فرمول فشار چیست؟ – در فیزیک به زبان ساده و با مثال

در مطالب قبلی با مفهوم فشار و انواع آن آشنا شدیم. فشار عبارت است از نیروی وارد بر واحد سطح، در نتیجه فرمول اصلی فشار یا P برابر می‌شود با نیروی وارد بر جسم (F)‌ تقسیم بر مساحتی که نیرو به آن وارد شده است (A)، یعنی داریم $$P =\frac{F}{A}$$. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، پس از اینکه یاد گرفتیم فرمول فشار چیست، توضیح می‌دهیم که انواع فشار چه فرمولی دارند و فرمول فشار در مایعات، گازها و جامدات چه تفاوتی با هم دارد. همچنین با حل مثال و تمرین در هر بخش، به شما کمک می‌کنیم تا نحوه استفاده از این فرمول‌ها را کاملا بیاموزید.

فرمول فشار چیست؟

برای اینکه ببینیم فرمول فشار چیست، ابتدا باید فشار را تعریف کنیم. فشار وارد بر یک ماده عبارت است از نیروی عمودی وارد بر سطح آن. پس اگر اندازه نیرو را با F و سطحی که نیرو روی آن توزیع می‌شود را با A نشان دهیم، فشار P با فرمول $$P =\frac{F}{A}$$ محاسبه می‌شود. فشار انواع مختلفی دارد که هر کدام فرمول مخصوص به ‌خود را دارند. همچنین فشار در شاره‌ها و گازهای کامل به عوامل دیگری بستگی دارد. فرمول‌های فشار شامل موارد زیر هستند:

• فرمول فشار در شاره‌ها: فشار ناشی از نیروی وزن ستون مایعی با چگالی ρ و عمق h، از $$P =\rho gh$$ به‌دست می‌آید.
• فرمول فشار پیمانه‌ای: در مرجع فشار اتمسفر، فشار پیمانه‌ای اختلاف مقادیر فشار مطلق و فشار هوا $$P_g =P-P_0$$ است.
• فرمول فشار مطلق: در مرجع خلاء کامل، فشار مطلق مجموع مقادیر فشار هوا و فشار پیمانه‌ای $$P =P_g+P_0$$ است.
• فرمول فشار گازهای کامل: فشار گاز کاملی با حجم V و دمای T که دارای n ذره است از رابطه $$P=\frac{nRT}{V}$$ محاسبه می‌شود.

در بخش‌های بعد هر کدام از این فرمول‌ها را کاملا توضیح می‌دهیم. پس اولین قدم برای محاسبه درست فشار این است که تشخیص دهیم در کدام موقعیت و شرایط قرار داریم و فرمول مناسب چیست. انواع مختلف فشار عبارت‌اند از فشار پیمانه‌ای یا فشار گیج (P_g)، فشار مطلق یا فشار کل (P)، فشار دیفرانسیلی و فشار هوا یا فشار اتمسفریک (P_۰). همچنین فشار می‌تواند از سمت مایع، جامد یا گاز وارد شود، برای مثال فشار در جامدات، فشار در مایعات (فشار در شاره‌ها) و فشار ناشی گازها. در ادامه خواهیم دید که در محیط‌های مختلف ممکن است فشار به عوامل مختلفی مثل چگالی، دما یا عمق بستگی داشته باشد و در نتیجه فرمول متفاوتی برای آن داشته باشیم.

فشار به چه عواملی بستگی دارد؟

در بخش قبل آموختیم که اصلی‌ترین فرمول فشار چیست. طبق فرمول $$P =\frac{F}{A}$$، فشار به دو کمیت نیرو و مساحت وابسته است. پیش از اینکه به ادامه این مبحث بپردازیم، اگر می‌خواهید فشار را با جزئیات بیشتری آموزش ببینید، پیشنهاد می‌کنیم از فیلم آموزشی فیزیک پایه دهم فرادرس استفاده کنید که لینک آن در ادامه برای شما قرار داده شده است:

فرض کنید در حال برش یک میوه به وسیله چاقو هستید. اگر بخواهید حدس بزنید که آیا با این چاقو می‌توانید میوه را برش دهید یا نه، دانستن مقدار نیروی اعمال شده به چاقو به تنهایی کافی نیست. عامل دیگری به نام مساحتی که نیرو به آن وارد می‌شود، نیز مهم است. به عبارت دیگر، این فشار وارد بر چاقو است که نحوه توزیع این نیرو روی یک سطح را مشخص می‌کند. اثر تغییرات مساحت یا نیرو روی فشار به‌صورت زیر است (در روابط پایین، منظورمان از ↑ افزایش و ↓ به‌ معنای کاهش کمیت است):

• اگر مساحت A ثابت باشد، با افزایش یا کاهش F فشار ایجاد شده به‌ترتیب افزایش یا کاهش می‌یابد:

$$P \propto F$$

$$F \uparrow \ \Rightarrow \ P \uparrow$$

یا

$$A \downarrow \ \Rightarrow \ P \downarrow$$

• اگر نیروی F ثابت باشد، با افزایش یا کاهش A فشار ایجاد شده به‌ترتیب کاهش یا افزایش می‌یابد:

$$P \propto\frac{1}{A}$$

$$A \uparrow \ \Rightarrow \ P \downarrow$$

یا

$$A \downarrow \ \Rightarrow \ P \uparrow$$

مساحت اندازه‌ای از فضا است که یک سطح صاف دارای طول و عرض و بدون عمق، اشغال می‌کند. با اینکه واحد SI برای مساحت متر مربع یا m^۲ است، اما ممکن است بر حسب cm^۲ یا mm^۲ یا in^۲ هم بیان شود. در شکل بالا نیروی مساوی ‎۱۰ N روی دو سطح با ابعاد و مساحت‌های مختلف توزیع شده است. با توجه به اینکه شکل سمت راست، مساحت بزرگتری دارد، پس فشار وارد شده از سمت نیرو روی این سطح کمتر است. اما برای مساحت کوچکتر سمت چپ، فشار بیشتر است.

پس اگر بخواهیم فشار بیشتری ایجاد کنیم دو راه داریم:

1. با ثابت نگه داشتن مساحت، نیروی وارد بر آن را افزایش دهیم.
2. با ثابت نگه داشتن نیرو، مساحتی که این نیرو به آن وارد می‌شود را کم کنیم.

طبق شکل زیر، فرمول فشار رابطه‌ای است که بین سه کمیت فشار، نیرو و مساحت ارتباط برقرار می‌کند، به این معنا که با داشتن هر دو کمیت معلوم، می‌توانیم کمیت سوم مجهول را محاسبه کنیم. اگر نیرو و مساحت سطحی که نیروی وارد شده روی آن توزیع شده است، مشخص باشند، فشار از تقسیم نیرو بر مساحت یعنی رابطه $$P =\frac{F}{A}$$ به‌دست می‌آید. گاهی ممکن است مقدار فشار مشخص باشد و یکی از دو کمیت نیرو یا مساحت نامعلوم باشد. در این صورت به‌ترتیب یکی از دو رابطه $$F=PA$$ یا $$A =\frac{F}{P}$$ را باید بکار ببریم.

واحد فشار چیست؟

پس از توضیح مفهوم فشار و عواملی که تعیین‌کننده فشار وارد بر یک ماده است، کاملا متوجه شدیم که فرمول فشار چیست. در این قسمت با استفاده از فرمول اصلی فشار، می‌خواهیم ببینیم واحد فشار در سیستم‌ بین‌المللی یکاها یا SI چه خواهد شد. اگر طبق فرمول فشار، نیرو را بر حسب واحد استاندارد آن یعنی نیوتن (N) و سطح مقطع یا مساحت A را نیز بر حسب متر مربع (m^۲) بنویسیم، در این صورت فشار طبق فرمول بر حسب نیوتن بر متر مربع به‌دست خواهد آمد:

$$P =\frac{F}{A}\Rightarrow\frac{N}{m^2}$$

نیوتن بر متر مربع را پاسکال می‌نامند و با Pa نشان داده می‌شود. پس فشار یک پاسکال برابر است با نیرویی به اندازه یک نیوتن که به مساحتی به اندازه یک متر مربع وارد شده است:

$$1Pa=1\frac{N}{m^2}$$

فشار از جمله کمیت‌هایی است که ممکن است بر حسب واحدهای مختلفی بیان شود، برای مثال اتمسفر (atm)، میلی‌متر جیوه (mmHg)، بار (bar)، تور (torr) و پوند بر اینچ مربع (psi). رابطه‌ مهمی که بین واحدهای مختلف فشار وجود دارد، به شکل زیر است:

$$1 \ atm \approx10^5 \ Pa=760 \ mmHg =760 \ torr=14.7 \ psi \approx 1 \ bar$$

یادگیری فشار با فرادرس برای دانش‌آموزان

پیش از اینکه به ادامه مبحث بپردازیم و ببینیم نحوه کاربرد فرمول فشار چیست، در این قسمت پیشنهاد می‌کنیم چنانچه دانش‌آموز هستید، جهت تقویت یادگیری مبحث فشار، این فیلم‌های آموزشی تهیه شده در مجموعه فرادرس را مشاهده کنید:

1. مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور درس، تمرین، حل مثال و تست فرادرس
2. مجموعه آموزش دروس پایه دهم درس، تمرین، حل مثال و تست فرادرس
3. فیلم آموزش علوم تجربی نهم - بخش فیزیک فرادرس
4. فیلم آموزش فیزیک دهم فرادرس
5. فیلم آموزش رایگان آموزش ویژگی های فیزیکی مواد در فیزیک پایه دهم مرور و حل تمرین فرادرس
6. فیلم آموزش فیزیک دهم – مرور و حل تمرین فرادرس

حل مثال و تمرین - فرمول فشار

در بخش قبل کاملا توضیح دادیم که فرمول فشار چیست. در این بخش می‌خواهیم نحوه استفاده از این فرمول را در حل مسائل مختلف بررسی کنیم. برای این منظور، ابتدا فرمول فشار را بنویسید. سپس تمام داشته‌های مسئله را مشخص کنید و ببینید مجهول کدام یک از سه کمیت فشار، نیرو و مساحت است. در انتها با قرار دادن مقادیر معلوم در فرمول فشار، مجهول را محاسبه کنید.

در عددگذاری باید دقت کنید واحدهای استاندارد در فرمول قرار داده شوند، مگر اینکه خود سوال مشخص کرده باشد کمیت را بر حسب کدام واحد دیگر محاسبه کنید. در این قسمت پس از حل چند مثال، با پاسخ‌دهی به تمرین‌هایی که در قالب سوالات چهار گزینه‌ای برای شما تنظیم شده است، می‌توانید یادگیری خود را در این بخش بیازمایید. همچنین در صورتی که دانش‌آموز پایه دهم هستید، در مطلب «فرمول های فیزیک دهم در یک نگاه» از مجله فرادرس، مجموعه‌ای از تمام فرمول‌های کتاب درسی فیزیک پایه دهم برای شما تهیه شده است که می‌توانید در صورت نیاز از آن استفاده کنید.

مثال ۱

اگر نیرویی ‎۶۰۰ N به مساحت ‎۲۰ m^۲ وارد شود، فشار ناشی از این نیرو را محاسبه کنید:

پاسخ

گفتیم ابتدا فرمول فشار را می‌نویسیم. سپس با نگاه کردن به فرمول و اعدادی که در صورت سوال داده شده است، مشخص می‌کنیم که کدام کمیت‌ها را داریم و مجهول چیست. در این سوال مقدار نیروی F و مساحت A کاملا مشخص است. پس با عددگذاری در فرمول فشار، P محاسبه می‌شود:

$$P =\frac{F}{A}$$

$$\Rightarrow P =\frac{600}{20}=30 \ Pa$$

مثال ۲

اگر به سطحی با مساحت ‎۶ m^۲ فشار ‎۴۰ Pa وارد شود، نیرویی که چنین فشاری ایجاد کرده است، چقدر است؟

پاسخ

با نوشتن فرمول فشار و مشخص کردن داده‌های سوال که A و P هستند، مشخص است که نیروی F در این سوال باید حساب شود. پس می‌توانیم F را در فرمول اصلی به یک طرف تساوی ببریم و معلوم‌های مسئله، یعنی A و P را در طرف دیگر تساوی قرار دهیم:

$$P =\frac{F}{A}$$

$$\Rightarrow F=PA$$

$$\Rightarrow F=40\times6=240 \ N$$

مثال ۳

فرض کنید کتابی را به شکل زیر روی یک شلف در نظر داریم. اگر نیروی عمودی ‎۳۰ N به سمت پایین به این کتاب وارد شود، فشار وارد شده به شلف از سمت کتاب را محاسبه کنید:

پاسخ

نیرویی که به کتاب وارد می‌شود، عمود بر سطح بالایی آن و به سمت پایین (به سمت شلف) است. پس فشار ناشی از این نیرو به شلف وارد می‌شود. همچنین این نیرو روی سطحی با ابعاد ‎۲۵ cm در ‎۱۰ cm توزیع می‌شود. بنابراین برای محاسبه فشار کافی است ابتدا مساحت A را به دست آوریم. این سطح در واقع یک متوازی الاضلاع است که مساحت آن از ضرب کردن دو ضلع به‌دست می‌آید:

$$A =25 \times10=250 \ cm^2$$

حالا باید برای مساحت تبدیل واحد انجام دهیم:

$$1 \ cm = 10^{-2} \ m \Rightarrow 1 \ cm^2 = 10^{-4} \ m^2$$

$$\Rightarrow \frac{10^{-4} \ m^2}{1 \ cm^2}=1$$

$$250 \ cm^2= 250\ cm^2 \times \frac{10^{-4} \ m^2}{1 \ cm^2} =0.025 \ m^2$$

با قرار دادن مقادیر معلوم در فرمول فشار، برای فشار وارد بر شلف از طرف این کتاب خواهیم داشت:

$$P =\frac{F}{A}$$

$$\Rightarrow P =\frac{30}{0.025}=1200 \ Pa$$

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، با اعمال نیروی ۳۰ نیوتنی فشار زیادی ایجاد شده است. علت این است که این نیرو روی سطح خیلی کوچکی (‎۰٫۰۲۵ cm^۲) توزیع شده است. همان‌طور که گفتیم، فشار و مساحت رابطه معکوس دارند. چون در اینجا A خیلی کوچک است، فشار P عدد بزرگی شده است (‎۱۲۰۰ Pa).

مثال ۴

اگر جسمی با جرم ‎۲٫۴ kg با سطح زمین برخورد کند و سطح تماس آن با زمین ‎۱۴٫۹ m^۲ باشد، با توجه به اینکه مقدار شتاب جاذبه زمین ‎۹٫۸ m/s^۲ است، فشاری که توسط این جسم به زمین وارد می‌شود، چند پاسکال است؟

پاسخ

در این سوال مساحت A مشخص است، در حالی که نیرو و فشار هر دو نامعلوم هستند. اما طبق اطلاعاتی که در مسئله وجود دارد، می‌توانیم نیرو را محاسبه کنیم. نیرویی که باعث می‌شود جسم به سمت زمین جذب شود و با آن برخورد کند، نیروی گرانش زمین یا نیروی وزن جسم است. فرمول نیروی وزن به شکل زیر است:

$$F=W=mg$$

$$\Rightarrow F=W=2.4\times9.8=23.52 \ N$$

حالا با قرار دادن F و A در فرمول فشار، P به‌دست خواهد آمد:

$$P =\frac{F}{A}$$

$$\Rightarrow P =\frac{23.52}{14.9}=1.57 \ Pa$$

مثال ۵

در شکل زیر فشار ناشی از سطح تیز روی سطح افقی بیشتر است. علت را توضیح دهید:

پاسخ

همان‌طور که توضیح دادیم، رابطه فشار با مساحتی که نیرو روی آن توزیع می‌شود، معکوس است. پس اگر نیرو روی سطح کوچکی مانند یک سطح نوک‌تیز توزیع شود، فشار خیلی بیشتری ایجاد می‌شود. در حالی که همان نیرو اگر روی سطح بزرگ‌تری مانند یک سطح گرد توزیع شود، فشار کمتری ایجاد خواهد کرد. در شکل بالا نیروی F وارد بر هر دو جسم برابر است، اما برای سطح نوک‌تیز و خاکستری رنگ، این نیرو روی سطح خیلی کوچکی توزیع شده است. پس فشار وارد بر این جسم از فشاری که به جسم زرد وارد می‌شود، بیشتر است.

فرمول فشار در شاره‌ها

در بخش‌ قبل یاد گرفتیم که اساسی‌ترین فرمول فشار چیست. در این بخش می‌خواهیم از این فرمول استفاده کنیم تا فرمول فشار در شاره‌ها یا به‌طور دقیق‌تر، فرمول فشار در مایعات را به‌دست آوریم. علت اینکه فرمول بخش قبل را فرمول اساسی فشار در نظر گرفتیم این است که در این بخش با شروع از $$P =\frac{F}{A}$$، فرمولی برای فشار در مایعات پیدا می‌کنیم. 

شاره‌ها یا سیالات شامل دو حالت از سه حالت ماده می‌شوند، مایعات و گازها. برای برخی گازها مانند هوا از فرمول فشار در شاره‌ها می‌توانیم استفاده کنیم، اما در مورد برخی گازها مانند گازهای کامل، فشار به عوامل دیگری مانند دما هم بستگی دارد. در مورد مایعات باید ابتدا ببینیم منظورمان از فشار مایع چیست. یک مثال آشنا برای بیان فشار در مایعات هنگام شنا کردن است که فشار آب را روی بدن خود احساس می‌کنید. اگر دقت کرده باشید، هر چه در عمق بیشتری از آب قرار داشته باشید، این فشار بیشتر است، چون تعداد مولکول‌های آب بیشتری بالاتر از بدن شما قرار می‌گیرند. در نتیجه وزن ناشی از این مولکول‌ها بیشتر می‌شود.

این وزن معادل نیروی F در فرمول فشار است. پس با افزایش F و ثابت ماندن مساحت بدن یا A، فشار P افزایش خواهد یافت. تا اینجا می‌توانیم نتیجه‌گیری کنیم که اگر جسمی در ارتفاع h از سطح یک مایع و داخل آن قرار بگیرد، فشار وارد بر جسم (P) با عمق آن (h) رابطه مستقیم دارد، یعنی هر چه h بیشتر باشد، P هم بیشتر است:

$$h \uparrow \ \Rightarrow \ P \uparrow$$

$$h \downarrow \ \Rightarrow \ P \downarrow$$

فاکتور دیگری که روی فشار ناشی از یک مایع مهم است، چگالی آن است. هر چه مایع چگال‌تر باشد، یعنی چگالی بیشتری داشته باشد، فشار بیشتری ایجاد می‌کند. برای مثال با توجه به مقادیر متفاوت برای چگالی آب و روغن، در شکل زیر آب با فشار بیشتری خارج می‌شود. در واقع فشار ناشی از عمق یکسانی از آب و روغن با هم برابر نیست و فشار آب بیشتر است. علت این است که چگالی آب بیشتر است.

علت بیشتر شدن فشار با چگالی هم به افزایش نیروی وزن مایع برمی‌گردد. پس تقریبا حدس زدیم که فشار در مایعات به چه عواملی وابسته است. حالا می‌رویم به سراغ محاسبه دقیق فرمول فشار در مایعات، تا ببینیم حدس‌هایی که زدیم تا چه اندازه درست هستند.

فرض کنید طبق شکل زیر مایعی با چگالی ρ و عمق h در داخل ظرفی با مساحت کف A قرار دارد. می‌خواهیم ببینیم فشاری که این مایع به کف ظرف وارد می‌کند، چقدر است و با چه فرمولی محاسبه می‌شود. دقت کنید چون این مایع در حالت سکون است، یعنی سرعت آن صفر است، پس در واقع می‌خواهیم فشار استاتیک آن را بررسی کنیم. اگر v≠۰، در این صورت با در نظر گرفتن سرعت شاره، وارد مباحثی مانند اصل برنولی و فشار دینامیکی می‌شویم که در بخش‌های بعدی به آن‌ها خواهیم پرداخت.

با شروع از فرمول اصلی فشار، اولین قدم این است که به‌جای نیرو در این فرمول از نیروی وزن ستون مایع استفاده کنیم، چون همان‌طور که گفتیم فشار در مایعات برابر است با فشار ناشی از نیروی وزن ستونی از مایع با ارتفاع یا عمق h.

$$P =\frac{F}{A}$$

نیروی وزن جسمی به جرم m به شکل زیر محاسبه می‌شود که در آن جرم m بر حسب کیلوگرم (kg) و g شتاب جاذبه زمین بر حسب متر بر مجذور ثانیه (m/s^۲) است:

$$F=W=mg$$

نکته: اینجا ممکن است به این نتیجه برسیم که هر چه مایع سنگین‌تر و در نتیجه وزن آن بیشتر باشد، احتمالا فشار بیشتری هم ایجاد خواهد کرد. اما اجازه دهید ابتدا فرمول را به‌طور کامل محاسبه کنیم. سپس ببینیم آیا این نتیجه‌گیری درست است یا خیر.

می‌توانیم جرم را بر حسب چگالی بنویسیم. با توجه به تعریف چگالی به‌صورت جرم واحد حجم ماده، خواهیم داشت:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

$$\Rightarrow m=\rho V$$

حجم مایعی که در این شکل مشاهده می‌کنید، با حجم ظرفی که مایع در آن قرار دارد برابر است. ظرف به شکل مکعب مستطیل است و حجم آن برابر است با مساحت قاعده ضرب در ارتفاع یا:

$$V=Ah$$

 با قرار دادن W به‌جای نیروی F در فرمول فشار و سپس جایگزینی m بر حسب چگالی و حجم و در ادامه نوشتن فرمول حجم به‌جای V خواهیم داشت:

$$\Rightarrow P =\frac{mg}{A}=\frac{\rho Vg}{A}=\frac{\rho Ahg}{A}=\rho hg$$

$$P =\rho hg$$

بنابراین فشار مایع به کف ظرف، فشاری است که از نیروی وزن ستون مایع روی کف ظرف حاصل می‌شود. در رابطه بالا برای اینکه فشار بر حسب پاسکال (Pa) به‌دست آید، لازم است چگالی بر حسب کیلوگرم بر متر مکعب (kg/m^۳)، شتاب جاذبه g بر حسب متر بر مجذور ثانیه (m/s^۲) و عمق h بر حسب متر (m) نوشته شود. همان‌طور که در ابتدای بخش پیش‌بینی کرده بودیم، فشار مایعات فقط و فقط به عمق، چگالی مایع و مقدار شتاب جاذبه زمین بستگی دارد.

از رابطه بالا می‌توانیم نتیجه‌گیری کنیم که فشار مایعات روی تمام نقاطی که با عمق یکسان در داخل یک نوع مایع قرار دارند، برابر است. این اصل در حل تمرین‌های فشار بسیار پرکاربرد است. نکته مهم دیگر این است که این فرمول با P_g به معنای فشار پیمانه‌ای یا فشار گیج برابر است، یعنی داریم $$P_g =\rho hg$$. علت این برابری این است که در بررسی فشار وارد بر کف ظرف، فقط فشار ناشی از نیروی وزن ستون مایع را در نظر گرفتیم.

در حالی که اگر دقت کنید سطح مایع باز است و در معرض فشار هوا قرار دارد. اگر بخواهیم اثر فشار هوا را هم در نظر بگیریم، در این صورت باید فشار مطلق یا فشار کل را محاسبه کنیم که در بخش‌های بعدی به آن خواهیم پرداخت. برای این مایع با سطح باز، فشار مایع فشاری است که نسبت به فشار اتمسفر اندازه‌گیری می‌شود و معادل با فشار پیمانه‌ای است.

فرمول فشار هوا چیست؟

در بخش‌ گذشته توضیح دادیم در محیطی مثل یک مایع، فرمول فشار چیست و چگونه به‌دست می‌آید. برای اینکه بدانیم فشار کل وارد بر جسمی داخل یک مایع چقدر است، لازم است علاوه بر فشار پیمانه‌ای ناشی از وزن ستون مایعی که روی آن قرار دارد، از مقدار فشار هوای وارد بر سطح آزاد مایع نیز آگاه باشیم. البته این در صورتی است که سطح مایع باز و در معرض هوا قرار داشته باشد. در این بخش می‌خواهیم ببینیم فشار هوا چقدر است و چگونه محاسبه می‌شود.

فشار هوا یا فشار اتمسفریک یا فشار جو که با P₀ نشان داده می‌شود، فشاری است که توسط اتمسفر یا جو زمین به سطح زمین اعمال می‌شود. بسته به اینکه در کجای جهان باشیم، فشار جو ممکن است مقدار متفاوتی داشته باشد. برای نمونه وقتی که در ارتفاع بالایی مثل قله یک کوه هستیم، فشار هوا نسبت به زمانی که در سطح دریا هستیم، کمتر است. علت این مسئله این است که در ارتفاعات بالاتر، هوای کمتری وجود دارد. در نتیجه وزن ناشی از این مقدار هوا کمتر است و فشار کم می‌شود. احساس گوش درد در ارتفاعات بالا به دلیل تغییرات زیاد فشار هوا است.

بنابراین اگر بخواهیم فشار هوا را به‌طور دقیق محاسبه کنیم و فرمولی برای آن در نظر بگیریم، فرمول فشار در شاره‌ها را بکار می‌بریم. فشار هوا برابر است با وزن هوایی که روی سطح مشخصی قرار می‌گیرد. معمولا در مسائلی که برای فشار مطرح می‌شود، فشار هوا در سطح دریا مد نظر است. مقدار فشار هوا در سطح دریا یا در شرایط استاندارد برابر با مقدار ثابت ‎۱۰^۵ Pa است. البته واحد مرسوم برای بیان فشار هوا، واحد اتمسفر است که طبق آن P₀ = ۱ atm. اگر بخواهید فشار هوا را بر حسب واحدهای دیگر بیان کنید، می‌توانید از رابطه زیر استفاده کنید:

$$1 \ atm \approx10^5 \ Pa=760 \ mmHg =760 \ torr=14.7 \ psi \approx 1 \ bar$$

فرمول فشار در بالابر هیدرولیکی

در آخرین بخش از این قسمت، می‌خواهیم ببینیم در سیستم‌های هیدرولیکی وضعیت فرمول فشار چیست. در سیستم‌های هیدرولیکی از یک مایع جهت تولید نیروی مکانیکی و انجام کار استفاده می‌شود. قانونی که نحوه عملکرد این دستگاه‌ها را توضیح می‌د‌هد، اصل پاسکال است. طبق اصل پاسکال، فشار وارد شده به یک نقطه از مایع بدون کاهش به تمام نقاط آن منتقل می‌شود.

یک سیستم هیدورلیکی متشکل از دو پیستون با مساحت A و B را در نظر بگیرید، طوری که B > A. این دو پیستون طبق شکل بالا توسط مایع آبی رنگی با هم در ارتباط هستند. اگر نیروی F_A به پیستون A وارد شود، فشار ناشی از این نیرو طبق فرمول اصلی فشار برابر است با:

$$P =\frac{F_A}{A}$$

این فشار طبق اصل پاسکال و بدون کاهش، به تمام نقاط محفظه منتقل می‌شود. یکی از این نقاط پیستون B است. پس فشار وارد بر پیستون B برابر است با P. این فشار به سمت بالا به B وارد می‌شود و در نتیجه نیرویی بالابرنده یا نیروی هیدرولیک تولید شده توسط این فشار برابر است با:

$$P =\frac{F_B}{B}$$

$$\Rightarrow F_B =PB$$

به این ترتیب با نوشتن فرمول فشار و استفاده از اصل پاسکال برای مایعات، توانستیم مقدار نیروی بالابر را حساب کنیم. با توجه به ثابت بودن فشار و اینکه B > A، انتظار داریم F_B > F_A. بیشتر شدن نیروی بالابر یا F_B به این معنا است که با بیشتر کردن مساحت پیستون B می‌توانیم نیروی بالابر چند برابر نسبت به نیرویی که وارد کرده‌ایم (F_A)، دریافت کنیم. این سیستم در جک‌های هیدورلیکی و جهت بالا بردن اتومبیل با وارد کردن نیروی خیلی کمتری نسبت به وزن اتومبیل، کاربرد دارد.

حل مثال و تمرین از فرمول فشار در شاره‌ها

در بخش قبل متوجه شدیم که برای جسمی که داخل یک شاره قرار می‌گیرد، فرمول فشار چیست. در واقع فشار در شاره‌ها هم به جسمی که داخل آن قرار گرفته است وارد می‌شود و هم به دیواره‌ها و کف ظرفی که شاره در آن قرار دارد. علت این مسئله این است که فشار در شاره‌ها در تمام جهات وارد می‌شود. در ادامه این بخش می‌خواهیم با حل چند مثال و تمرین ببینیم کاربرد این فرمول به چه صورت است.

مثال ۱

فشاری که آبی با عمق ‎۵۰ m به دیواره‌های ظرف وارد می‌کند چقدر است، اگر چگالی آب را ‎۱۰۰۰ kg/m^۳ و شتاب جاذبه زمین را ‎۹٫۸ m/s^۲ در نظر بگیریم:

پاسخ

همان‌طور که گفتیم برای محاسبه فشار ناشی از یک شاره مانند آب به دیواره‌های ظرفی که داخل آن است، از فرمول شتاب در شاره‌ها استفاده می‌کنیم:

$$P =\rho hg$$

$$\Rightarrow P=1000\times9.8\times50 =490000 \ Pa$$

مثال ۲

اگر فشار اتمسفر محیط ‎۱۲٫۵ kPa باشد، چگالی هوا را در ارتفاع ‎۵ km محاسبه کنید (شتاب جاذبه زمین را ‎۹٫۸ m/s^۲ در نظر بگیرید):

پاسخ

گفتیم فشار هوا در سطح دریا مقدار ثابتی است، اما مقدار آن در ارتفاعات بالا متفاوت است و بر اساس فرمول فشار در شاره‌ها محاسبه می‌شود. پس با نوشتن فرمول فشار در شار‌ه‌ها داریم:

$$P =\rho hg$$

در این سوال مقدار فشار مشخص است اما چگالی نه. پس با بردن چگالی به یک طرف تساوی و قرار دادن سایر کمیت‌ها در طرف دیگر تساوی، خواهیم داشت:

$$\Rightarrow \rho =\frac{P}{gh}$$

پیش از عددگذاری با توجه به اینکه هم واحد فشار و هم واحد h بر حسب کیلو داده شده‌ است، می‌توانیم تبدیل واحد برای هر دو انجام دهیم. اما چون واحد هر دو کمیت دارای یک پیشوند مشترک است و در صورت و مخرج قرار می‌گیرند، پس ساده می‌شوند و نیازی به تبدیل واحد نیست:

$$\Rightarrow \rho =\frac{12.5}{5\times9.8}=0.25 \ \frac{kg}{m^3}$$

مثال ۳

یک جک هیدرولیکی را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید که برای بلند کردن ماشینی با جرم ‎۵۰۰ kg استفاده می‌شود. این جک شامل دو پیستون با مساحت‌های A_۱=۰٫۰۱ m^۲ و A_۲=۰٫۵ m^۲ است. اگر در ابتدای کار ماشین روی A_۲ قرار بگیرد، مقدار نیروی اعمال شده به سطح اول چقدر باشد تا ماشین از روی سطح دوم بلند شود (شتاب جاذبه زمین را ‎۹٫۸ m/s^۲ در نظر بگیرید)؟

پاسخ

برای اینکه بتوانیم ماشین را از روی پیستون دوم بلند کنیم، نیرویی برابر با وزن ماشین باید به آن وارد شود:

$$F_2=W=mg=500\times9.8=4900 \ N$$

حالا باید فشاری که این نیرو ایجاد می‌کند را پیدا کنیم. طبق فرمول فشار، این نیرو به سطح A_۲ وارد می‌شود و فشار حاصل از آن برابر است با:

$$P =\frac{F_2}{A_2}$$

$$\Rightarrow P =\frac{4900}{0.5}=9800 \ Pa$$

طبق اصل پاسکال، این فشار بدون کاهش از طریق مایع به پیستون اول با مساحت ‌A۱ می‌رسد. برای اینکه ببینیم این فشار چه نیرویی تولید می‌کند، فرمول فشار را می‌نویسیم:

$$P =\frac{F_1}{A_1}$$

$$\Rightarrow F_1 =PA_1=9800 \times0.01=9.8 \ N$$

بنابراین نیروی لازم برای بالابردن ماشینی با وزن ‎۴۹۰۰ N برابر شد با ‎۹٫۸ N.

مثال ۴

برای اندازه‌گیری فشار هوا از وسیله‌ای به نام بارومتر استفاده می‌شود که به‌ شکل زیر است و اولین بار توسط توریچلی آزمایش شد. در قسمت بالای لوله استوانه‌ای شکل خلاء کامل داریم، به این معنا که در این بخش فشار صفر است. معمولا مایع جیوه برای سنجش فشار در بارومتر بکار می‌رود که چگالی آن برابر است با ‎۱۳۶۰۰ kg/m^۳. روش کار با بارومتر به این صورت است که با معکوس کردن لوله داخل تشت پر از جیوه، جیوه در لوله بالا می‌رود. پس از اینکه سطح جیوه در لوله به تعادل رسید، ارتفاع ستون جیوه را از سطح جیوه داخل تشت اندازه‌گیری می‌کنیم. این ارتفاع یا h برابر است با ‎۷۶ cm. اگر ندانیم فشار هوا در سطح دریا چقدر است، به کمک این وسیله فشار هوا چند پاسکال اندازه‌گیری می‌شود (g=۹٫۸ m/s^۲)؟

پاسخ

برای محاسبه فشار هوا کافی است دو نقطه هم عمق در نظر بگیریم. یک نقطه در سطح جیوه داخل تشت که در معرض فشار هوا قرار دارد و A نامیده می‌شود. نقطه دیگر را در ابتدای ستون جیوه داخل لوله و کاملا هم‌سطح با A انتخاب می‌کنیم و آن را B می‌نامیم. طبق آنچه که گفتیم فشار در این دو نقطه برابر است:

$$P_A =P_B$$

$$P_A =P_0$$

فشاری که به نقطه B وارد می شود، معادل است با مجموع فشار ناشی از وزن ستون جیوه بالای این نقطه و فشاری که در انتهای بسته لوله وجود دارد. چون در انتهای لوله خلاء کامل داریم، فشار در این بخش صفر است. پس کافی است فشار ستون جیوه را محاسبه کنیم:

$$P_B=\rho gh=13600\times9.8\times0.76=1012928 \ Pa$$

از رابطه برابری فشار خواهیم داشت:

$$P_0=1012928 \ Pa \approx 10^5 \ Pa$$

فرمول فشار مطلق

در این بخش می‌خواهیم ببینیم با در نظر گرفتن صفر مطلق به‌عنوان مرجع، فرمول فشار چیست. در حالی که فشار پیمانه‌ای یا P_g نسبت به فشار اتمسفر یا P_۰ اندازه‌گیری می‌شود، فشار مطلق یا فشار کل که با P نشان داده می‌شود، از نقطه صفر فشار که خلاء کامل یا صفر مطلق نام دارد، اندازه‌گیری می‌شود. بنابراین طبق شکل زیر می‌توانیم این نوع فشار را مجموع فشار پیمانه‌ای و فشار اتمسفر در نظر بگیریم:

$$P=P_g+P_0$$

مثال

طبق شکل زیر، مایع نامشخصی در سمت چپ یک لوله ‌U شکل که با آب پر شده است، ریخته‌ می‌شود. اگر ارتفاع h_۱ برابر با ‎۸۸ mm و h_۲ برابر با ‎۶۴ mm باشند، فشار در نقطه A (در سطح مشترک دو مایع) چه رابطه‌ای با فشار در نقطه B دارد؟ چگالی مایع نامعلوم چقدر است؟

$$\rho_w =1000 \ \frac{kg}{m^3}$$

$$P_0 =10^5 \ Pa$$

پاسخ

فشار در دو نقطه A و B با ارتفاع یا عمق یکسان از ته لوله با هم مقایسه شده است. این دو نقطه هر دو داخل آب قرار دارند، پس ρ برای هر دو یک مقدار است. عمق هر دو نقطه نسبت به ته لوله نیز برابر است. پس می‌توانیم بگوییم طبق فرمول فشار در شاره‌ها یا فرمول فشار مایعات، فشار این دو نقطه با هم برابر است:

$$P =\rho hg$$

$$P_A =P_B$$

حالا با استفاده از این تساوی، به قسمت دوم این سوال یعنی محاسبه چگالی مایع زرد یا نامعلوم پاسخ می‌دهیم. فشار در نقطه A برابر است با مجموع فشار ناشی از وزن مایع زرد که بالای این نقطه قرار گرفته است و فشار هوایی که به سطح این مایع اعمال می‌شود. پس فشار وارد بر نقطه A معادل فشار کل یا فشار مطلق است:

$$P_A =P_0+P_g$$

$$\Rightarrow P_A =P_0+\rho h_1g=10^5+(9.8 \times0.088)\rho$$

دقت کنید باید ارتفاع h_۱ بر حسب متر نوشته شود، پس عدد ۸۸ بر ۱۰۰۰ تقسیم می‌شود. فشار در نقطه B نیز برابر است با مجموع فشار ناشی از وزن ستون آبی که بالای این نقطه قرار دارد و فشار هوای وارد بر سطح آزاد آب. بنابراین فشار در نقطه B هم معادل فشار کل است:

$$P_B =P_0+P_g$$

$$\Rightarrow P_B =P_0+\rho_w h_2g=10^5+9.8 \times0.064\times1000$$

حالا با برابر قرار دادن این عبارت و فشار در نقطه A، می‌توانیم چگالی مایع نامعلوم را پیدا کنیم:

$$\Rightarrow 10^5+(9.8 \times0.088)\rho =10^5+9.8 \times0.064\times1000$$

$$\Rightarrow (9.8 \times0.088)\rho =9.8 \times0.064\times1000$$

$$\Rightarrow 0.088\rho =0.064\times1000=64$$

$$\Rightarrow \rho =\frac{64}{0.088}=727.27 \ \frac{kg}{m^3}$$

معادله برنولی

در ادامه مسیر یادگیری خود، در این بخش «معادله برنولی» (Bernoulli Equation) را توضیح می‌دهیم و در بخش بعدی خواهیم دید که کاربرد آن به‌عنوان یکی از انواع فرمول فشار چیست. معادله برنولی را می‌توان بیان دیگری از اصل بقای انرژی برای شاره‌های در حال جریان در نظر گرفت.

منظورمان از شاره‌ در حال جریان یا شاره جاری، سیالی مانند آب است که در حرکت است و سرعتی مخالف صفر دارد (v≠۰). اگر به یاد داشته باشید، در بخش «فرمول فشار در شاره‌ها»، فرمولی که برای فشار در شاره‌ها استخراج شد، با فرض ساکن بودن مایع به دست آمد (v=۰). اما در این بخش با شاره‌ای روبرو هستیم که در حال حرکت است.

اصل برنولی به زبان ساده به این معنا است که با افزایش سرعت شاره، فشار آن کم می‌شود و برعکس. برای مثال شکل بالا را در نظر بگیرید:

1. شاره‌ای با سرعت v_۱ وارد لوله‌ای با سطح مقطع A_۱ می‌شود. پس دارای فشار P_۱ است.
2. در مرکز لوله با توجه به شکل و فیزیک لوله، سطح مقطع آن کم می‌شود و از A_۱ به A_۲ با مقدار کمتر می‌رسیم.
3. در نتیجه سرعت شاره هم تغییر می‌کند و از v_۱ به v_۲ افزایش پیدا می‌کند.
4. بنابراین طبق اصل برنولی، فشار شاره در مرکز لوله یا P_۲ نسبت به دو انتهای آن کمتر است.

$$A_2 < A_1 \ , \ v_1 < v_2 \Rightarrow P_2 < P_1$$

اگر بخواهیم اصل برنولی را در قالب یک رابطه ریاضیاتی یا فرمول نشان دهیم، از معادله برنولی استفاده می‌کنیم که به‌صورت زیر است:

$$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2$$

اگر دقت کنید این رابطه همان فرمول فشار در شاره‌ها است که به آن یک جمله دیگر شامل سرعت شاره اضافه شده است. پس در مورد شاره در حال حرکت، علاوه بر در نظر گرفتن فشار ناشی از وزن شاره در حالت سکون، جمله دیگری شامل سرعت شاره هم باید در نظر گرفته شود. معادله بالا با فرضیاتی مانند ثابت بودن چگالی شاره در تمام نقاط آن به‌دست آمده است.

معادله پیوستگی

یکی دیگر از مباحثی که برای فشار یک شاره در حال حرکت مطرح می‌شود، معادله پیوستگی است. در بخش بعد با حل مثال متوجه خواهید شد که کاربرد آن در کنار فرمول فشار چیست. در بخش بعدی با حل مثال خواهید دید که ارتباط این معادله با فرمول فشار چیست. طبق شکل زیر و با فرض اینکه شاره داخل لوله تراکم‌ناپذیر است، معادله پیوستگی به صورت زیر است:

$$A_1v_1=A_2 v_2$$

در این رابطه مشخص است که سطح مقطع لوله معمولا دایره است و در نتیجه داریم $$A=\pi r^2$$.

حل مثال و تمرین از معادله برنولی

گفتیم معادله برنولی نشان‌دهنده رابطه بین سرعت سیال و فشار آن است، به این صورت که هر جا سرعت کم شود، فشار بیشتر است و برعکس. در این بخش با حل چند سوال نحوه کاربرد معادله برنولی را به منظور محاسبه فشار در موقعیت‌هایی مانند لوله‌های حاوی جریان بررسی می‌کنیم. به این ترتیب بهتر متوجه می‌شویم یکی دیگر از انواع فرمول فشار چیست.

مثال ۱

در یک انتهای لوله‌ای و در نقطه‌ای به نام A، جریان آب دارای سرعت ‎۶ m/s و فشار ‎۴۰۰۰۰۰ Pa است. اگر در انتهای دیگر و در نقطه B، سرعت جریان آب ‎۱۲ m/s باشد، با در نظر گرفتن چگالی آب با مقدار ‎۱۰۰۰ kg/m^۳، فشار در نقطه B چقدر است؟

پاسخ

برای حل این سوال کافی است معادله برنولی را بنویسیم:

$$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2$$

در این فرمول پارامترهایی مانند h_۱ و h_۲ را داریم که در صورت سوال مشخص نشده‌اند. بنابراین می‌توانیم این مقادیر را برابر در نظر بگیریم، به این معنا که تغییراتی در راستای قائم و وزن ناشی از شاره ایجاد نشده است. پس با برابر گرفتن h_۱ و h_۲، دو جمله شامل این مقادیر با هم برابر هستند و از دو طرف تساوی حذف می‌شوند:

$$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2$$

حالا اگر فشار در نقطه A را P_۱ در نظر بگیریم، با عددگذاری فشار در نقطه B یا P_۲ به‌دست خواهد آمد:

$$400000+\frac{1}{2}\times1000 \times6^2=P_2+\frac{1}{2}\times1000 \times(12)^2$$

$$\Rightarrow 418000=P_2+72000$$

$$\Rightarrow P_2=346000 \ Pa$$

مثال ۲

فرض کنید می‌خواهید نوعی سیستم فواره آب طراحی کنید. برای این منظور، به یک لوله‌ افقی با قطر ‎۱۵ cm نیاز دارید که طبق شکل ‎۸ m زیر زمین قرار دارد. همچنین خروجی لوله افقی، یک لوله عمودی با قطر ‎۵ cm است که به اندازه ‎۱٫۷۵ m بالاتر از سطح زمین قرار دارد. اگر چگالی آب ‎۱۰۰۰ kg/m^۳ باشد و بخواهیم که آب با سرعت ‎۳۲ m/s از فواره خارج شود، فشار گیج لازم برای پمپ کردن آب در لوله افقی داخل زمین چقدر است (g=۹٫۸ m/s^۲)؟

پاسخ

برای شروع دو نقطه ۱ و ۲ را در ابتدا و انتهای لوله در نظر می‌گیریم که با خط قرمز در شکل نشان داده شده‌اند. سپس معادله برنولی را می‌نویسیم:

$$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2$$

مجهول مسئله، فشار گیج در نقطه ۱ یا P_۱ است. پس با قرار دادن آن در یک طرف تساوی، بقیه جملات را به سمت دیگر تساوی می‌بریم:

$$P_1=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2-\frac{1}{2}\rho v_1^2-\rho gh_1$$

حالا اگر به رابطه بالا دقت کنید، برای عددگذاری تمام مقادیر را داریم به‌جز v_۱. پس اول باید آن را محاسبه کنیم. برای پیدا کردن سرعت، از رابطه پیوستگی استفاده می‌کنیم:

$$A_1v_1=A_2 v_2$$

چون $$A=\pi r^2$$ است، پس می‌توانیم بنویسیم:

$$\pi r_1^2v_1=\pi r_2^2 v_2\Rightarrow r_1^2v_1= r_2^2 v_2$$

$$\Rightarrow v_1= v_2\frac{r_2^2}{r_1^2}=32\times\frac{2.5^2}{7.5^2}=3.5 \ \frac{m}{s}$$

در عددگذاری بالا نیازی به تبدیل واحد شعاع‌ها نیست، چون واحدها با هم ساده می‌شوند. فقط باید دقت کنیم مقادیر قطر لوله‌ها در نقاط ۱ و ۲ داده شده‌ است. پس لازم است حتما با تقسیم به ۲ کردن این مقادیر، شعاع را در فرمول قرار دهیم. پس از مشخص شدن این پارامترها، به معادله برنولی برمی‌گردیم تا فشار در نقطه ۱ را محاسبه کنیم.

برای تعیین مقادیر h_۱ و h_۲، نقطه ۱ را مرجع یا صفر ارتفاع در نظر می‌گیریم. در این صورت h_۱=۰ و جمله شامل این پارامتر هم در معادله برنولی صفر خواهد شد. به این ترتیب h_۲ می‌شود:

$$h_2= 8+1.75=9.75 \ m$$

$$\Rightarrow P_1=P_2+\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)+\rho gh_2$$

مسئله بعدی تعیین فشار P در نقطه ۲ است. با توجه به اینکه در سوال فشار گیج در نقطه ۱ خواسته شده است، بنابراین در این نقطه هم باید فشار گیج را قرار دهیم که برابر با صفر است. در نقطه ۲ یا سطح بیرونی لوله، فقط فشار هوا به سطح آب وارد می‌شود که شامل فشار گیج یا فشار پیمانه‌ای نمی‌شود. همان‌طور که می‌دانید فشار پیمانه‌ای از فشار اتمسفر به بعد محاسبه می‌شود. اگر در سوال فشار مطلق خواسته می‌شد، می‌توانسیتم با در نظر گرفتن فشار هوا به اندازه ‎۱۰^۵ Pa برای نقطه ۲، فشار مطلق در نقطه ۱ را حساب کنیم. پس با قرار دادن P_۲=۰ خواهیم داشت:

$$\Rightarrow P_1=\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)+\rho gh_2=600000 \ Pa$$

فرمول فشار گازهای کامل

در این قسمت قصد داریم بررسی کنیم که در مورد گازها، فرمول فشار چیست. برای این منظور، ابتدا باید ببینیم فشار گاز به چه معنا است. همان‌طور که اشاره شد، فشار برابر است با نیروی اعمال شده به واحد سطح که در مورد یک گاز، این نیرو توسط مولکول‌های گاز به دیواره‌های ظرف یا محفظه‌ای که در آن قرار دارد، وارد می‌شود. مولکول‌های گاز بسیار سریع و به‌طور تصادفی در راستای خطوط مستقیمی حرکت می‌کنند. در نتیجه با هم و با دیواره‌های ظرف برخورد دارند. هر چه تعداد این برخوردها با دیواره ظرف بیشتر باشد، فشار گاز بیشتر است.

برای گازها در حالت کلی می‌توانیم از تمام فرمول‌هایی که تا به حال گفتیم، استفاده کنیم. فرمول اصلی فشار $$P =\frac{F}{A}$$ و فرمول $$P =\rho hg$$ با توجه به اینکه گازها هم جزء شاره‌ها محسوب می‌شوند، هر دو برای محاسبه فشار گاز قابل استفاده هستند. اما چون در واقعیت رفتار گازهای واقعی بسیار پیچیده است، مفهومی به نام گاز ایده‌آل به‌عنوان تقریبی از گاز واقعی اما با فرض‌هایی ساده‌تر در نظر گرفته شد تا بتوانیم رفتار گازها را راحت‌تر درک کنیم. این فرضیات شامل موارد زیر هستند:

• مولکول‌های گاز ایده‌آل نمی‌توانند هم را جذب یا دفع کنند.
• مولکول‌های گاز ایده‌آل فضایی اشغال نمی‌کنند.

به این ترتیب برای گازهای کامل فشار به عوامل دیگری بستگی دارد که در مورد این موضوع در بخش بعد بیشتر صحبت خواهیم کرد. این وابستگی باعث شده است که فشار در گازهای کامل یا ایده‌آل با رابطه‌ای به نام قانون گازها توصیف شود:

$$P=\frac{nRT}{V}$$

• فشار P بر حسب پاسکال (Pa)
• حجم V بر حسب متر مکعب (m^۳)
• دمای T برحسب کلوین (K)
• n مقدار گاز بر حسب مول (mol)
• R ثابت جهانی گازها ($$R=8.31 \ \frac{J}{K.mol}$$)

عوامل موثر در فشار گاز کامل

در این بخش بررسی می‌کنیم که در مورد یک گاز کامل، عوامل موثر در فرمول فشار چیست. عواملی که در مقدار فشار گاز کامل تاثیرگذار هستند، عبارت‌اند از:

• تعداد ذرات گاز یا n
• حجم گاز یا V
• دمای گاز یا T

در ادامه اثر هر کدام را به‌طور خلاصه توضیح می‌دهیم.

اثر تعداد ذرات روی فشار گاز کامل

فشار گاز با تغییر تعداد ذرات تشکیل‌دهنده گاز تغییر خواهد کرد. فرض کنید محفظه‌ای به شکل زیر دارید که دارای حجم، دما و مقدار گاز ثابتی است. با توجه به این کمیت‌هایی که گفتیم، گاز داخل این محفظه دارای فشار مشخصی است. از طرفی همان‌طور که گفتیم، فشار گاز از تعداد برخوردهای ذرات گاز با دیواره‌های محفظه حاصل می‌شود. پس اگر تعداد ذرات گاز را بیشتر کنیم، تعداد برخوردهای بیشتری خواهیم داشت و فشار گاز زیاد می‌شود. به همین ترتیب، با حذف برخی از ذرات گاز، فشار گاز در اثر کمتر شدن تعداد برخوردها با دیواره، کاهش می‌یابد.

شکل بالا نشان‌دهنده این توضیحات است. در حالت اول (سمت چپ تصویر) تعداد ذرات کمتر است و فشار روی عدد فرضی ۲ است. اما در حالت دوم، با بیشتر شدن تعداد ذرات گاز داخل محفظه، برخوردها با دیواره بیشتر شده است و در نتیجه، فشارسنج عدد فرضی بزرگتری با مقدار ۴ را نمایش می‌دهد. بنابراین رابطه فشار گاز کامل با تعداد ذرات تشکیل‌دهنده آن یک رابطه مستقیم است، به این معنا که با افزایش n، فشار P زیاد و با کاهش n، فشار P کم می‌شود. این تغییرات با فرض ثابت ماندن سایر پارامترها مانند حجم و دما است.

اثر حجم روی فشار گاز کامل

حجم گاز، عامل دیگری است که تعیین می‌کند برای گازهای کامل، فرمول فشار چیست. منظور از حجم گاز، در واقع همان حجم محفظه‌ یا ظرفی است که گاز در آن قرار دارد. می‌د‌انیم که گازها شکل مشخصی ندارد و تمام فضا یا حجم ظرفی که در آن قرار بگیرند را پر می‌کنند. پس فشار گاز به حجم ظرفی که گاز در آن قرار دارد نیز بستگی دارد.

برای مثال، اگر گاز شکل قبل را در یک محفظه کوچکتر قرار دهیم، همان تعداد ذرات حالا فضای کمتری برای حرکت و برخورد با هم یا دیواره‌های ظرف خواهند داشت. این مسئله باعث می‌شود تعداد برخوردهای ذرات با دیواره ظرف افزایش یابد و در نتیجه فشار گاز هم زیاد شود. پس رابطه بین حجم گاز و فشار آن یک رابطه معکوس است، به این صورت که با فرض ثابت ماندن پارامترهایی مثل n و T، با افزایش حجم محفظه یا V، فشار P کم و با کاهش V، فشار P زیاد خواهد شد.

اثر دما روی فشار گاز کامل

رابطه فشار گاز با دما بر اساس تئوری انرژی جنبشی مولکولی تعیین می‌شود. بدون اینکه به جزئیات این نظریه بپردازیم، نتیجه این است که با افزایش دمای محفظه‌ای که شامل گاز کامل است، ذرات گاز داخل آن از گرمای تولید شده انرژی جنبشی کسب می‌کنند. در نتیجه با افزایش انرژی جنبشی، برخوردهای بیشتری با دیواره ظرف خواهند داشت و فشار گاز افزایش می‌یابد. پس رابطه فشار گاز با دما، یک رابطه مستقیم است. اگر حجم و تعداد ذرات تشکیل‌دهنده گاز داخل یک محفظه تغییری نکند، اثر افزایش یا کاهش دمای محفظه به‌ترتیب معادل است با افزایش یا کاهش فشار گاز.

حل مثال از فرمول فشار گازهای کامل

در بخش قبل کاملا توضیح دادیم که در مورد یک گاز کامل فرمول فشار چیست. در این قسمت با حل چند سوال کاربرد این فرمول را بهتر درک خواهیم کرد.

مثال ۱

اگر ۰٫۳۱۶ مول گاز نیتروژن در محفظه‌ای با حجم ‎۴ L و دمای ‎۳۱۵ K قرار داده شود، با فرض اینکه این گاز دارای خصوصیات یک گاز کامل باشد، فشار آن چند پاسکال است ($$R=8.31 \ \frac{J}{K.mol}$$)؟

پاسخ

برای محاسبه فشار گاز کامل از قانون گازهای ایده‌آل استفاده می‌کنیم. اما پیش از آن لازم است تبدیل واحد برای حجم داشته باشیم تا فشار بر حسب واحد استاندارد پاسکال محاسبه شود:

$$1 \ m^3 = 1000 \ L \Rightarrow \frac{1 \ m^3}{1000 \ L}=1$$

$$\Rightarrow 4 \ L = 4 \ L \times\frac{1 \ m^3}{1000 \ L}=0.004 \ m^3$$

$$P_1=\frac{nRT_1}{V}$$

$$\Rightarrow P=\frac{0.316\times8.31\times315}{0.004}=206794.3 \ Pa$$

مثال ۲

فرض کنید گاز کاملی در یک محفظه عایق‌بندی دمای ‎۲۹۳ K و فشاری برابر با فشار اتمسفر داشته باشد، با انتقال محفظه گاز به حمام یخ و سرد کردن آن تا دمای ‎۲۵۵ K، فشار گاز چقدر خواهد شد؟

پاسخ

در این سوال دو حالت داریم که در حالت اول فقط دما و فشار گاز داده شده است. ابتدا قانون گازهای کامل را برای حالت اول می‌نویسیم:

$$P_1=\frac{nRT_1}{V}$$

اگر دقت کنید در این جابجایی حجم محفظه گاز و در نتیجه حجم گاز و مقدار گاز یا تعداد مول‌های گاز تغییری نمی‌کند. R هم که یک مقدار ثابت است. پس با بردن مقادیر ثابت طی این جابجایی در یک سمت تساوی، خواهیم داشت:

$$\frac{P_1}{T_1}=\frac{nR}{V}$$

 در حالت دوم دما کاهش یافته است، پس فشار هم تغییر می‌کند. همان‌طور که در توضیحات بخش قبل گفتیم، با ثابت ماندن حجم و مقدار گاز، اگر دما کم شود، انتظار داریم فشار هم کم شود. می‌رویم سراغ محاسبه P_۲ تا ببینیم چه عددی خواهد شد. با توجه به اینکه سمت دوم هر دو رابطه با هم برابر است، پس می‌توانیم بنویسیم:

$$\frac{P_2}{T_2}=\frac{nR}{V}$$

$$\Rightarrow \frac{P_2}{T_2}=\frac{P_1}{T_1}$$

می‌دانیم که فشار اتمسفر برابر است با ۱۰^۵ یا ۱۰۰۰۰ پاسکال. پس کافی است در رابطه بالا عددگذاری کنیم:

$$\Rightarrow \frac{P_2}{255}=\frac{100000}{293}$$

$$\Rightarrow P_2=87030.7 \ Pa$$

فرمول فشار جامدات چیست؟

پس از اینکه بررسی کردیم حالت‌های مختلف ماده مانند گازها یا مایعات چه فشاری ایجاد می‌کنند و این فشار چه فرمولی دارد، ممکن است این سوال برای شما مطرح شود که در مورد جامدات، فرمول فشار چیست. فشاری که یک جامد روی جامد دیگر ایجاد می‌کند، از طریق نقاط تماسش با آن است. این در حالی است که فشار ناشی از مایعات و گازها به یک جسم جامد، در اثر برخورد ذرات آن‌ها با جامد ایجاد می‌شود. مثلا فشاری که چکش به یک میخ وارد می‌کند، مثالی از فشار یک جامد به جامد دیگر یا فشار جامدات است. اما فشار اتمسفری که همواره به ما وارد می‌شود، نمونه‌ای از فشار در شاره‌ها است. بنابراین بهترین فرمول برای توصیف فشار جامدات، همان فرمول اصلی فشار به‌ شکل زیر است:

$$P =\frac{F}{A}$$

یادگیری مکانیک سیالات با فرادرس

در انتهای این مطلب از مجله فرادرس و پس از اینکه یاد گرفتیم انواع مختلف فرمول فشار چیست، در این بخش قصد داریم چند فیلم آموزشی از فرادرس را به شما معرفی کنیم. در بخش قبل تا حدی متوجه شدیم که یک سیال جاری داخل لوله چگونه توصیف می‌شود. اما در واقعیت، مبحث سیالات بسیار گسترد‌ه‌ است. بنابراین اگر تمایل دارید با جزئیات بیشتری به یادگیری این مبحث بپردازید، پیشنهاد می‌کنیم فیلم‌های زیر را مشاهده کنید:

1. فیلم آموزش فیزیک ۳ حل تمرین فرادرس
2. فیلم آموزش فیزیک پایه ۳ مرور و حل تست کنکور ارشد فرادرس
3. فیلم آموزش مکانیک سیالات ۱ فرادرس
4. فیلم آموزش مکانیک سیالات ۱ مرور و حل تمرین فرادرس
5. فیلم آموزش مقدماتی مکانیک سیالات ۲ فرادرس
6. فیلم آموزش مکانیک سیالات مرور و حل تست کنکور ارشد فرادرس

جمع‌بندی

در این نوشته از مجله فرادرس توضیح دادیم که فرمول فشار چیست. همچنین یاد گرفتیم فشاری که هر حالت از ماده مانند مایعات یا گازها به اجسام دیگر وارد می‌کنند، متفاوت است و به عوامل مختلفی بستگی دارد. بنابراین می‌توانیم فرمول‌های فشار را بر اساس حالت‌های ماده طبقه‌بندی کنیم. به علاوه، برای انواع مختلف فشار هم فرمول‌های مختلفی داریم. در دو جدول زیر، خلاصه‌ای از تمام فرمول‌های فشار را برای شما جمع‌آوری کرده‌ایم. جدول اول، فرمول انواع فشار را نشان می‌دهد و در جدول دوم، فرمول‌های فشار با توجه به حالت ماده تفکیک شده است.