معادله دیفرانسیل حرکت — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس مفاهیمی از فیزیک کلاسیک همچون معادله ناویر-استوکس، معادلات مومنتوم (تکانه) و معادله حرکت یک جسم در حال ارتعاش را توضیح دادیم. شاید جالب باشد بدانید که منشا تمامی این مفاهیم، قوانین نیوتن است. به طور دقیق‌تر می‌توان گفت شکل کمی این روابط بیشترین ارتباط را با قانون دوم نیوتن دارد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا نحوه بدست آوردن معادله دیفرانسیل حرکت یک سیستم را با استفاده از این قانون، توضیح دهیم.

معادله دیفرانسیل حرکت

قانون دوم نیوتن در حالت کلی ارتباط بین نیروی $$F$$ وارد به جسمی به جرم $$m$$ را که با شتاب $$a$$ در حرکت است، توضیح می‌دهد. این قانون می‌گوید شتاب جرم به صورت خطی نسبت به نیرو افزایش می‌یابد. به صورتی دقیق‌تر فرض کنید نیروی $$F$$ به جسمی به جرم $$m$$ وارد می‌شود. در این صورت می‌توان رابطه زیر را برای این جرم نوشت:

$$\large {\overrightarrow{a} = \frac { \overrightarrow { F } } { m } \; \; \text{,}\;\;}\kern-0.3pt{\overrightarrow{F} = m \overrightarrow { a } = m\frac { { { d ^ 2 } \overrightarrow{r } } }{ { d { t ^ 2} } } }$$

فیلم آموزش فیزیک ۱ دانشگاهی با رویکرد حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

توجه داشته باشید که عبارت فوق، معادله‌ای برداری را نشان می‌دهد؛ به طور دقیق‌تر، دو کمیت $$r$$ و $$F$$ بردار هستند. همچنین این رابطه، برای سیستمی با جرم ثابت صدق می‌کند. در حقیقت در مواردی همچون مکانیک نسبیتی که جرم وابسته به سرعت است، باید قانون دوم نیوتن را به صورت تغییرات تکانه بر حسب زمان و به صورت زیر بیان کرد:

$$\large \overrightarrow { F } = \frac { { d \overrightarrow {p}}} { { d t } }$$

به $$p$$، تکانه یا مومنتوم گفته می‌شود. در حالتی کلی نیروی $$F$$ وابسته به دستگاه مختصات انتخاب شده برای جسم است. در ادامه نیرو به صورت متغیر نسبت به زمان در نظر گرفته شده است.

نیروی متغیر با زمان: $$\large F = F ( t )$$

حالتی را در نظر بگیرید که در آن جسم حرکتی تک‌بعدی را تجربه می‌کند. در این صورت قانون دوم نیوتن را می‌توان بر حسب معادله دیفرانسیل مرتبه دوم بیان کرد. در ادامه این معادله ارائه شده است.

$$\large m \frac{{ { d^2 }x } }{{d { t^ 2 }} } = F \left( t \right)$$

با انتگرال‌گیری از رابطه فوق، سرعت جسم مطابق با رابطه زیر بدست خواهد آمد.

$$\large { v \left( t \right) }={ {v_0} + \frac {1} { m }\int\limits_0^t {F\left( \tau \right)d\tau } }$$

برای نمونه حالتی را در نظر بگیرید که در آن جسم با سرعت اولیه $$v=0$$ در زمان $$t=0$$ شروع به حرکت کرده است. با انتگرال‌گیری دوباره از عبارت فوق، معادله حرکت یا همان تابع $$x(t)$$ به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large x \left ( t \right ) = { x _ 0 } + \int \limits _ 0 ^ t { v \left ( \tau \right ) d \tau }$$

در رابطه فوق $$x_0$$ مکان اولیه بردار جابجایی و $$τ$$ متغیر انتگرال‌گیری است.

وابستگی نیرو به سرعت: $$\large F = F ( v )$$

زمانی که جسمی در یک سیالِ گازی یا مایع به حرکت در می‌آید، نیرویی را از جانب سیال حس می‌کند که مهندسان آن را درگ یا پسا می‌نامند. در سرعت‌های پایین اندازه این نیرو وابسته به سرعت جسم در سیال است. اندازه این نیرو را می‌توان در حالت کلی به صورت زیر بیان کرد:

$$\large \overrightarrow { F } = – k \overrightarrow{v}$$

ضریب $$k$$ وابسته به ویسکوزیته $$\eta$$ است. در حالتی ویژه اگر جسم به صورت کروی شکل باشد، آن‌گاه نیروی درگ مطابق با قانون استوکس، به صورت زیر قابل محاسبه است.

$$\large \overrightarrow { F } = – 6 \pi \eta R \overrightarrow { v }$$

در رابطه فوق $$R$$، شعاع توپ و $$η$$ ویسکوزیته محیط یا همان سیالی است که جسم در آن در حال حرکت است. در حالت حرکتِ تک‌بعدی در سیال، قانون دوم نیوتن را می‌توان به صورت دیفرانسیلی نیز بیان کرد:

$$\large m \frac { { { d ^ 2 } x }} {{d {t ^ 2 }}} = m \frac { { d v } } { { d t }} = – k v$$

با انتگرال‌گیری از رابطه فوق و فرض سرعت اولیه $$v_0$$ در زمان $$t_0$$، داریم:

$$\large { \frac{{ d v } }{ v} = – \frac { k } { m } d t \;\;}\Rightarrow { \int \limits_{{ v _0 } } ^v { \frac{{ d u } }{ u } } = – \frac { k} { m}\int\limits_0^t { d \tau } }$$

توجه داشته باشید که در عبارت فوق، $$u$$ و $$v$$ متغیر‌های انتگرال‌گیری هستند. تغییرات سرعت از $$v$$ تا $$v_0$$ و تغییرات زمانی از $$0$$ تا $$t$$ در نظر گرفته شده‌اند. بنابراین حاصل انتگرال فوق به صورت زیر در می‌آید.

$$\large \begin{align*} { \ln v – \ln { v _ 0 } = – \frac { k }{ m } t \;\;}\Rightarrow {\ln \frac{v}{{{v_0}}} = – \frac { k } { m } t \;\;}\Rightarrow { v \left( t \right) = { v _ 0} { e ^{ – {\large\frac { k } { m } \normalsize}t}} } \end{align*}$$

از این رو اگر نیروی درگ متناسب با سرعت جسم باشد، سرعت جسم به صورت نمایی کم خواهد شد. اگر برای بار دوم از عبارت بدست آمده، انتگرال بگیریم، معادله حرکت جسم به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$\large \begin {align*} x \left( t \right) & = {x_0} + \int\limits_0^t {v\left( \tau \right)d\tau } \\ & = { { x _ 0 } + \int \limits _ 0 ^ t { { v _0 } { e ^ { – {\Large \frac{k}{m}\normalsize}\tau }}d\tau } } \\ & = { { x _ 0 } – \frac{{m{v_0}}}{k}\left( {{e^{ – {\Large\frac{k}{m}\normalsize}t}} – 1} \right) } \\ & = {{x_0} + \frac{{m{v_0}}}{k}\left( {1 – { e ^ { – { \large\frac { k } {m } \normalsize} t } } } \right) } \end {align*}$$

رابطه فوق نشان می‌دهد که وابستگی بین کمیت‌های $$x$$ و $$t$$ در حرکت جسم تا ایستادن، وابسته به مومنتوم اولیه جسم یا همان $$mv_0$$ است. جالب است بدانید با افزایش سرعت جسم، فیزیک فرآیند نیز تغییر می‌کند. در حقیقت در سرعت بالا انرژی جنبشی جسم نه تنها صرف اصطکاک بین لایه‌ها می‌شود، بلکه منجر به حرکت لایه‌ها در جلوی جسم نیز خواهد شد. در این حالت، نیروی وارد به جسم وابسته به توان دوم سرعت خواهد بود. در حقیقت اندازه نیرو در این حالت برابر است با:

$$\large F = – \mu \rho S { v ^ 2 }$$

در رابطه فوق، $$μ$$، ضریب نسبت، $$S$$، سطح مقطع جسمِ در حال حرکت و $$ρ$$ چگالی سیال است. رفتاری که در بالا توضیح داده شده، رفتاری غیر خطی محسوب می‌شود. این رفتار در شرایطی رخ می‌دهد که عدد رینولدز کمتر از  $$100$$ باشد.

$$\large \overrightarrow {\text{Re}} = \frac {{\rho vL}} {\eta } > 100$$

در رابطه فوق $$Re$$ نشان دهنده عدد بی‌بعد رینولدز است. هم‌چنین $$η$$، ویسکوزیته و $$L$$، طول مشخصه جسم است. برای نمونه در حالتی که توپی در هوا در حال حرکت باشد، طول مشخصه برابر با شعاع توپ در نظر گرفته می‌شود.

حال می‌خواهیم معادله حرکت را در حالتی بدست آوریم که نیروی وارد به جسم با توان دوم سرعت تغییر می‌کند. در این حالت معادله دیفرانسیل حاکم بر حرکت جسم به صورت زیر قابل بیان است.

$$\large { m \frac{ { { d^ 2 } x } } {{d { t ^ 2 } }} = m\frac { {d v } }{ { d t }} }={ – \mu \rho S { v ^ 2}}$$

با انتگرال‌گیری از رابطه فوق داریم:

$$\large { m \frac { { {d ^ 2 } x } } {{ d { t ^2 } } } = m \frac { { d v} } { { d t } } }={ – \mu \rho S { v ^ 2 } }$$

توجه داشته باشید که در رابطه بالا $$u$$ و $$τ$$ متغیر‌های انتگرال‌گیری هستند. سرعتِ $$u$$ از مقدار $$v_0$$ شروع شده و تا مقدار $$v$$ کاهش می‌یابد. هم‌چنین این فرآیند از زمان $$0$$ تا  $$t$$ رخ می‌دهد. بنابراین با قرار دادن این مقادیر به عنوان بازه‌های انتگرال‌، به رابطه زیر خواهیم رسید.

$$\large \begin {align*} -\left( {\frac{1}{v} – \frac { 1} { { { v _ 0 }} } } \right) & = – \frac{{\mu \rho S } }{ m } t \\ & \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac { 1}{ { { v _0 }} } + \frac { { \mu \rho S } } { m } t \\ & \Rightarrow \large v \left( t \right) = \frac { 1} { { \frac{1} { {{ v _ 0 }}} + \frac { { \mu \rho S} } {m } t }} = \frac { { {v _ 0} } } {{1 + \frac { { \mu \rho S{v_ 0 } } } { m } t } } \end {align*}$$

با انتگرال‌گیریِ دوباره از رابطه فوق، شکل نهایی معادله حرکت به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$ \large \begin {align*} \require{cancel} x\left( t \right) & = \int\limits_0^t {\frac{ { {v _ 0 } } } { {1 + \frac{{\mu \rho S {v _ 0 } }} {m }\tau }}d\tau } \\ & = \int\limits_0^t {\frac{{\cancel { v _0 } } } { { 1 + \frac { { \mu \rho S {v_0 } } } {m } \tau }}\frac{{d\left( {1 + \frac{{\mu \rho S { v _ 0} } } { m } \tau } \right) } }{ {\frac{{\mu \rho S\cancel{v_0}}}{m}}}} \\ & = {\frac { m }{ { \mu \rho S } }\int\limits _ 0 ^ t {\frac{{d\left( {1 + \frac { {\mu \rho S { v_ 0 } } } { m }\tau } \right ) } } { {1 + \frac{{\mu \rho S { v _0 }} } { m } \tau } } } } \\ & = {\frac{m}{{\mu \rho S } }\left[ {\left. {\ln \left( {1 + \frac { { \mu \rho S { v _0 } } }{m}\tau } \right)} \right|_0^t} \right] } \\ & = { \frac { m } { { \mu \rho S } } \ln \left( {1 + \frac{{\mu \rho S { v _ 0 } } } {m } t } \right) } \end {align*} $$

نیروی متغیر با مکان: $$\large F = F ( x )$$

در برخی از فرآیند‌های فیزیکی نیروی وارد به یک سیستم تنها وابسته به مکان، یا به عبارتی بهتر وابسته به مختصات است. در ادامه دو نمونه از این موارد ذکر شده است.

• نیروی الاستیک: $$\large F = -k x$$
• نیروی جهانی گرانش: $$F = – G \large \frac { { { m _1 }{m_ 2} } } { {{ x ^ 2 } } } \normalsize$$

فیلم آموزش مکانیک تحلیلی ۱ Analytical Mechanics در فرادرس

کلیک کنید

در ادامه معادلات حرکت هریک از این دو نیرو را استخراج خواهیم کرد. معادله دیفرانسیل جسمی به جرم $$m$$ که به فنری با سختی $$k$$ متصل شده، برابر است با:

$$\large { m \frac { { {d ^ 2 } x } } { { d { t ^2 } } } = – k x \; \; \Rightarrow \; \; } \kern-0.3pt {\frac { { {d ^ 2 } x } } { { d {t ^ 2 } }} + \frac { k } { m } x = 0 }$$

در مطلب ارتعاشات مفهوم فیزیکی و نحوه حل چنین معادله‌ای را توضیح داده‌ایم. معادله فوق، نشان دهنده ارتعاشی با دوره تناوب $$T = 2 \pi \sqrt { \frac { m }{k } }$$ است. در حالتی که با نیروی گرانش مواجه هستیم، نیز به معادله مشابه با سیستم جرم و فنر می‌رسیم. این معادله به صورت زیر است.

$$\large \frac { { {d ^ 2 } x } } { { d{ t ^ 2} } } = – G \frac { M } { {{ x^ 2 } }}$$

در رابطه فوق $$M$$ جرم جسمی است که دیگر اشیا را به سمت خود جذب می‌کند (برای نمونه زمین یا خورشید). هم‌چنین $$G$$، ثابت جهانی گرانش است. در حالتی که نیرو وابسته به مختصات است، شتاب را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.

$$\large { a = \frac { {d v } } { {d t } } = \frac { { d v } } { {d x } } \frac { { d x} } {{ dt } } }={ v\frac { { d v } } { { d x } } }$$

بنابراین معادله دیفرانسیل مربوط به نیروی متغیر با زمان نیز برابر است با:

$$\large { m \frac {{ {d ^ 2} x }} { { d{ t ^2 } } } = m\frac{{dv}}{{dt}} }={ mv\frac {{ d v } } { {d x } } }={ F\left( x \right) }$$

با استفاده از روش جداسازی متغیر‌ها معادله فوق به صورت زیر حل خواهد شد.

$$\large \begin {align*} m v d v & = F \left ( x \right ) d x \; \; \\ & \Rightarrow m \int \limits _ { { v _ 0} } ^ v { u d u} = \int \limits_0^L {F\left( x \right) d x \;\;} \\ & \Rightarrow { \frac { {m { v^ 2 } }} { 2 } – \frac { {m v _ 0 ^ 2 } } {2 } } = { \int \limits _ 0 ^ L { F \left ( x \right) d x } } \end {align*}$$

خط آخر نشان دهنده قانون پایستگی انرژی است. سمت چپ این رابطه نشان دهنده تغییرات انرژی جنبشی و سمت راست نشان دهنده میزان کار انجام شده توسط نیروی $$F$$ است. در ادامه نحوه بدست آوردن معادله حرکت را در قالب یک مثال بررسی خواهیم کرد.

مثال ۱

مطابق با شکل زیر جسمی را در نظر بگیرید که از ارتفاع اولیه $$H$$ به سمت پایین حرکت می‌کند. فرض کنید که رابطه بین نیروی وارد به جسم و سرعت آن مطابق با رابطه $$F=-kv$$ توصیف شود. با توجه به این نیرو مدت زمانی که طول می‌کشد تا جسم به زمین برسد، چقدر خواهد بود؟

در ابتدا مطابق با شکل، جهت مثبت محور $$x$$ را به سمت پایین در نظر بگیرید. به جسم دو نیروی $$Mg$$ در جهت محور $$x$$ و $$-kv$$ در خلاف جهت جسم وارد می‌شود. بنابراین قانون دوم نیوتن را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large m \frac { { {d ^ 2 } x}} { { d { t ^ 2} } } = m g – k \frac { {d x } } { { d t } }$$

معادله فوق را می‌توان بر حسب سرعت ($$v(t)$$)، به صورت زیر بازنویسی کرد.

$$\large { m \frac { { d v } } { { d t } } = m g – k v \;\; } \Rightarrow { \frac { {d v } }{ { d t } } = g – \frac { k } { m } v }$$

برای حل، بهترین گزینه‌، استفاده از جداسازی متغیر‌ها است. با استفاده از این روش، معادله فوق را باید به صورت زیر بازنویسی کرد.

$$\large { \frac { { dv }} { { g – \frac { k }{ m } v} } = d t } \Rightarrow { \int \limits _ 0 ^ v { \frac { {d u } } {{ g – \frac { k }{ m } u } } } = t }$$

با استفاده از انتگرال‌گیری از عبارت فوق، سرعتِ $$v$$ به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$\large \begin {align*} - \frac{m}{k}\int\limits _ 0 ^ v { \frac{{d\left( {g – \frac{k}{m}u} \right)}}{{g – \frac{k}{m}u}}} & = t \;\; \\ & \Rightarrow { – \frac{m}{k}\left. {\left[ {\ln \left( {g – \frac{k}{m}u} \right)} \right]} \right|_0^v = t \;\;} \\ & \Rightarrow {\ln \frac{{g – \frac { k } { m } u}} { g} = – \frac{k}{m}t \;\;} \\ & \Rightarrow { \ln \left( {1 – \frac{k}{{mg}}v} \right) = – \frac{k}{m}t \;\;} \\ & \Rightarrow { 1 – \frac{k}{{mg}}v = { e ^ { – {\large\frac{k}{m}\normalsize} t}} \;\;}\\ & \Rightarrow {\frac {k } {{ m g } } v = 1 – {e^{ – {\large\frac{k}{m}\normalsize} t}} \;\;} \\ & \Rightarrow {v\left( t \right ) = \frac { {m g } } {k } \left( {1 – {e^{ – { \large \frac { k } {m } \normalsize } t } } } \right) } \end {align*}$$

با انتگرال‌گیری دوباره از رابطه فوق، معادله حرکت جسم به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin {align*} { x \left( t \right) } & = { \frac {{ m g }} { k } \int \limits _ 0 ^ t { \left ( { 1 – {e^{ –{\large\frac{k}{m}\normalsize} \tau }}} \right)d\tau } } \\ & = { \frac{ { mg } } { k }\left[ { \left( {t + \frac { m } { k } { e ^ { – {\large\frac { k } {m }\normalsize} t } } } \right) }\right.}-{\left.{ \left( {0 + \frac { m } { k} { e ^ { – {\large\frac{k}{m}\normalsize}0}}} \right)} \right] } \\ & = {\frac {{ mg} } { k } \left[ {t – \frac{m}{k}\left( {1 – {e^{ – {\large\frac { k } { m } \normalsize} t } } } \right ) } \right] } \end {align*}$$

فرض کنید که جسم در زمان $$t=T$$ به زمین برسد. بدیهی است که در این بازه زمانی جسم مسافتی برابر با $$x=H$$ را طی می‌کند. بنابراین با قرار دادن $$x=H$$ در رابطه فوق، معادله $$T$$ به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large { H } = { \frac { { m g} } { k } \left [ { T – \frac { m } {k } \left ( { 1 – { e ^ { – { \large \frac { k } { m} \normalsize } T } } } \right ) } \right] }$$

با فرض این‌که مقدار $$T$$ به اندازه کافی بزرگ باشد، می‌توان از ترم $$e^ { - \frac {k}{m} T }$$ در مقابل بقیه ترم‌ها صرف نظر کرد. با این فرض، مقدار تقریبی $$T$$ برابر است با:

$$\large { H \approx \frac { { m g }} { k }\left( {T – \frac{m}{k}} \right)\;\;}\kern-0.3pt{\Rightarrow \; \; T \left( H \right) \approx \frac { { k H } } { { mg } } + \frac { m } { k } }$$

مثال ۲

مطابق با شکل زیر فرض کنید در زمان $$t=0$$ زنجیری به طول $$L$$ روی میزی قرار گرفته و به دلیل وجود داشتن نیروی اصطکاک، این زنجیر روی سطح به صورت ساکن قرار گرفته است. در نتیجه تحریکی دیفرانسیلی به اندازه $$\large ε$$، زنجیر شروع به حرکت می‌کند. چه مدت ($$T$$) طول می‌کشد که کل زنجیر از روی میز خارج شود؟

نحوه حرکت در این مسئله، با استفاده از دو نیرو توصیف می‌شود.

• نیرویِ گرانشِ $$P = { \frac { { m g x } } { L } \normalsize }$$، که در آن $$x$$ نشان دهنده بخشی از زنجیر است که روی میز قرار ندارد. هم‌چنین $$m$$ و $$L$$ به ترتیب نشان دهنده جرم کل زنجیر و طول آن هستند.
• نیرویِ اصطکاکِ $$F _ { fr } = – \mu m g { \large \frac { { L – x } } { L } \normalsize }$$ که در آن $$\mu$$ نشان دهنده ضریب اصطکاک زنجیر با سطح است. بدیهی است که نیروی اصطکاک تنها در بخشی از زنجیر وجود دارد که روی سطح قرار گرفته. طول این بخش نیز برابر با $$L-x$$ در نظر گرفته می‌شود.

فیلم آموزش مکانیک تحلیلی ۱ مرور و حل مثال در فرادرس

کلیک کنید

طبق قانون دوم نیوتن، معادله دیفرانسیل حرکت برای زنجیر به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin {align*} m \frac { { {d ^ 2} x} }{ { d { t ^ 2} }} & = P – {F_{\text{fr}}} \Rightarrow {m\frac { {{ d ^ 2 }x } } {{ d { t ^2 } } } } \\ & = { mg\frac{x}{L} – \mu mg\frac{{L – x}}{L} \;\;} \\ & \Rightarrow {\frac { {{ d ^ 2 } x } }{ { d { t ^2 } } } }={ g\frac{x}{L} – \mu g \frac { { L – x } }{ L } \;\;} \\ & \Rightarrow {\frac { { { d ^ 2 } x } }{{d{t^2}}} – \frac{{\left( {1 + \mu } \right ) g } } { L } x } = { – \mu g } \end {align*}$$

عبارت فوق معادله دیفرانسیلی ناهمگن، با ضرایب ثابت محسوب می‌شود. معادله همگن مرتبط با معادله فوق برابر است با:

$$\large \frac { { { d^ 2 } x} } { { d{ t ^2 }} } – \frac { { \left ( { 1 + \mu } \right ) g} } {L } x = 0$$

در نتیجه معادله مشخصه و ریشه‌های آن برابرند با:

$$\large { { n ^ 2 } – \frac { { \left ( { 1 + \mu } \right ) g } } { L } = 0 \;\; } \Rightarrow { { n_ { 1, 2 } } = \pm \sqrt { \frac { { \left ( {1 + \mu } \right) g } } {L } } }$$

بنابراین پاسخ معادله همگن به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large { { x_ 0 } } = { { C _ 1 }{ e ^ { \sqrt { \large \frac { { \left ( { 1 + \mu } \right)g}}{L}\normalsize} t } } }+{ {C_2}{e^{ – \sqrt {\large\frac { { \left( {1 + \mu } \right)g}}{L}\normalsize} t}} }$$

ثابت‌های $$C_1$$ و $$C_۲$$ نیز با استفاده از شرایط اولیه بدست خواهند آمد. در مرحله بعد باید پاسخ معادله ناهمگن را بدست آوریم. سمت راست معادله، عددی ثابت است. بنابراین پاسخ خصوصیِ $$x_1$$ را می‌توان برابر با ثابتِ $${ x _ 1 } = A$$ در نظر گرفت. با جایگذاری این پاسخ در معادله اصلی داریم:

$$\large \require {cancel} { 0 – \frac { { \left( {1 + \mu } \right)g}}{L}A = – \mu g } \Rightarrow {A = \frac{{\mu \cancel { g } L} } { { \left( {1 + \mu } \right)\cancel{g}}} }={ \frac { { \mu L } } { {1 + \mu } } }$$

بنابراین پاسخ کلی معادله برابر است با:

$$\large \begin {align*} x & = { x _ 0 } + { x _1 } \\ & = { { C _ 1} { e ^{ \sqrt { \large\frac{{\left( {1 + \mu } \right)g}}{L}\normalsize} t}} } + { { C _ 2 } { e ^ { – \sqrt {\large\frac {{ \left ( {1 + \mu } \right) g } } { L } \normalsize} t } } } + { \frac { { \mu L } } {{ 1 + \mu } } } \end {align*}$$

توجه داشته باشید که نحوه تعیین ثابت‌ها در این مسئله بسیار مهم است. بدین منظور از مفاهیم استاتیک استفاده کرده و از تعادل نیرویی در لحظه اولیه استفاده می‌کنیم. توجه داشته باشید که قبل از به حرکت درآمدن، زنجیر، ساکن بوده و دو نیروی گرانش و اصطکاک با هم در تعادل هستند. در این لحظه طول معلق شده، برابر با $$x$$ است (مطابق با شکل فوق). بنابراین معادله تعادل را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large P = {F_{\text{fr}}} \Rightarrow { m g \frac { x } {L } = \mu m g \frac { { L – x } } { L } }$$

در نتیجه طول تعادل در لحظه اولیه برابر خواهد بود با:

$$\large x = \frac { { \mu L } } { { 1 + \mu } }$$

مقدار بدست آمده در بالا، نشان دهنده طول تعادل در زمانی است که زنجیر به منظور به حرکت در آمدن تحریک نشده است. پس از جابجایی زنجیر به اندازه $$x$$، مقادیر سرعت و طول معلق‌شده برابرند با:

$$\large { \left\{ \begin{array}{l} x\left( {t = 0} \right ) = \frac { { \mu L } } { {1 + \mu } } + \varepsilon \\ v\left( {t = 0} \right ) = 0 \end{array} \right.}$$

با بدست آوردن دو شرط اولیه، می‌توان دو ثابتِ $$C_1$$ و $$C_۲$$ را نیز به صورت زیر بدست آورد.

$${\left\{ \begin{array} { l } { { C _ 1 } \cdot 1 + { C_2 } \cdot 1 + \cancel { \frac { { \mu L } } { { 1 + \mu } } } } = { \cancel { \frac { {\mu L}}{{1 + \mu }}} + \varepsilon } \\ { { C _ 1 } \cdot \sqrt {\frac{{\left( {1 + \mu } \right)g}}{L}} }-{ {C_2} \cdot \sqrt {\frac{{\left( {1 + \mu } \right)g}}{L}} } ={ 0 } \end{array} \right. \;\;}\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{l} { C _ 1 } + {C_2} = \varepsilon \\ {C_1} – {C_2} = 0 \end{array} \right. \;\;}\Rightarrow {{C_1} = {C_2} = \frac{\varepsilon }{2}.}$$

نهایتا معادله طول معلق بر حسب زمان به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$\large { x \left ( t \right ) } = {\frac{\varepsilon }{2}{e^{\sqrt {\large\frac{{\left( {1 + \mu } \right)g}}{L}\normalsize} t}} }+{ \frac{\varepsilon }{2}{e^{ – \sqrt {\large\frac{{\left( {1 + \mu } \right) g} } { L }\normalsize} t}} } + {\frac{{\mu L}}{{1 + \mu } } }$$

حال به منظور بدست آوردن کل مدت زمان لغزش، معادله بدست آمده در بالا را برابر با $$L$$ قرار می‌دهیم. به منظور حل معادله فوق و یافتن $$T$$، طرفین معادله را در $$\large { e ^ { \sqrt { \large \frac { { \left( {1 + \mu } \right) g } } { L}\normalsize} T } }$$ ضرب می‌کنیم. در نتیجه معادله به صورت زیر در خواهد آمد.

$$\large { \frac {\varepsilon }{2}{e^{2\sqrt {\large\frac { { \left( {1 + \mu } \right ) g } } { L } \normalsize} T } } } - { \frac {L }{ { 1 + \mu }}{e^{\sqrt {\large\frac { { \left ( { 1 + \mu } \right ) g } } { L } \normalsize} T } } } + { \frac{\varepsilon } { 2 } } = { 0 }$$

با استفاده از تغییر متغیر $$z = { e ^ { \sqrt { \large \frac { { \left ( { 1 + \mu } \right ) g }}{L}\normalsize} T } }$$، معادله‌ای درجه ۲ به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$\large \begin {align*} \varepsilon { z ^ 2 } – \frac { { 2L } } { {1 + \mu } } z + \varepsilon = 0 & \Rightarrow {D = \frac{{4{L^2}}}{{{{\left( {1 + \mu } \right ) }^ 2 } } } – 4 { \varepsilon ^ 2 } } \\ & \Rightarrow {{z_{1,2}} = \frac{{\frac{{2L}}{{1 + \mu }} \pm \sqrt {\frac{ { 4 {L ^ 2 } } } { { { { \left( {1 + \mu } \right)}^2}}} – 4{\varepsilon ^2}} }}{{2\varepsilon }} } \\ & = {{\frac { L } { { \left( {1 + \mu } \right)\varepsilon }} }\pm { \sqrt {\frac { { { L^2 } } }{ { { {\left( {1 + \mu } \right ) } ^ 2 } { \varepsilon ^ 2 } } } – 1 } } } \end {align*}$$

با قرار دادن بخش مثبت در تغییر متغیر در نظر گرفته شده، مدت زمان لغزش برابر با عدد زیر بدست خواهد آمد.

$$\begin {align*} \large e ^ { { \Large \sqrt {\large\frac{{\left( {1 + \mu } \right)g}}{L}\normalsize} T } } & = {\frac{ L } { {\left( {1 + \mu } \right)\varepsilon }} }+{ \sqrt {\frac{{{ L ^ 2 } } } { { { {\left( {1 + \mu } \right)}^2 } { \varepsilon ^2}}} – 1} \;\;} \\ & \Rightarrow { { T = \sqrt {\frac { L }{ { \left( {1 + \mu } \right)g}}} \cdot}}\kern0pt{{ \ln \Big[ {\frac { L} { {\left( {1 + \mu } \right) \varepsilon }} }+{ \sqrt {\frac { { { L ^2 } } }{ { {{\left( {1 + \mu } \right ) } ^ 2 }{\varepsilon ^ 2 } }} \text{-}1} } \Big]}} \end {align*}$$

پاسخ فوق از این نظر جالب است که وابستگی شدیدی به مقدار تحریک اولیه $$ε$$ دارد؛ به نحوی که با $$\epsilon \to 0$$، زمان $$T$$ به بینهایت نزدیک می‌شود. در این مطلب نحوه استفاده از قانون دوم نیوتن به منظور بدست معادله حرکت چندین سیستم توضیح داده شد. توجه داشته باشید که معادلات عمومی همچون ناویراستوکس نیز بر همین مبنا بدست آمده‌اند.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مکانیک، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• استاتیک سیالات - به زبان ساده
• استاتیک — به زبان ساده
• معادلات ناویر استوکس (Navier Stokes) — از صفر تا صد

^^