تابع حقیقی و نگاشت در ریاضیات | به زبان ساده

ایده اصلی برای بهره‌گیری از رابطه بین متغیرها و تعریف تابع در قرن ۱۷ میلادی شکل گرفت و تحلیل خصوصیات توابع، باعث بوجود آمدن شاخه «حسابان» (Calculus) در ریاضیات شد. در آن زمان فقط «تابع حقیقی» (Real Function) یا توابع با متغیرهای «حقیقی مقدار» (Real Valued) مورد بحث واقع شده و فرض بر این بود که همه توابع «هموار» (Smooth) هستند. موضوعات مربوط به تابع و نگاشت همچنین دامنه و هم‌دامنه، بعدها در قرن ۱۹ توسط ریاضیدانان، مورد پژوهش واقع شد. بنا به اهمیت توابع و نقش آن‌ها در ریاضیات پایه و عمومی، این نوشتار از مجله فرادرس را به این گونه توابع اختصاص داده‌ایم. البته در این بین تفاوت تابع حقیقی و نگاشت (Map) نیز بیان شده و خصوصیات هر یک مورد بحث قرار می‌گیرد.

تابع حقیقی و نگاشت در ریاضیات

از تابع و رابطه برای نمایش ارتباط بین دو مجموعه یا اعضای آن‌ها استفاده می‌شود. به همین جهت می‌توان توابع و موضوعات مربوط به آن را به نظریه مجموعه‌ها نسبت داد. ولی از آنجایی که این مفهوم یا ساختار ریاضیاتی، بیشتر از نظریه مجموعه‌ها مورد علاقه بوده و کاربرد دارد، در اغلب کتاب‌های ریاضی، به عنوان موضوعی کاملا جدا از نظریه مجموعه‌ها مورد بحث قرار می‌گیرد. هر چند اصطلاحات مربوط به «دامنه» (Domain) و «هم‌دامنه» (Codomain) کاملا وابسته به نظریه مجموعه‌ها هستند.

تعریف تابع و نگاشت در ریاضیات

به طور شهودی، می‌توان تابع را یک فرآیند یا «عملگر دو دویی» (Binary Operation) در نظر گرفت که به واسطه آن هر عنصری از یک مجموعه به یک عنصر به مجموعه دیگر مرتبط می‌شود. البته نحوه ارتباط در اینجا دارای شرایطی است که در ادامه به آن خواهیم پرداخت.

به طور رسمی تابع $$f$$ از مجموعه $$X$$ به مجموعه $$Y$$ به صورت یک مجموعه است که شامل زوج‌های مرتبی مثل $$(x,y)$$ بوده که عنصر اول آن از مجموعه $$X$$ گرفته شده و مولفه دوم آن نیز متعلق به مجموعه $$Y$$ است. در این بین شرطی وجود دارد که طی آن هر عنصری از $$X$$ نباید بیش از یک بار در تابع یا مجموعه زوج‌های مرتب، به کار رفته باشد. به بیان دیگر نباید به ازاء‌ یک مقدار از مجموعه $$X$$ دو مقدار در تابع یا مجموعه $$Y$$ پیدا شود.

نکته: اگر چنین اتفاقی بیافتد، مجموعه زوج‌های مرتب را یک «رابطه» (Relation)‌ می‌نامند. پس هر تابع یک رابطه است ولی هر رابطه، یک تابع نیست.

در تصویر ۱، وضعیتی را مشاهده می‌کنید که یک تابع بین مجموعه $$X$$ و $$Y$$ برقرار شده و عناصر مجموعه $$X$$ را به عناصری از مجموعه $$Y$$ مرتبط کرده است. در این حالت، مجموعه اول را «دامنه» (Domain) و مجموعه‌ دوم را «هم‌دامنه»‌ (Codomain)‌ می‌نامند.

در عوض اگر چنین وضعیتی در بین زوج‌های مرتب تشکیل دهنده تابع وجود نداشته باشد، بین دو مجموعه یک رابطه (و نه تابع) برقرار است. در تصویر ۲، نمایی از یک رابطه بین دو مجموعه $$X$$ و $$Y$$ را مشاهده می‌کنید. واضح است که برای مولفه اول با مقدار ۲ در مجموعه $$X$$، دو مقدار یا مولفه در مجموعه دوم یعنی $$Y$$ وجود دارد. به همین سبب، پیوند بین $$X$$ و $$Y$$ از نوع تابع نخواهد بود و صرفا یک رابطه بین این دو مجموعه برقرار شده است. مشخص است که زوج‌هایی که باعث تخریب خاصیت تابع شده‌اند، $$(2,B)$$ و $$(2 , c)$$ هستند. در حقیقت مقدار $$2$$، به عنوان مولفه اول، در دو زوج مرتب دیده می‌شود.

اگر زوج $$(x,y)$$ متعلق به تابع $$f$$ باشد، آنگاه $$y$$ را «تصویر» (Image) مقدار $$x$$ تحت تابع $$f$$ می‌نامند و به صورت زیر نمایش می‌دهند.

$$\large (x,y) \in f \quad \quad \rightarrow \quad \quad y = f(x)$$

مجموعه مقادیری که $$y$$ در این تابع دارد، به اصلاح «بُرد» (Range) یا «تصویر» (Image) تابع نامیده می‌شود و می‌گویم، تابع $$f$$، مقدار $$x$$ را به $$y$$ تصویر کرده است. در تصویر ۱، برد تابع مجموعه $$\{B,C\}$$ است. برای نمایش دامنه تابع $$f$$ اغلب، از نماد $$D_f$$ و برای برد آن نیز از $$R_f$$ استفاده می‌کنند.

نگاشت در ریاضیات

اغلب هر تابع را یک «نگاشت» (Map) در نظر می‌گیرند ولی بعضی ریاضیدانان، برای مفهوم نگاشت و تابع، تمایز قائل می‌شوند. برای مثال «سرژ لانگ» (Serge Lang)، ریاضیدان آمریکایی-فرانسوی، تابع را برای نگاشت‌هایی که هم‌دامنه آن زیرمجموعه‌ای از اعداد حقیقی یا مختلط است به کار می‌برد و معتقد است که نگاشت حالت کلی‌تری از تابع را شامل می‌شود.

تابع حقیقی

یک تابع حقیقی، تابعی است که براساس متغیرهایی با مقایر حقیقی ساخته می‌شود. به این ترتیب دامنه و هم‌دامنه آن زیرمجموعه‌ای از اعداد حقیقی است که می‌تواند به صورت یک بازه نمایش داده شود. اغلب در ریاضیات ساده دبیرستان یا دانشگاهی، منظور از یک تابع، تابعی حقیقی (حقیقی‌-مقدار) است. ما هم از این به بعد در این متن هر جا از تابع سخن بگوییم، منظورمان توابع حقیقی یا حقیقی-مقدار است.

فیلم آموزش مبانی آنالیز ریاضی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

همچنین در تصویر ۴، یک تابع درجه دوم به شکل $$f(x) = x^2 - x - 2$$ را مشاهده می‌کنید که یک تابع حقیقی (از $$R$$ به $$R$$) تعریف شده است و دامنه آن همه اعداد حقیقی و برد آن نیز مجموعه اعداد بزرگتر از $$\frac{-9}{4}$$ است. همانطور که در نمودار مشخص است، این تابع، پیوسته و مشتق‌پذیر است.

توابع از «عملیات نقطه‌ای» (Pointwise Operation) تبعیت می‌کنند. یعنی اگر $$f$$ و $$g$$، هر دو تابعی حقیقی باشند، مجموع، تفاضل و حاصل‌ضرب آن‌ها نیز توابعی حقیقی خواهند بود. پس توابع حقیقی نسبت به عملگرهای «جمع» (Addition)، «تفریق» (Subtraction) و «حاصل‌ضرب» (Product) بسته هستند. در این صورت داریم:

$$\large {\displaystyle {\begin{aligned}(f + g)(x) & = f(x) + g(x) \\ \large (f - g) (x) & = f(x) - g(x) \\ \large (f \cdot g)(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ \end{aligned}} }$$

نکته مهم در این بین، پیدا کردن دامنه این عملگرها روی توابع است. دامنه‌های توابع حاصل از اجرای این عملگرها، به صورت اشتراک دامنه‌های توابع $$f$$ و $$g$$ خواهد بود. البته برای تقسیم دو تابع حقیقی باید با دقت بیشتری عملیات را انجام داد. تقسیم یا خارج قسمت دو تابع نیز یک تابع حقیقی است و به صورت زیر در نظر گرفته می‌شود.

$$\large {\displaystyle { \dfrac {f} {g}} (x) = { \dfrac {f(x)} {g(x)}} }$$

اما دامنه تابع حاصل تقسیم با حذف صفرهای تابع $$g$$ از اشتراک دامنه تابع $$f$$ و $$g$$ بدست می‌آید. در ادامه این متن به چند مثال می‌پردازیم تا با نحوه اجرای عملیات جبری رو توابع و پیدا کردن دامنه حاصل، بیشتر آشنا شویم.

مثال ۱

تابع $$f(x) = \sqrt{x-2}$$ و $$g(x) = \sqrt{x+2}$$ را در نظر بگیرید. جمع و تفاضل این دو تابع یعنی $$(f + g)(x)$$ و $$(f - g)(x)$$ را محاسبه کرده و دامنه آن‌ها را مشخص خواهیم کرد.

$$\large (f + g)\;(x) = f(x) + g(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 2}$$

$$\large (f - g) \;(x) = f(x) - g(x) = \sqrt{x - 2} - \sqrt{x + 2}$$

البته رابطه‌های بالا قابل ساده‌سازی نیز نیستند. از طرفی، دامنه هر دو تابع با توجه به ریشه دوم و مثبت بودن زیر رادیکال با فرجه دو، به صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$\large D_f = \{ x \in R \quad | \quad x + 2 \geq 0 \}$$

که به صورت $$x \geq -2$$ یا بازه $$[-2 , \infty)$$ قابل نمایش است. حال به بررسی دامنه تابع $$g$$ می‌پردازیم.

$$\large D_g = \{ x \in R \quad| \quad x - 2 \geq 0 \}$$

که به صورت $$x \geq 2$$ یا بازه $$[2 , \infty)$$ قابل نمایش است. از آنجایی که اشتراک این دو مجموعه، دامنه تابع حاصل جمع و تفاضل را مشخص می‌کند، دامنه تابع $$f + g$$ با دامنه تابع $$f - g$$ برابر بوده و به شکل زیر در خواهد آمد.

$$\large D_{f + g} = D_f \cap D_g = \{ x \quad |\quad x \geq -2 , x \geq 2 \}$$

می‌توان این مجموعه را به صورت فاصله $$[2, \infty)$$ نیز در نظر گرفت. همچنین برای پیدا کردن دامنه تفاضل این دو تابع نیز به شکل زیر عمل می‌کنیم.

$$\large D_{f - g} = D_f \cap D_g = \{ x \quad | \quad x \geq -2 , x \geq 2 \}$$

که باز هم فاصله $$[2, \infty)$$ را نشان می‌دهد.

مثال ۲

این بار به ضرب و تقسیم این دو تابع توجه خواهیم کرد و دامنه هر یک را هم به واسطه اشتراک دامنه هر دو تابع مشخص می‌کنیم. ابتدا به ضرب این دو تابع می‌پردازیم.

$$\large (f \dot g) (x) = f(x) \cdot g(x) = \left( \sqrt{x -2} \right) \left(\sqrt{ x +2 } \right ) = \sqrt{ (x - 2 )( x + 2) } = \sqrt{ x^2 - 4}$$

اگر به قاعده اشتراک دامنه دو تابع در جبر توابع دقت نکنیم، ممکن است در اینجا با یک مشکل روبرو شویم. طبق مثال قبل، مشخص است که دامنه حاصل ضرب این دو تابع باید $$D_{f \cdot g} = [2 , \infty)$$ باشد. ولی اگر دامنه تابعی که از حاصل‌ضرب این دو تابع ساخته شده است را مشخص کنیم، به یک تناقض خواهیم رسید.

$$D_{\sqrt{x^2- 4}} = \{ x \quad| \quad x^2 \geq 4 \} = \{ x \quad | \quad x \geq 2 , x \leq -2 \} : ( \infty , -2] \cup [2 , \infty)$$

مشخص است که این مجموعه، مقادیر کوچکتر از ۲- را هم در دامنه تابع $$\sqrt{X^2 - 4}$$ دارد، در حالیکه دامنه حاصل‌ضرب دو تابع $$f$$ و $$g$$ شامل این مقادیر نیست. پس قبل از انجام عملیات جبر مجموعه‌ها، باید دامنه تابع حاصل را بدست آورده، سپس عمل جبری را انجام دهیم، هر چند در این مثال‌ها، ابتدا عمل جبری انجام شده، سپس دامنه مشخص گردیده است.

مثال ۳

این بار به سراغ تقسیم تابع $$f$$ بر $$g$$ می‌رویم. البته محاسبه تقسیم این دو تابع، ساده شدنی نیست، ولی مهم استخراج دامنه تابع تقسیم آن‌ها است.

$$\large \left( \dfrac{f}{g} \right) (x) = \dfrac{f(x) } {g(x) } = \dfrac{ \sqrt{x - 2}} {\sqrt{ x + 2 } }$$

دامنه تابع مربوط به تقسیم این دو تابع نیز به شکلی که در ادامه قابل مشاهده است، حاصل می‌شود.

$$\large D_{\frac{f}{g}} = D_f \cap D_g - \{ x \quad | \quad g(x) = 0 \} = [ 2 , \infty) - \{ - 2 \} = [2, \infty)$$

اگر به دنبال تقسیم تابع $$g$$ بر $$f$$ بودیم، به رابطه‌های زیر می‌رسیدیم.

$$\large \dfrac{g}{f} (x) = \dfrac{ g(x) } {f(x) } = \dfrac{ \sqrt{x + 2}} {\sqrt{ x - 2 } }$$

و

$$\large D_{\frac{g}{f}} = D_f \cap D_g - \{ x \quad | \quad f(x) = 0 \} = [ 2 , \infty) - \{ 2 \} = (2, \infty)$$

به این ترتیب مشخص است که جمع و ضرب در جبر توابع، خاصیت جابجایی داشته، ولی تفریق و تقسیم، چنین خاصیتی ندارند.

معرفی چند تابع حقیقی

در ادامه به چند نوع تابع حقیقی اشاره کرده و خصوصیات آن‌ها را بازگو می‌کنیم. اغلب در سطوح ابتدایی و متوسطه ریاضیات، این گونه توابع زیاد به کار می‌روند.

• تابع چند ‌جمله‌ای: «توابع چند جمله ای» (Polynomial Functions) توسط چند جمله‌ای‌ها تعریف می‌شوند و دامنه آنها کل مجموعه اعداد حقیقی است. از بین توابع چند جمله‌ای می‌توان به «توابع ثابت» (Constant Functions)، «توابع خطی» (Linear Functions) و «توابع درجه دوم» (Quadratic Functions) اشاره کرد.
• توابع گویا: «توابع گویا» (Rational Functions) به صورت کسری از دو توابع چند‌جمله‌ای ساخته می‌شوند و دامنه آن‌ها نیز اعداد حقیقی است البته به جز نقاطی که مخرج را صفر می‌کنند. به این ترتیب از خطای تقسیم بر صفر جلوگیری خواهد شد.

شاید بتوان ساده‌ترین تابع کسری را به صورت $$\dfrac{1}{x}$$ در نظر گرفت که در این حالت دامنه این تابع، مجموعه اعداد حقیقی بدون نقطه یا مقدار صفر است. نمودار توابع کسری بخصوص تابع $$\dfrac{1}{x}$$ به صورت یک هذلولوی است.

• توابع مثلثاتی: توابعی مانند $$\sin$$ و $$\cos$$، «توابع مثلثاتی» (Triangle Function) هستند که در مهندسی بسیار به کار گرفته می‌شوند. این توابع نیز اغلب در گروه توابع حقیقی جای می‌گیرند. در تصویر ۵، یک نمونه از نمودار توابع سینوس و کسینوس را در یک تناوب مشاهده می‌کنید.

خصوصیات بعضی از توابع حقیقی

$$\large \text{sgn} \left( \dfrac{f(x) - f(y) }{x - y } \right) = \text{sgn} \left( \dfrac{f(y) - f(x)}{y - x} \right)$$

فیلم آموزش مبانی آنالیز ریاضی ۲ در فرادرس

کلیک کنید

$$\large {\displaystyle y^{\prime \prime } + y = 0}$$

بطوری که معادله دیفرانسیل گفته شده، در شرط‌های زیر صدق کند.

$$\large {\displaystyle \sin 0 = 0 ,\quad \cos 0 = 1 , \quad { \dfrac { \partial \sin x}{ \partial x}}(0) = 1, \quad {\dfrac {\partial \cos x}{ \partial x}}(0) = 0}$$

نکته: توابع حقیقی ممکن است در فضاهای دو یا چند بعدی نیز مطرح شده و برای مجموعه یا فضای $$n$$بُعدی ($$R^n$$) به کار روند که هر مولفه آن یک مقدار حقیقی است. در این صورت آن‌ها را توابع حقیقی چند بُعدی یا چند متغیره می‌نامیم.

خلاصه و جمع‌بندی