قضیه دموآور – از صفر تا صد

«فرمول دموآور» که با نام «قضیه دموآور» (de Moivre's Theorem) نیز شناخته می‌شود، فرمولی برای محاسبه توان‌های اعداد مختلط است. در ادامه، ابتدا با بررسی ضرب یک عدد مختلط در خودش به طور شهودی قضیه دموآور را بررسی می‌کنیم.

بررسی شهودی قضیه دموآور

همان‌طور که می‌دانیم، هر عدد مختلط $$z = a + i b$$ را می‌توان به فرم قطبی $$z = r ( \cos \theta + i \sin \theta )$$ نوشت که در آن، $$r = \sqrt{ a^2 + b^2 }$$ و $$\cos{\theta} = \frac{a}{r},\ \sin{\theta}=\frac{b}{r}$$ است.

در نتیجه، مربع این عدد مختلط به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \begin {aligned} z ^ 2 & = \big ( r ( \cos \theta + i \sin \theta ) \big ) ^ 2 \\ & = r ^ 2 \left ( \cos \theta + i \sin \theta \right ) ^ 2 \\ & = r ^ 2 \left ( \cos \theta \cos \theta + i \sin \theta \cos \theta + i \sin \theta \cos \theta + i ^ 2 \sin \theta \sin \theta \right ) \\ & = r ^ 2 \big ( ( \cos \theta \cos \theta - \sin \theta \sin \theta ) + i ( \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta ) \big ) \\ & = r ^ 2 \left ( \cos 2 \theta + i \sin 2 \theta \right ) . \end {aligned}$$

محاسبه بالا نشان می‌دهد که با به توان دو رساندن یک عدد مختلط، اندازه آن به توان دو می‌رسد و آرگومان یا زاویه آن در ۲ ضرب می‌شود. برای $$n \ge 3$$، قضیه دموآور این گفته را برای توان $$n$$اُم یک عدد مختلط بیان می‌کند که اندازه آن به توان $$n$$ خواهد رسید و آرگومانش ضرب در $$n$$ خواهد شد.

قضیه دموآور

برای هر عدد مختلط $$x$$ و هر عدد صحیح $$n$$، رابطه زیر را داریم:

$$\large \big ( r ( \cos \theta + i \sin \theta ) \big ) ^ n = r ^ n \big ( \cos ( n \theta ) + i \sin ( n \theta ) \big ) .$$

اثبات: قضیه را با استقرا اثبات می‌کنیم. داریم:

$$\large \begin {aligned} z ^ { n } & = \big ( r ( \cos ( \theta ) + i \sin ( \theta ) \big ) ^ { n } \\ & = r ^ { n } \big ( \cos ( \theta ) + i \sin ( \theta ) \big ) ^ { n } . \end {aligned}$$

بخش دوم، یعنی $$\big ( \cos ( \theta ) + i \sin ( \theta ) \big ) ^ { n }$$ را بررسی می‌کنیم. برای $$n = 1$$، داریم:

$$\large \big ( \cos ( \theta ) + i \sin ( \theta ) \big ) ^ { 1 } = \cos ( 1 \cdot \theta ) + i \sin ( 1 \cdot \theta )$$

که صحیح است.

فرض می‌کنیم فرمول مشابهی برای $$n = k$$ صحیح باشد، بنابراین، می‌توان نوشت:

$$\large \big ( \cos ( \theta ) + i \sin ( \theta ) \big ) ^ { k } = \cos ( k \theta ) + i \sin ( k \theta ) .$$

برای $$n = k + 1$$، انتظار داریم تساوی زیر برقرار باشد:

$$\large \big ( \cos ( \theta ) + i \sin ( \theta ) \big ) ^ { k + 1 } = \cos \big ( ( k + 1 ) \theta \big ) + i \sin \big ( ( k + 1 ) \theta \big ) .$$

و خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} \big ( \cos ( \theta ) + i \sin ( \theta ) \big ) ^ { k + 1 } & = \big ( \cos ( \theta ) + i \sin ( \theta ) \big ) ^ { k } \big ( \cos ( \theta ) + i \sin ( \theta ) \big ) ^ { 1 } \\ & = \big ( \cos ( k \theta ) + i \sin ( k \theta ) \big ) \big ( \cos ( 1 \cdot \theta ) + i \sin ( 1 \cdot \theta ) \big ) \\ & = \cos ( k \theta ) \cos ( \theta) + \cos ( k \theta ) i \sin ( \theta ) + i \sin ( k \theta ) \cos ( \theta ) + i ^ { 2 } \sin ( k \theta ) \sin ( \theta ) \\ & = \cos ( k \theta ) \cos \theta ) - \sin ( k \theta ) \sin ( \theta ) + i \big ( \cos ( k \theta ) \sin ( \theta ) + \sin ( k \theta ) \cos ( \theta ) \big ) \\ & = \cos ( k \theta + \theta ) + i \sin ( k \theta + \theta ) ) \\ & = \cos \big ( ( k + 1 ) \theta \big ) + i \sin \big ( ( k + 1 ) \theta \big ) . \end {aligned}$$

بنابراین، برای $$n = k + 1$$، همان‌طور که انتظار داشتیم، رابطه زیر برقرار است:

$$\large \big ( \cos ( \theta ) + i \sin ( \theta ) \big ) ^ { k + 1 } = \cos \big ( ( k + 1 ) \theta \big ) + i \sin \big ( ( k + 1 ) \theta \big )$$

از آنجا که قضیه برای $$n = 1$$ و $$n = k + 1$$ صحیح است، برای هر $$n \ge 1$$ نیز صحیح خواهد بود.

توجه کنید که در قضیه دموآور، عدد مختلط به فرم $$z = r ( \cos \theta + i \sin \theta )$$ است. برای اعداد مختلط به فرم عمومی $$z = a + b i$$، قبل از استفاده از این قضیه، لازم است ابتدا اندازه و زاویه $$z$$ را به دست آوریم و آن را به فرم $$r ( \cos \theta + i \sin \theta )$$ بنویسیم.

مثال اول قضیه دموآور

عبارت $$(1 - i ) ^ 6$$ را محاسبه کنید.

حل: برای بیان $$z = 1 - i$$ به فرم $$r ( \cos \theta + i \sin \theta )$$، اندازه $$r$$ و زاویه $$\theta$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {aligned} & r = \sqrt { 1 ^ 2 + ( - 1 ) ^ 2 } = \sqrt { 2 } \\ & \theta = \arctan \frac { - 1 } { 1 } = - \frac { \pi } { 4 } . \end {aligned}$$

اکنون از قضیه دموآور استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} z ^ { 6 } & = \left [ \sqrt { 2 } \left ( \cos \left ( - \frac { \pi } { 4 } \right ) + i \sin \left ( - \frac { \pi } { 4 } \right ) \right ) \right ] ^ { 6 } \\ & = \sqrt { 2 } ^ { 6 } \left [ \cos \left ( - \frac { 6 \pi } { 4 } \right ) + i \sin \left ( - \frac { 6 \pi } { 4 } \right ) \right ] \\ & = 2 ^ 3 \left [ \cos \left ( - \frac { 3 \pi } { 2 } \right ) + i \sin \left ( - \frac { 3 \pi } { 2 } \right ) \right ] \\ & = 8 ( 0 + 1 i ) \\ & = 8 i . \end {aligned}$$

مثال دوم قضیه دموآور

عبارت $$\left ( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } i \right ) ^ { 1 0 0 0 }$$ را محاسبه کنید.

حل: برای بیان $$z = \left ( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } i \right )$$ به فرم $$r ( \cos \theta + i \sin \theta )$$، مقدار $$r$$ و $$\theta$$ را به صورت زیر به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {aligned} & r = \sqrt { \left ( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }\right ) ^ 2 + \left ( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \right ) ^ 2 } = 1 \\ & \theta = \arctan 1 = \frac { \pi } { 4 } . \end {aligned}$$

اکنون از قضیه دموآور استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} z ^ { 1 0 0 0 } & = \Bigg ( \cos \left ( \frac { \pi } { 4 } \right ) + i \sin \left ( \frac { \pi } { 4 } \right ) \Bigg ) ^ { 1 0 0 0 } \\ & = \cos \left ( \frac { 1 0 0 0 \pi } { 4 } \right ) + i \sin \left ( \frac { 1 0 0 0 \pi } { 4 } \right ) \\ & = \cos 2 5 0 \pi + i \sin 2 5 0 \pi \\ & = \cos ( 0 + 1 2 5 \times 2 \pi ) + i \sin ( 0 + 1 2 5 \times 2 \pi ) \\ & = 1 . \end {aligned}$$

مثال سوم قضیه دموآور

حاصل عبارت $$\big( 1 + \sqrt{3} i \big)^{2013}$$ را به دست آورید.

حل: برای نوشتن $$z = 1 + \sqrt { 3 } i$$ به فرم $$r (\cos \theta + i \sin \theta)$$، مقدار $$r$$ و $$\theta$$ را به شکل زیر محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {aligned} & r = \sqrt { 1 ^ 2 + \big ( \sqrt { 3 } \big ) ^ 2 } = \sqrt { 4 } = 2 \\ & \theta = \arctan \frac { \sqrt { 3 } } { 1 } = \frac { \pi } { 3 } . \end {aligned}$$

اکنون با استفاده از قضیه دموآور، خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} z ^ { 2 0 1 3 } & = \Bigg ( 2 \left ( \cos \frac { \pi } { 3 } + i \sin \frac { \pi } { 3 } \right ) \Bigg ) ^ { 2 0 1 3 } \\ & = 2 ^ { 2 0 1 3 } \left ( \cos \frac { 2 0 1 3 \pi } { 3 } + i \sin \frac { 2 0 1 3 \pi } { 3 } \right ) \\ & = 2 ^ { 2 0 1 3 } ( - 1 + 0 i ) \\ & = - 2 ^ { 2 0 1 3 } . \ \end {aligned}$$

فرم دیگر قضیه دموآور

برای هر عدد مختلط $$x$$ و هر عدد صحیح $$n$$، داریم:

$$\large ( \cos x + i \sin x ) ^ n = \cos ( n x ) + i \sin ( n x )$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

اثبات: این فرمول را با استقرا روی $$n$$ و با اعمال فرمول‌های جمع و ضرب مثلثاتی اثبات می‌کنیم. ابتدا اعداد صحیح نامنفی را در نظر بگیرید. صحیح بودن حالت پایه $$n = 0$$ واضح است. برای گام استقرا، خواهیم دید که:

$$\large \begin {array} { l l } ( \cos x + i \sin x ) ^ { k + 1 } & = ( \cos x + i \sin x ) ^ k \times ( \cos x + i \sin x ) \\ & = \big ( \cos ( k x ) + i \sin ( k x ) \big) ( \cos x + i \sin x ) \\ & = \cos ( k x ) \cos x - \sin ( k x ) \sin x + i \big ( \sin ( k x ) \cos x + \cos ( k x ) \sin x \big ) \\ & = \cos \big [ ( k + 1 ) x \big ] + i \sin \big [ ( k + 1 ) x \big ] . \ \end {array}$$

دقت کنید که اثبات بالا فقط برای اعداد صحیح $$n$$ برقرار است. یک نسخه عمومی‌تر وجود دارد که در آن، $$n$$ می‌تواند یک عدد مختلط باشد. در این حالت، سمت چپ یک تابع چندمقداره و سمت راست یکی از مقادیر ممکن آن خواهد بود.

فرمول اویلر برای اعداد مختلط بیان می‌کند که اگر $$z$$ یک عدد مختلط با اندازه $$r _z$$  و زاویه $$\theta _ z$$ باشد، آنگاه داریم:

$$\large z = r _ z e ^ { i \theta _ z } .$$

اثبات این گفته به بهترین وجه با استفاده از بسط سری توانی (مک لورن) قابل انجام است. با این کار، اثبات دیگری از قضیه دموآور داریم که مستقیماً از ضرب اعداد مختلط به فرم قطبی به دست می‌آید.

