ماتریس متقارن و پادمتقارن | به زبان ساده

همانطور که می‌دانید، ماتریس‌ها یک شیوه برای نمایش اطلاعات برحسب اعداد هستند که بخصوص به منظور توصیف پدیده‌های «چند متغیره» (Multivariate) به کار گرفته می‌شوند. یکی از ویژگی‌های مهم ماتریس‌ها، ابعاد آن‌ها است که نشانگر تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس است. در این بین «ماتریس مربعی» (Square Matrix) یکی از ماتریس‌های پرکاربرد در «جبر خطی» (Linear Algebra) و محاسبات ماتریسی محسوب می‌شود، که دارای تعداد سطرهای و ستون‌های یکسانی است. از آنجایی که این ویژگی می‌تواند باعث بوجود آمدن تقارن در ماتریس شود، موضوع این مطلب از مجله فرادرس را ماتریس متقارن و ویژگی های آن در نظر گرفته‌ایم. البته در ادامه به ماتریس پادمتقارن نیز خواهیم پرداخت.

برای آشنایی بیشتر با مفهوم ماتریس و انواع آن‌ها بهتر است نوشتارهای ماتریس‌ها در ریاضی — به زبان ساده و ترانهاده ماتریس — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن نوشتارهای دترمینان یک ماتریس و محاسبه آن — به زبان ساده و اثر ماتریس (Trace) در جبر خطی — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

ماتریس متقارن و ویژگی های آن

در جبر خطی، به ماتریس مربعی (Square Matrix) $$A$$، متقارن گویند اگر با ترانهاده‌اش که با $$A^T$$ نشان داده می‌شود، برابر باشد. در این حالت رابطه زیر برقرار خواهد بود.

$$\large {\displaystyle A{ \text{ is symmetric}} \iff A = A^{\textsf {T}}}$$

رابطه ۱

از آنجایی که یک ماتریس مربعی دارای تعداد سطرها و ستون‌های برابر است، چنین تساوی امکان‌پذیر است.

نکته: برای ماتریس غیرمربعی به دلیل اینکه ابعادشان یکسان نیست، نمی‌توان خاصیت تقارن را در نظر گرفت.

تعریف ماتریس متقارن

مقادیر یا مولفه‌های یک ماتریس با ویژگی تقارن، نسبت به «قطر اصلی» (Main Diagonal) متقارن هستند. به این ترتیب اگر $$a_{ij}$$ نشانگر مقدار مولفه سطر $$i$$ام و ستون $$j$$ام باشد، آنگاه شرط تقارن برای ماتریس مربعی را به صورت زیر نشان خواهیم داد.

$$\large {\displaystyle A { \text{ is symmetric}} \iff \forall i,j\;, \quad a_{ji} = a_{ij}}$$

رابطه ۲

براساس تعریف بالا، مشخص است که هر «ماتریس قطری» (Diagonal Matrix)، متقارن است. توجه دارید که ماتریس قطری، یک ماتریس مربعی است که همه عناصر خارج از قطر اصلی آن صفر هستند. به ماتریسی که در ادامه می‌بینید توجه کنید.

$$\large \begin{bmatrix} 15 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \end{bmatrix}$$

این ماتریس قطری است و در نتیجه با توصیف ماتریس مربعی متقارن در رابطه ۲ صدق می‌کند. البته مشخص است که تعریف مربوط به رابطه ۱ نیز صادق خواهد بود.

در جبر خطی، یک ماتریس متقارن با مقادیر حقیقی، نمایانگر یک عملگر «خود الحاقی» (Self Adjoint) روی یک فضای حقیقی ضرب داخلی است. به این معنی که $$A$$ را یک ماتریس متقارن می‌نامند اگر رابطه زیر برای ضرب داخلی که به صورت $$\langle.,.\rangle$$ نشان داده شده برای هر بردار حقیقی $$v , w$$ برقرار باشد.

$$\large {\displaystyle \langle Av,w \rangle = \langle v,Aw \rangle}$$

نکته: متناظر با فضای ضرب داخلی برای ماتریس و بردارهای حقیقی، می‌توان به فضای ضرب داخلی مختلط اشاره کرد که وابسته به «ماتریس‌های هرمیتی» (Hermitian Matrix) است. توجه داشته باشید که در این حالت تقارن به شکلی است که ماتریس متقارن با ترانهاده مزدوج خود برابر است.

اغلب فرض بر این است که یک ماتریس متقارن، ماتریسی است که مولفه‌های آن اعداد حقیقی هستند. ماتریس‌های متقارن به طور معمول در انواع نرم‌افزارهای محاسباتی و ریاضیاتی مانند «متمتیکا» (Mathematica) برای حل معادلات جبر خطی عددی به کار گرفته می‌شوند.

معکوس و دترمینان ماتریس متقارن

همانطور که برای ماتریس‌های مربعی، محاسبه ماتریس معکوس قابل اجرا است، برای ماتریس متقارن نیز همین کار قابل انجام است. به این ترتیب اگر دترمینان ماتریس متقارن مخالف صفر باشد، می‌توان برای آن معکوس نیز محاسبه کرد.

به یاد دارید که برای ماتریس مربعی $$A$$، معکوس به صورت $$A^{-1}$$ نشان داده شده و رابطه زیر بین این دو ماتریس برقرار است. البته مشخص است که ماتریس $$I$$، همان «ماتریس همانی» (Identity Matrix) است.

$$\large {\displaystyle A^ {-1} A = A A^{-1} = I }$$

از آنجایی که ماتریس متقارن، نسبت به قطر اصلی، دارای تقارن است، دترمینان آن را می‌توان از بسط سطری یا ستونی انجام داد. ولی به یاد داشته باشید که محاسبه دترمینان و محاسبه معکوس برای هر ماتریس با خاصیت تقارن، همان روال معمول برای ماتریس‌های مربعی را دارد و نمی‌توان به طور عمومی دستوری برای بدست آوردن آن‌ها ارائه کرد.

توصیه می‌شود، برای آشنایی بیشتر با نحوه محاسبه ماتریس معکوس و دترمینان ماتریس، نوشتارهای ماتریس معکوس ۳×۳ — به زبان ساده و معکوس ماتریس یا ماتریس وارون — به زبان ساده را مطالعه کنید.

ویژگی‌های ماتریس متقارن

فرض کنید $$A$$ و $$B$$ دو ماتریس باشند که دارای خاصیت تقارن هستند. البته این دو ماتریس را با مقادیر حقیقی در نظر بگیرید. به این ترتیب می‌توانیم خصوصیات و ویژگی‌های زیر را برای چنین ماتریس‌هایی اثبات کنیم. به یاد داشته باشید که چنین ماتریس‌هایی، حتما مربعی خواهند بود.

فیلم آموزش ماتریس ها و جبر خطی – حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

• مجموع دو ماتریس متقارن، یک ماتریس متقارن خواهد بود. به این ترتیب رابطه زیر برقرار است.

$$\large C = A + B \rightarrow C \text{ is symmetric }$$

• ضرب دو ماتریس متقارن، لزوما متقارن نخواهد بود. شرط متقارن بودن چنین حاصل‌ضربی، آن است که این دو ماتریس نسبت به ضرب خاصیت جابجایی داشته باشند. این ویژگی را به صورت زیر نمایش می‌دهیم.

$$\large AB = BA \rightarrow A\times B \text{ is symmetric }$$

• برای هر مقدار صحیح $$n$$، ماتریس $$A^n$$ نیز یک ماتریس با خاصیت تقارن است، به شرطی که $$A$$، متقارن باشد.
• اگر معکوس ماتریس متقارن $$A$$ موجود باشد (دترمینان آن مخالف صفر باشد)، آنگاه ماتریس $$A^{-1}$$ نیز متقارن خواهد بود.

ماتریس تقارن‌پذیر

ماتریس مربعی $$n \times n$$ مثل $$A$$ را «تقارن‌پذیر» (Symmetrizable) گویند اگر بتوان یک ماتریس معکوس‌پذیر قطری مانند $$D$$ و یک ماتریس متقارن $$S$$ برای آن پیدا کرد که در رابطه زیر صدق کنند.

$$\large A = D S$$

ترانهاده یک ماتریس تقارن‌پذیر باز هم یک ماتریس تقارن‌پذیر است. زیرا رابطه زیر برقرار است.

$$\large {\displaystyle A^{ \mathrm {T} } = (DS)^{ \mathrm {T} }= SD = D^{-1} (DSD)}$$

بطوری که ماتریس $$DSD$$ متقارن است. ماتریس $$A = (a_{ij} )$$ یک ماتریس تقارن‌پذیر است اگر و فقط اگر شرایط زیر محقق شوند.

1.  اگر $$a_{ij} = 0$$ آنگاه باید $$a_{ji} = 0$$ باشد. البته برای همه $$i , j$$‌هایی که $$1 \leq i \leq j \leq n$$.
2. برای هر دنباله متناهی از $$(i_1 , i_2 , \ldots , i_k)$$ داشته باشیم: $${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}} \dots a_{i_{k}i_{1}} = a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}}$$.

ماتریس پادمتقارن و ویژگی‌های آن

در ریاضیات، به ویژه در جبر خطی، «ماتریس پاد-متقارن» (Skew-symmetric matrix) که گاهی ماتریس ضد متقارن یا ضد تقارنی و شبه متقارن نیز نامیده می‌شود، یک ماتریس مربعی است که ترانهاده آن برابر با قرینه ماتریس $$A$$ است.

این رابطه را به صورت زیر نشان می‌دهیم.

$$\large {\displaystyle A{ \text{ skew-symmetric }} \quad \iff \quad A^{ \textsf {T}} = -A }$$

از نظر مولفه‌های ماتریس، شرط پادمتقارن برای ماتریس $$A = (a_{ij})$$ به صورت زیر نوشته می‌شود. توجه داشته باشید که $$i$$ نشانگر اندیس سطر و $$j$$ نیز اندیس ستون را مشخص کرده است.

$$\large {\displaystyle A { \text{ skew - symmetric }} \quad \iff \quad a_{ji} = \ -\ a_{ij}}$$

برای مثال ماتریس زیر یک ماتریس پادمتقارن است.

$$\large {\displaystyle A = { \begin{bmatrix}0 & 2 & -45 \\ -2 & 0 & -4 \\ 45 & 4 & 0 \end{bmatrix}}}$$

واضح است که برای چنین ماتریسی خواهیم داشت:

$$\large {\displaystyle -A ={ \begin{bmatrix}0 & -2 & 45 \\ 2 & 0 & 4 \\ -45 & -4 & 0 \end{bmatrix}} = A^{ \textsf {T}}}$$

مشخص است که با ترانهاده کردن یک ماتریس مربعی، قطر اصلی تغییر نخواهد کرد. بنابراین با توجه به تعریفی که برای درایه‌های ماتریس پادمتقارن گفته شد، عناصر قطر اصلی آن صفر خواهند بود. زیرا تنها صفر با قرینه خود برابر است. اگر ماتریسی دارای عنصر قطری مخالف صفر باشد، آن ماتریس پادمتقارن نخواهد بود.

با توجه به موضوعی که گفته شد، مقدار $$x,y,z$$ را برای ماتریس پادتقارنی زیر بدست می‌آوریم.

$$\large A = \begin{bmatrix}x^2 & -1& 0 \\ 1 & y+1 & z \\ 0 & x &2z \end{bmatrix}$$

با توجه به خاصیت پادتقارنی باید رابطه‌های زیر برقرار باشند.

$$\large x^2= 0 , \;\; y+1 = 0 , \;\; z = -x , \;\; 2z = 0$$

پس به مقادیر زیر خواهیم رسید.

$$\large x= 0 , \;\; y = -1 , \;\; z = 0$$

و ماتریس به صورت زیر تشکیل خواهد شد.

$$\large A = \begin{bmatrix}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix}$$

نکته: توجه دارید که برعکس خاصیت تقارنی برای ماتریسی قطری، چنین ماتریسی نمی‌تواند یک ماتریس پادمتقارن باشد.

ویژگی‌های ماتریس پادمتقارن

در یک میدان $$F$$ که «مشخصه» (Characteristic) آن برابر با ۲ نباشد، می‌توان خصوصیات زیر را برای ماتریس پادمتقارن در نظر گرفت. ماتریس‌های $$A$$ و $$B$$ را پادمتقارن در نظر بگیرید.

نکته: به یاد داشته باشید که میدانی با عنصر خنثی عمل ضرب با نماد ۱ و عنصر خنثی جمع با نماد ۰، با شرط $$1 + 1 \neq 0$$ یک میدان با مشخصه مخالف ۲ نامیده می‌شود.

• جمع دو ماتریس پادمتقارن یک ماتریس پادمتقارن است.

$$\large A, B \text{ are skew-symmetric } \rightarrow C = A + B , \text{ C is skew-symmetric }$$

• ضرب یک عدد در ماتریس پادمتقارن، تغییری در خاصیت پادتقارنی آن نمی‌دهد.

$$\large A, \text{ is skew-symmetric and } k \text{ real scaler } \rightarrow C = k A , \text{ C is skew-symmetric }$$

• عناصر قطری یک ماتریس پادمتقارن همگی صفر بوده و بنابراین «اثر» (Trace) چنین ماتریسی برابر با صفر است.
• اگر ماتریس $$A$$ یک ماتریس پادمتقارن باشد، آنگاه همگی «مقدار ویژه» (Eigenvalue) حقیقی، یعنی $$\lambda$$ آن به صورت $$\lambda = 0$$ خواهند بود. این امر به این معنی است که برای ماتریس پادمتقارن، مقدار ویژه یا صفر است و یا مقداری حقیقی نخواهد بود.
• برای ماتریس پادمتقارن $$A$$، ماتریس $$I + A$$ معکوس‌پذیر خواهد بود. مشخص است که $$I$$‌ «ماتریس همانی» (Identity Matrix) با ابعاد مناسب با $$A$$ است. به یاد دارید که ماتریس همانی $$I$$، مربعی و معکوس‌پذیر بوده و معکوسش با خود $$I$$ برابر است.
• مربع هر ماتریس پادمتقارن (یعنی $$A\times A = A^2$$) یک «ماتریس متقارن نیمه معین منفی» (symmetric negative semi-definite matrix) است.
• دترمینان یک ماتریس پادمتقارن با ابعاد $$n \times n$$ در رابطه زیر صدق می‌کند.

$$\large {\displaystyle \det \left( A^{ \textsf {T}} \right) = \det(-A) = (-1)^{n} \det(A)}$$

با توجه به رابطه بالا، در صورتی که $$n$$ فرد باشد و میدان دارای مشخصه‌ای مخالف ۲ باشد، دترمینان چنین ماتریسی صفر خواهد شد. بنابراین تمامی ماتریس‌های پادتقارنی با ابعاد فرد، دترمینانی برابر با صفر داشته و یک ماتریس منفرد محسوب می‌شوند. این نتیجه را به نام «قضیه ژاکوبی» (Jacobi's theorem) می‌شناسند. «کارل گوستاو یاکوب یاکوبی» (Carl Gustav Jacob Jacobi) این قضیه را 1825 اثبات نمود.

اما در ریاضیات، مقدار زوج $$n$$، بیشتر مورد توجه است. در این حالت، دترمینان ماتریس $$A$$ که یک ماتریس پادتقارنی است، را می‌توان برحسب مربعات یک چند جمله‌ای برحسب مولفه‌های ماتریس $$A$$ نوشت. رابطه زیر در این حالت برقرار است.

$$\large {\displaystyle \det {(A)} = \operatorname {Pf} (A)^{2}}$$

فیلم آموزش جبر خطی با متلب در فرادرس

کلیک کنید

که در آن $$Pf(A)$$ یک چند جمله‌ای «پافی» (Pfaffian) است. به این ترتیب مشخص می‌شود که دترمینان یک ماتریس پادمتقارن، همیشه نامنفی است.

این بار به یک مسئله ساده توجه می‌کنیم که اثرات جالبی در مورد ماتریس پادمتقارن را نمایش می‌دهد. ماتریس پادمتقارن $$X$$ را با ابعاد $$n\times n$$ در نظر بگیرید. ماتریس قطری $$A$$ را در آن ضرب می‌کنیم. حاصل یک ماتریس صفر خواهد شد.

$$\large X = \begin{bmatrix} 0 & x_{12} &\ldots & x_{1n} \\ -x_{12} & 0 &\ldots& x_{2n} \\ \vdots & \vdots &\vdots &\vdots \\ -x_{1n} & -x_{2n} &\ldots &0 \end{bmatrix}$$

$$\large A = \begin{bmatrix}a_{11} & 0 &\ldots & 0 \\ 0 &a_{22} &\ldots& 0 \\ \vdots & \vdots &\vdots &\vdots \\ 0 & \ldots &\ldots &a_{nn} \end{bmatrix}$$

حال حاصل‌ضرب $$XA$$ را محاسبه می‌کنیم. از آنجایی که عناصر قطر اصلی $$X$$ و عناصر خارج از قطر اصلی ماتریس $$A$$ نیز صفر هستند، طبق قاعده ضرب ماتریس‌ها به صورت درایه‌ای خواهیم داشت:

$$\large \sum_{j} X_{ij}\; a_{ji}$$

ولی چون $$X_{ij} = 0, j = i$$ تمامی عناصر روی قطر اصلی ماتریس حاصل‌ضرب صفر هستند. از طرفی داریم $$a_{ji} = 0 , i = \neq j$$ پس عناصر خارج از قطر هم صفر می‌شوند. پس حاصل‌ضرب یک ماتریس پادتقارنی در یک ماتریس قطری، همیشه برابر با صفر است.

ماتریس پادتقارن‌پذیر

ماتریس $$n \times n$$ را یک «ماتریس پادتقارن‌پذیر» (skew-symmetrizable Matrix) می‌گویند، اگر یک ماتریس معکوس‌پذیر قطری مانند $$D$$ وجود داشته باشد که $$DA$$ نیز پادمتقارن باشد. برای ماتریس با مقادیر حقیقی، اغلب شرط مثبت بودن عناصر ماتریس $$D$$ نیز به محدودیت‌ها اضافه می‌شود.

خلاصه و جمع‌بندی

متوجه شدید که ماتریس‌های مربعی دارای خواص جالبی هستند. یکی از ویژگی‌های چنین ماتریس‌های، می‌تواند تقارن باشد. در این بین ما نیز در این نوشتار، ماتریس متقارن و پادمتقارن را معرفی کرده و ویژگی‌های آن‌ها را بازگو کردیم. ماتریس متقارن و پادمتقارن برای بیان «فاصله» (Distance) بین نقطه‌ها به کار رفته و در جبر خطی و حل دستگاه معادلات نقش مهمی ایفا می‌کنند. از طرفی برای محاسبه معکوس یا دترمینان ماتریس پادمتقارن قواعدی نیز وجود داشت که در متن به آن‌ها اشاره شد.