لگاریتم و خصوصیات آن — به زبان ساده

۶۴۴۸۱ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۶ فروردین ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۸ دقیقه
لگاریتم و خصوصیات آن — به زبان ساده

در ریاضیات و جبر، خصوصیات زیادی برای عملگرهای مختلف وجود دارد. برای مثال خاصیت جابجایی برای عمل جمع نشان می‌دهد که ترتیب قرارگیری اعداد در نتیجه عمل جمع تاثیرگذار نیست. یا خاصیت پخشی ضرب در جمع نیز از این جمله‌اند. در این متن به تابع لگاریتم و خصوصیات آن خواهیم پرداخت. هر چند ممکن است که گستردگی کاربرد تابع لگاریتم، به میزان عمل جمع و ضرب نباشد، ولی در بسیاری از موارد، عملیات ضرب توسط لگاریتم ساده‌تر صورت می‌گیرند.

997696

برای آشنایی با تابع لگاریتم و نحوه محاسبه و کاربردهای آن بهتر است مطلب لگاریتم و هر آنچه باید درباره‌ آن بدانید – به زبان ساده و کاربرد لگاریتم — به زبان ساده را مطالعه کنید. از آنجایی که تابع لگاریتم معکوس تابع نمایی است، آگاهی از خصوصیات تابع نمایی نیز در درک ویژگی‌های تابع لگاریتم موثر است. بنابراین خواندن نوشتار ویژگی های تابع نمایی — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

لگاریتم و خصوصیات آن

شاید بتوان انگیزه اصلی برای ایجاد تابع لگاریتم (یا عملگر لگاریتم) را ساده کردن عملیات پیچیده ضرب در نظر گرفت. از طرفی لگاریتم‌گیری از اعداد، مقیاس آن‌ها را کوچکتر می‌کند. در نتیجه به نظر می‌رسد علت بوجود آمدن مفهومی به نام لگاریتم برای ساده‌سازی عملیات با مقادیر بزرگ صورت گرفته است.

در سال 1614 میلادی «جان نپر» (John Napier) دانشمند اسکاتلندی، واژه لگاریتم را برای عملگر ابداعی خودش به کار برد که به صورت عکس عمل توان یا ضرب‌های متوالی محاسبه می‌شد. البته قبل از او نیز دانشمندان دیگر در زمینه لگاریتم و خصوصیات آن فعالیت‌هایی داشته‌اند ولی اولین بار جان نپر نام لگاریتم را استفاده کرد. به طور معمول تعریفی که از عملگر لگاریتم در حساب و جبر به کار می‌رود، ساده کردن حاصل ضرب توان‌هایی از عدد ۱۰ است. به این ترتیب لگاریتم را برمبنای ۱۰ می‌نامند. البته اگر این ضرب‌ها را برمبنای عدد دیگری در نظر بگیریم، مبنای لگاریتم را هم تغییر داده‌ایم. یکی دیگر از عملگرهای این چنینی، لگاریتم برمبنای عدد نپر است که به آن لگاریتم طبیعی نیز گفته می‌شود. لگاریتم برمبنای ۲ نیز کاربردهای خود را بخصوص در محاسبات دو دویی (دیجیتالی) دارد. برای روشن شدن موضوع به چند مثال توجه کنید.

تصویر گرافیکی یک دانش آموز در حال نوشتن بر روی تخته در کلاس (تصویر تزئینی مطلب لگاریتم و خصوصیات آن)

نکته: دقت داشته باشید که با توجه به ارتباطی که بین توان و لگاریتم وجود دارد، برای اعداد منفی لگاریتم تعریف نشده است.

مثال ۱

می‌توانیم عدد ۱۰۰ را به صورت حاصل ضرب ۱۰ در ۱۰ بنویسیم:

100=10×10=102\large 100 = 10 \times 10 = 10^2

تعداد این ضرب‌ها (یا توانی از ۱۰) که عدد ۱۰۰ را تولید کند برابر با ۲ است در نتیجه خواهیم داشت:

log10(100)=2\large \log_{10}(100)=2

مشخص است که در اینجا مبنای لگاریتم عدد ۱۰ است که به صورت اندیس در زیر عملگر log\log قرار گرفته است. به این ترتیب می‌گوییم، لگاریتم عدد ۱۰۰ برمبنای ۱۰ برابر است با ۲.

نکته: لگاریتم هر عدد بر مبنای خود برابر با ۱ خواهد بود زیرا تساوی زیر برای هر عدد نامنفی برقرار است:

a=a1  logaa=1 \large a= a^1\; \rightarrow \log_a a =1

مثلا، لگاریتم ۱۰ برمبنای ۱۰ برابر است با ۱.

مثال ۲

عدد ۳۲ را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب متوالی ۲ به صورت زیر نوشت:

32=2×2×2×2×2=25\large 32= 2 \times 2\times 2 \times 2 \times 2 = 2^5

با توجه به اینکه عمل ضرب عدد ۲، به تعداد پنج‌ بار صورت گرفته است، می‌توانیم بگوییم که لگاریتم عدد ۳۲ برمبنای ۲ برابر با ۵ است و بنویسیم:

log232=5\large \log_2 32 = 5

مثال ۳

عدد e4e^4 را در نظر بگیرید. در اینجا منظور از ee عدد نپر (عدد اویلر) است که متعلق به مجموعه اعداد اصم (گنگ) بوده و مقدار تقریبی آن 2٫۷۱۸۲ است. بر این اساس می‌توانیم بگویم که لگاریتم عدد  e4e^4 برمبنای ee نیز برابر است با ۴ و آن را به صورت زیر نمایش دهیم:

logee4=4\large \log_{e}e^4=4

لگاریتم برمبنای ee را به صورت ln\ln نیز نشان می‌دهند در نتیجه عبارت بالا را به صورت زیر می‌نویسیم:

lne4=4\large \ln e^4=4

مشخص است که در عملگر ln\ln دیگر مبنای لگاریتم نوشته نمی‌شود زیرا مشخص است که مبنا عدد ee‌ است.

نکته: گاهی به مبنای لگاریتم، پایه لگاریتم نیز می‌گویند زیرا مبنای لگاریتم همان پایه تابع نمایی است. در مثال ۱، عدد ۱۰ پایه توان 10210^2‌ است و همینطور مبنا یا پایه لگاریتم log10(100)\log_{10}(100) نیز محسوب می‌شود.

مثال ۴

لگاریتم ۱۵۰ برمبنای ۱۰ بین ۲ و ۳ قرار دارد زیرا رابطه زیر بین توان‌های ۱۰ برقرار است:

102=100<150<103\large 10^2=100 < 150 <10^3

پس

log10(100)=2<log10(150)<3=log10(1000) \large \log_{10}(100)=2 < \log_{10}(150) <3=\log_{10}(1000)

تصویر گرافیکی یک دانش آموز نشسته پشت میز در حال نوشتن

مثال ۵

لگاریتم اعداد کوچکتر از یک، منفی هستند. برای مثال لگاریتم 12\frac{1}{2} را به صورت زیر می‌توانیم محاسبه کنیم.

log2 ⁣12=log221=1\large {\displaystyle \quad \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=\log_22^{-1}=-1\quad }

زیرا

21=121=12\large {\displaystyle \quad 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}}

رابطه معکوس لگاریتم

ابتدا اشاره کردیم که عمل به توان رساندن با لگاریتم در ارتباط است. طبق تعریفی که از لگاریتم ارائه کردیم می‌توانیم این ارتباط را به صورت زیر نمایش دهیم.

logb(bx)=xlogbb=x\large {\displaystyle \log _{b}\left(b^{x}\right)=x\log _{b}b=x}

این رابطه بیان می‌کند که ترکیب دو تابع لگاریتم و تابع نمایی، یک تابع همانی است. این مسئله نشان می‌دهد که تابع لگاریتم معکوس تابع نمایی است و البته تابع نمایی نیز معکوس تابع لگاریتم محسوب می‌شود.

Solve-Logarithms

در این قسمت با لگاریتم و خصوصیات اصلی آن آشنا شدیم. در ادامه به معرفی دیگر ویژگی‌های لگاریتم در ارتباط با عملگرهای دیگر خواهیم پرداخت.

نکته: توجه داشته باشید که لگاریتم هر عدد برمبنای خودش برابر با ۱ است.

 a1=aloga(a)=1\large  a^1=a \rightarrow \log_a(a)=1

رابطه بین ضرب و جمع در لگاریتم و خصوصیات آن

با توجه به ارتباطی که بین عملگر توان و لگاریتم وجود دارد، می‌توان خصوصیاتی که برای توان داریم را به لگاریتم نیز تعمیم دهیم.

فرض کنید دو عدد A و B داریم که می‌توانیم آن‌ها را به صورت زیر بنویسیم:

A=ax,      B=ay\large A=a^x, \;\;\; B=a^y

حاصلضرب این دو عدد به صورت زیر نوشته خواهد شد.

A×B=ax×ay=a××ax×a××ay=a(x+y)\large A\times B= a^x \times a^y = \overbrace{a \times \cdots \times a}^x \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^y= a^{(x+y)}

با توجه به اینکه پایه همه این توان‌ها، برابر است، می‌توانیم مبنای لگاریتم را هم aa در نظر بگیریم. پس

logaA×B=x+y=logaA+logaB\large \log_a{A\times B}= x+y=\log_aA+\log_aB

به این ترتیب می‌توان گفت:

لگاریتم حاصلضرب دو عدد، برابر است با حاصل جمع لگاریتم آن‌ها

مثال ۶

لگاریتم عدد ۲۴۳ را بر مبنای ۳ می‌توان براساس حاصل‌ضرب لگاریتم اعداد ۳ و ۹ برمبنای ۳ به صورت زیر نوشت:

log3243=log3(9×27)=log39+log327=2+3=5\large {\displaystyle \log _{3}243=\log _{3}(9\times 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5}

تصویر گرافیکی یک دانش آموز دختر نشسته پشت میز در حال نوشتن (تصویر تزئینی مطلب لگاریتم و خصوصیات آن)

نکته: در عملگر توان می‌دانیم که توان منفی به معنی تقسیم یا معکوس یک عدد است. برای مثال x1=1xx^{-1}=\frac{1}{x} و یا x3=1x3x^{-3}=\frac{1}{x^3} است. از این خاصیت برای لگاریتم تقسیم دو عدد نیز می‌توان استفاده کرد.

مثال ۷

لگاریتم عدد ۱۶ برمبنای ۲ را می‌توان به صورت زیر بدست آورد:

log216=log2 ⁣644=log2(64×41)=log264log24=62=4\large {\displaystyle \log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}= \log_2 (64 \times 4^{-1})=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4}

مشخص است که لگاریتم تقسیم دو عدد به صورت تفاضل لگاریتم مخرج از صورت بدست می‌آید. به این ترتیب لگاریتم و خصوصیات آن در رابطه با ضرب و تقسیم مورد بررسی قرار گرفت.

لگاریتم تقسیم دو عدد یا یک کسر، برابر است با، لگاریتم عدد صورت منهای لگاریتم عدد مخرج کسر

رابطه توان و جذر در لگاریتم و خصوصیات آن

فرض کنید عدد مثبت AA به توان pp رسیده باشد. حاصل لگاریتم ApA^p بر مبنای bb به صورت زیر قابل محاسبه است (فرض کنید pp یک عدد طبیعی باشد).

logbAp=logb(A×Ap)=log2A++log2Ap=plogbA\large \log_b A^p = \log_b (\overbrace {A \times \cdots A}^p)=\overbrace{\log_2A+\cdots+\log_2A}^p=p\log_bA

مثال ۸

لگاریتم ۶۴ برمبنای ۲ را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

log264=log2(26)=6log22=6.\large {\displaystyle \log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6}.

از آنجایی که بین توان و جذر نیز رابطه‌ای وجود دارد، لگاریتم جذر یک عدد را نیز می‌توان مطابق با مثال زیر بدست آورد.