مثال چهارم قضیه دموآور

نشان دهید رابطه زیر برقرار است:

$$\large \cos ( 5 \theta ) = \cos ^ 5 \theta - 10 \cos ^ 3 \theta \sin ^ 2 \theta + 5 \cos \theta \sin ^ 4 \theta$$

حل: با اعمال قضیه دموآور برای $$n = 5$$، داریم:

$$\large \cos ( 5 \theta ) + i \sin ( 5 \theta ) = ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ 5 .$$

با بسط سمت راست با استفاده از قضیه دوجمله‌ای و مقایسه مؤلفه‌های حقیقی، خواهیم داشت:

$$ \large \cos ( 5 \theta ) = \cos ^ 5 \theta - 1 0 \cos ^ 3 \theta \sin ^ 2 \theta + 5 \cos \theta \sin ^ 4 \theta . \ $$

توجه کنید که برای عدد صحیح $$n$$، عبارت $$\cos ( n \theta )$$ را تنها بر حسب جملات $$\cos \theta$$ با استفاده از اتحاد $$\sin ^ 2 \theta = 1 - \cos ^ 2 \theta$$ می‌نویسیم.

مثال پنجم قضیه دموآور

حاصل عبارت $$\sin (0\theta) + \sin (1 \theta) + \sin (2 \theta) + \cdots + \sin (n \theta)$$ را به دست آورید.

حل: از فرمول دموآور استفاده می‌کنیم و مؤلفه‌های موهومی عبارت زیر را برابر قرار می‌دهیم:

$$\large ( \cos \theta + i \sin \theta)^0 + ( \cos \theta + i \sin \theta)^1 + ( \cos \theta + i \sin \theta) ^2 + \cdots + ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ n .$$

عبارت بالا را به عنوان مجموع یک تصاعد هندسی می‌نویسیم:

$$\large \frac { ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ { n + 1 } - 1 } { ( \cos \theta + i \sin \theta ) - 1 }$$

تا زمانی که قدر نسبت ۱ نباشد، یعنی $$\theta \neq 2 k \pi$$. (توجه کنید که در این حالت، هر جمله بر حسب $$\sin ( k \theta )$$ برابر با صفر است و در نتیجه، مجموع صفر خواهد بود).

با تبدیل به فرم قطبی، خواهیم داشت:

$$\large \frac { e ^ { i ( n + 1 ) \theta } - 1 } { e ^ { i \theta } - 1 } = \frac { e ^ { i \left ( \frac { n + 1 } { 2 } \right ) \theta } } { e ^ { i \frac { 1 } { 2 } \theta } } \times \frac { e ^ { i \left ( \frac { n + 1 } { 2 } \right ) \theta } - e ^ { - i \left ( \frac { n + 1 } { 2 } \right ) \theta } } { e ^ { i \frac { 1 } { 2 } \theta } - e ^ { - i \frac { 1 } { 2 } \theta } } = e ^ { i \frac { n } { 2 } \theta } \frac { 2 i \sin \left [ ( \frac { n + 1 } { 2 } ) \theta \right ] } { 2 i \sin \left ( \frac { 1 } { 2 } \theta \right ) } .$$

با در نظر گرفتن بخش موهومی، می‌توان نوشت:

$$ \large \frac { \sin \left ( \frac { n } { 2 } \theta \right ) \sin \left ( \frac { n + 1 } { 2 } \theta \right ) } { \sin \left ( \frac { 1 } { 2 } \theta \right ) } . \ $$

محاسبه ریشه اعداد با قضیه دموآور

ریشه‌های $$n$$اُم عددِ یک جواب‌های مختلط معادله زیر هستند:

$$\large z ^ n = 1 .$$

فرض کنید عدد مختلط $$z = a + b i$$ یک جواب برای این معادله باشد و فرم قطبی آن، $$z = r e ^ { i \theta }$$ باشد که در آن، برای $$0 \le \theta \le 2 \pi$$، داریم: $$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$ و $$\tan \theta = \frac{b}{a}$$. در نتیجه، طبق قضیه دموآور، داریم:

$$\large 1 = z ^ n = \big ( r e ^ { i \theta } \big ) ^ n = r ^ n ( \cos \theta + i \sin \theta ) ^ n = r ^ n ( \cos n \theta + i \sin n \theta ) .$$

این یعنی $$r ^ n = 1$$ و از آنجا که $$r$$ یک عدد نامنفی حقیقی است، داریم: $$r = 1$$. همچنین، برای برخی اعداد صحیح $$k$$، داریم: $$n \theta = 2k \pi$$ یا $$\theta = \frac{2k \pi}{n}$$. اکنون مقادیر $$k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$$ مقادیر متمایزی را برای $$\theta$$ نتیجه می‌دهند و برای هر مقدار $$k$$ دیگری، می‌توانیم مضرب صحیحی از $$n$$ را جمع یا منها کنیم تا یکی از این مقادیر $$\theta$$ کاهش پیدا کند.

بنابراین، ریشه‌های $$n$$اُم عدد ۱، اعداد مختلط زیر هستند:

$$\large e ^ { \frac { 2 k \pi } { n } i } = \cos \left ( \frac { 2 k \pi } { n } \right ) + i \sin \left ( \frac { 2 k \pi } { n } \right ) \text{, }\;\; k = 0, 1, 2, \ldots , n - 1 .$$

مشاهده می‌کنیم که عبارت بالا $$n$$ ریشه $$n$$اُم مختلط عدد یک را نشان می‌دهد، همان‌طور که از قضیه اساسی جبر نیز چنین چیزی به دست می‌آید. از آنجا که اندازه همه ریشه‌های مختلط عدد ۱ برابر با ۱ است، این نقاط همه روی دایره واحد قرار دارند. علاوه بر این، از آنجا که زاویه بین هر دو ریشه متوالی $$\frac{2\pi}{n}$$ است، ریشه‌های مختلط عدد یک در فواصل برابر روی دایره واحد قرار دارند.

مثال ششم قضیه دموآور

جواب‌های مختلط معادله $$z = \sqrt[3]{1}$$ را به دست آورید.

حل: با به توان ۳ رساندن دو طرف معادله، به معادله $$z ^ 3 = 1$$ می‌رسیم که در نتیجه، $$z$$ ریشه سوم عدد یک خواهد بود. طبق فرمول بالا، ریشه‌های سوم عدد یک برابرند با:

$$\large e ^ { \frac { 2 k \pi } { 3 } i } = \cos \left ( \frac { 2 k \pi } { 3 } \right ) + i \sin \left ( \frac { 2 k \pi } { 3 } \right ) \text { , } \;\;k = 0 , 1 , 2 .$$

در نتیجه، ریشه‌ها $$1$$، $$e^{\frac{2\pi}{3} i}$$ و $$e^{\frac{4\pi}{3} i}$$ خواهند بود، یا:

$$\large 1 , \quad - \frac {1 } { 2 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } i , \quad - \frac { 1 } { 2 } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } i .$$

توجه کنید که یک راه دیگر برای حل این معادله، فاکتورگیری به صورت $$z^3 -1 = (z-1) (z^2 + z + 1)$$ خواهد بود. در نتیجه، جوا‌ب‌ها $$z = 1$$ و جواب‌های معادله درجه دوم $$z^2 + z + 1=0$$ هستند که به راحتی محاسبه می‌شوند.

مثال هفتم قضیه دموآور

عدد صحیح مثبت $$n$$ داده شده است. فرض کنید رابطه $$\zeta = e^{\frac{2k\pi }{ n} i }$$ را برای $$k = 1, 2, \ldots, n-1$$ داشته باشیم؛ یعنی $$\zeta$$ یکی از ریشه‌های $$n$$اُم عدد یک باشد که خود برابر با ۱ نیست. نشان دهید رابطه زیر برقرار است:

$$\large 1 + \zeta + \zeta^2 + \cdots + \zeta^{n-1} = 0.$$

حل: از آنجا که $$\zeta$$ یک ریشه $$n$$اُم از عدد ۱ است، داریم: $$\zeta ^ n = 1$$. بنابراین:

$$\large 0 = 1 - \zeta ^ n = ( 1 - \zeta ) \big ( 1 + \zeta + \zeta ^ 2 + \cdots + \zeta ^ { n - 1 } \big ) .$$