قضیه پاپوس (Pappus’s Theorem) — از صفر تا صد

۱۴۳۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۶ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۸ دقیقه
قضیه پاپوس (Pappus’s Theorem) — از صفر تا صد

قضیه پاپوس (Pappus’s Theorem)، که با نام قضیه مرکزوار پاپوس (Pappus’s Centroid Theorem)، قضیه پاپوس-گلدینوس (Pappus-Guldinus Theorem) و قضیه گلدینوس (Guldinus Theorem) نیز شناخته می‌شود، به محاسبه مساحت رویه و حجم جسم حاصل از دوران می‌پردازد. در این آموزش، با قضیه پاپوس آشنا می‌شویم و مثال‌هایی را درباره آن ارائه خواهیم کرد.

997696

قضیه پاپوس، در واقع، شامل دو قضیه است که با استفاده از آن، می‌توان مساحت رویه و حجم اجسام را بدون نیاز به انتگرال‌گیری به دست آورد.

قضیه پاپوس برای محاسبه مساحت رویه

اولین قضیه پاپوس بیان می‌کند که مساحت رویه A A که از دوران منحنی C C حول محور غیرمتقاطع واقع در صفحه آن به دست آمده است، برابر با حاصل‌ضرب طول LL منحنی در فاصله dd است که توسط مرکزوار CC پیموده شده است:

A=Ld. \large A = L d .

شکل ۱
شکل ۱

مرکزوار یا گرانیگاه یک شکل مسطح، محل تقاطع تمام خط‌های راستی است که آن را به دو بخش با گشتاور یکسان در پیرامون خط تقسیم می‌کند.

قضیه پاپوس برای محاسبه حجم حاصل از دوران

دومین قضیه پاپوس بیان می‌کند که حجم فضای حاصل از دورانِ لایه FF حول یک محور غیرمتقاطع با آن در همان صفحه، برابر است با حاصل‌ضرب مساحت AA لایه FF در مسافت dd پیموده شده توسط مرکزوار FF:

V=Ad. \large V = A d .

شکل ۲ 
شکل ۲

حجم و مساحت رویه یک چنبره

یک چنبره (Torus) جسم یا فضای حاصل از دوران یک دایره حول یک محور هم‌صفحه با آن است.

می‌توان به سادگی مساحت رویه‌ یک چنبره را با استفاده از اولین قضیه پاپوس پیدا کرد. اگر شعاع دایره rr و فاصله مرکز دایره تا محور دوران RR باشد، مساحت رویه چنبره به صورت زیر محاسبه می‌شود:

A=Ld=2πr2πR=4π2rR. \large { A = L d = 2 \pi r \cdot 2 \pi R } = { 4 { \pi ^ 2 } r R . }

شکل ۳
شکل ۳

حجم درون چنبره نیز از قضیه دوم پاپوس به دست می‌آید:

V=Ad=πr22πR=2π2r2R. \large { V = A d = \pi { r ^ 2 } \cdot 2 \pi R } = { 2 { \pi ^ 2 } { r ^ 2 } R . }

از قضیه پاپوس می‌توان به صورت معکوس و برای یافتن مرکزوار یک منحنی نیز استفاده کرد.

مثال‌ها

در این بخش، مثال‌های متنوعی از قضیه پاپوس را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

یک شش‌ضلعی منتظم با اضلاعی به طول aa، حول یک ضلع دوران می‌کند. حجم فضای حاصل از دوران را به دست آورید.

شکل ۴ 
شکل ۴

حل: با داشتن اندازه ضلع aa، می‌توانیم به سادگی فاصله مرکز چنبره از محور دوران (mm) را پیدا کنیم:

m=a2cot30=a32. \large m = \frac { a } { 2 } \cot 3 0 ^ { \circ } = \frac { { a \sqrt 3 } } { 2 } .

بنابراین، مسافت پیموده شده dd توسط مرکزوار CC با دوران شش‌ضلعی، به فرم زیر نوشته می‌شود:

d=2πm=2πa32=πa3. \large { d = 2 \pi m = 2 \pi \cdot \frac { { a \sqrt 3 } } { 2 } } = { \pi a \sqrt 3 . }

مساحت AA شش‌ضلعی برابر است با:

A=a2332. \large A = { a ^ 2 } \frac { { 3 \sqrt 3 } } { 2 } .

با استفاده از دومین قضیه پاپوس، حجم حاصل از دوران به دست می‌آید:

V=Ad=a2332πa3=9πa32. \large { V = A d = { a ^ 2 } \frac { { 3 \sqrt 3 } } { 2 } \cdot \pi a \sqrt 3 } = { \frac { { 9 \pi { a ^ 3 } } } { 2 } . }

مثال ۲

مرکزوار یک نیم‌دایره یکنواخت به شعاع RR را محاسبه کنید.

شکل ۵
شکل ۵

حل: فرض می‌کنیم mm فاصله بین مرکزوار GG و محور دوران باشد. وقتی نیم‌دایره یک دور کامل بچرخد، مرکزوار مسیر dd را می‌پیماید که برابر است با:

d=2πm. \large d = 2 \pi m .

جسم حاصل از دوران، یک کره با حجم زیر است:

V=4πR33. \large V = \frac { { 4 \pi { R ^ 3 } } } { 3 } .

طبق دومین قضیه پاپوس، رابطه زیر را داریم:

V=Ad \large V = A d

که در آن، A=πR22A = \large{\frac{{\pi {R^2}}}{2}}\normalsize مساحت نیم‌دایره است.

بنابراین، خواهیم داشت:

m=V2πA=4πR332ππR22=4R3π0.42R \large { m = \frac { V } { { 2 \pi A } } } = { \frac { { \frac { { 4 \pi { R ^ 3 } } } { 3 } } } { { 2 \pi \cdot \frac { { \pi { R ^ 2 } } } { 2 } } } } = { \frac { { 4 R } } { { 3 \pi } } } \approx { 0 . 4 2 R }

مثال ۳

یک بیضی با نیم‌قطر بزرگ AA و نیم‌قطر کوچک bb حول یک خط راست موازی با محور aa می‌چرخد و فاصله‌اش با آن، m> b است. حجم حاصل از دوران را با استفاده از قضیه پاپوس بیابید.

شکل ۶
شکل ۶

حل: حجم حاصل از دوران را می‌توان با استفاده از قضیه دوم پاپوس تعیین کرد:

V=Ad. \large V = A d .

در یک دور، مسافت dd توسط مرکزوار بیضی پیموده می‌شود که اندازه آن برابر است با:

d=2πm. \large d = 2 \pi m .

مساحت بیضی نیز با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

A=πab. \large A = \pi a b .

بنابراین، حجم برابر است با:

V=Ad=πab2πm=2π2mab. \large { V = A d = \pi a b \cdot 2 \pi m } = { 2 { \pi ^ 2 } m a b . }

به طور خاص، وقتی m=2b m = 2 b ، حجم برابر با V=4π2ab2 V = 4{\pi^2}a{b^2} خواهد بود.

مثال ۴

مثلثی با رئوس A(1,2) A\left( {1,2} \right)، B(2,6)B\left( {2,6} \right) و C(6,2) C\left( {6,2} \right) حول محور x x دوران می‌کند. حجم حاصل از این دوران را به دست آورید.

شکل ۷
شکل ۷

حل: از آنجایی که مختصات رئوس را می‌دانیم، می‌توانیم به سادگی مساحت مثلث را به دست آوریم. ابتدا دترمینان زیر را محاسبه می‌کنیم:

\large { \Delta = \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } } { { x _ B } – { x _ A } } & { { y _ B } – { y _ A } } \\ { { x _ C } – { x _ A } } & { { y _ C } – { y _ A } } \end {array} } \right | } = { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } } 1 & 4 \\ 5 & 0 \end {array} } \right | } = { – 2 0 . }

مساحت مثلث برابر است با:

A=12Δ=10. \large A = \frac { 1 } { 2 } \left | \Delta \right | = 1 0 .

اکنون مرکزوار مثلث را به دست می‌آوریم:

xˉamp;=xA+xB+xC3=1+2+63=3;yˉamp;=yA+yB+yC3=2+6+23=103. \large \begin {align*} \bar x & = \frac { { { x _ A } + { x _ B } + { x _ C } } } { 3 } = { \frac { { 1 + 2 + 6 } } { 3 } } = { 3 ; } \\ \bar y & = \frac { { { y _ A } + { y _ B } + { y _ C } } } { 3 } = { \frac { { 2 + 6 + 2 } } { 3 } } = { \frac { { 1 0 } } { 3 } . } \end{align*}

بنابراین:

G(xˉ,yˉ)=G(3,103). \large G \left ( { \bar x , \bar y } \right ) = G \left ( { 3 , \frac { { 1 0 } } { 3 } } \right ) .

با استفاده از دومین قضیه پاپوس، حجم جسم حاصل از دوران برابر خواهد بود با:

V=Ad=2πmA \large V = A d = 2 \pi m A

که در آن، m=yˉ m = \bar y فاصله مرکزوار G G از محور دوران است.

بنابراین، حجم به صورت زیر محاسبه می‌شود:

V=2π10310=200π3 \large { V = 2 \pi \cdot \frac { { 1 0 } } { 3 } \cdot 1 0 } = { \frac { { 2 0 0 \pi } } { 3 } }

مثال ۵

مرکزوار یک مثلث قائم الزاویه با ارتفاع‌های aa و b b را به دست آورید.

شکل ۸
شکل ۸

حل: برای تعیین مختصات مرکزوار، از قضیه دوم پاپوس استفاده می‌کنیم. فرض کنید مثلث حول محور yy بچرخد. حجم حاصل یک مخروط خواهد بود و به صورت زیر محاسبه می‌شود:

Vy=πa2b3. \large { V _ y } = \frac { { \pi { a ^ 2 } b } } { 3 } .

مساحت مثلث برابر است با:

A=ab2. \large A = \frac { { a b } } { 2 } .

در نتیجه، با استفاده از قضیه پاپوس، داریم:

Vy=2πxˉA,    xˉ=Vy2πA=πa2b32πab2=a3 \large { { V _ y } = 2 \pi \bar x A , } \; \; \Rightarrow { \bar x = \frac { { V _ y } } { { 2 \pi A } } = \frac { { \frac { { \pi { a ^ 2 } b } } { 3 } } } { { 2 \pi \cdot \frac { { a b } } { 2 } } } } = { \frac { a } { 3 } }

اکنون چرخش مثلث را حول محور x x در نظر می‌گیریم. به طور مشابه، حجم به صورت زیر به دست می‌آید:

Vx=πab23 \large { V _ x } = \frac { { \pi a { b ^ 2 } } } { 3 }

و مختصات yˉ \bar y مرکزوار برابر است با:‌

Vx=2πyˉA,    yˉ=Vx2πA=πab232πab2=b3 \large { { V _ x } = 2 \pi \bar y A , } \; \; \Rightarrow { \bar y = \frac { { { V _ x} } } { { 2 \pi A } } = \frac { { \frac { { \pi a { b ^ 2 } } } { 3 } } } { { 2 \pi \cdot \frac { { a b } } { 2 } } } } = { \frac { b } { 3 } }

بنابراین، مرکزوار مثلث در نقطه زیر واقع شده است:

G(xˉ,yˉ)=G(a3,b3), \large G \left ( { \bar x , \bar y } \right ) = G \left ( { \frac { a } { 3 } , \frac { b } { 3 } } \right ) ,

که نقطه تقاطع میانه‌های آن است.

مثال ۶

مرکزوار ناحیه محصور شده توسط یک نیم‌موج سینوسی و محور x x را به دست آورید.

شکل ۹ 
شکل ۹

حل: نقطه G(xˉ,yˉ) G\left( {\bar x,\bar y} \right) مرکزوار شکل بالا را نشان می‌دهد. طبق تقارن موجود، xˉ=π2 \bar x = \large{\frac{\pi }{2}} بوده و باید فقط مختصات yˉ=m \bar y = m را به دست آوریم.

حجم فضای مورد نظر به صورت زیر محاسبه می‌شود:

Vamp;=πabf2(x)dx=π0πsin2xdxamp;=π20π(1cos2x)dx=π2(xsin2x2)0π=π22. \large \begin {align*} V & = \pi \int \limits _ a ^ b { { f ^ 2 } \left ( x \right ) d x } = { \pi \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \sin } ^ 2 } x d x } } \\ & = { \frac { \pi } { 2 } \int \limits _ 0 ^ \pi { \left ( { 1 – \cos 2 x } \right ) d x } } = { \frac { \pi } { 2 } \left . { \left ( { x – \frac { { \sin 2 x } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ \pi } = { \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 2 } . } \end {align*}

سطح زیر منحنی سینوسی برابر است با:

Aamp;=abf(x)dx=0πsinxdxamp;=(cosx)0π=cosπ+cos0=2. \large \begin {align*} A & = \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) d x } = { \int \limits _ 0 ^ \pi { \sin x d x } } \\& = { \left . { \left ( { – \cos x } \right ) } \right | _ 0 ^ \pi } = { – \cos \pi + \cos 0 } = { 2 . } \end {align*}

طبق قضیه دوم پاپوس، داریم:

V=Ad=2πmA. \large V = A d = 2 \pi m A .

بنابراین:

m=V2πA=π224π=π80.39 \large { m = \frac { V } { { 2 \pi A } } = \frac { { \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 2 } } } { { 4 \pi } } } = { \frac { \pi } { 8 } } \approx { 0 . 3 9 }

در نتیجه، مختصات مرکزوار برابر است با:

G(xˉ,yˉ)=G(π2,π8). \large G \left ( { \bar x , \bar y } \right ) = G \left ( { \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 8 } } \right ) .

مثال ۷

منحنی شکل ۱۰ را در نظر بگیرید که حول محور yy می‌چرخد. مساحت رویه حاصل از این دوران را به دست آورید.

شکل ۱۰
شکل ۱۰

حل: سه بخش از منحنی را به صورت مجزا در نظر می‌گیریم و مرکزوارهای آن‌ها را محاسبه می‌کنیم:

  1. پاره‌خط افقی ABAB: طول این پاره‌خط LAB=3 {L_{AB}} = 3 است. مرکزوار در نقطه GAB=(3.5,10) {G_{AB}} = \left( {3.5,10} \right) واقع شده است.
  2. پاره خط عمودی BCBC: طول این پاره‌خط LBC=2 {L_{BC}} = 2 بوده و مرکزوار آن در GBC=(2,9) {G_{BC}} = \left( {2,9} \right) قرار دارد.
  3. کمان نیم‌دایره CD C D : طول این کمان LCD=πR=3π {L_{CD}} = \pi R = 3\pi بوده و مرکزوار آن در GCD=(xˉCD,yˉCD) { G _ { C D } } = \left ( { \bar x _ { C D } , \bar y _ { C D } } \right ) واقع شده که در آن، xˉCD=2+2Rπ=2+6π { { { \bar x } _ { C D } } = 2 + \frac { { 2 R } } { \pi } = 2 + \frac { 6 } { \pi } } و yˉCD=5. { { { \bar y } _ { C D } } = 5 . } است.

مختصات xˉ \bar x مرکزوار GG کل نمودار برابر است با:

xˉ=xˉABLAB+xˉBCLBC+xˉCDLCDL \large \bar x = \frac { { { { \bar x } _ { A B } } { L _ { A B } } + { { \bar x } _ { B C } } { L _ { B C } } + { { \bar x } _ { C D } } { L _ { C D } } } } { L }

که در آن، L=LAB+LBC+LCD L = {L_{AB}} + {L_{BC}} + {L_{CD}} طول کل منحنی است.

طبق قضیه اول پاپوس، مساحت رویه برابر است با:

A=Ld=2πmL \large A = L d = 2 \pi m L

که در آن، d d مسافت پیموده شده توسط مرکزوار منحنی در یک دور و m=xˉ m = \bar x فاصله مرکزوار از محور yy است.

بنابراین، داریم:

\requirecancelAamp;=2πxˉABLAB+xˉBCLBC+xˉCDLCDLLamp;=2π(xˉABLAB+xˉBCLBC+xˉCDLCD)amp;=2π[3.53+22+(2+6π)3π]=61π+12π2310 \large \begin {align*} \require {cancel} A & = \kern0pt { 2 \pi \cdot \frac { { { { \bar x } _ { A B } } { L _ { A B } } + { { \bar x } _ { B C } } { L _ { B C } } + { { \bar x } _ { C D } } { L _ { C D } } } } { \cancel { L } } \cdot \cancel { L } } \\ & = { 2 \pi \left ( { { { \bar x } _ { A B } } { L _ { A B } } + { { \bar x } _ { B C } } { L _ { B C } } + { { \bar x } _ { C D } } { L _ { C D } } } \right ) } \\ & = { 2 \pi \left [ { 3 . 5 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + \left ( { 2 + \frac { 6 } { \pi } } \right ) \cdot 3 \pi } \right ] } = { 6 1 \pi + 1 2 { \pi ^ 2 } } \approx { 3 1 0 } \end {align*}

مثال ۸

مربعی به ضلع a a حول محوری می‌چرخد که از یکی از رئوسی آن عبور می‌کند. زاویه بین ضلع مربع و جهت مثبت محور دوران α \alpha است. حجم فضای حاصل از این دوران چقدر است؟

شکل ۱۱
شکل ۱۱

حل: طول نصف قطر مربع (AGAG) برابر است با:

AG=a22. \large AG = \frac { { a \sqrt 2 } } { 2 } .

زاویه β=KGA \beta = \angle KGA برحسب α \alpha بیان می‌شود:

β=45α. \large \beta = 45 ^{\circ}- \alpha .

بنابراین، فاصله mm از مرکزوار G G تا محور دوران به صورت زیر خواهد بود:

m=KG=AGcosβ=a22cos(45α). \large { m = K G = A G \cos \beta } = { \frac { { a \sqrt 2 } } { 2 } \cos \left ( { 4 5 ^ { \circ } – \alpha } \right ) . }

با استفاده از اتحادِ

cos(AB)=cosAcosB+sinAsinB \large { \cos \left ( { A – B } \right ) } = { \cos A \cos B + \sin A \sin B }

مسافت mm را به صورت زیر می‌نویسیم:

mamp;=a22cos(45α)=a22(cos45cosα+sin45sinα)amp;=a22(22cosα+22sinα)=a2(cosα+sinα) \large \begin {align*} m & = \frac { { a \sqrt 2 } } { 2 } \cos \left ( { 4 5 ^ { \circ } – \alpha } \right ) = { \frac { { a \sqrt 2 } } { 2 } \left ( { \cos 4 5 ^ { \circ } \cos \alpha + \sin 4 5 ^ { \circ } \sin \alpha } \right ) } \\ & = { \frac { { a \sqrt 2 } } { 2 } \left ( { \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } \cos \alpha + \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } \sin \alpha } \right ) } = { \frac { a } { 2 } \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) } \end {align*}

بنابراین، فاصله پیموده شده d d توسط مرکزوار G G مربع برابر است با:

d=2πm=πa(cosα+sinα). \large { d = 2 \pi m } = { \pi a \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) . }

با استفاده از قضیه دوم پاپوس، حجم فضای حاصل از دوران را به دست می‌آوریم:

V=Ad=a2πa(cosα+sinα)=πa3(cosα+sinα). \large { V = A d } = { { a ^ 2 } \cdot \pi a \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) } = { \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) . }

با در نظر گرفتن حجم به عنوان تابعی از زاویه α \alpha، می‌توانیم بزرگ‌ترین مقدار آن را تعیین کنیم:

V(α)amp;=πa3(cosα+sinα),V(α)amp;=πa3(cosα+sinα)=πa3(sinα+cosα).V(α)amp;=0,    πa3(cosαsinα)=0,    tanα=1,    α=π4. \large \begin {align*} V \left ( \alpha \right ) & = { \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) , } \\ V ^ \prime \left ( \alpha \right ) & = { \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) ^ \prime } = { \pi { a ^ 3 } \left ( { – \sin \alpha + \cos \alpha } \right ) . } \\ V ^ \prime \left ( \alpha \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \alpha – \sin \alpha } \right ) = 0 , } \; \; \Rightarrow { \tan \alpha = 1 , } \; \; \Rightarrow { \alpha = \frac { \pi } { 4 } . } \end {align*}

با استفاده از آزمون مشتق مرتبه دوم، داریم:

V(α)=πa3(sinα+cosα)=πa3(cosα+sinα) \large { V ^ { \prime \prime } \left ( \alpha \right ) = \pi { a ^ 3 } \left ( { – \sin \alpha + \cos \alpha } \right ) ^ { \prime } } = { – \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \alpha + \sin \alpha } \right ) }

و در نتیجه:

V(π4)=πa3(cosπ4+sinπ4)=πa32<0. \large { V ^ { \prime \prime } \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right) } = { – \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \frac { \pi } { 4 } + \sin \frac { \pi } { 4 } } \right ) } = { – \pi { a ^ 3 } \sqrt 2 \lt 0 . }

بنابراین، مقدار حداکثر حجم در α=π4 \alpha = \large{\frac{\pi }{4}} خواهد بود:

Vmax=V(π4)=πa3(cosπ4+sinπ4)=πa32. \large { { V _ { \max } } = V \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) } = { \pi { a ^ 3 } \left ( { \cos \frac { \pi } { 4 } + \sin \frac { \pi } { 4 } } \right ) } = { \pi { a ^ 3 } \sqrt 2 . }

مثال ۹

مرکزوار ناحیه محدود به سهمی y=4x2 y = 4 – {x^2} و محور x x را به دست آورید.

شکل ۱۲
شکل ۱۲

حل: با استفاده از قضیه پاپوس برای حجم، داریم:

V=Ad=2πmA \large V = A d = 2 \pi m A

که در آن، A A مساحت ناحیه و mm مختصات yˉ \bar y مرکزوار G(xˉ,yˉ) G\left( {\bar x,\bar y} \right) است.

حجم ناشی از دوران به صورت زیر محاسبه می‌شود:‌

Vamp;=πabf2(x)dx=π22(4x2)2dxamp;=2π02(4x2)2dx=2π02(168x2+x4)dxamp;=2π(16x8x33+x55)02=2π(32643+325)=512π15. \large \begin {align*} V &amp; = \pi \int \limits _ a ^ b { { f ^ 2 } \left ( x \right ) d x } = { \pi \int \limits _ { – 2 } ^ 2 { { { \left ( { 4 – { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } d x } } \\ &amp; = { 2 \pi \int \limits _ 0 ^ 2 { { { \left ( { 4 – { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } d x } } = { 2 \pi \int \limits _ 0 ^ 2 { \left ( { 1 6 – 8 { x ^ 2 } + { x ^ 4 } } \right ) d x } } \\ &amp; = { 2 \pi \left . { \left ( { 1 6 x – \frac { { 8 { x ^ 3 } } } { 3 } + \frac { { { x ^ 5 } } } { 5 } } \right ) } \right | _0 ^ 2 } = { 2 \pi \left ( { 3 2 – \frac { { 6 4 } } { 3 } + \frac { { 3 2 } } { 5 } } \right ) } = { \frac { { 5 1 2 \pi } } { { 1 5 }} . } \end {align*}

مساحت ناحیه برابر است با:

Aamp;=abf(x)dx=22(4x2)dx=202(4x2)dxamp;=2(4xx33)02=2(883)=323. \large \begin {align*} A &amp; = \int \limits _ a ^ b { f \left ( x \right ) d x } = { \int \limits _ { – 2 } ^ 2 { \left ( { 4 – { x ^ 2 } } \right ) d x } } = { 2 \int \limits _ 0 ^ 2 { \left ( { 4 – { x ^ 2 } } \right ) d x } } \\ &amp;= { 2 \left . { \left ( { 4 x – \frac { { { x ^ 3 } } } {3 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 2 } = { 2 \left ( { 8 – \frac { 8 } { 3 } } \right ) } = { \frac { { 3 2 } } { 3 } .} \end {align*}

مختصات yˉ\bar y مرکزوار نیز به صورت زیر است:

m=V2πA=512π152π323=85. \large { m = \frac { V } { { 2 \pi A } } } = { \frac { { \frac { { 5 1 2 \pi } } { { 1 5 } } } } { { 2 \pi \cdot \frac { { 3 2 } } { 3 } } } } = { \frac { 8 } { 5 } . }

به دلیل تقارن ناحیه، مختصات xˉ\bar x برابر با 00 خواهد بود. بنابراین، جواب نهایی برابر است با:

G(xˉ,yˉ)=G(0,85). \large G \left ( { \bar x , \bar y } \right ) = G \left ( { 0 , \frac { 8 } { 5 } } \right ) .

مثال ۱۰

کمان دایره‌ای با شعاع RR، زاویه 2α 2 \alpha را حول محور x x ، مطابق شکل ۱۳، احاطه کرده است. مرکزوار کمان را تعیین کنید.

شکل ۱۳
شکل ۱۳

حل: طبق تقارن، مرکزوار G G روی محور yy واقع شده است؛ بنابراین مختصات آن به صورت زیر است:

G(xˉ,yˉ)=G(0,m) \large G \left ( { \bar x , \bar y } \right ) = G \left ( { 0 , m } \right )

که در آن، m=yˉ m = \bar y فاصله مرکزوار تا محور دوران است که می‌خواهیم آن را پیدا کنیم.

وقتی کمان می‌چرخد، یک بخش کروی را تشکیل می‌دهد. مساحت AA رویه این بخش کروی به صورت زیر است:

A=2πRh \large A = 2\pi Rh

که در آن، hh فاصله بین صفحات موازی با هم و متقاطع با کره است.

از آنجایی که h=2Rsinα h = 2R\sin\alpha ، می‌توان نوشت:

A=2πR2Rsinα=4πR2sinα. \large A = 2 \pi R \cdot 2 R \sin \alpha = 4 \pi { R ^ 2 } \sin \alpha .

از طرف دیگر، با استفاده از قضیه اول پاپوس، داریم:

A=dL=2πmL \large A = dL = 2\pi mL

که d=2πm d = 2 \pi m مسافت پیموده شده توسط مرکزوار در یک دور و L=2αR L = 2 \alpha R طول کمان است.

اکنون، می‌تون نوشت:

m=yˉ=A2πL=4πR2sinα2π2αR=Rsinαα. \large { m = \bar y = \frac { A } { { 2 \pi L } } } = { \frac { { 4 \pi { R ^ 2 } \sin \alpha } } { { 2 \pi \cdot 2 \alpha R } } } = { \frac { { R \sin \alpha } } { \alpha } . }

چند حالت خاص به صورت زیر هستند:

۱. اگر α=0 \alpha = 0، آنگاه:

m(α=0)=limα0Rsinαα=Rlimα0sinαα1=R; \large m \left ( { \alpha = 0 } \right ) = \lim \limits _ { \alpha \to 0 } \frac { { R \sin \alpha } } { \alpha } = R \, \underbrace { \lim \limits _ { \alpha \to 0 } \frac { { \sin \alpha } } { \alpha } } _ 1 = R ;

2. اگر α=π\alpha = \pi ، آنگاه:

m(α=π)=Rsinππ=0; \large m \left ( { \alpha = \pi } \right ) = \frac { { R \sin \pi } } { \pi } = 0 ;

۳. اگر α=π2 \alpha = \large{\frac{\pi }{2}} ، آنگاه:

m(α=π2)=2Rsinπ2π=2Rπ. \large m \left ( { \alpha = \frac { \pi } { 2 } } \right ) = \frac { { 2 R \sin \frac { \pi } { 2 } } } { \pi } = \frac { { 2 R } } { \pi } .

اگر مطلب بالای برای شما مفید بوده است و به یادگیری مباحث مشابه آن علاقه‌مند هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۷ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
۱ دیدگاه برای «قضیه پاپوس (Pappus’s Theorem) — از صفر تا صد»

ممنون خیلی با زبان ساده و توضیحات خوب تدریس شده بود،امیدوارم‌تو امتحان هم برام اینقد ساده قابل حل باشه🙏

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *