بردار ویژه و مقدار ویژه — از صفر تا صد

۴۰۰۸۹ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۶ آذر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۳ دقیقه
بردار ویژه و مقدار ویژه — از صفر تا صد

در این مطلب از مجله فرادرس در مورد بردار ویژه و مقدار ویژه به طور کامل صحبت می‌کنیم. مقدار ویژه و بردار ویژه، از مباحث مهم و کاربردی جبر خطی است که کاربردهای مختلفی در مباحث گوناگون ریاضیات، فیزیک، مکانیک، عمران، برق و... مانند دینامیک سیالات محاسباتی، تئوری الاستیسیته، علم داده‌ها و یادگیری ماشین و سیستم‌های کنترل دارد.

997696

یک ماتریس مربعی 3×33\times3 را در نظر بگیرید که در یک بردار 3×13\times1 ضرب می‌شود. نتیجه، یک بردار 3×13\times 1 است. ماتریس 3×33\times 3 موردنظر را می‌توان به‌عنوان یک اپراتور یا عملگر درنظر گرفت که به بردار اعمال می‌شود و بردار جدیدی را می‌سازد. نمونه‌های زیادی در ریاضیات و فیزیک وجود دارد که می‌خواهیم بردار با اعمال ماتریس ذاتاً بدون تغییر باقی بماند.

به طور خاص، می‌خواهیم بردار v در رابطه Av=λvAv=\lambda v‌ صدق کند که A یک ماتریس مربعی و λ\lambda یک عدد حقیقی است. بردار v که در این معادله صدق می‌کند، «بردار ویژه» (Eigenvector) ماتریس A و ثابت λ\lambda، «مقدار ویژه» (Eigenvalue) یا مقدار مشخصه (Characteristic value) نامیده می‌شود.

از نظر هندسی، اعمال (ضرب) یک ماتریس در یکی از بردار ویژه‌هایش، سبب بزرگ، کوچک و یا معکوس شدن جهت آن می‌شود.

برای یافتن مقادیر ویژه ماتریس A با ابعاد n×nn\times n، باید معادله Av=λvAv=\lambda v را برای اسکالر(های) λ\lambda حل کنیم. با کمی جابه‌جایی معادله، داریم: Avλv=0Av-\lambda v=0. می‌توانیم رابطه λv=λIv\lambda v=\lambda Iv را نیز بنویسیم که در آن، I یک ماتریس یکه یا همانی n×nn\times n است:

بردار یکه

بنابراین،

معادله مشخصه

این معادله، یک سیستم همگن با n معادله و n مجهول است. معادله فوق، یک حل غیرصفر برای v دارد، اگر و فقط اگر دترمینان (AλI)(A-\lambda I) صفر باشد. بنابراین، با یافتن ریشه‌های چندجمله‌ای λ\lambda از معادله مشخصه (characteristic equation) det(AλI)=0det(A-\lambda I)=0، می‌توان مقادیر ویژه ماتریس A را به دست آورد.

مثال زیر، نحوه محاسبه مقادیر و بردارهای ویژه‌ و برخی از اصطلاحات مربوط به آن‌ها را بیان می‌کند.

کتاب روی میز جلوی تخته (تصویر تزئینی مطلب بردار ویژه و مقدار ویژه)

مثال 1

ماتریس A را در نظر بگیرید:

ماتریس

معادله مشخصه (p(λ)p(\lambda)) این ماتریس، به‌صورت زیر است:

معادله مشخصه

در نتیجه، λ1=3\lambda _1=3 و λ2=2\lambda _2=-2، مقادیر ویژه ماتریس A هستند. برای پیدا کردن بردارهای ویژه متناظر با مقادیر ویژه λ\lambda، باید معادلات خطی زیر را حل کنیم:

محاسبه بردار ویژه

که در آن، v، ویژه متناظر با مقدار ویژه λ\lambda است:

بردار ویژه

می‌خواهیم بردار ویژه متناظر با λ1=3\lambda _1=3 را محاسبه کنیم. معادله (A3I)v=0(A-3I)v=0، به‌صورت زیر است:

محاسبه بردار ویژه

رابطه بالا، به دو معادله زیر می‌انجامد:

بردار ویژه

که با هم برابر هستند. بنابراین، اگر v2=tv_2=t قرار دهیم، v1=4tv_1=-4t خواهد شد. تمام بردار ویژه‌های متناظر مقدار ویژه λ1=3\lambda _1=3، از ضرایب بردار زیر هستند:

بردار ویژه

بنابراین، فضای ویژه (eigenspace) متناظر با λ1=3\lambda _1=3، اسپن (Span) این بردار است. درنتیجه، بردار زیر، یک پایه (basis) برای فضای ویژه متناظر با λ1=3\lambda _1=3 است.

بردار پایه

به‌طریق مشابه، یک پایه برای مقدار ویژه λ2=2\lambda _2=-2، به‌شکل زیر است:

پایه

در ادامه، چند مثال دیگر بیان می‌شود که در آن‌ها، k نشان دهنده مقدار ویژه است.

مثال 2

برای یافتن مقادیر ویژه ماتریسِ زیر، آن را در معادله det(AkI)=0det(A-kI)=0 قرار داده و برای k حل می‌کنیم.

ماتریس

ماتریس AkIA-kI به صورت زیر است:

ماتریسبنابراین، دترمینان آن برابر k22k3k^2-2k-3 خواهد بود. با حل این معادله درجه دو k22k3k^2-2k-3، مقادیر k=3k=3 و k=1k=-1 به‌دست می‌آید. برای یافتن بردارهای ویژه مربوط به مقدار ویژه k=3k=3، باید v را از مجموعه معادلات (A3I)v=0(A-3I)v=0 به‌دست آورد:

معادلات

از آن‌جایی که معادله دوم، ضریبی از معادله اول است، این سیستم معادلات، به x+(3/2)y=0-x+(3/2)y=0 یا x=1.5yx=1.5y کاهش می‌یابد. این معادله، بی‌نهایت حل دارد، برای مثال، با انتخاب y=2، بردار [3;2][3; 2] به‌دست می‌آید که بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه k=3k=3 است. در حالت کلی، تمام بردار ویژه‌های متناظر با مقدار ویژه ۳، به‌شکل [3t;2t][3t ; 2t] هستند که در آن، t یک عدد حقیقی دلخواه است. به‌طریق مشابه، بردارهای ویژه متناظر با مقدار ویژه k=1k=-1 به‌صورت [t;2t][-t ; 2t] خواهند بود.

دانش آموز در حال نوشتن

مثال 3

می‌خواهیم مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس زیر را محاسبه کنیم:

ماتریس

ابتدا، دترمینان AkIA-kI را به‌دست می‌آوریم:

دترمینان

معادله مشخصه، دو ریشه مختلط k=1+ik=-1+i و k=1ik=-1-i دارد. برای یافتن بردار ویژه‌های k=1+ik=-1+i، باید معادله (A(1+i)I)v=0(A-(-1+i)I)v=0‌ را برای v حل کنیم:

معادله

معادله دوم، ضریبی از معادله اول است، بنابراین، معادله (2i)xy=0(2i)x-y=0 یا معادل y=(2i)xy=(2-i)x را خواهیم داشت. در نتیجه، بردارهای ویژه ماتریس A برای مقدار ویژه k=1+ik=-1+i به‌شکل [t;(2i)t][t; (2-i)t] است. به طریق مشابه، بردار ویژه [t;(2+i)t][t; (2+i)t]، مربوط به مقدار ویژه k=1ik=-1-i است.

با توجه به مثال‌های بالا، می‌توانیم یکی از ویژگی‌های مقادیر و بردارهای ویژه را معرفی کنیم. بردار ویژه‌های مقادیر ویژه مجزا، مستقل خطی هستند. مثال‌های زیر نشان می‌دهند این ویژگی هنگامی که مقادیر ویژه مجزا نباشند، با ابهام مواجه می‌شود.

مثال 4

ماتریس زیر، دو مقدار ویژه (۱ و 1) دارد که مجزا از هم نیستند.

ماتریس همانی

از آن‌جایی که A یک ماتریس همانی است، برای هر بردار v داریم: Av=vAv=v، یعنی هر بردار دلخواهی می‌تواند بردار ویژه ماتریس A باشد. به‌عنوان مثال می‌توانیم دو بردار مستقل خطی [2;1][-2;1] و [3;2][3;-2] را برای هر کدام از مقادیر ویژه بنویسیم.

مثال 5

ماتریس زیر را در نظر بگیرید که مقادیر ویژه آن نیز 1 و 1 است.

ماتریس

بردار ویژه‌های این ماتریس، از حل (AI)v=0(A-I)v=0 به‌دست می‌آید که به فرم [t;0][t;0] است. در نتیجه، دو بردار ویژه مستقل خطی برای دو مقدار ویژه 1 و 1 وجود ندارد.

محاسبه با متلب

با استفاده از دستور ساده eig در نرم‌افزار متلب می‌توان مقادیر و بردارهای ویژه یک ماتریس را به‌دست آورد:

1>> A=[0 1;-2 -3]
2A =
3   0   1
4  -2  -3
5
6>> [v,d]=eig(A)
7v =
8   0.7071  -0.4472
9  -0.7071   0.8944
10  
11d =
12  -1   0
13   0  -2
بر اساس رای ۱۷۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Oregon State University
۱۹ دیدگاه برای «بردار ویژه و مقدار ویژه — از صفر تا صد»

سلام، ممنون، خدا خیرتون بده

سلام
خدا قوت .دست شما درد نکنه.
فقط اینکه فیلم اموزشی دقیقا همان مطالب نوشته شده را میخواند. کاش یه کم بیشتر توضیح میدادن که اگر جایی سوال بود کمی بیشتر توضیح داده میشد

عالیییییییییییییییییییییییییییییییییییییی

با سلام ..
سوالی در مورد روش PCA دارم ..
میتونین حلش کنید ؟؟
با تشکر

با تشکر کاش لااقل یه مثال برای سه درسه میزدید

سلام خیلی ممنون فقط یه سوال مقدار ویژه معکوس ماتریس A چطور بدست میاد؟

سلام
در ماتریس ۳*3 اگر لانداها برابر باشند یا با هم تفاوت داشته باشند بردار ویژه چگونه میشود ؟

سلام. اصلاحات لازم انجام شد. از توجه شما سپاس‌گزاریم.

درپاسخ مثال2 در قسمت اخر “به‌طریق مشابه، بردارهای ویژه متناظر با مقدار ویژه k=-1 به‌صورت -2t و t خواهند بود.”
صحیح نیست و باید -t و 2t باشد

سلام وقت بخیر
دستور eig تمام اعداد مقادیر رو به صورت صعودی مرتب میکنه و بر اساس اون بردار ها رو مرتب میکنه.
پایان نامه من به صورتی هست که باید مقادیر ویژه رو دقیقا با درجات آزادی که انتخاب میشه محاسبه کنه و مرتب سازی انجام نشه. آیا روش یا دستوری هست که این کارو انجام بده؟

سلام کاش برای ماتریس سه در سه یه مثال به این واضحی زده می شد ?

سلام
لطفا در مثال 2 مورد زیر را تصحیح بفرمائید:
“تمام بردار ویژه‌های متناظر با مقدار ویژه 3، به‌شکل [2t;3t] هستند”
جای ستونها باید عوض بشه، یعنی :
[3t;2t]
مثلا : [2/3;1]
احتمالا موقع چپ چین راست چین، جای متغیرها عوض شده

سلام.
اصلاحات لازم انجام شد. از توجه و دقت نظر شما سپاس‌گزاریم.

بردار ویژه فقط برای ماتریس مربعی قابل حل است؟

سلام.
مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، برای ماتریس‌های مربعی تعریف شده‌اند. در مورد ماتریس‌های غیرمربعی، مفهومی به‌نام مقادیر تکین (Singular Values) وجود دارد.

عالی بود
خدا خیرتون بده

عالی بود ?

خیلی عالی بود. خیلی واضح با مثال و با جزییات تعریف شد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *