ضرب ماتریس ها – به زبان ساده

نوشته: مریم دانیالی 4 دقیقه مطالعه

ضرب ماتریس ها

یک ماتریس، آرایش منظمی از اعداد است:

ماتریس

یک ماتریس
(دارای دو سطر و سه ستون)

ضرب یک ماتریس در یک عدد، آسان است:

ضرب یک ماتریس در یک عدد

:محاسبات به شکل زیر است

2 × 4 = 8               2 × 0 = 0
2 × 1 = 2               2 × -9 = -18

ما عدد مضرب را (که در اینجا ” 2 ” بود) اسکالر (Scalar) می نامیم، پس به این نوع ضرب، “ضرب اسکالر” گفته می شود.

 

ضرب یک ماتریس در ماتریس دیگر

اما برای ضرب یک ماتریس در ماتریسی دیگر، باید ضرب داخلی (ضرب نقطه ای) (Dot Product) سطرها و ستون ها را پیدا کنیم… این به چه معنی است؟ با یک مثال به توضیح آن می پردازیم:

برای یافتن جواب ضرب داخلی برای سطر اول و ستون اول:

ضرب یک ماتریس در ماتریس دیگر

:”ضرب داخلی” همان است که درایه های مرتبط را در هم ضرب می کنیم، سپس پاسخ ها را باهم جمع می کنیم:

( 1, 2, 3 ) • ( 7, 9, 11 ) = 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58

عضو های اول را با هم تطبیق می دهیم (1 و 7)، آنها را در هم ضرب می کنیم، و همین کار را برای عضو های دوم (2 و 9) و سوم (3 و 11) انجام می دهیم، و در نهایت پاسخ ها را با هم جمع می کنیم.

می خواهید مثالی دیگر ببینیم؟ اکنون این کار را برای سطر اول و ستون دوم انجام می دهیم:

ضرب یک ماتریس در ماتریس دیگر

( 1, 2, 3 ) • ( 8, 10, 12 ) = 1×8 + 2×10 + 3×12 = 64

همین عمل را برای سطر دوم و ستون اول انجام می دهیم:

( 4, 5, 6 ) • ( 7, 9, 11 ) = 4×7 + 5×9 + 6×11 = 139

و همچنین برای سطر دوم و ستون دوم:

( 4, 5, 6 ) • ( 8, 10, 12 ) = 4×8 + 5×10 + 6×12 = 154

و در نهایت ماتریس زیر به دست می آید:

ضرب ماتریسها

انجام شد!

 

این چه کاربردی دارد؟

این کار ممکن است روشی غیر عادی و پیچیده برای ضرب بنظر بیاید، اما این عمل مهم و ضروری است!

می توان مثالی کاربردی بیان کرد که بفهمیم چرا ما ماتریس ها را اینگونه در هم ضرب می کنیم.

مثال: مغازه محله سه نوع غذا می فروشد.

  • غذا با گوشت گاو، هرکدام سه دلار
  • غذا با گوشت مرغ، هر کدام چهار دلار
  • غذا با سبزیجات، هر کدام دو دلار

و جدول زیر، تعداد فروش هرکدام از غذاها در 4 روز است:

جدول اول

خب، اکنون فکر کنید… درآمد فروش برای روز دوشنبه اینگونه محاسبه می شود:

قیمت غذای گوشت گاو + قیمت غذای مرغ + قیمت غذای سبزیجات

3$ × 13 + 4$ × 8 + 2$ × 6 = 83$

خب، این در واقع “ضرب داخلی” قیمتها و تعداد فروش است:

( 3$ , 4$ , 2$ ) • ( 13 , 8 , 6 ) = 3$×13 + 4$×8 + 2$×6 = 83$

ما قیمت و تعداد فروش را باهم تطبیق می دهیم، هرکدام را ضرب می کنیم، سپس نتایج را باهم جمع می کنیم.

به عبارتی دیگر:

  •  فروش برای روز دوشنبه از این قرار بود: غذای گوشت گاو: 3$ × 13 = 39$، غذای گوشت مرغ: 4$ × 8 = 32$ و غذای سبزیجات: 2$ × 6 = 12. مجموع آنها می شود:

39$ + 32$ + 12$ = 83$.

  •  و برای روز سه شنبه:

3$ × 9 + 4$ × 7 + 2$ × 4 = 63$

  •  و برای روز چهارشنبه:

3$ × 7 + 4$ × 4 + 2$ × 0 = 37$

  •  و برای روز پنجشنبه:

3$ × 15 + 4$ × 6 + 2$ × 3 = 75$

پس، تطبیق قیمت هر محصول با تعدادش مهم است.

اکنون می دانید که چرا ما از “ضرب داخلی” استفاده می کنیم.

و این جواب کلی در فرم ماتریس است:

فرم ماتریس

فروشنده غذا به مقدار 83$ در روز دوشنبه، 63$ در روز سه شنبه و … فروخته است.

(شما می توانید مقادیر را در “ماشین حساب ماتریس” قرار دهید تا اطمینان حاصل نمایید.)
 

سطرها و ستون ها

برای نشان دادن تعداد سطر ها و ستون های یک ماتریس، معمولا آن را به شکر سطرها × ستون ها می نویسیم.

مثال: ماتریس 2×3 (دو سطر و سه ستون) به شکل زیر است:

سطرها و ستون ها

هنگامی که ما ضرب را انجام می دهیم:

  • تعداد ستون های ماتریس اول باید با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد.
  • و نتیجه به تعداد سطرهای ماتریس اول، و ستون های ماتریس دوم سطر و ستون خواهد داشت.

مثال:

ضرب ماتریسها

در این مثال ما یک ماتریس 1×3 را در یک ماتریس 3×4 ضرب کردیم (دقت کنید که 3 ها برابرند)، و نتیجه یک ماتریس 1×4 بود.

 

به طور عمومی:

برای ضرب یک ماتریس m×n در یک ماتریس n×p، n ها باید باهم برابر باشند، و نتیجه یک ماتریس m×p خواهد بود.

ضرب یک ماتریس m×n

 

نظم اعداد در ضرب

در ضرب حسابی به قانون زیر آشناییم:

3 × 5 = 5 × 3
( قانون جا به جایی ضرب )

اما این قانون عموما برای ماتریس ها صدق نمی کند ( ضرب ماتریس ها خاصیت جا به جایی ندارد):

AB ≠ BA

هنگامی که ما جای ماتریس ها را در ضرب عوض می کنیم، پاسخ (معمولا) متفاوت است.

مثال:

مشاهده کنید که تغییر نظم چگونه در ضرب تغییر ایجاد می کند:

نظم اعداد در ضرب

 

ماتریس همانی

“ماتریس همانی” یا “ماتریس یکه” (Identity Matrix)، یک ماتریس برابر با عدد ” 1 ” است:

ماتریس همانی

یک ماتریس همانی 3×3

  • این ماتریس “مربع” است (تعداد سطر ها و ستون هایش برابر است)،
  • در روی قطر خود تنها عدد 1 و در بقیه نقاط عدد 0 وجود دارد
  •  نماد این ماتریس، حرف بزرگ انگلیسی I است.

این ماتریس مخصوصی است، چرا که هر ماتریس دیگری را در آن ضرب کنیم، پاسخ همان ماتریس اولیه خواهد بود:

A × I = A

I × A = A

 

حال که مفهوم ضرب ماتریس ها را دیدید، ممکن است که مطالب آموزشهای زیر از فرادرس برای شما مفید باشد:


 
منبع

بر اساس رای 167 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظرات

ملي آنا ۳۰ اردیبهشت ۱۳۹۷

با سپاس فراوان. مطالب بسيار عالي و آموزنده بود . روش تدريس شما بي نظيره . !!!!!!

محمدرضا ۱۷ اردیبهشت ۱۳۹۷

عالي

farid ۲ اردیبهشت ۱۳۹۷

بسیار خلاصه ومفید بود باسپاس

khashayar ۳۱ فروردین ۱۳۹۷

نحوه توضیح درس ها در blog.faradars فوق العادست همین راهو ادامه و گسترشش بدین آینده روشنی دارین ...قشنگ شیر فهم میکنه طرز بیان درس ها

Aliof ۲۴ فروردین ۱۳۹۷

عاااااالی بود .خیلی کارامد بود وبا زبان ساده گفته شده بود

Zahrw ۹ بهمن ۱۳۹۶

عالـــــــــــــــــــــــــی بوووووود👍👍

حمید ۱۱ آذر ۱۳۹۶

خیلی عالی بود مرسی

یاسمن ۲۷ آبان ۱۳۹۶

وای عالی بود دستتون درد نکنه

فاطمه ۳ مهر ۱۳۹۶

خیلی درسنامتون عالیه من که استفاده کردم ممنون

سارا ۱۳ دی ۱۳۹۵

خیلی ممنون از توضیحات روان و ساده.

مجید ۲۹ آذر ۱۳۹۵

سلام. کارشناسی حسابداری میخوانم. درس پژوهش 2 بحث سیمپلکس، واقعا فراموش کرده بودم ضرب ماتریسها رو. خیلی ممنون، خیلی واضح توضیح دادید.

سبحان ۲۴ شهریور ۱۳۹۵

متشکرم

hadis ۲۶ اردیبهشت ۱۳۹۵

خیلی خوب بود یعنی عااااالی بود. مرسی.