مساحت سطح حاصل از دوران – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

همانطور که می‌دانید، زمانی که یک منحنی حول محوری دوران کند، سطحی به وجود می‌آید که برای محاسبه مساحت سطح ایجاد شده نیاز به استفاده از روابط و محاسبات مختلفی وجود دارد. بنابراین در این مطلب به دنبال یافتن یک فرمول برای محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران یک تابع حول محور مشخصی هستیم.

مساحت سطح حاصل از دوران

برای به دست آوردن یک فرمول برای مساحت سطح حاصل از دوران تابع، یک تابع پیوسته $${ y = f \left ( x \right ) }$$ در بازه $${ \left [ { a , b } \right ] }$$ را در نظر می‌گیریم. این تابع حول محور x در حال دوران است.

نکته مهمی که باید به آن توجه کرد این است که در شرایط بیان شده، مشتق تابع در بازه $${ \left [ { a , b } \right ] }$$ به صورت پیوسته در نظر گرفته می‌شود. شکل زیر نمایی از یک تابع را نشان می‌دهد که حول محور x در حال دوران است.

حال، خط‌هایی که تقریبی از منحنی تابع هستند را حول محور x دوران می‌دهیم. این موضوع در رابطه زیر به تصویر کشیده شده است. با دوران این منحنی حول محور x، سطح جامدی مشابه با شکل زیر به وجود خواهد آمد.

همانطور که مشاهده می‌شود، هرکدام از قسمت‌های تابع، یک سطح جامد مجزا را ایجاد کردند و برای مشخص شدن این موضوع، این قسمت‌ها را با یک رنگ مشخص به تصویر کشیده‌ایم. توجه کنید که هرکدام از این بخش‌ها یک مخروط ناقص نامیده می‌شوند و ما رابطه مشخصی برای محاسبه مساحت سطح جانبی آن‌ها در اختیار داریم. مساحت سطح جانبی یک مخروط ناقص را می‌توان با استفاده از رابطه زیر به خوبی بیان کرد.

$${ \large A = 2 { \pi } r l }$$

در این رابطه، r میانگین شعاع مقطع سمت چپ و راست یک مخروط ناقص است و می‌توان آن را با استفاده از رابطه زیر مورد محاسبه قرار داد.

$${ \large \begin {align*} r = \frac { 1 } { 2 } \left ( { { r _ 1 } + { r _ 2 } } \right ) \hspace { 0.25 in } \end {align*} }$$

$$l$$ نیز در رابطه مساحت، طول شیب و قسمت شیب‌دار مخروط ناقص را نشان می‌دهد. این پارامترها را برای یک مخروط ناقص در محدوده $${ \left [ { { x _ { i - 1 } } , { x _ i } } \right ] }$$ می‌توان با استفاده از روابط زیر به دست آورد.

$${ \large \begin {align*} { r _ 1 } = & f \left ( { { x _ i } } \right ) \\ { r _ 2 } = & f \left ( { { x _ { i - 1 } } } \right) \\ l = & \left | { { P _ { i - 1 } } \ ,\, { P _ i } } \right | \end {align*} }$$

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی در فرادرس

کلیک کنید

$${ \large \left | { { P _ { i - 1 } } \, \, { P _ i } } \right | = \sqrt { 1 + { { \left [ { f ^ \prime \left ( { x _ i ^ * } \right ) } \right ] } ^ 2 } } \, \, \, \Delta x }$$

توجه کنید که در این رابطه $${ x _ i ^ * }$$ یک نقطه دلخواه در بازه $${ \left [ { { x _ { i - 1 } } , { x _ i } } \right ] }$$ در نظر گرفته می‌شود. یکی از فرض‌های مهم دیگر که قبل از بیان فرمول مساحت سطح باید بیان کرد این است که $${ \Delta x }$$ به صورت یک پارامتر کوچک فرض می‌شود و با توجه به پیوستگی تابع $${ f ( x ) }$$، دو رابطه زیر در بازه بیان شده برقرار هستند.