مثال ۹

لگاریتم ریشه دوم ۱۰۰۰ براساس رابطه زیر برابر با 1٫5 خواهد بود.

log101000=log10(1000)12=12log101000=32=1.5\large {\displaystyle \log _{10}{\sqrt {1000}}=\log_{10}(1000)^{\frac{1}{2}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}

به این ترتیب می‌توان گفت:

لگاریتم توان یک عدد برابر است با حاصل ضرب توان در لگاریتم آن عدد

جدول زیر به منظور خلاصه‌سازی خصوصیات ضرب، تقسیم، توان و ریشه لگاریتم اعداد تهیه شده است.

رابطهفرمولمثال
ضربlogb(xy)=logbx+logby{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y}log3243=log3(927)=log39+log327=2+3=5{\displaystyle \log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5}
تقسیمlogb ⁣xy=logbxlogby{\displaystyle \log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y}log216=log2 ⁣644=log264log24=62=4{\displaystyle \log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4}
توانlogb(xp)=plogbx{\displaystyle \log _{b}\left(x^{p}\right)=p\log _{b}x}log264=log2(26)=6log22=6{\displaystyle \log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6}
جذرlogbxp=logbxp{\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}}log101000=12log101000=32=1.5{\displaystyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}

جدول ۱

به این ترتیب لگاریتم و خصوصیات آن در رابطه با ضرب و تقسیم مورد بررسی قرار گرفت.

تغییر مبنا در لگاریتم و خصوصیات آن

گاهی در انجام محاسبات لگاریتمی، لازم است که مبنای لگاریتم تغییر کند از رابطه زیر برای تغییر مبنای لگاریتم xx از kk به bb می‌توانید استفاده کنید.

logbx=logkxlogkb.\large {\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.\,}

برای نشان دادن این موضع، فرض کنید لگاریتم xx برمبنای bb برابر با yy‌ باشد.

logbx=y    by=x\large \log_b x = y\; \rightarrow\; b^y=x

پس داریم

logkx=logkby=ylogkb\large \log_k x = \log_k b^y= y \log_k b

از طرفی y=logbxy=\log_b x پس

y=logbx=logkxlogkb\large y = \log_b x= \dfrac{\log_k x}{\log_k b}

به این ترتیب می‌توانیم لگاریتم یک عدد را برحسب مبنای ۱۰ یا لگاریتم طبیعی به صورت زیر بدست آوریم.

logbx=log10xlog10b=logexlogeb\large {\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}}

تصویر گرافیکی چند دانش آموز نشسته دور یک میز در حال صحبت

مثال ۱۰

لگاریتم ۱۰۰ برمبنای ۲ برابر است با تقسیم لگاریتم ۱۰۰ برمبنای ۱۰ و لگاریتم ۲ برمبنای ۱۰، یعنی

log2100=log10100log102=20.3=6.64\large \log_2 100 = \dfrac{\log_{10} 100}{\log_{10} 2}=\dfrac{2}{0.3}=6.64

نکته: یکی دیگر از ویژ‌گی‌های لگاریتم را می‌توان به صورت زیر نوشت:

x=alogaxx = a ^ { \log ^x _ a }

مثال ۱۱

لگاریتم عدد ۱۰۰ برمبنای نامشخصی برابر است با ۲، پس می‌توانیم مبنا را به کمک رابطه بالا بدست آوریم.

x = a ^ { \log ^x _ a }\\ \log ^ { 100 = x } _ a = 2 \\ 100 = a ^ { \log ^ { 100 } _ 2 } = a ^ 2 \\ 10 ^ 2 = a ^ 2 \rightarrow a = 10

تابع لگاریتم و خصوصیات آن

در ادامه موضوع محاسبه لگاریتم یک عدد، حال می‌خواهیم با تابع لگاریتم بیشتر آشنا شویم.

f(x)=logk(x),    x0\large f(x)=\log_k(x), \;\;x\geq 0

تابع f(x)f(x) در اینجا به صورت لگاریتم یک عدد نامنفی مشخص شده است. همانطور که دیده می‌شود، دامنه این تابع مجموعه مقادیر نامنفی از اعداد حقیقی است. با توجه به نحوه محاسبه لگاریتم، برد این تابع نیز اعداد حقیقی خواهد بود. زیرا

logk(0)=undifine,      logk(+)=+\large \log_k(0)=undifine,\;\;\; \log_k(+\infty)=+\infty

نمودار مربوط به این تابع در تصویر زیر دیده می‌شود.

Logarithm_plots

شکل ۱: نمودار تابع لگاریتم براساس مبناهای مختلف

همانطور که مشخص است، زمانی که مقدار روی محور افقی، از یک کوچکتر باشد، مقدار لگاریتم (روی محور عمودی) منفی خواهد شد. تابع لگاریتم یک تابع مقعر (Concave) محسوب می‌شود درست برعکس تابع نمایی (Exponential Function) که تابعی محدب (Convex) است. اغلب تابع لگاریتم را به عنوان تابع معکوس (Inverse Function) تابع نمایی در نظر می‌گیرند.

تابع لگاریتم با توجه به نمودارهای ترسیم شده، تابعی صعودی از xx است اگر مبنای آن بزرگتر از ۱ باشد.

x1,x2Df,  x11\large x_1, x_2 \in D_f,\; x_11

همچنین این تابع برای مقادیر مبنای کوچکتر از ۱، نزولی خواهد بود.

x1,x2Df,  x1logk(x2),    0\large x_1, x_2 \in D_f,\;x_1 \log_k(x_2), \;\;0

برای مثال، لگاریتم ۱0۰ برمبنای 10 برابر است با ۲ و لگاریتم ۱۰ برمبنای 10 نیز برابر است با 1، ولی لگاریتم 100100 برمبنای 12\frac{1}{2} برابر است با 2.86-2.86 در حالیکه لگاریتم ۱۰ برمبنای 12\frac{1}{2} برابر است با 1.43-1.43 که از مقدار لگاریتم ۱۰۰ برمبنای 12\frac{1}{2} بزرگتر است.

نکته: اگر جای مبنا و متغیر را در لگاریتم عوض کنیم، مقدار لگاریتم معکوس می‌شود. به این ترتیب خواهیم داشت:

logax=1logx(a)\large \log_a{x} = \dfrac{1}{\log_x(a)}

زیرا اگر فرض کنیم که logax=A\log_a x=A و logxa=B\log_x a=B آنگاه رابطه‌های زیر برقرار است:

logax=A,aA=x\large \log_ax=A, \rightarrow a^A=x

logxa=B,xB=a\large \log_xa=B, \rightarrow x^B=a

پس می‌توانیم بنویسیم:

aA×xB=x×a\large a^A\times x^B=x\times a

در نتیجه برای این که تساوی بالا برقرار باشد، توان‌های aa در هر دو طرف تساوی باید یکسان باشند. همین موضوع هم باید برای xx صادق باشد. بنابراین باید A=1A=1 و B=1B=1 در نظر گرفته شوند. به این ترتیب حاصل ضرب AA و BB هم باید برابر با ۱ شده و براین اساس خواهیم داشت:

logax×logxa=1logax=1logxa\large \log_a x \times \log_xa =1 \rightarrow \log_ax = \dfrac{1}{\log_xa}

نحوه محاسبه لگاریتم

در گذشته برای محاسبه لگاریتم اعداد از جدول‌های لگاریتمی که قبلا محاسبه و منتشر شده بود استفاده می‌کردند ولی بعدها از خط‌کش محاسباتی لگاریتمی، برای این گونه محاسبات بهره گرفتند. امروزه محاسبه لگاریتم با استفاده از ماشین حساب بسیار ساده شده است.

به این ترتیب می‌توانیم لگاریتم و خصوصیات آن را مورد بررسی قرار دهیم.

Slide_rule_with_labels

آنچه که در لگاریتم و خصوصیات آن مهم است، تغییری است که این تابع، روی اعداد صورت می‌دهد و موجب فشردن شدن مقیاس آن‌ها می‌شود.. با توجه به نموداری که برای تابع لگاریتم در شکل ۱ وجود دارد، مشخص است که همیشه برای مبناهای بزرگتر از یک، مقدار لگاریتم یک عدد از خود عدد کوچکتر است، پس به نظر می‌رسد که عملگر لگاریتم، باعث تغییر مقیاس اعداد می‌شود. به این ترتیب برای نمایش اعداد خیلی بزرگ یا ترسیم آن‌ها روی نمودارها، می‌توان از تغییر مقیاس لگاریتمی استفاده کرد.

