قضیه پاپوس (Pappus’s Theorem) — از صفر تا صد

قضیه پاپوس (Pappus’s Theorem)، که با نام قضیه مرکزوار پاپوس (Pappus’s Centroid Theorem)، قضیه پاپوس-گلدینوس (Pappus-Guldinus Theorem) و قضیه گلدینوس (Guldinus Theorem) نیز شناخته می‌شود، به محاسبه مساحت رویه و حجم جسم حاصل از دوران می‌پردازد. در این آموزش، با قضیه پاپوس آشنا می‌شویم و مثال‌هایی را درباره آن ارائه خواهیم کرد.

قضیه پاپوس، در واقع، شامل دو قضیه است که با استفاده از آن، می‌توان مساحت رویه و حجم اجسام را بدون نیاز به انتگرال‌گیری به دست آورد.

قضیه پاپوس برای محاسبه مساحت رویه

اولین قضیه پاپوس بیان می‌کند که مساحت رویه $$A$$ که از دوران منحنی $$C$$ حول محور غیرمتقاطع واقع در صفحه آن به دست آمده است، برابر با حاصل‌ضرب طول $$L$$ منحنی در فاصله $$d$$ است که توسط مرکزوار $$C$$ پیموده شده است:

$$\large A = L d .$$

مرکزوار یا گرانیگاه یک شکل مسطح، محل تقاطع تمام خط‌های راستی است که آن را به دو بخش با گشتاور یکسان در پیرامون خط تقسیم می‌کند.

قضیه پاپوس برای محاسبه حجم حاصل از دوران

دومین قضیه پاپوس بیان می‌کند که حجم فضای حاصل از دورانِ لایه $$F$$ حول یک محور غیرمتقاطع با آن در همان صفحه، برابر است با حاصل‌ضرب مساحت $$A$$ لایه $$F$$ در مسافت $$d$$ پیموده شده توسط مرکزوار $$F$$:

$$\large V = A d .$$

حجم و مساحت رویه یک چنبره

یک چنبره (Torus) جسم یا فضای حاصل از دوران یک دایره حول یک محور هم‌صفحه با آن است.

می‌توان به سادگی مساحت رویه‌ یک چنبره را با استفاده از اولین قضیه پاپوس پیدا کرد. اگر شعاع دایره $$r$$ و فاصله مرکز دایره تا محور دوران $$R$$ باشد، مساحت رویه چنبره به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large { A = L d = 2 \pi r \cdot 2 \pi R } = { 4 { \pi ^ 2 } r R . }$$

حجم درون چنبره نیز از قضیه دوم پاپوس به دست می‌آید:

$$\large { V = A d = \pi { r ^ 2 } \cdot 2 \pi R } = { 2 { \pi ^ 2 } { r ^ 2 } R . }$$

از قضیه پاپوس می‌توان به صورت معکوس و برای یافتن مرکزوار یک منحنی نیز استفاده کرد.

مثال‌ها

در این بخش، مثال‌های متنوعی از قضیه پاپوس را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

یک شش‌ضلعی منتظم با اضلاعی به طول $$a$$، حول یک ضلع دوران می‌کند. حجم فضای حاصل از دوران را به دست آورید.

حل: با داشتن اندازه ضلع $$a$$، می‌توانیم به سادگی فاصله مرکز چنبره از محور دوران ($$m$$) را پیدا کنیم:

$$\large m = \frac { a } { 2 } \cot 3 0 ^ { \circ } = \frac { { a \sqrt 3 } } { 2 } .$$

بنابراین، مسافت پیموده شده $$d$$ توسط مرکزوار $$C$$ با دوران شش‌ضلعی، به فرم زیر نوشته می‌شود:

$$\large { d = 2 \pi m = 2 \pi \cdot \frac { { a \sqrt 3 } } { 2 } } = { \pi a \sqrt 3 . }$$

مساحت $$A$$ شش‌ضلعی برابر است با:

$$\large A = { a ^ 2 } \frac { { 3 \sqrt 3 } } { 2 } .$$

با استفاده از دومین قضیه پاپوس، حجم حاصل از دوران به دست می‌آید:

$$\large { V = A d = { a ^ 2 } \frac { { 3 \sqrt 3 } } { 2 } \cdot \pi a \sqrt 3 } = { \frac { { 9 \pi { a ^ 3 } } } { 2 } . }$$

مثال ۲

مرکزوار یک نیم‌دایره یکنواخت به شعاع $$R$$ را محاسبه کنید.

حل: فرض می‌کنیم $$m$$ فاصله بین مرکزوار $$G$$ و محور دوران باشد. وقتی نیم‌دایره یک دور کامل بچرخد، مرکزوار مسیر $$d$$ را می‌پیماید که برابر است با:

$$\large d = 2 \pi m .$$

جسم حاصل از دوران، یک کره با حجم زیر است:

$$\large V = \frac { { 4 \pi { R ^ 3 } } } { 3 } .$$

طبق دومین قضیه پاپوس، رابطه زیر را داریم:

$$\large V = A d$$

که در آن، $$A = \large{\frac{{\pi {R^2}}}{2}}\normalsize$$ مساحت نیم‌دایره است.

بنابراین، خواهیم داشت:

$$\large { m = \frac { V } { { 2 \pi A } } } = { \frac { { \frac { { 4 \pi { R ^ 3 } } } { 3 } } } { { 2 \pi \cdot \frac { { \pi { R ^ 2 } } } { 2 } } } } = { \frac { { 4 R } } { { 3 \pi } } } \approx { 0 . 4 2 R }$$

مثال ۳

یک بیضی با نیم‌قطر بزرگ $$A$$ و نیم‌قطر کوچک $$b$$ حول یک خط راست موازی با محور $$a$$ می‌چرخد و فاصله‌اش با آن، $$m> b$$ است. حجم حاصل از دوران را با استفاده از قضیه پاپوس بیابید.

حل: حجم حاصل از دوران را می‌توان با استفاده از قضیه دوم پاپوس تعیین کرد:

$$\large V = A d .$$

در یک دور، مسافت $$d$$ توسط مرکزوار بیضی پیموده می‌شود که اندازه آن برابر است با:

$$\large d = 2 \pi m .$$

مساحت بیضی نیز با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$\large A = \pi a b .$$

بنابراین، حجم برابر است با:

$$\large { V = A d = \pi a b \cdot 2 \pi m } = { 2 { \pi ^ 2 } m a b . }$$

به طور خاص، وقتی $$m = 2 b$$، حجم برابر با $$V = 4{\pi^2}a{b^2}$$ خواهد بود.

مثال ۴

مثلثی با رئوس $$A\left( {1,2} \right)$$، $$B\left( {2,6} \right)$$ و $$C\left( {6,2} \right)$$ حول محور $$x$$ دوران می‌کند. حجم حاصل از این دوران را به دست آورید.

حل: از آنجایی که مختصات رئوس را می‌دانیم، می‌توانیم به سادگی مساحت مثلث را به دست آوریم. ابتدا دترمینان زیر را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { \Delta = \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { { x _ B } – { x _ A } } & { { y _ B } – { y _ A } } \\<br /> { { x _ C } – { x _ A } } & { { y _ C } – { y _ A } }<br /> \end {array} } \right | } = { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> 1 & 4 \\<br /> 5 & 0<br /> \end {array} } \right | } = { – 2 0 . } $$

مساحت مثلث برابر است با:

$$\large A = \frac { 1 } { 2 } \left | \Delta \right | = 1 0 .$$

اکنون مرکزوار مثلث را به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} \bar x & = \frac { { { x _ A } + { x _ B } + { x _ C } } } { 3 } = { \frac { { 1 + 2 + 6 } } { 3 } } = { 3 ; } \\ \bar y & = \frac { { { y _ A } + { y _ B } + { y _ C } } } { 3 } = { \frac { { 2 + 6 + 2 } } { 3 } } = { \frac { { 1 0 } } { 3 } . } \end{align*}$$

بنابراین:

$$\large G \left ( { \bar x , \bar y } \right ) = G \left ( { 3 , \frac { { 1 0 } } { 3 } } \right ) .$$

با استفاده از دومین قضیه پاپوس، حجم جسم حاصل از دوران برابر خواهد بود با:

$$\large V = A d = 2 \pi m A$$

که در آن، $$m = \bar y$$ فاصله مرکزوار $$G$$ از محور دوران است.

بنابراین، حجم به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large { V = 2 \pi \cdot \frac { { 1 0 } } { 3 } \cdot 1 0 } = { \frac { { 2 0 0 \pi } } { 3 } }$$

مثال ۵

مرکزوار یک مثلث قائم الزاویه با ارتفاع‌های $$a$$ و $$b$$ را به دست آورید.

حل: برای تعیین مختصات مرکزوار، از قضیه دوم پاپوس استفاده می‌کنیم. فرض کنید مثلث حول محور $$y$$ بچرخد. حجم حاصل یک مخروط خواهد بود و به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large { V _ y } = \frac { { \pi { a ^ 2 } b } } { 3 } .$$

مساحت مثلث برابر است با:

$$\large A = \frac { { a b } } { 2 } .$$

در نتیجه، با استفاده از قضیه پاپوس، داریم:

$$\large { { V _ y } = 2 \pi \bar x A , } \; \; \Rightarrow { \bar x = \frac { { V _ y } } { { 2 \pi A } } = \frac { { \frac { { \pi { a ^ 2 } b } } { 3 } } } { { 2 \pi \cdot \frac { { a b } } { 2 } } } } = { \frac { a } { 3 } }$$

اکنون چرخش مثلث را حول محور $$x$$ در نظر می‌گیریم. به طور مشابه، حجم به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large { V _ x } = \frac { { \pi a { b ^ 2 } } } { 3 }$$

و مختصات $$\bar y$$ مرکزوار برابر است با:‌

$$\large { { V _ x } = 2 \pi \bar y A , } \; \; \Rightarrow { \bar y = \frac { { { V _ x} } } { { 2 \pi A } } = \frac { { \frac { { \pi a { b ^ 2 } } } { 3 } } } { { 2 \pi \cdot \frac { { a b } } { 2 } } } } = { \frac { b } { 3 } }$$

بنابراین، مرکزوار مثلث در نقطه زیر واقع شده است:

$$\large G \left ( { \bar x , \bar y } \right ) = G \left ( { \frac { a } { 3 } , \frac { b } { 3 } } \right ) ,$$

که نقطه تقاطع میانه‌های آن است.

مثال ۶

مرکزوار ناحیه محصور شده توسط یک نیم‌موج سینوسی و محور $$x$$ را به دست آورید.

حل: نقطه $$G\left( {\bar x,\bar y} \right)$$ مرکزوار شکل بالا را نشان می‌دهد. طبق تقارن موجود، $$\bar x = \large{\frac{\pi }{2}}$$ بوده و باید فقط مختصات $$\bar y = m$$ را به دست آوریم.

حجم فضای مورد نظر به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \begin {align*} V & = \pi \int \limits _ a ^ b { { f ^ 2 } \left ( x \right ) d x } = { \pi \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \sin } ^ 2 } x d x } } \\ & = { \frac { \pi } { 2 } \int \limits _ 0 ^ \pi { \left ( { 1 – \cos 2 x } \right ) d x } } = { \frac { \pi } { 2 } \left . { \left ( { x – \frac { { \sin 2 x } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ \pi } = { \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 2 } . } \end {align*}$$

سطح زیر منحنی سینوسی برابر است با:

$$\large \begin {align*} A & = \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) d x } = { \int \limits _ 0 ^ \pi { \sin x d x } } \\& = { \left . { \left ( { – \cos x } \right ) } \right | _ 0 ^ \pi } = { – \cos \pi + \cos 0 } = { 2 . } \end {align*}$$

طبق قضیه دوم پاپوس، داریم:

$$\large V = A d = 2 \pi m A .$$

بنابراین:

$$\large { m = \frac { V } { { 2 \pi A } } = \frac { { \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 2 } } } { { 4 \pi } } } = { \frac { \pi } { 8 } } \approx { 0 . 3 9 }$$

در نتیجه، مختصات مرکزوار برابر است با:

$$\large G \left ( { \bar x , \bar y } \right ) = G \left ( { \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 8 } } \right ) .$$

مثال ۷

منحنی شکل ۱۰ را در نظر بگیرید که حول محور $$y$$ می‌چرخد. مساحت رویه حاصل از این دوران را به دست آورید.

حل: سه بخش از منحنی را به صورت مجزا در نظر می‌گیریم و مرکزوارهای آن‌ها را محاسبه می‌کنیم:

1. پاره‌خط افقی $$AB$$: طول این پاره‌خط $${L_{AB}} = 3$$ است. مرکزوار در نقطه $${G_{AB}} = \left( {3.5,10} \right)$$ واقع شده است.
2. پاره خط عمودی $$BC$$: طول این پاره‌خط $${L_{BC}} = 2$$ بوده و مرکزوار آن در $${G_{BC}} = \left( {2,9} \right)$$ قرار دارد.
3. کمان نیم‌دایره $$C D$$: طول این کمان $${L_{CD}} = \pi R = 3\pi$$ بوده و مرکزوار آن در $${ G _ { C D } } = \left ( { \bar x _ { C D } , \bar y _ { C D } } \right )$$ واقع شده که در آن، $${ { { \bar x } _ { C D } } = 2 + \frac { { 2 R } } { \pi } = 2 + \frac { 6 } { \pi } }$$ و $${ { { \bar y } _ { C D } } = 5 . }$$ است.

مختصات $$\bar x$$ مرکزوار $$G$$ کل نمودار برابر است با:

$$\large \bar x = \frac { { { { \bar x } _ { A B } } { L _ { A B } } + { { \bar x } _ { B C } } { L _ { B C } } + { { \bar x } _ { C D } } { L _ { C D } } } } { L }$$

که در آن، $$L = {L_{AB}} + {L_{BC}} + {L_{CD}}$$ طول کل منحنی است.

طبق قضیه اول پاپوس، مساحت رویه برابر است با:

$$\large A = L d = 2 \pi m L$$

که در آن، $$d$$ مسافت پیموده شده توسط مرکزوار منحنی در یک دور و $$m = \bar x$$ فاصله مرکزوار از محور $$y$$ است.

بنابراین، داریم:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel} A & = \kern0pt { 2 \pi \cdot \frac { { { { \bar x } _ { A B } } { L _ { A B } } + { { \bar x } _ { B C } } { L _ { B C } } + { { \bar x } _ { C D } } { L _ { C D } } } } { \cancel { L } } \cdot \cancel { L } } \\ & = { 2 \pi \left ( { { { \bar x } _ { A B } } { L _ { A B } } + { { \bar x } _ { B C } } { L _ { B C } } + { { \bar x } _ { C D } } { L _ { C D } } } \right ) } \\ & = { 2 \pi \left [ { 3 . 5 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + \left ( { 2 + \frac { 6 } { \pi } } \right ) \cdot 3 \pi } \right ] } = { 6 1 \pi + 1 2 { \pi ^ 2 } } \approx { 3 1 0 } \end {align*} $$

مثال ۸

مربعی به ضلع $$a$$ حول محوری می‌چرخد که از یکی از رئوسی آن عبور می‌کند. زاویه بین ضلع مربع و جهت مثبت محور دوران $$\alpha$$ است. حجم فضای حاصل از این دوران چقدر است؟

حل: طول نصف قطر مربع ($$AG$$) برابر است با:

$$\large AG = \frac { { a \sqrt 2 } } { 2 } .$$

زاویه $$\beta = \angle KGA$$ برحسب $$\alpha$$ بیان می‌شود:

$$\large \beta = 45 ^{\circ}- \alpha .$$

بنابراین، فاصله $$m$$ از مرکزوار $$G$$ تا محور دوران به صورت زیر خواهد بود:

$$\large { m = K G = A G \cos \beta } = { \frac { { a \sqrt 2 } } { 2 } \cos \left ( { 4 5 ^ { \circ } – \alpha } \right ) . }$$

با استفاده از اتحادِ

$$\large { \cos \left ( { A – B } \right ) } = { \cos A \cos B + \sin A \sin B }$$

مسافت $$m$$ را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large \begin {align*} m & = \frac { { a \sqrt 2 } } { 2 } \cos \left ( { 4 5 ^ { \circ } – \alpha } \right ) = { \frac { { a \sqrt 2 } } { 2 } \left ( { \cos 4 5 ^ { \circ } \cos \alpha + \sin 4 5 ^ { \circ } \sin \alpha } \right ) } \\ & = { \frac { { a \sqrt 2 } } { 2 } \left ( { \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } \cos \alpha + \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } \sin \alpha } \right ) } = { \frac { a } { 2 } \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) } \end {align*}$$

بنابراین، فاصله پیموده شده $$d$$ توسط مرکزوار $$G$$ مربع برابر است با:

$$\large { d = 2 \pi m } = { \pi a \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) . }$$

با استفاده از قضیه دوم پاپوس، حجم فضای حاصل از دوران را به دست می‌آوریم:

$$\large { V = A d } = { { a ^ 2 } \cdot \pi a \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) } = { \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) . }$$

با در نظر گرفتن حجم به عنوان تابعی از زاویه $$\alpha$$، می‌توانیم بزرگ‌ترین مقدار آن را تعیین کنیم:

$$\large \begin {align*} V \left ( \alpha \right ) & = { \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) , } \\ V ^ \prime \left ( \alpha \right ) & = { \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) ^ \prime } = { \pi { a ^ 3 } \left ( { – \sin \alpha + \cos \alpha } \right ) . } \\ V ^ \prime \left ( \alpha \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \alpha – \sin \alpha } \right ) = 0 , } \; \; \Rightarrow { \tan \alpha = 1 , } \; \; \Rightarrow { \alpha = \frac { \pi } { 4 } . } \end {align*}$$

با استفاده از آزمون مشتق مرتبه دوم، داریم:

$$\large { V ^ { \prime \prime } \left ( \alpha \right ) = \pi { a ^ 3 } \left ( { – \sin \alpha + \cos \alpha } \right ) ^ { \prime } } = { – \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) }$$

و در نتیجه:

$$\large { V ^ { \prime \prime } \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right) } = { – \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \frac { \pi } { 4 } + \sin \frac { \pi } { 4 } } \right ) } = { – \pi { a ^ 3 } \sqrt 2 \lt 0 . }$$

بنابراین، مقدار حداکثر حجم در $$\alpha = \large{\frac{\pi }{4}}$$ خواهد بود:

$$\large { { V _ { \max } } = V \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) } = { \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \frac { \pi } { 4 } + \sin \frac { \pi } { 4 } } \right ) } = { \pi { a ^ 3 } \sqrt 2 . }$$

مثال ۹

مرکزوار ناحیه محدود به سهمی $$y = 4 – {x^2}$$ و محور $$x$$ را به دست آورید.

حل: با استفاده از قضیه پاپوس برای حجم، داریم:

$$\large V = A d = 2 \pi m A$$

که در آن، $$A$$ مساحت ناحیه و $$m$$ مختصات $$\bar y$$ مرکزوار $$G\left( {\bar x,\bar y} \right)$$ است.

حجم ناشی از دوران به صورت زیر محاسبه می‌شود:‌

$$\large \begin {align*} V & = \pi \int \limits _ a ^ b { { f ^ 2 } \left ( x \right ) d x } = { \pi \int \limits _ { – 2 } ^ 2 { { { \left ( { 4 – { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } d x } } \\ & = { 2 \pi \int \limits _ 0 ^ 2 { { { \left ( { 4 – { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } d x } } = { 2 \pi \int \limits _ 0 ^ 2 { \left ( { 1 6 – 8 { x ^ 2 } + { x ^ 4 } } \right ) d x } } \\ & = { 2 \pi \left . { \left ( { 1 6 x – \frac { { 8 { x ^ 3 } } } { 3 } + \frac { { { x ^ 5 } } } { 5 } } \right ) } \right | _0 ^ 2 } = { 2 \pi \left ( { 3 2 – \frac { { 6 4 } } { 3 } + \frac { { 3 2 } } { 5 } } \right ) } = { \frac { { 5 1 2 \pi } } { { 1 5 }} . } \end {align*}$$

مساحت ناحیه برابر است با:

$$\large \begin {align*} A & = \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) d x } = { \int \limits _ { – 2 } ^ 2 { \left ( { 4 – { x ^ 2 } } \right ) d x } } = { 2 \int \limits _ 0 ^ 2 { \left ( { 4 – { x ^ 2 } } \right ) d x } } \\ &= { 2 \left . { \left ( { 4 x – \frac { { { x ^ 3 } } } {3 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 2 } = { 2 \left ( { 8 – \frac { 8 } { 3 } } \right ) } = { \frac { { 3 2 } } { 3 } .} \end {align*}$$

مختصات $$\bar y$$ مرکزوار نیز به صورت زیر است:

$$\large { m = \frac { V } { { 2 \pi A } } } = { \frac { { \frac { { 5 1 2 \pi } } { { 1 5 } } } } { { 2 \pi \cdot \frac { { 3 2 } } { 3 } } } } = { \frac { 8 } { 5 } . }$$

به دلیل تقارن ناحیه، مختصات $$\bar x$$ برابر با $$0$$ خواهد بود. بنابراین، جواب نهایی برابر است با:

$$\large G \left ( { \bar x , \bar y } \right ) = G \left ( { 0 , \frac { 8 } { 5 } } \right ) .$$

مثال ۱۰

کمان دایره‌ای با شعاع $$R$$، زاویه $$2 \alpha$$ را حول محور $$x$$، مطابق شکل ۱۳، احاطه کرده است. مرکزوار کمان را تعیین کنید.

حل: طبق تقارن، مرکزوار $$G$$ روی محور $$y$$ واقع شده است؛ بنابراین مختصات آن به صورت زیر است:

$$\large G \left ( { \bar x , \bar y } \right ) = G \left ( { 0 , m } \right )$$

که در آن، $$m = \bar y$$ فاصله مرکزوار تا محور دوران است که می‌خواهیم آن را پیدا کنیم.

وقتی کمان می‌چرخد، یک بخش کروی را تشکیل می‌دهد. مساحت $$A$$ رویه این بخش کروی به صورت زیر است:

$$\large A = 2\pi Rh$$

که در آن، $$h$$ فاصله بین صفحات موازی با هم و متقاطع با کره است.

از آنجایی که $$h = 2R\sin\alpha$$، می‌توان نوشت:

$$\large A = 2 \pi R \cdot 2 R \sin \alpha = 4 \pi { R ^ 2 } \sin \alpha .$$

از طرف دیگر، با استفاده از قضیه اول پاپوس، داریم:

$$\large A = dL = 2\pi mL$$

که $$d = 2 \pi m$$ مسافت پیموده شده توسط مرکزوار در یک دور و $$L = 2 \alpha R$$ طول کمان است.

اکنون، می‌تون نوشت:

$$\large { m = \bar y = \frac { A } { { 2 \pi L } } } = { \frac { { 4 \pi { R ^ 2 } \sin \alpha } } { { 2 \pi \cdot 2 \alpha R } } } = { \frac { { R \sin \alpha } } { \alpha } . }$$

چند حالت خاص به صورت زیر هستند:

۱. اگر $$\alpha = 0$$، آنگاه:

$$\large m \left ( { \alpha = 0 } \right ) = \lim \limits _ { \alpha \to 0 } \frac { { R \sin \alpha } } { \alpha } = R \, \underbrace { \lim \limits _ { \alpha \to 0 } \frac { { \sin \alpha } } { \alpha } } _ 1 = R ;$$

2. اگر $$\alpha = \pi$$، آنگاه:

$$\large m \left ( { \alpha = \pi } \right ) = \frac { { R \sin \pi } } { \pi } = 0 ;$$

۳. اگر $$\alpha = \large{\frac{\pi }{2}}$$، آنگاه:

$$\large m \left ( { \alpha = \frac { \pi } { 2 } } \right ) = \frac { { 2 R \sin \frac { \pi } { 2 } } } { \pi } = \frac { { 2 R } } { \pi } .$$

اگر مطلب بالای برای شما مفید بوده است و به یادگیری مباحث مشابه آن علاقه‌مند هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش ریاضیات عمومی 2
• مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• محاسبه حجم حاصل از دوران — به زبان ساده
• مساحت سطح حاصل از دوران — به زبان ساده
• تقلب نامه (Cheat Sheet) مفاهیم و روابط انتگرال

^^