مشتق توابع معکوس — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در آموزش‌های قبلی از مجموعه مقالات ریاضی مجله فرادرس، درباره مفهوم مشتق و روش‌های مشتق‌گیری بحث کردیم و مباحثی مانند مشتق لگاریتم و تابع نمایی، مشتق ضمنی، مشتق جزئی، مشتق زنجیره‌ای و مشتق جهتی را توضیح دادیم. در این آموزش، درباره مشتق توابع معکوس بحث خواهیم کرد.

قضیه تابع معکوس

فرض کنید $$f(x)$$ یک تابعِ اکیداً یکنوا در بازه $$(a, b)$$ باشد. اگر نقطه $$x_0$$ در این بازه وجود داشته باشد، به‌طوری که $$f’\left( {{x_0}} \right) \ne 0$$، آن‌گاه تابع معکوس $$x = \varphi \left( y \right)$$ نیز در $${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$$ مشتق‌پذیر بوده و مشتق آن با رابطه زیر بیان می‌شود:

$$\large \varphi’\left( {{y_0}} \right) = \frac{1}{{f’\left( {{x_0}} \right)}}.$$

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

اثبات: فرض کنید متغیر $$y$$ در نقطه $$y _0$$ به‌اندازه $$\Delta y \ne 0$$ نِمُو (رشد) داشته باشد. نمو متناظرِ متغیر $$x$$ را در نقطه $$x_0$$ با $$\Delta x$$ نشان می‌دهیم و به‌دلیل اکیداً یکنوا بودن $$y = f\left( x \right)$$، داریم: $$\Delta x \ne 0$$. نسبت نموها را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\large \frac{{\Delta x}}{{\Delta y}} = \frac{1}{{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}}.$$

اگر $$\Delta y \to 0$$، آن‌گاه از آن‌جایی که تابع معکوس $$x = \varphi \left( y \right)$$ در $$y_0$$ پیوسته است، داریم: $$\Delta x \to 0$$‌. بنابراین، سمت راست رابطه بالا، به‌صورت زیر درمی‌آید:

$$\large {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}} = \frac{1}{{\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}} } = {\frac{1}{{f’\left( {{x_0}} \right)}}.}$$

در این حالت، سمت چپ معادله به یک حد میل می‌کند که بنا به تعریف، برابر با مشتق تابع معکوس است:

$$\large \lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{{\Delta x}}{{\Delta y}} = \varphi’\left( {{y_0}} \right).$$

بنابراین، داریم:

$$\large \varphi’\left( {{y_0}} \right) = \frac{1}{{f’\left( {{x_0}} \right)}}$$

یعنی مشتق تابع معکوس، معکوس مشتق تابع اصلی است.

مثال‌ها

در این قسمت، برای آشنایی بهتر با نحوه محاسبه مشتق تابع معکوس و کاربرد آن، چند مثال حل‌ شده را بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی 3 – پایه دوازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

برای توابع زیر، مشتق تابع $$y = f\left( x \right)$$ را با استفاده از مشتق تابع معکوس $$x = \varphi \left( y \right)$$ به‌دست آورید.

(الف) $$\large y = \sqrt[\large n\normalsize]{x}$$

حل: ابتدا تابع معکوس تابع $$y = \sqrt[\large n\normalsize]{x}$$ را تعیین می‌کنیم. برای این کار، متغیر $$x$$ را برحسب $$y$$ می‌نویسیم:

$$\large {y = f\left( x \right) = \sqrt[\large n\normalsize]{x},\;\;}\Rightarrow {{y^n} = {\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)^n},\;\;}\Rightarrow {x = \varphi \left( y \right) = {y^n}.}$$

با استفاده از قضیه تابع معکوس، داریم:

$$\large  {{\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)^\prime } = f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {{y^n}} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{n{y^{n – 1}}}}.}$$

اکنون عبارت $$y = \sqrt[\large n\normalsize]{x}$$ را جایگذاری می‌کنیم. در نتیجه، توصیف مشتق تابع داده‌شده، به‌صورت زیر خواهد بود:

$$\large {{\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)^\prime } = \frac{1}{{n{y^{n – 1}}}} } = {\frac{1}{{n{{\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)}^{n – 1}}}} } = {\frac{1}{{n\sqrt[\large n\normalsize]{{{x^{n – 1}}}}}}\;\;\;}\kern-0.3pt{\left( {x \gt 0} \right).}$$

(ب) $$\large y = \arcsin x$$

حل: تابع آرک‌سینوس، معکوس تابع سینوس است. بنابراین، $$x = \varphi \left( y \right) = \sin y$$. مشتق $$\arcsin x$$ به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\large {{\left( {\arcsin x} \right)^\prime } = f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\sin y} \right)}^\prime }}} } \\ \large = {\frac{1}{{\cos y}} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 – {{\sin }^2}y} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 – {{\sin }^2}\left( {\arcsin x} \right)} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}}$$

که در آن، $$-1 \lt x \lt 1$$ است.

(پ) $$\large y = \ln x$$

حل: تابع لگاریتم طبیعی و تابع نمایی، معکوس یکدیگر هستند. بنابراین، $$x = \varphi \left( y \right) = {e^y}$$، که در آن، $$x \gt 0$$ و $$y \in \mathbb{R}$$ است. مشتق لگاریتم طبیعی را می‌توان به‌سادگی و با استفاده از مشتق تابع نمایی محاسبه کرد:

$$\large {{\left( {\ln x} \right)^\prime } = f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {{e^y}} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{{e^y}}} } = {\frac{1}{{{e^{\ln x}}}} } = {\frac{1}{x}}$$

در محاسبات بالا، از $${e^{\ln x}} = x$$ استفاده کرده‌ایم.

(ت) $$\large y = \sqrt[\large 3\normalsize]{{x + 1}}$$

حل: ابتدا معکوس تابع $$x = \varphi \left( y \right)$$ تابع $$y = f\left( x \right)$$ را پیدا می‌کنیم که برای هر $$x \in \mathbb{R}$$، اکیداً یکنوا است. متغیر $$x$$ را برحسب $$y$$ می‌نویسیم:

$$\large {y = \sqrt[\large 3\normalsize]{{x + 1}},\;\;}\Rightarrow {{y^3} = x + 1,\;\;}\Rightarrow {x = {y^3} – 1.}$$

اکنون، مشتق $$f’\left( x \right)$$ را به‌دست می‌آوریم:

(ث) $$\large y = \arccos \left( {1 – 2x} \right)$$

حل: تابع آرک‌کسینوس، در بازه $$\left[ { – 1,1} \right]$$ تعریف می‌شود و یکنوا است. در نتیجه، دامنه تابع اصلی، به‌فرم زیر است:

$$\large { – 1 \le 1 – 2x \le 1,\;\; }\Rightarrow {- 2 \le – 2x \le 0,\;\; }\Rightarrow {0 \le x \le 1.}$$

تابع $$x = \varphi \left( y \right)$$ را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large {y = \arccos \left( {1 – 2x} \right),\;\;}\Rightarrow {1 – 2x = \cos y,\;\;} \\ \large \Rightarrow {2x = 1 – \cos y,\;\;}\Rightarrow {x = \frac{1}{2} – \frac{1}{2}\cos y.}$$

اکنون، مشتق تابع اصلی را با استفاده از مشتق تابع معکوس محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \require {cancel}<br /> {{\left( {\arccos \left( {1 – 2x} \right)} \right)^\prime } = f’\left( x \right) }<br /> = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } \\ \large<br /> = {\frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\cos y} \right)}^\prime }}} }<br /> = {\frac{1}{{\frac{1}{2}\sin y}} = \frac{2}{{\sin y}} }<br /> = {\frac{2}{{\sqrt {1 – {\cos^2}y} }} } \\ \large<br /> = {\frac{2}{{\sqrt {1 – {\cos^2}\left( {\arccos \left( {1 – 2x} \right)} \right)} }} }<br /> = {\frac{2}{{\sqrt {1 – {{\left( {1 – 2x} \right)}^2}} }} }<br /> = {\frac{2}{{\sqrt {1 – \left( {1 – 4x + 4{x^2}} \right)} }} } \\ \large<br /> = {\frac{2}{{\sqrt {\cancel{1} – \cancel{1} + 4x – 4{x^2}} }} }<br /> = {\frac{\cancel{2}}{{\cancel{2}\sqrt {x – {x^2}} }} }<br /> = {\frac{1}{{\sqrt {x – {x^2}} }}.} $$

توجه کنید که مشتق، در نقاط مرزی $$x = 0$$ و $$x = 1$$ از دامنه تابع $$y = f\left( x \right)$$ تعریف نشده است.

(ج) $$\large y = \sqrt {1 + \sqrt x }$$