آید که برابر با همان مشتق در نقطه اول است. بنابراین مشتق تابع $$f(x)$$ در نقطه اول (یا همان $$x$$) برابر است با:

$$\large f ^ { \prime } ( x ) =\lim _ { h \to 0 } \frac { f ( x + h ) – f ( x ) } { h } $$

عبارت فوق پایه‌ای‌ترین بیانِ مشتق محسوب می‌شود. اما این مفهوم برای توابع دومتغیره و دیگر توابع نیز قابل تعریف هستند. در ادامه مجموعه مقالات تهیه شده به‌منظور توضیح مفاهیم مرتبط با مشتق ارائه شده‌اند.

روش‌های محاسبه مشتق

توجه داشته باشید که تعریف کلی مشتق مطابق با رابطه فوق است. با این حال برای برخی از توابع، استفاده از تعریف به‌منظور محاسبه مشتق دشوار است. از این رو در ادامه مجموعه مقالات ارائه شده به‌منظور محاسبه مشتق توابع مختلف، آورده شده‌اند.

کاربرد‌های مشتق

همان‌طور که در ادامه این مطلب نیز بیان شد، مفاهیم مشتق نقشی پررنگ را در بسیاری از علوم ایفا می‌کنند. حتی می‌توان علوم انسانی و اقتصاد را با استفاده از مفاهیم ریاضیاتی، فرمول‌بندی کرد. در ادامه مقالاتی ارائه شده که در آن‌ها مهم‌ترین کاربرد‌های مشتق ارائه شده‌اند.

احتمالا با توجه به زمان موجود، امکان توضیح تمامی مفاهیم مشتق وجود ندارد. با این حال تیم وبلاگ فرادرس در تلاش است تا بتواند گستره بیشتری از مطالب مرتبط با مشتق را پوشش دهد. لذا توجه داشته باشید که لیست‌های ارائه شده در این مطلب با گذشت زمان بروزرسانی خواهند شد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

مجید عوض زاده (+)

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *