پاد مشتق چیست؟ – به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با مشتق‌ و روش‌های مختلف مشتق‌گیری آشنا شدیم. در این آموزش، خواهیم آموخت که عکس عمل مشتق چیست و چگونه باید آن را انجام داد. پاد مشتق (Antiderivative) عکس مشتق‌ است و در این آموزش به همراه مثال‌های متعدد به آن خواهیم پرداخت.

تعریف پاد مشتق

تابع $$ F$$ یک پادمشتق برای تابع $$ f $$ است، اگر برای همه $$x$$ها در دامنه $$f$$ داشته باشیم:

$$ \large F^ \prime(x)=f(x) $$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

برای مثال، تابع $$ f ( x ) = 2 x $$ را در نظر بگیرید. با دانستن قانون توان مشتق‌گیری، نتیجه می‌گیریم که $$ F ( x) = x ^ 2 $$ یک پادمشتق برای $$ f $$ است.

اما آیا $$ f$$ پادمشتق دیگری نیز دارد؟ بله؛ از آنجایی که مشتق هر عدد ثابت $$ C$$ برابر با صفر است، $$ x ^ 2 + C $$ نیز یک پادمشتق برای $$ 2 x $$ است. بنابراین، $$ x ^ 2 + 5 $$ و $$ x ^ 2 - \sqrt { 2 } $$ نیز پادمشتق‌های $$ 2 x $$ هستند. حال این پرسش پیش می‌آید که آیا پادمشتق دیگری جز $$ x ^ 2 + C $$ وجود دارد؟ پاسخ این پرسش خیر است. با توجه به قضیه مقدار میانگین، می‌دانیم که $$ F $$ و $$ G $$ توابعی مشتق پذیر هستند، به طوری که $$ F^\prime(x)=G^\prime(x) $$، آنگاه برای هر عدد ثابت $$ C $$ رابطه $$ F ( x ) - G ( x ) = C $$ برقرار است. این واقعیت، منجر به قضیه مهم زیر می‌شود.

فرم عمومی پاد مشتق

فرض کنید $$ F $$ پادمشتق $$ f$$ در بازه $$I$$ باشد. آنگاه:

1. برای هر ثابت $$ C $$، تابع $$ F ( x ) + C $$ نیز پادمشتق $$ f $$ در $$ I $$ است.
2. اگر $$ G$$ یک پادمشتق $$ f$$ در $$I$$ باشد، یک ثابت $$ C $$ وجود دارد به طوری که رابطه $$ G( x) = F ( x) + C $$ روی بازه $$I$$ برقرار است.

به عبارت دیگر، عمومی‌ترین فرم پادمشتق $$ f $$ روی $$I$$ به صورت $$ F ( x ) + C $$ است.

از این قضیه و دانسته‌هایمان درباره مشتق برای یافتن همه پادمشتق‌های توابع مختلف استفاده می‌کنیم.

پاد مشتق و مسائل مقدار اولیه

یافتن پاد مشتق $$ f ( x) $$ معادل با حل معادله دیفرانسیل زیر است:

$$ \large { \frac { { d y } } { { d x } } = f \left ( x \right ) } $$ یا $$ \large y ^ \prime\left( x \right) = f\left( x \right) $$

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

یک معادله دیفرانسیل با شرایط اولیه $$ y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}$$ یک مسئله مقدار اولیه نامیده می‌شود.

عمومی‌ترین فرم پادمشتق $$ F ( x) + C $$ تابع $$ f ( x) $$، جواب عمومی معادله دیفرانسیل $$ \large{\frac{{dy}}{{dx}}}\normalsize = f\left( x \right) $$ را نتیجه خواهد داد.

جواب خصوصی مسئله مقدار اولیه نیز تابعی است که هم در معادله دیفرانسیل و هم در شرایط اولیه صدق می‌کند. برای یافتن جواب خصوصی، باید شرایط اولیه را اعمال و ثابت $$ C $$ را تعیین کنیم.

پاد مشتق و انتگرال نامعین

انتگرال نامعین تابع $$ f $$ به صورت زیر بیان می‌شود:

$$ \large \int f(x)dx $$

که عمومی‌ترین پاد مشتق $$ f $$ است. اگر $$F$$ یک پادمشتق برای $$ f $$ باشد، آنگاه:

$$ \large \int f(x)dx=F(x)+C $$

که $$ f ( x) $$ انتگرالده و $$ x $$ متغیر انتگرال‌گیری است.

مثال‌ها

در این بخش، مثال‌های متنوعی را درباره پاد مشتق حل می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

همه پادمشتق‌های توابع زیر را پیدا کنید.

(الف) $$ f ( x) = 3 x ^ 2 $$

(ب) $$ f ( x ) = \frac { 1 } { x } $$

(ج) $$ f ( x) = \cos x $$

(د)‌ $$ f ( x) = e ^ x $$

حل (الف): از آنجایی که $$ \dfrac{d}{dx}(x^3)=3x^2 $$، تابع $$ F ( x ) = x ^ 3 $$ یک پادمشتق برای $$ 3 x ^ 2 $$ است. بنابراین، هر پادمشتق $$ 3 x ^ 2 $$ به فرم $$ x ^ 3 + C $$ خواهد بود.

حل (ب): فرض کنید $$ f(x)=\ln |x| $$ باشد. بنابراین، برای هر $$ x > 0 $$، داریم: $$ f ( x ) = \ln ( x ) $$ و $$ \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x} $$.

برای $$ x < 0 $$ نیز، روابط $$ f(x)=\ln (−x) $$ و $$ \dfrac{d}{dx}(\ln (−x))=−\dfrac{1}{−x}=\dfrac{1}{x} $$ برقرارند.

در نتیجه، $$ F(x)=\ln |x| $$ یک پادمشتق برای $$ \dfrac{1}{x} $$ است. همه پادمشتق‌های $$ \dfrac{1}{x} $$ نیز به فرم $$ \ln |x|+C $$ هستند که در آن، $$ C $$ یک عدد ثابت است.

حل (ج): رابطه زیر را داریم:

$$ \large \dfrac { d } { d x } ( \sin x ) = \cos x $$

بنابراین، $$ F(x)=\sin x $$ یک پادمشتق برای $$ \cos x $$ است. همچنین، همه پادمشتق‌های $$ \cos x $$ به فرم $$ \sin x + C $$ هستند.

حل (د): از آنجایی که $$ \dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x $$، تابع $$ F(x)=e^x $$ یک پادمشتق برای $$ e ^ x $$ است. در نتیجه، هر پادمشتق $$ e ^ x$$، به فرم $$ e ^ x + C $$ خواهد بود.

مثال ۲

پاد مشتق تابع $$ f \left ( x \right ) = \large { \frac { 1 } { { { x ^ 4 } } } } \normalsize $$ را به دست آورید.

حل: همان‌طور که می‌دانیم، مشتق تابع $$ {{\frac{1}{{{x^3}}}}}\normalsize $$ به صورت زیر است:

$$ \large { \left ( { \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime = \left ( { { x ^ { – 3 } } } \right ) ^ \prime } = { – 3 { x ^ { – 3 – 1 } } } = { – 3 { x ^ { – 4 } } } = { – \frac { 3 } { { { x ^ 4 } } } . } $$

بنابراین، یک پاد مشتق به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large F \left ( x \right ) = – \frac { 1 } { { 3 { x ^ 3 } } } . $$

با مشتق‌گیری می‌توانیم صحت جواب را تحقیق کنیم:

$$ \large \begin {align*}
F ^ \prime \left ( x \right ) & = \left ( { – \frac { 1 } { { 3 { x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime = { – \frac { 1 } { 3 } \left ( { { x ^ { – 3 } } } \right ) ^ \prime } \\ &= { – \frac { 1 } { 3 } \cdot \left ( { – 3 } \right ) { x ^ { – 4 } } } = { { x ^ { – 4 } } } = { \frac { 1 } { { { x ^ 4 } } } } = { f \left ( x \right ) . }
\end {align*} $$

مثال ۳

پاد مشتق تابع $$ f ( x ) = e ^ { 2 x } $$ را بیابید.

حل: به سادگی می‌توان دید که رابطه زیر برقرار است:

$$ \large { \left ( { { e ^ { 2 x } } } \right ) ^ \prime = { e ^ { 2 x } } \cdot \left ( { 2 x } \right ) ^ \prime } = { 2 { e ^ { 2 x } } . } $$

بنابراین، پاد مشتق به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large F \left ( x \right ) = \frac { { { e ^ { 2 x } } } } { 2 } . $$

که با مشتق‌گیری می‌توانیم صحت آن را بررسی کنیم:

$$ \large { F ^ \prime \left ( x \right ) = \left ( { \frac { { { e ^ { 2 x } } } } { 2 } } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { { e ^ { 2 x } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { 2 } \cdot 2 { e ^ { 2 x } } } = { { e ^ { 2 x } } } = { f \left ( x \right ) . } $$

مثال ۴

پادمشتق تابع $$ f\left( x \right) = \large{\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}}\normalsize $$ را به دست آورید.

حل: تساوی زیر را داریم:

واضح است که یک پادمشتق به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large F \left ( x \right ) = \frac { { 3 \sqrt [ 3 ] { { {x ^ 2 } } } } } { 2 } $$

زیرا:

مثال ۵

جواب مسئله مقدار اولیه $$ { \frac { { d z } } { { d t } } } \normalsize = \cos t – 2 \sin t , z \left ( 0 \right ) = 5 $$ را بیابید.

حل: پاد مشتق عمومی تابع $$ \cos t – 2\sin t $$، به صورت زیر است:

$$ \large z \left ( t \right ) = \sin t + 2 \cos t + C . $$

با جایگذاری شرایط اولیه $$ z ( 0 ) = 5 $$، مقدار $$ C $$ به دست می‌آید:

$$ \large { \sin 0 + 2 \cos 0 + C = 5 , } \; \; \Rightarrow { 0 + 2 \cdot 1 + C = 5 , } \;\; \Rightarrow { C = 3 . } $$

بنابراین، جواب مسئله مقدار اولیه به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large z \left ( t \right ) = \sin t + 2 \cos t + 3 . $$

مثال ۶

تابع $$ y ( x) $$ در معادله دیفرانسیل $$ {\frac{{dy}}{{dx}}}\normalsize = \large{\frac{1}{x}}\normalsize + 2x $$ با شرایط اولیه $$ y ( 1 ) = 0 $$ صدق می‌کند. مقدار تابع را در $$ x = e $$ به دست آورید.

حل: پاد مشتق عمومی تابع $$ {\frac{1}{x}}\normalsize + 2x $$ به صورت زیر است:

$$ \large y = \ln x + {x^2} + C. $$

با استفاده از شرایط اولیه $$ y ( 1 ) = 0 $$، ثابت $$ C $$ را تعیین می‌کنیم:

$$ \large { y \left ( 1 \right ) = 0 , } \; \; \Rightarrow { \ln 1 + { 1 ^ 2 } + C = 0 , } \; \; \Rightarrow { 0 + 1 + C = 0 , } \; \; \Rightarrow { C = – 1 . } $$

در نتیجه، تابع $$ y ( x) $$ به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large y = \ln x + { x ^ 2 } – 1 . $$

بنابراین، مقدار تابع در $$ x = e $$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large { \require {cancel} y \left ( e \right ) = \ln e + { e ^ 2 } – 1 } = { \cancel { 1 } + { e ^ 2 } – \cancel { 1 } } = { { e ^ 2 } . } $$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش ریاضیات عمومی 1
• مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها — از صفر تا صد
• کاربرد‌ها، روش‌ های محاسبه و مفاهیم مشتق — مجموعه مقالات وبلاگ فرادرس
• تقلب نامه (Cheat Sheet) فرمول‌ های مشتق گیری

^^