توان و ریشه اعداد مختلط – از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، اعداد مختلط و فرم نمایی و قطبی آن‌ها را بررسی کردیم. در این آموزش، روش‌های محاسبه سریع به توان و ریشه صحیح اعداد مختلط را معرفی خواهیم کرد.

توان اعداد مختلط

ابتدا، از توان صحیح عدد مختلط $$z = r{{\bf{e}}^{i\theta }}$$ شروع می‌کنیم. دلیل استفاده از این نمایش، سادگی کار با آن است. بنابراین، اگر عدد مختلط $$z$$ را به توان عدد صحیح $$n$$ برسانیم، حاصل آن برابر است با:

$$\begin{equation}{z^n} = {\left( {r{{\bf{e}}^{i\theta }}} \right)^n} = {r^n}{{\bf{e}}^{i\,\,n\theta }}\label{eq:eq1}\end{equation}$$

مثال 1

حاصل عبارت $${\left( {3 + 3i} \right)^5}$$ را به‌دست آورید.

حل: البته که برای حل این مثال می‌توانیم عبارت داخل پرانتز را ۵ بار در خودش ضرب کنیم، اما حتماً شما هم تأیید می‌کنید که این کار، زمان‌بر و خسته‌کننده است. در ضمن، به دلیل محاسبات زیاد، ممکن است دچار اشتباه نیز بشویم. پس راه‌حل چیست؟ همان‌گونه که گفتیم، استفاده از فرم قطبی کار را بسیار ساده خواهد کرد. بنابراین، فرم قطبی عبارت $$3 + 3i$$ را می‌نویسیم:

$$r = \sqrt {9 + 9} = 3\sqrt 2 \hspace{0.5in} \tan \theta = \frac{3}{3} \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} {\mathop{\rm Arg}\nolimits} \,z = \frac{\pi }{4}$$

در نتیجه، $$3 + 3i = 3\sqrt 2 {{\bf{e}}^{i\frac{\pi }{4}}}$$.

توجه کنید که از مقدار اصلی آرگومان در فرم نمایی استفاده کردیم، هرچند این کار الزامی نیست (زیرا پاسخ آن‌ها برابر است). اکنون از رابطه $$\begin{equation}{z^n} = {r^n}{{\bf{e}}^{i\,\,n\theta }}\end{equation}$$ استفاده می‌کنیم:

$$\begin{align*}{\left( {3 + 3i} \right)^5} & = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^5}{{\bf{e}}^{i\,\frac{{5\pi }}{4}}}\\ & = 972\sqrt 2 \,\left( {\cos \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)} \right)\\ & = 972\sqrt 2 \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)\\ & = - 972 - 972i\end{align*}$$

می‌بینیم که حاصل عبارت توانی به‌سادگی محاسبه شد.

حال فرض کنید $$r=1$$ باشد. بنابراین، داریم:

$$$${z^n} = {\left( {{{\bf{e}}^{i\theta }}} \right)^n} = {{\bf{e}}^{in\theta }}

و اگر آن را ساده کنیم، به عبارت زیر می‌رسیم که به «فرمول دو مواور» (de Moivre’s formula) مشهور است:

$${\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)^n} = \cos \left( {n\,\theta } \right) + i\sin \left( {n\,\theta } \right) \hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$

ریشه اعداد مختلط

اکنون نحوه محاسبه ریشه اعداد مختلط را بیان می‌کنیم. از حالت ساده ریشه $$n$$اُم عدد ۱ شروع می‌کنیم. پس از آن، ریشه $$n$$اُم را مورد بحث قرار خواهیم داد.

بنابراین، رابطه زیر را در نظر بگیرید:

$${z^n} = 1$$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل سوالات کنکور دکتری در فرادرس

کلیک کنید

واضح است که $$z=1$$ یکی از پاسخ‌های این معادله است. می‌خواهیم بدانیم که آیا پاسخ دیگری برای این معادله وجود دارد؟ برای پاسخ به این پرسش، از این واقعیت استفاده می‌کنیم که معادله $$z_1=z_2$$، اگر و تنها اگر به‌ازای $$k$$ ($${\,\,k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }$$) داشته باشیم:

$${r_1} = {r_2}$$   و   $${\theta _2} = {\theta _1} + 2\pi$$

بنابراین، دو طرف معادله را به‌شکل قطبی زیر می‌نویسیم:

$${\left( {r{{\bf{e}}^{i\theta }}} \right)^n} = 1\,{{\bf{e}}^{i\left( 0 \right)}} \hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in} {r^n}{{\bf{e}}^{i\,\,n\theta }} = 1\,{{\bf{e}}^{i\left( 0 \right)}}$$

با توجه به شرایط تساوی دو عدد مختلط که بیان کردیم، می‌توانیم تساوی‌های زیر را بنویسیم:

$${r^n} = 1 \hspace{0.5in} n\theta = 0 + 2\pi k\, \hspace{0.25in} k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$

از آن‌جایی که $$r$$ یک عدد صحیح مثبت است (مطابق فرضی که درباره فرم قطبی و نمایی وجود دارد)، پاسخ به صورت زیر خواهد بود:

$$r = 1 \hspace{0.5in} \theta = \frac{{2\pi k}}{n}\, \hspace{0.25in} k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$

می‌توان مقادیر بالا را با فرم یکپارچه زیر بیان کرد:

$$z = \exp \left( {i\,\,\frac{{2\pi k}}{n}} \right) \hspace{0.25in} k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$

معادله بالا، نشان دهنده نقاط روی یک دایره واحد است که فاصله هر دو نقطه از آن‌ها، برابر با $$\frac{{2\pi }}{n}$$ رادیان است. می‌توانیم بگوییم $$n$$ ریشه مجزا داریم که متناظر با $$k = 0,1,2, \ldots ,n - 1$$ هستند.

بنابراین، $$n$$ ریشه $$n$$اُم برای عدد $$1$$ وجود دارد که با رابطه زیر تعیین می‌شوند:

$$\begin{equation}\exp \left( {i\,\,\frac{{2\pi k}}{n}} \right) = \cos \left( {\frac{{2\pi k}}{n}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi k}}{n}} \right) \hspace{0.5in} k = 0,1,2, \ldots ,n - 1\end{equation}$$

یک شیوه ساده‌تر برای نوشتن ریشه $$n$$اُم عدد $$1$$، به‌صورت زیر است:

$$\begin{equation}{\omega _n} = \exp \left( {i\,\,\frac{{2\pi }}{n}} \right)\end{equation}$$

بنابراین، می‌توان همه ریشه‌های $$n$$اُم عدد $$1$$ را به‌فرم زیر نوشت:

$$\omega _n^k = {\left( {\exp \left( {i\,\,\frac{{2\pi }}{n}} \right)} \right)^k} = \exp \left( {i\,\,\frac{{2\pi k}}{n}} \right) \hspace{0.5in} k = 0,1,2, \ldots n - 1$$

اگر بخواهیم هر یک از ریشه‌ها را به‌صورت جداگانه بنویسیم، داریم:

$$\begin{equation}1,{\omega _n},\omega _n^2, \ldots ,\omega _n^{n - 1}\end{equation}$$

که $$\omega _n$$ را در بالا معرفی کردیم.

مثال ۲

ریشه‌های دوم، سوم و چهارم عدد $$1$$ را محاسبه کنید.

حل: از ریشه دوم شروع می‌کنیم. طبق فرمول‌هایی که گفته شد، داریم:

$${\omega _2} = \exp \left( {i\,\,\frac{{2\pi }}{2}} \right) = {{\bf{e}}^{i\,\pi }}$$

که نتیجه می‌دهد:

$$\begin{align*}1 = 1 \hspace{0.5in} {\rm{و}} \hspace{0.5in} {\omega _2} & = {{\bf{e}}^{i\,\pi }}\\ & = \cos \left( \pi \right) + i\sin \left( \pi \right)\\ & = - 1\end{align*}$$

بنابراین، ریشه‌های دوم عدد $$1$$، اعداد $$1$$ و $$-1$$ هستند. البته این موضوع شاید بدیهی باشد که پاسخ معادله $$z^2=1$$، اعداد $$1$$ و $$-1$$ هستند.

اکنون ریشه‌ها سوم عدد $$1$$ را محاسبه می‌کنیم که معادل با حل معادله زیر است:

$${z^3} = 1$$

از ظاهر معادله فوق می‌توانیم بگوییم که یکی از ریشه‌های آن، عدد $$1$$ است. اما درباره دو ریشه دیگر چه می‌توان گفت؟ پاسخ در رابطه زیر نهفته است:

$${\omega _3} = \exp \left( {i\,\,\frac{{2\pi }}{3}} \right)$$

از معادله بالا نتایج زیر به‌دست می‌آیند:

$$\begin{align*}1 = 1 \hspace{0.5in} {\omega _3} & = \exp \left( {i\,\,\frac{{2\pi }}{3}} \right) & \omega _3^2 & = \exp \left( {i\,\,\frac{{4\pi }}{3}} \right)\\ & = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) & \hspace{0.5in} & = \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right)\\ & = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i & & = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{align*}$$

برای صحت نتایج، می‌توانید هریک را سه بار در خودش ضرب کنید.

در نهایت، باید چهار ریشه چهارم عدد $$1$$ را به‌دست آوریم. این ریشه‌ها به سادگی از فرمول زیر حاصل می‌شوند:

$${\omega _4} = \exp \left( {i\,\,\frac{{2\pi }}{4}} \right) = \exp \left( {i\,\,\frac{\pi }{2}} \right)$$

ریشه‌ها به‌صورت زیر هستند:

$$\begin{align*}1 = 1 \hspace{0.25in} {\omega _4} & = \exp \left( {i\,\,\frac{\pi }{2}} \right) \hspace{0.5in} & \omega _4^2 & = \exp \left( {i\,\,\pi } \right) \hspace{0.5in} & \omega _4^3 & = \exp \left( {i\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\\ & = i & & = - 1 & & = - i\end{align*}$$

اکنون می‌خواهیم کمی عمومی‌تر درباره یافتن ریشه اعداد مختلط صحبت کنیم. $$z_0^{1/n}$$ را به‌عنوان عدد مختلطی در نظر بگیرید که در معادله زیر صدق می‌کند:

$$\begin{equation}{z^n} = {z_0}\end{equation}$$

برای یافتن مقادیر $$z_{0}^{{1}/{n}\;}$$ می‌توانیم معادله را مطابق روندی که درباره ریشه $$n$$اُم یک عدد بیان شد، حل کنیم. بنابراین، اگر $${r_0} = \left| {{z_0}} \right|$$ و $${\theta _0} = \arg {z_0}$$ را در نظر بگیریم ($$\theta _0$$ می‌تواند هر مقداری از آرگومان $$z_0$$ باشد، اما معمولاً مقدار اصلی آن را در نظر می‌گیریم)، داریم:

$${\left( {r{{\bf{e}}^{i\theta }}} \right)^n} = {r_0}\,{{\bf{e}}^{i\,\,{\theta _0}}} \hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in} {r^n}{{\bf{e}}^{i\,\,n\theta }} = {r_0}\,{{\bf{e}}^{i\,\,{\theta _0}}}$$

از رابطه بالا می‌توان دریافت:

$$r = \sqrt[n]{{{r_0}}} \hspace{0.5in} \theta = \frac{{{\theta _0}}}{n} + \frac{{2\pi k}}{n} \hspace{0.25in} k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$

بنابراین، ریشه‌ها به‌صورت زیر خواهند بود:

$$\begin{equation}{a_k} = \sqrt[n]{{{r_0}}}\exp \left( {i\left( {\frac{{{\theta _0}}}{n} + \frac{{2\pi k}}{n}} \right)} \right) \hspace{0.25in} k = 0,1,2, \ldots ,n - 1\end{equation}$$

در نتیجه، به‌سادگی می‌توان ریشه $$n$$اُم عدد مختلط $$z_0$$ را محاسبه کرد. این $$n$$ ریشه به‌صورت زیر هستند:

$$a,\,\,a{\omega _n},\,\,a\omega _n^2,\, \ldots ,,\,\,a\omega _n^{n - 1}$$

که در آن، $$\omega _n$$ برابر است با:

$$\begin{equation}{\omega _n} = \exp \left( {i\,\,\frac{{2\pi }}{n}} \right)\end{equation}$$

مثال ۳

حاصل عبارت $${\left( {2i} \right)^{\frac{1}{2}}}$$ را به‌دست آورید.

حل: ابتدا عدد را به‌فرم نمایی می‌نویسیم:

$$2i = 2\exp \left( {i\,\frac{\pi }{2}} \right)$$

اگر از $${\theta _0} = \frac{\pi }{2}$$ استفاده کنیم، ریشه‌ها را می‌توانیم به‌صورت زیر بنویسیم:

$${a_k} = \sqrt 2 \exp \left( {i\left( {\frac{\pi }{4} + \pi k} \right)} \right) \hspace{0.25in} k = 0,1$$

با جایگذاری مقادیر $$k$$ در فرمول فوق داریم:

$$\begin{align*}{a_0} & = \sqrt 2 \exp \left( {i\frac{\pi }{4}} \right) \hspace{0.25in} & {a_1} & = \sqrt 2 \exp \left( {i\left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)} \right)\\ & = \sqrt 2 \left( {\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)} \right) \hspace{0.25in} & & = \sqrt 2 \left( {\cos \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)} \right)\\ & = 1 + i & & = - 1 - i\end{align*}$$

مثال ۴

مقدار عبارت $${\left( {\sqrt 3 \, - i} \right)^{\frac{1}{3}}}$$ را حساب کنید.

حل: فرم نمایی عبارت داخل پرانتز به‌صورت زیر است:

$$\sqrt 3 - i = 2\exp \left( {i\,\left( { - \frac{\pi }{6}} \right)} \right)$$

با استفاده از معادله‌ای که بیان کردیم، پاسخ به‌صورت زیر خواهد بود:

$${a_k} = \sqrt[3]{2}\exp \left( {i\left( { - \frac{\pi }{{18}} + \frac{{2\pi k}}{3}} \right)} \right) \hspace{0.25in} k = 0,1,2$$

اگر مقادیر $$k$$ را جایگذاری کنیم، سه ریشه زیر به‌دست می‌آیند:

$$\begin{align*}{a_0} & = \sqrt[3]{2}\exp \left( {i\left( { - \frac{\pi }{{18}}} \right)} \right) = \sqrt[3]{2}\left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{{18}}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{{18}}} \right)} \right) = 1.24078 - 0.21878\,i\\ {a_1} & = \sqrt[3]{2}\exp \left( {i\frac{{11\pi }}{{18}}} \right) = \sqrt[3]{2}\left( {\cos \left( {\frac{{11\pi }}{{18}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{11\pi }}{{18}}} \right)} \right) = - 0.43092 + 1.18394\,i\\ {a_2} & = \,\sqrt[3]{2}\exp \left( {i\frac{{23\pi }}{{18}}} \right) = \sqrt[3]{2}\left( {\cos \left( {\frac{{23\pi }}{{18}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{23\pi }}{{18}}} \right)} \right) = - 0.80986 - 0.96516\,i\end{align*}$$