ریشه واحد — از صفر تا صد

ریشه واحد عددی مختلط است که وقتی به توان یک عدد صحیح مثبت می‌رسد، حاصل آن برابر با یک خواهد شد. ریشه‌های واحد در زمینه‌های مختلف ریاضیات، از قبیل هندسه چندضلعی‌های منتظم، نظریه گروه‌ها و نظریه اعداد کاربرد دارند.

تعریف ریشه واحد

تعریف: برای هر عدد صحیح مثبت $$ n $$، ریشه‌های $$ n $$اُم واحد جواب‌های مختلط معادله $$ x ^ n  = 1 $$ هستند، و $$ n $$ جواب برای معادله وجود دارد.

قضیه: اگر $$ n $$ زوج باشد، ۲ جواب حقیقی برای معادله $$ x ^ n = 1 $$ وجود دارد که $$ 1 $$ و $$ - 1 $$ هستند؛ اگر $$ n $$ فرد باشد، یک جواب حقیقی خواهد بود که $$ 1 $$ است.

مثال: ریشه‌های سوم واحد را به دست آورید.

حل: طبق تعریف، ریشه‌های سوم واحد همان جواب‌های معادله $$ x ^ 3 = 1 $$ هستند. در نگاه اول، می‌بینیم که $$ x = 1 $$ یکی از جواب‌های این معادله است. بنابراین، می‌توان گفت که $$1$$ یک ریشه سوم واحد است. با این حال، دو جواب مختلط نیز داریم که لازم است آن‌ها را به دست آوریم. این جواب‌ها $$ x = \large { \frac { - 1 + i \sqrt { 3 } } { 2 } } $$ و $$ x = \large { \frac { - 1 - i \sqrt { 3 } } { 2 } } $$ هستند.

بنابراین، به صورت مجموعه، ریشه‌های سوم واحد به شکل زیر هستند:

$$ \large U _ 3 = \left \{ 1 , \frac { - 1 + i \sqrt { 3 } } { 2 } , \frac { - 1 - i \sqrt { 3 } } { 2 } \right \} . $$

جواب‌ها را می‌توان با استفاده از محاسبات اعداد مختلط تأیید کرد. برای مثال، می‌توانیم بنویسیم:

$$ \large \begin {align*} \left ( \frac { - 1 + i \sqrt { 3 } }{ 2 } \right ) ^ 3 & = \frac { ( - 1 + i \sqrt { 3 } ) ^ 3 } { 2 ^ 3 } = \frac { 1 } { 8 } \left ( - 1 + i \sqrt { 3 } \right ) ^ 3
\\ & = \frac { 1 } { 8 } \left ( - 1 + i \sqrt { 3 } \right ) \left ( - 1 + i \sqrt { 3 } \right ) \left ( - 1 + i \sqrt { 3 } \right )
\\ & = \frac { 1 } { 8 } \left ( 1 - 2 i \sqrt { 3 } - 3 \right ) \left ( - 1 + i \sqrt { 3 } \right ) \\ & = \frac { 1 } { 8 } \left ( - 2 - 2 i \sqrt { 3 } \right ) \left ( - 1 + i \sqrt { 3 } \right ) \\
& = \frac { 1 } { 8 } \left ( 2 - 2 i \sqrt { 3 } + 2 i \sqrt { 3 } + 6 \right ) = \frac { 1 } { 8 } ( 8 ) = { 1 } \end {align*} $$

محاسبه ریشه‌های nاُم واحد

فرمول اویلر را می‌توان برای یافتن ریشه‌های $$ n $$اُم واحد هر عدد صحیح مثبت $$n$$ به کار برد. فرمول اویلر به صورت زیر بیان می‌شود:

$$ \large e ^ { i x } = \text {cis} ( x ) = \cos ( x ) + i \sin ( x ) $$

قضیه: $$ n $$ را به عنوان یک عدد صحیح مثبت و $$ U _ n $$ را به عنوان همه ریشه‌های $$ n $$اُم واحد در نظر بگیرید. در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ \large U _ n = \left \{ e ^ { 2 k \pi i / n } { \Large \mid } k \in \{ 1 , 2 , \ldots , n \} \right \} . $$

لازم به ذکر است که مجموعه همه ریشه‌های $$ n $$اُم واحد همیشه شامل $$ n $$ عضو هستند. هر یک از این چند ریشه‌های واحد را می‌توان با تغییر مقدار $$ k $$ در عبارت $$ e ^ { 2 k \pi i / n } $$ به دست آورد.

اثبات: طبق فرمول اویلر، داریم:

$$ \large e ^ { 2 \pi i } = \cos ( 2 \pi ) + i \sin ( 2 \pi ) = 1 . $$

فرض کنید $$ k $$ یک عدد صحیح مثبت باشد. در نتیجه، می‌توان نوشت:

$$ \large \big ( e ^ { 2 \pi i } \big ) ^ k = e ^ { 2 k \pi i } = 1 ^ k = 1 . $$

که نتیجه آن، $$ x ^ n = 1 $$ خواهد بود و $$ x $$ یک عدد مختلط و $$ n $$ یک عدد صحیح مثبت است. اکنون، داریم:

$$ \large x ^ n = 1 = e ^ { 2 \pi i } = e ^ { 4 \pi i } = e ^ { 6 \pi i } = \ldots = e ^ { 2 k \pi i } . $$

با به توان $$ \frac {1}{n}$$ رساندن عبارت بالا، خواهیم داشت:

$$ \large \left ( x ^ n \right ) ^ { 1 / n } = x = e ^ { 2 \pi i / n } = e ^ { 4 \pi i / n } = e ^ { 6 \pi i / n } = \ldots = e ^ { 2 k \pi i / n } . $$

توجه کنید که اگر $$ k> n $$ باشد، آنگاه زاویه $$ \frac { 2 k \pi } { n } $$ متقابل به رأس $$ \frac { 2 ( k - n ) \pi } { n } $$ خواهد بود.

بنابراین، $$ n $$ جواب مجزا برای $$ x ^ n = 1 $$ وجود دارد که هر کدام با $$ x = e ^ { 2 k \pi i / n } $$ برای $$ k = 1 , 2 , 3 , \ldots , n$$ مشخص می‌شود.

مثال ۱: معادله $$ x ^ 3  = 1 $$ را برای همه $$ x $$ها به دست آورید.

حل: طبق قضیه بالا، جواب‌ها به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {array} { c } & x = e ^ { 2 i \pi / 3 } , & e ^ { 4 i \pi / 3 } , & e ^ { 6 i \pi / 3 } \end {array} . $$

طبق فرمول اویلر، این جواب‌ها، به ترتیب، برابرند با:

$$ \large \begin {aligned} x & = \cos { \left ( \frac { 2 \pi }{ 3 } \right ) } + i \sin { \left ( \frac { 2 \pi } { 3 } \right ) } = \frac { - 1 } { 2 } + i \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \\ x & = \cos { \left ( \frac { 4 \pi } { 3 } \right ) } + i \sin { \left ( \frac { 4 \pi } { 3 } \right ) } = \frac { - 1 } { 2 } - i \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \\ x & = \cos { \left ( \frac { 6 \pi }{ 3 } \right ) } + i \sin { \left ( \frac { 6 \pi } { 3 } \right ) } = 1
\end {aligned} $$

مثال ۲: فرض کنید $$ z $$ هفتمین ریشه هفتم واحد باشد. به عبارت دیگر، $$ z $$ یک عدد مختلط است که در معادله $$ z ^ 7 = 1 $$ صدق می‌کند. اگر $$ z = a + b i $$ باشد، که در آن، $$ a $$ و $$ b $$ اعدادی حقیقی هستند، آنگاه حداکثر مقدار $$ a + b $$ چقدر خواهد بود؟‌ جواب را تا سه رقم اعشار بنویسید.

حل: ریشه‌های هفتم واحد را می‌توان به صورت زیر به دست آورد:

$$ \large z = e ^ { 2 k \pi i / 7 } \text{, }\;\;\; k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 $$

هدف، بیشینه کردن $$ a + b $$ است، به طوری که زاویه $$ \frac { 2 k \pi } { 7 } $$ باید در ربع اول صفحه مختلط، روی محور حقیقی مثبت یا روی محور موهومی مثبت باشد. تنها زاویه‌هایی که در این معیار صدق می‌کنند، $$ 2 \pi $$ و $$ \frac {2 \pi } { 7 } $$ هستند.

با استفاده از فرمول اویلر، داریم:

$$ \large \begin {align*} e ^ { 2 \ pi i } & = \cos ( 2 \pi ) + i \sin ( 2 \pi ) = 1 + 0 i
\\
e ^ { 2 \pi i / 7 } & = \cos { \left ( \frac { 2 \pi }{ 7 } \right ) } + i \sin { \left ( \frac { 2 \pi } { 7 } \right ) } \approx 0.62349 + 0.78183 i
\end {align*} $$

واضح است که ریشه واحد متناظر با زاویه $$ \frac {2 \pi} {7 } $$ مقدار $$ a + b $$ را بیشینه خواهد کرد.

حداکثر مقدار به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large a + b \approx 0.62349 + 0.78183 = \boxed {1.40532} $$

حل معادلات به فرم $$\Large x ^ n = a $$

ریشه واحد را می‌توان برای حل هر معادله به فرم $$ x ^ 2 = a $$ به کار برد که $$ a $$ یک عدد حقیقی است.

مثال ۱: همه جواب‌های مختلط معادله $$ x ^ 4 = 2 $$ را بیابید.

حل: روش حل این معادله بسیار شبیه حل $$ x ^ 4 = 1 $$ است:‌

$$ \large x ^ 4 = 2 ( 1 ) = 2 e ^ { 2 i \pi } =2 e ^{ 4 i \pi } = 2 e ^ { 6 i \pi }= 2 e ^ { 8 i \pi } . $$

مثال ۲: با گرفتن ریشه چهارم، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned} x & = \sqrt [4] { 2 } e ^ { 2 k \pi i / 4 } \ \text{, }\ k = 1 , 2 , 3 , 4 \\ x & = \sqrt [ 4 ] { 2 } i , ~ - \sqrt [ 4 ] { 2 } i , ~ - \sqrt [ 4 ] { 2 } , ~ ~ \sqrt [ 4 ] { 2 } . \end {aligned} $$

چه تعداد از ریشه‌های معادله $$ x ^ 8 = 16 $$ به فرم $$ a - b i $$ هستند که در آن، $$ ( a , b ) \in \mathbb { Z } $$ است؟

حل: از رابطه اویلر به صورت زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned} x ^ 8 & = 1 6 = 1 6 ( 1 + 0 i ) = 1 6 ( \color {#3D99F6} { \cos 2 \color {#D61F06} { n } \pi + i \sin 2 \color {#D61F06} { n } \pi } ) = 1 6 \color {#3D99F6}{ e ^ { 2 \color {#D61F06} { n } \pi i } } & \small \color {#3D99F6}{ \text {} } ( \color{#D61F06}{n = 0,1,...,7} ) \\ \implies x & = 16^{\frac{1}{8}} e^{\frac{2n\pi}{8}i} = \sqrt{2} e^{\frac{n\pi}{4}i} = \sqrt{2}(\cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac { n \pi } { 4 } ) \\ & = \begin {cases} \sqrt { 2 } ( \cos 0 + i \sin 0 ) & = \color {#D61F06} { \sqrt { 2 } } & \color {#D61F06} { \text {}}\\ \sqrt { 2 } ( \cos \frac { \pi } { 4 } + i \sin \frac { \pi } { 4 } ) & = \color {#3D99F6} { 1 + i } & \color {#3D99F6} { \text { } } \\ \sqrt { 2 } ( \cos \frac { \pi } { 2 } + i \sin \frac { \pi } { 2 } ) & = \color {#D61F06}{ \sqrt { 2 } i } & \color {#D61F06} { \text {} } \\ \sqrt { 2 } ( \cos \frac { 3 \pi } { 4 } + i \sin \frac { 3 \pi } { 4 } ) & = \color {#3D99F6} { - 1 + i } & \color {#3D99F6} { \text { } } \\ \sqrt { 2 } ( \cos \pi + i \sin \pi ) & = \color {#D61F06} { -\sqrt { 2 } } & \color {#D61F06}{\text {}} \\ \sqrt { 2 } ( \cos \frac { 5 \pi } { 4 } + i \sin \frac { 5 \pi } { 4 } ) & = \color {#3D99F6} { - 1 - i } & \color {#3D99F6} { \text {} } \\ \sqrt { 2 } ( \cos \frac { 3 \pi } { 2 } + i \sin \frac { 3 \pi } { 2 } ) & = \color {#D61F06} { - \sqrt { 2 } i } & \color {#D61F06}{ \text{}} \\ \sqrt { 2 } ( \cos \frac { 7 \pi } { 4 } + i \sin \frac { 7 \pi } { 4 } ) & = \color {#3D99F6} { 1 - i } & \color {#3D99F6} { \text {} } \end {cases} \end {aligned} $$

همان‌طور که می‌بینیم، ۴ مورد قابل قبول هستند.

ریشه واحد و چندضلعی‌های منتظم

ریشه واحد رابطه‌ای قوی با هندسه دارد. با رسم ریشه واحد، در صفحه مختلط، می‌توان از آن برای تولید رئوس یک چندضلعی منتظم استفاده کرد.

برای هر عدد صحیح $$ n \ge 3 $$، ریشه‌های $$ n $$اُم واحد، وقتی روی صفحه مختلط رسم شوند، رئوس یک $$n$$ضلعی منتظم را تشکیل می‌دهند.

مثال ۱: مرکزوار یا گرانیگاه یک مثلث متساوی الاضلاع در مبدأ واقع شده و رأس آن در $$ ( 1 , 0 ) $$ قرار دارد. مختصات دو رأس دیگر چه هستند؟

حل: نقطه $$ ( 1 , 0 ) $$ متناظر با عدد مختلط $$ 1 + 0 i $$ روی صفحه مختلط است. این عدد ریشه سوم واحد است. ریشه‌های سوم دیگر رئوس باقیمانده مثلث در صفحه مختلط هستند:‌

$$ \large \frac { - 1 + i \sqrt { 3 } } { 2 } \text { , } \;\;\;\; \frac { - 1 - i \sqrt { 3 } } { 2 } $$

این اعداد مختلط متناظر با نقاط زیر روی صفحه مختصات هستند:

$$ \large \left ( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right ) \text{, } \;\;\; \left ( - \frac { 1 } { 2 } , - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right ) . \ $$

دوران با ریشه واحد

ریشه‌های هشتم واحد و ریشه‌های دوازدهم واحد همراه با یکدیگر همه زاویه‌های ویژه روی دایره واحد مختلط را مشخص می‌کنند.

از آنجا که این مقادیر را می‌توان به سادگی محاسبه کرد یا به خاطر سپرد، در انجام دوران در صفحه مختلط بسیار مفید هستند. با تعمیم، آن‌ها را می‌توان برای انجام دوران در هر فضای دوبعدی و حتی سه‌بعدی انجام داد.

مثال ۱: نقطه $$ ( 2 , 3 ) $$ به اندازه $$ \frac { 3 \pi } { 4 } $$ رادیان به صورت پادساعتگرد یا در خلاف جهت عقربه‌های ساعت حول مبداء دوران یافته است. تصویر حاصل چه خواهد بود؟

حل: نقطه متناظر در صفحه مختلط،‌ $$ 2 + 3 i $$ است. همچنین، $$ e ^ { 3 \pi i / 4 } $$ یک ریشه هشتم واحد بوده و مقدار آن، $$ - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } + i \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $$ خواهد بود.

دوران در صفحه مختلط را می‌توان با ضرب در اعداد مختلط به دست آورد. این تصویر حاصل در صفحه مختلط برابر است با:

$$ \large \left ( \vphantom { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } 2 + 3 i \right ) \left ( - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } + i \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \right ) = - \sqrt { 2 } - \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 } + i \left ( \sqrt { 2 } - \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 } \right ) = - \frac { 5 \sqrt { 2 } } { 2 } - i \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } . $$

در نتیجه، تصویر به دست آمده در صفحه مختصات $$ \left ( - \frac { 5 \sqrt { 2 } } { 2 } , - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \right ) $$ است.

مثال ۲:‌ نقطه $$ \left ( 4 + 7 \sqrt { 3 } \ , \ 7 - 4 \sqrt { 3 } \right ) $$ $$ \frac {\pi} { 3 } $$ رادیان در خلاف جهت عقربه‌های ساعت حول مبداء می‌چرخد. اگر تصویر حاصل $$( a , b ) $$ باشد، مقدار $$ a + b $$ را به دست آورید.

حل: عدد متناظر در صفحه مختلط $$ \left ( 4 + 7 \sqrt { 3 } \right ) + i \left ( 7 - 4 \sqrt { 3 } \right ) $$ است. عدد متناظر برای دوران $$ e ^ { \pi i /3 } = \frac { 1 } { 2 } + i \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $$ است.

برای به دست آوردن تصویر دوران در صفحه مختلط، این اعداد را ضرب می‌کنیم:

$$ \large \left ( \vphantom { \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } } \left ( 4 + 7 \sqrt { 3 } \right ) + i \left ( 7 - 4 \sqrt { 3 } \right ) \right ) \left ( \frac { 1 } { 2 } + i \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right ) = 8 + 1 4 i $$

این، متناظر با نقطه $$ ( 8 , 14) $$ در صفحه مختلط است. بنابراین، $$ a+ b = 22 $$.

ریشه واحد و تصاعد هندسی

از تصاعدهای هندسی، می‌دانیم:

$$ \large \sum _ { k = 0 } ^ n { x ^ k } = \frac { x ^ { n + 1 } - 1 } { x - 1 } . $$

این تساوی مشابه مشخصات ریشه واحد است و می‌توان از آن برای یافتن جواب‌های معادلات چندجمله‌ای مشخص استفاده کرد.

مثال: همه جواب‌های مختلط معادله $$ x ^ 3 + x 6 2 + x + 1  = 0 $$ را به دست آورید.

حل: طبق تساوی بالا، معادله به صورت زیر در می‌آید:

$$ \large \dfrac { x ^ 4 - 1 } { x - 1 } = 0 $$

یا به شکل ساده‌تر، داریم:

$$ \large x ^ 4 = 1 , x \neq 1 . $$

جواب‌ها ریشه‌های چهارم واحد (به جز $$ x = 1 $$) خواهند بود:

$$ \large \begin {array} { c } & x = e ^ { 2 \pi i / 4 } , & e ^ { 4 \pi i / 4 } , & e ^ { 6 \pi i / 4 } , & e ^ { 8 \pi i / 4 } . \end {array} $$

با استفاده از بسط اویلر، داریم:

$$ \large \begin {array} {rrrrr} x = & 0 + i , & 0 - i , & - 1 + 0 i , & 1 + 0 i . \end {array} $$

جواب آخر قابل قبول نیست، زیرا $$ x \neq 1 $$. بنابراین، جواب‌ها $$ i $$، $$ - i $$ و $$ - 1 $$ هستند.

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large x ^ 7 + x ^ 6 + x ^ 5 + x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = 0 . $$

فرض کنید $$ x _ k $$ یک ریشه و $$ k$$اُمین ریشه معادله بوده و $$ ℜ ( x _ k ) $$ بخش حقیقی ریشه باشد. آنگاه، حاصل عبارت زیر را به دست آورید:

$$ \large \sum _ { k = 1 } ^ 7 \big [ { ℜ ( x _ k ) \big ] ^ 2 } $$

چندجمله‌ای داده شده یک تصاعد هندسی متناهی است که می‌توان آن را به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$ \large \frac { x ^ 8 - 1 } { x - 1 } = 0 $$

و به عبارت دیگر، خواهیم داشت:

$$ \large x ^ 8 - 1 = 0 \text {, } x \ne 1 $$

در نتیجه، جواب‌های معادله همه هشت ریشه واحد به جز برای ۱ خواهد بود.

این جواب‌ها با $$ x _ k = e ^ { 2 k \pi i / 8 } $$ برای $$ k = 1 , 2 , ... , 7 $$ به دست می‌آیند.

در صفحه مختلط، این جواب‌ها روی دایره واقع در $$ \frac {\pi} { 4 } $$ قرار دارند.

در مسئله مجموع مربعات بخش‌های حقیقی را پیدا می‌کنیم. چهار جواب وجود دارد که در آن‌ها مربع بخش حقیقی $$ \frac 12 $$، و یک جواب وجود دارد که مربع بخش حقیقی ۱ است. دو جواب باقیمانده بخش حقیقی ندارند. بنابراین، مجموع مربعات بخش‌های حقیقی، ۳ است.

ویژگی‌های ریشه واحد

ریشه واحد ویژگی‌ها و کاربردهای خاصی دارد. برخی از آن‌ها عبارتند از:

• اگر $$ x $$ ریشه $$ n $$اُم واحد باشد، آنگاه $$ x ^ k $$ نیز ریشه $$ n$$اُم واحد است.
• اگر $$ x $$ ریشه $$ n $$اُم واحد باشد، آنگاه $$ x ^ n = 1 $$ است.
• مجموع همه ریشه‌های $$ n $$اُم واحد همیشه برای $$ n \neq 1 $$ برابر با صفر است.
• ضرب همه ریشه‌های $$ n $$اُم واحد همیشه $$ ( - 1 ) ^ { n + 1 } $$ است.
• $$ 1 $$ و $$ - 1 $$ تنها ریشه‌های حقیقی واحد هستند.
• اگر یک عدد ریشه واحد باشد، آنگاه مزدوج مختلط آن نیز ریشه واحد خواهد بود.
• مجموع همه توان‌های $$ k $$اُم ریشه‌های $$ n $$اُم واحد، برای همه اعداد صحیح $$ k $$ به طوری که $$ k $$ بر $$ n $$ بخش‌پذیر نباشد، صفر است.
• مجموع قدر مطلق‌های همه ریشه‌های $$n$$اُم واحد برابر با $$ n $$ است.
• اگر $$ x $$ یک ریشه $$ n$$اُم واحد باشد که برابر با ۱ نیست، آنگاه، رابطه $$ \sum \limits _ { k = 0 } ^ { n - 1 } { x ^ k } = 0 $$ برقرار است.

قضیه: اگر $$ x $$ ریشه $$ n $$اُم واحد باشد، آنگاه $$ x ^ k $$  نیز ریشه $$ n $$اُم واحد است که در آن، $$ k $$ هر عدد صحیحی می‌تواند باشد.

اثبات: با استفاده از قانون اندیس، می‌توانیم $$ (x ^ k ) ^ n = ( x ^ n ) ^ k $$ را بنویسیم. از آنجا که $$ x $$ ریشه $$ n $$اُم واحد است، $$ x ^ n = 1 $$ بوده و در نتیجه، $$ ( x ^ n ) ^ k = 1 $$ و $$ ( x ^ k ) ^ n = 1 $$ است. بنابراین، $$ x ^ k $$ نیز ریشه $$n$$اُم واحد است.

مثال‌های ریشه واحد

در این بخش، چند مثال را بررسی خواهیم کرد.

مثال ۱ ریشه واحد

ضرب همه ریشه‌های $$2016$$اُم واحد در یکدیگر را بیابید.

حل: طبق تعریف، ضرب ریشه واحد مشابه ضرب ریشه‌های معادله زیر خواهد بود:

$$ \large x ^ { 2 0 1 6 } - 1 = 0 . $$

طبق فرمول ویتا، ضرب ریشه‌ها با جمله ثابت چندجمله‌ای مرتبط است. درجه چندجمله‌ای زوج است، بنابراین ضرب ریشه‌ها مشابه جمله ثابت $$ - 1 $$ خواهد بود.

مثال ۲ ریشه واحد

مجموع همه ریشه‌های $$1729$$ُم واحد را بیابید.

حل: می‌خواهیم مجموع ریشه‌های معادله زیر را بیابیم:

$$ \large x ^ { 1 7 2 9 } - 1 = 0 . $$

طبق فرمول ویتا، مجموع ریشه‌ها قرینه ضریب جمله درجه یک است. ضریب جمله درجه یک برابر با صفر بوده و بنابراین، مجموع ریشه‌ها برابر با صفر است.

مثال ۳ ریشه واحد

مجموع همه توان‌های هزارم ریشه‌های هفدهم واحد را بیابید.

حل: معادله با ریشه‌ها به صورت زیر است:

$$ \large \begin {aligned} x ^ { 1 7 } - 1 & = 0 \\ x ^ { 1 7 } & = 1 \\ \left ( x ^ { 1 7 } \right ) ^ { 5 8 } & = 1 ^ { 5 8 } \\ & = 1 \\ x ^ { 9 8 6 } & = 1 \\ x ^ { 1 00 0 } & = x ^ { 1 4 } . \end {aligned} $$

بنابراین، به دنبال مجموع همه توان‌های چهاردهم خواهیم بود. طبق جمع نیوتن، تساوی $$ s _ 1 = s _ 2 = s _ 3 = s _ 4 = . . . = s _ { 1 4} = 0 $$ را خواهیم داشت. بنابراین، نتیجه می‌گیریم که جمع مورد نظر برابر با صفر است.

این مسئله برای هر توان $$k$$اُم ($$k$$ یک عدد صحیح است و بر $$ n $$ بخش‌پذیر نیست) صحیح است (مجموع توان $$k$$اُم ریشه‌های $$n$$اُم واحد).

مثال ۴ ریشه واحد

مجموع قدر مطلق ریشه‌های معادله زیر را بیابید:

$$ \large x ^ { 1 7 2 9 2 0 1 5 2 0 1 6 } = 1 . $$

حل: اگر جمع معمولی را می‌خواستیم، حاصل آن برابر با صفر می‌شد. اما مسئله مجموع قدر مطلق ریشه‌ها است. بنابراین، از این موضوع استفاده می‌کنیم که می‌توان هر ریشه را به صورت $$ e ^ {ki}$$ نمایش داد که در آن، $$ k $$ یک عدد حقیقی است. با استفاده از اتحاد اویلر، می‌توانیم بنویسیم:

$$ \large \left | e ^ { k i } \right | = \big | \cos k + i \sin k \big | = \sqrt { \cos ^ 2 k + \sin ^ 2 k } = \sqrt { 1 } = 1 . $$

بنابراین، قدر مطلق یا اندازه هر ریشه برابر با یک است. در نتیجه، مجموع اندازه‌های $$ 172920152016 $$ ریشه برابر با $$ 172920152016 $$ است.

مثال ۵ ریشه واحد

اگر $$ \alpha $$ یکی از هفت ریشه واحد باشد، آنگاه مبیّن معادله درجه دوم مونیک با ریشه‌های $$ \alpha + \alpha ^ 2 + \alpha ^ 4 $$ و $$ \alpha ^ 3 + \alpha ^ 5 + \alpha ^ 6 $$ را بیابید. مبین معادله درجه دوم $$ a x ^ 2 + b x + c = 0 $$ برابر با $$ b ^2 - 4 a c $$ است.

حل: معادله درجه دوم که ریشه‌های آن $$ a $$ و $$ b $$ هستند، به صورت زیر است:

$$ \large x ^{ 2 } - ( a + b ) x + a b = 0 $$

با فرض $$ \alpha = a $$، داریم:

$$ \large \begin {align*}
& x ^ { 2 } - ( a + a ^ { 2 } + a ^ { 3 } + a ^ { 4 } + a ^ { 5 } + a ^ { 6 } ) x \\ & \; \; \; \; + ( a + a ^ { 2 } + a ^ { 4 } ) ( a ^ { 3 } + a ^ { 5 } + a ^ { 6 } ) = 0
\\ &
\implies x ^ { 2 } - ( 1 + a + a ^ { 2 } +a ^ { 3 } + a ^ { 4 } + a ^ { 5 } + a ^ { 6 } - 1 ) x \\ & \;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+ ( a + a ^ { 2 } + a ^ { 4 }) ( \frac { 1 } { a ^ { 4 } } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { a } ) = 0 \end {align*} $$

از آنجا که $$ a ^ 7 = 1$$، می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*}
& \implies x ^ { 2 } + x + 3 + a + a ^ { 2 } + a ^ { 3 } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { a ^ { 3 } } + \frac { 1 } { a } = 0 \\
& \implies x ^ { 2 } + x + 3 + a + a ^ { 2 } + a ^ { 3 } + a ^ { 4 } + a ^ { 5 } + a ^ { 6 } = 0 \\ &
\implies x ^ { 2 } + x + 1 + a + a ^ { 2 } + a ^ { 3 } + a ^ { 4 } + a ^ { 5 } + a ^ { 6 } + 2 = 0 \\ & \implies x ^ { 2 }
+ x + 2 = 0 \end {align*} $$

بنابراین، مبین برابر با $$ 1 - 4 \cdot 2  = - 7 $$ است.

مثال ۶ ریشه واحد

اگر $$ V _ { n } = a ^ { n } + b ^ { n } $$، که در آن، $$ a $$ و $$ b $$ ریشه‌های $$ x ^ 2 + x + 1 $$ هستند، مقدار عبارت زیر را به دست آورید.

$$ \large \sum _ { n = 0 } ^ { 1 7 2 9 } ( - 1 ) ^ { n } \cdot \ V _ { n } $$

حل: ریشه‌های $$ x ^ 2 + x + 1 = 0 $$ به صورت زیر هستند:

$$ \large ( a , b ) = - \frac { 1 } { 2 } \pm i \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $$

که در آن، $$ i = \sqrt { - 1 } $$ است. با استفاده از اتحاد اویلر، داریم:

$$ \large ( a , b ) = - \frac { 1 } { 2 } \pm i \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = \cos { \frac { 2 \pi } { 3 } } \pm \sin { \frac { 2 \pi }{ 3 } } = e ^ { \pm i \frac { 2 \pi } { 3 } } $$

بنابراین:

$$ \large \begin {align*}
& V _ n = a ^ n + b ^ n = e ^ { i \frac { 2 n \pi } { 3 } } + e ^ { - i \frac { 2 n \pi } { 3 } } = 2 \cos { \frac { 2 n \pi } { 3 } }
\\ & \Rightarrow V _ n = \begin {cases} + 2 \quad & n \equiv 0 \pmod { 3 } \\ - 1 \quad & n \equiv 1 \pmod { 3 } \\ - 1 \quad & n \equiv 2 \pmod { 3 } \end {cases}
\end {align*} $$

به طور مشابه، داریم:

$$ \large \sum _ { n - 0 } ^ N { ( - 1 ) ^ n V _ n } = \begin {cases} 2 \quad & N \equiv 0 \pmod { 6 } \\ 3 \quad & N \equiv 1 \pmod { 6 } \\ 2 \quad & N \equiv 2 \pmod { 6 } \\ 0 \quad & N \equiv 3 \pmod { 6 } \\ - 1 \quad & N \equiv 4 \pmod { 6 } \\ 0 \quad & N \equiv 5 \pmod { 6 } \end {cases} $$

از آنجا که $$ 1729 \equiv 1 \pmod {6} $$، جواب برابر با $$ 3 $$ خواهد بود.

مثال ۷ ریشه واحد

معادله زیر را در نظر بگیرید:‌

$$ \large f ( x ) = x ^ { 1 3 } + 2 x ^ { 1 2 } + 3 x ^ { 1 1 } + 4 x ^ { 1 0 } + \cdots + 1 3 x + 1 4 $$

عبارت زیر نیز داده شده است:

$$ \large f ( x ) = x ^ { 1 3 } + 2 x ^ { 1 2 } + 3 x ^ { 1 1 } + 4 x ^ { 1 0 } + \cdots + 1 3 x + 1 4 $$

که در آن، $$ a = \cos \left ( \frac { 2 \pi } { 1 5 } \right ) + i \sin \left ( \frac { 2 \pi } { 1 5 } \right ) $$ .

مقدار $$ M $$ را به گونه‌ای محاسبه کنید که $$ N ^ \frac {1}{M} = 15 $$ باشد.

حل: معادله را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large f ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { 1 4 } ( ( 1 4 - n ) x ^ n ) = 1 4 \sum _ { n = 0 } ^ { 1 4 } ( x ^ n ) -\sum _ { n = 0 } ^ { 1 4 } ( n x ^ n ) $$

با استفاده از فرمول جمع تصاعد هندسی، خواهیم داشت:

$$ \large \sum _ { n = 0 } ^ { 1 4 } ( x ^ n ) = \dfrac { x ^ { 1 5 } - 1 } { x - 1 } $$

با مشتق‌گیری از رابطه بالا و سپس ضرب $$ x $$ در آن، داریم:

$$ \large \sum _ { n = 0 } ^ { 1 4 } ( n x ^ n ) = \dfrac { 1 5 x ^ { 1 5 } } { x - 1 } - \dfrac { x ^ { 1 6 } - x } { ( x - 1 ) ^ 2 } $$

بنابراین، معادله به صورت زیر است:‌

$$ \large f ( x ) = 1 4 \dfrac { x ^ { 1 5 } - 1 } { x - 1 } -\dfrac { 1 5 x ^ { 1 5 } } { x - 1 } + \dfrac { x ^ { 1 6 } - x } { ( x - 1 ) ^ 2 } $$

می‌بینیم که $$ a $$ یکی از پانزده ریشه واحد است. جهت یادآوری، اگر $$ y $$ ریشه $$n$$اُم واحد باشد، آنگاه:

$$ \large y^n=1 \quad \; \text{or} \; \quad y ^ { n - 1 } + y ^ { n - 2 } + \cdots + y + 1 = 0 $$

همچنین، اگر $$ y $$ ریشه $$ n $$اُم واحد باشد، $$ y ^ k $$ با $$k $$ صحیح دارای این ویژگی است.

$$ \large a ^ { 1 5 } = 1
\\ \large
p ( a ) = a ^ { 1 4 } + a ^ { 1 3 } + . . . + a + 1 = 0 $$

بنابراین، $$ f $$ به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large f ( a ) = 1 4 \dfrac { a ^ { 1 5 } - 1 } { a - 1 } -\dfrac { 1 5 a ^ { 1 5 } } { a - 1 } + \dfrac { a ^ { 1 6 } - a } { ( a - 1 ) ^ 2 } = \dfrac { 1 5 } { 1 - a } $$

در نتیجه، باید عبارت زیر را بیابیم:

$$ \large \dfrac { 1 5 ^ { 1 4 } } { ( 1 - a ) ( 1- a ^ 2 ) ( 1 - a ^ 3 ) ( 1 - a ^ 4 ) . . . ( 1 - a ^ { 1 4 } ) } $$

می‌دانیم یک چندجمله‌ای را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب عبارات آرگومان منهای ریشه نوشت. از آنجا که $$ a $$، $$ a ^ 2 $$ و... ریشه‌های $$ p $$ هستند، داریم:

$$ \large \dfrac { 1 5 ^ { 1 4 } } { p ( 1 ) } = \dfrac { 1 5 ^ { 14 } } { 1 5 } = 1 5 ^ { { \boxed { 1 3 } } } $$

بنابراین، $$ M = 15 $$ است.

مثال ۸ ریشه واحد

با در نظر گرفتن $$ w = e ^ { \pi { i } / 1 1 } $$، حاصل عبارت زیر را به دست آورید:

$$ \large \prod _ { k = 0 } ^ { 1 1 } \left ( w ^ k - 2 w ^ { - k } \right ) . $$

حل: ابتدا می‌دانیم که $$ w ^ { 2 2 } = e ^ { 2 \pi { i } } = 1 $$. از آنجا که توان‌های زوج $$ w $$ ریشه واحد یازدهم واحد هستند، داریم: $$ z ^ { 1 1 } - 1 = \prod _ { k = 0 } ^ { 1 0 } ( z - w ^ { 2 k } ) $$. مقدار $$ z = 2 $$ را قرار می‌دهیم و خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*}
2 ^ { 1 1 } - 1 & = 2 0 4 7 = \prod _ { k = 0 } ^ { 1 0 } ( 2 - w ^ { 2 k } ) = \prod _ { k = 0 } ^ { 1 1 } ( 2 -w ^ { 2 k } ) = \prod _ { k = 0 } ^{ 1 1 } w ^ k \prod _ { k =0 } ^ { 1 1 } ( 2 w ^ { - k } - w ^ { k } ) \\ &
= w ^ { \frac { 1 1 \times 1 2 } { 2 } } \prod _ { k = 0 } ^ { 1 1 } ( w ^ k - 2 w ^ { - k } ) = \prod _ { k = 0 } ^ { 1 1 } ( w ^ k - 2 w ^ { - k } ) = \boxed {2047} \end {align*} $$

فرض کنید $$ \alpha = \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 $$ و $$ \beta = \cos \theta _ 2 + i \sin \theta _ 2 $$ اعداد مختلطی باشند که در دستگاه زیر صدق می‌کنند که در آن، $$ 0 < \theta _ 1 $$ و $$ \theta _ 2 < \frac {\pi}{2} $$ است.

$$ \large \begin {cases} \alpha ^ 3 \beta ^ 5 = 1 \\ \alpha ^ 7 \beta ^ 2 = 1 \end {cases} $$

با استفاده از قضیه دموآور، می‌توانیم زاویه اعداد مختلط را چند برابر کنیم و معادلات را برای $$ \theta _ 1 $$ و $$ \theta _ 2 $$ بنویسیم:

$$ \large \begin {align*}
3 \theta _ 1 + 5 \theta _ 2 & = 2 \pi \\
7 \theta _ 1 + 2 \theta _ 2 & = 2\pi
\end {align*} $$

با حل دو زاویه، $$ \theta_1 = \dfrac{3}{29} (2\pi) $$ و $$ \theta_2 = \dfrac{4}{29} (2\pi) $$ را خواهیم داشت. بنابراین، $$ \dfrac{\theta_1}{\theta_2}=\dfrac{3}{4} $$ و در نتیجه، $$ a + b = 7 $$ خواهد بود.