Logarithm table

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار با نحوه محاسبه لگاریتم و خصوصیات آن آشنا شدیم. ارتباط بین ضرب و تقسیم برای لگاریتم و همچنین تغییر مبنای لگاریتم نیز مورد بحث واقع شد. با ارائه مثال‌هایی در این زمینه‌ها، موضوعات مربوط به لگاریتم واضح‌تر ارائه شدند و مفاهیم مربوط به آن مورد بررسی قرار گرفتند. همانطور که دیدید، استفاده از روابط لگاریتم و خصوصیات آن، باعث می‌شود بسیاری از محاسبات ساده‌تر انجام شوند.

بر اساس رای ۱۲۶ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرسWikipedia
۱۵ دیدگاه برای «لگاریتم و خصوصیات آن — به زبان ساده»

نکته زیر مثال ده هم مثالش هم خودش خیلی نامفهومه

با سلام،
متن بازبینی و رابطه داده شده اصلاح شد،
با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس

سلام وقت بخیر.
خیلی ممنون از این مقاله خیلی خوب.
اما در قسمت ،،رابطه توان و جذر در لگاریتم و خصوصیات آن،، در اولین جدول این بخش اشتباهی رخ داده و توی تساوی سومی لگاریتم بر مبنای 2 نوشته شده درحالی که بر مبنای b خودتون نوشتید.

سلام و وقت بخیر؛

ستون سوم جدول مربوط به مثال‌های لگاریتم است. b، مبنای لگاریتم را در فرمول نمایش می‌دهد. در برخی دو مثال از این جدول، b برابر با 2 قرار داده شده است.

از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.

سلام وقت بخیر
من تقریبا همه ی توضیحات رو خوندم ولی متاسفانه جواب سوالم رو نگرفتم ممنون میشم اگر منو راهنمایی کنید
سوال من :
وقتی تو فرمول میگن کف logn یا سقف logn یعنی چی
نمادش نبود که بزارم ولی مثل [ این هستش وفق قسمت افقی بالاش نیست یا یا پایینش

وقتی میگن کف ینی حد پایین و وقتی میگن سقف ینی حد بالا
برای مثال log3 درمبنای ۲ برابر با ۱.۶ میشه، خب سقفش یعنی عدد صحیح بالاییش که میشه ۲ و کفش میشه ۱

با سلام،
آیا منظور شما براکت است یا Logarithmic time complexity ؟
با تشکر از همراهی شما با مجله فرادس

این قضیه تغییر مبنا چطور اثبات میشه؟

سلام بر اساتید فرادرس بند دو بخش تابع لگاریتم و خصوصیات ان اولین فرمول یعنی سمت چپی اشتباه هست دو حالت داریم یکی کسری یکی هم بزرگتر از 0 که یکی از انان منفی بی نهایت و یکی مثبت بی نهایت و حد هم داره !!!!!!!!!!

سلام و روز شما به خیر؛

قسمت مورد نظر شما اصلاح شد. همان طور که می‌دانید لگاریتم عدد صفر تعریف نشده است که این موضوع در متن ویرایش شد و لگاریتم مثبت بی نهایت برابر با بی نهایت است.

از همراهی شما با فرادرس خرسندیم.

برای محاسبه لگاریتم ماشین حساب هست اما برای کنکور نمیشه استفاده کرد و باید محاسبه یا جدول بلد باشی و جدول هم خیلی بزرگ و طولانی هست و فقط محاسبه می‌مونه و اگه روش به دست آوردن لگاریتم می‌گفتید خیلی خوب میشد

سلام خیلی ممنون از مطالب خوبتون

ویژگیهای عدد به توان لگاریتم راننوشتید

سلام
همین مطالب را در پست های دیگه خونده بودم
بهتره یک مطلبی راجع به کاربردهای مهم لگاریتم بنویسید.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *