در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با مشتق‌ و روش‌های مختلف مشتق‌گیری آشنا شدیم. در این آموزش، خواهیم آموخت که عکس عمل مشتق چیست و چگونه باید آن را انجام داد. پاد مشتق (Antiderivative) عکس مشتق‌ است و در این آموزش به همراه مثال‌های متعدد به آن خواهیم پرداخت.

تعریف پاد مشتق

تابع $$ F$$ یک پادمشتق برای تابع $$ f $$ است، اگر برای همه $$x$$ها در دامنه $$f$$ داشته باشیم:

$$ \large F^ \prime(x)=f(x) $$

برای مثال، تابع $$ f ( x ) = 2 x $$ را در نظر بگیرید. با دانستن قانون توان مشتق‌گیری، نتیجه می‌گیریم که $$ F ( x) = x ^ 2 $$ یک پادمشتق برای $$ f $$ است.

اما آیا $$ f$$ پادمشتق دیگری نیز دارد؟ بله؛ از آنجایی که مشتق هر عدد ثابت $$ C$$ برابر با صفر است، $$ x ^ 2 + C $$ نیز یک پادمشتق برای $$ 2 x $$ است. بنابراین، $$ x ^ 2 + 5 $$ و $$ x ^ 2 – \sqrt { 2 } $$ نیز پادمشتق‌های $$ 2 x $$ هستند. حال این پرسش پیش می‌آید که آیا پادمشتق دیگری جز $$ x ^ 2 + C $$ وجود دارد؟ پاسخ این پرسش خیر است. با توجه به قضیه مقدار میانگین، می‌دانیم که $$ F $$ و $$ G $$ توابعی مشتق پذیر هستند، به طوری که $$ F^\prime(x)=G^\prime(x) $$، آنگاه برای هر عدد ثابت $$ C $$ رابطه $$ F ( x ) – G ( x ) = C $$ برقرار است. این واقعیت، منجر به قضیه مهم زیر می‌شود.

فرم عمومی پاد مشتق

فرض کنید $$ F $$ پادمشتق $$ f$$ در بازه $$I$$ باشد. آنگاه:

  1. برای هر ثابت $$ C $$، تابع $$ F ( x ) + C $$ نیز پادمشتق $$ f $$ در $$ I $$ است.
  2. اگر $$ G$$ یک پادمشتق $$ f$$ در $$I$$ باشد، یک ثابت $$ C $$ وجود دارد به طوری که رابطه $$ G( x) = F ( x) + C $$ روی بازه $$I$$ برقرار است.

به عبارت دیگر، عمومی‌ترین فرم پادمشتق $$ f $$ روی $$I$$ به صورت $$ F ( x ) + C $$ است.

از این قضیه و دانسته‌هایمان درباره مشتق برای یافتن همه پادمشتق‌های توابع مختلف استفاده می‌کنیم.

پاد مشتق و مسائل مقدار اولیه

یافتن پاد مشتق $$ f ( x) $$ معادل با حل معادله دیفرانسیل زیر است:

$$ \large { \frac { { d y } } { { d x } } = f \left ( x \right ) } $$ یا $$ \large y ^ \prime\left( x \right) = f\left( x \right) $$

یک معادله دیفرانسیل با شرایط اولیه $$ y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}$$ یک مسئله مقدار اولیه نامیده می‌شود.

عمومی‌ترین فرم پادمشتق $$ F ( x) + C $$ تابع $$ f ( x) $$، جواب عمومی معادله دیفرانسیل $$ \large{\frac{{dy}}{{dx}}}\normalsize = f\left( x \right) $$ را نتیجه خواهد داد.

جواب خصوصی مسئله مقدار اولیه نیز تابعی است که هم در معادله دیفرانسیل و هم در شرایط اولیه صدق می‌کند. برای یافتن جواب خصوصی، باید شرایط اولیه را اعمال و ثابت $$ C $$ را تعیین کنیم.

پاد مشتق و انتگرال نامعین

انتگرال نامعین تابع $$ f $$ به صورت زیر بیان می‌شود:

$$ \large \int f(x)dx $$

که عمومی‌ترین پاد مشتق $$ f $$ است. اگر $$F$$ یک پادمشتق برای $$ f $$ باشد، آنگاه:

$$ \large \int f(x)dx=F(x)+C $$

که $$ f ( x) $$ انتگرالده و $$ x $$ متغیر انتگرال‌گیری است.

مثال‌ها

در این بخش، مثال‌های متنوعی را درباره پاد مشتق حل می‌کنیم.

مثال ۱

همه پادمشتق‌های توابع زیر را پیدا کنید.

(الف) $$ f ( x) = 3 x ^ 2 $$

(ب) $$ f ( x ) = \frac { 1 } { x } $$

(ج) $$ f ( x) = \cos x $$

(د)‌ $$ f ( x) = e ^ x $$

حل (الف): از آنجایی که $$ \dfrac{d}{dx}(x^3)=3x^2 $$، تابع $$ F ( x ) = x ^ 3 $$ یک پادمشتق برای $$ 3 x ^ 2 $$ است. بنابراین، هر پادمشتق $$ 3 x ^ 2 $$ به فرم $$ x ^ 3 + C $$ خواهد بود.

حل (ب): فرض کنید $$ f(x)=\ln |x| $$ باشد. بنابراین، برای هر $$ x > 0 $$، داریم: $$ f ( x ) = \ln ( x ) $$ و $$ \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x} $$.

برای $$ x < 0 $$ نیز، روابط $$ f(x)=\ln (−x) $$ و $$ \dfrac{d}{dx}(\ln (−x))=−\dfrac{1}{−x}=\dfrac{1}{x} $$ برقرارند.

در نتیجه، $$ F(x)=\ln |x| $$ یک پادمشتق برای $$ \dfrac{1}{x} $$ است. همه پادمشتق‌های $$ \dfrac{1}{x} $$ نیز به فرم $$ \ln |x|+C $$ هستند که در آن، $$ C $$ یک عدد ثابت است.

حل (ج): رابطه زیر را داریم:

$$ \large \dfrac { d } { d x } ( \sin x ) = \cos x $$

بنابراین، $$ F(x)=\sin x $$ یک پادمشتق برای $$ \cos x $$ است. همچنین، همه پادمشتق‌های $$ \cos x $$ به فرم $$ \sin x + C $$ هستند.

حل (د): از آنجایی که $$ \dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x $$، تابع $$ F(x)=e^x $$ یک پادمشتق برای $$ e ^ x $$ است. در نتیجه، هر پادمشتق $$ e ^ x$$، به فرم $$ e ^ x + C $$ خواهد بود.

مثال ۲

پاد مشتق تابع $$ f \left ( x \right ) = \large { \frac { 1 } { { { x ^ 4 } } } } \normalsize $$ را به دست آورید.

حل: همان‌طور که می‌دانیم، مشتق تابع $$ {{\frac{1}{{{x^3}}}}}\normalsize $$ به صورت زیر است:

$$ \large { \left ( { \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime = \left ( { { x ^ { – 3 } } } \right ) ^ \prime } = { – 3 { x ^ { – 3 – 1 } } } = { – 3 { x ^ { – 4 } } } = { – \frac { 3 } { { { x ^ 4 } } } . } $$

بنابراین، یک پاد مشتق به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large F \left ( x \right ) = – \frac { 1 } { { 3 { x ^ 3 } } } . $$

با مشتق‌گیری می‌توانیم صحت جواب را تحقیق کنیم:

$$ \large \begin {align*}
F ^ \prime \left ( x \right ) & = \left ( { – \frac { 1 } { { 3 { x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime = { – \frac { 1 } { 3 } \left ( { { x ^ { – 3 } } } \right ) ^ \prime } \\ &= { – \frac { 1 } { 3 } \cdot \left ( { – 3 } \right ) { x ^ { – 4 } } } = { { x ^ { – 4 } } } = { \frac { 1 } { { { x ^ 4 } } } } = { f \left ( x \right ) . }
\end {align*} $$

مثال ۳

پاد مشتق تابع $$ f ( x ) = e ^ { 2 x } $$ را بیابید.

حل: به سادگی می‌توان دید که رابطه زیر برقرار است:

$$ \large { \left ( { { e ^ { 2 x } } } \right ) ^ \prime = { e ^ { 2 x } } \cdot \left ( { 2 x } \right ) ^ \prime } = { 2 { e ^ { 2 x } } . } $$

بنابراین، پاد مشتق به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large F \left ( x \right ) = \frac { { { e ^ { 2 x } } } } { 2 } . $$

که با مشتق‌گیری می‌توانیم صحت آن را بررسی کنیم:

$$ \large { F ^ \prime \left ( x \right ) = \left ( { \frac { { { e ^ { 2 x } } } } { 2 } } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { { e ^ { 2 x } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { 2 } \cdot 2 { e ^ { 2 x } } } = { { e ^ { 2 x } } } = { f \left ( x \right ) . } $$

مثال ۴

پادمشتق تابع $$ f\left( x \right) = \large{\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}}\normalsize $$ را به دست آورید.

حل: تساوی زیر را داریم:

پاد مشتق

واضح است که یک پادمشتق به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large F \left ( x \right ) = \frac { { 3 \sqrt [ 3 ] { { {x ^ 2 } } } } } { 2 } $$

زیرا:

پاد مشتق

مثال ۵

جواب مسئله مقدار اولیه $$ { \frac { { d z } } { { d t } } } \normalsize = \cos t – 2 \sin t , z \left ( 0 \right ) = 5 $$ را بیابید.

حل: پاد مشتق عمومی تابع $$ \cos t – 2\sin t $$، به صورت زیر است:

$$ \large z \left ( t \right ) = \sin t + 2 \cos t + C . $$

با جایگذاری شرایط اولیه $$ z ( 0 ) = 5 $$، مقدار $$ C $$ به دست می‌آید:

$$ \large { \sin 0 + 2 \cos 0 + C = 5 , } \; \; \Rightarrow { 0 + 2 \cdot 1 + C = 5 , } \;\; \Rightarrow { C = 3 . } $$

بنابراین، جواب مسئله مقدار اولیه به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large z \left ( t \right ) = \sin t + 2 \cos t + 3 . $$

مثال ۶

تابع $$ y ( x) $$ در معادله دیفرانسیل $$ {\frac{{dy}}{{dx}}}\normalsize = \large{\frac{1}{x}}\normalsize + 2x $$ با شرایط اولیه $$ y ( 1 ) = 0 $$ صدق می‌کند. مقدار تابع را در $$ x = e $$ به دست آورید.

حل: پاد مشتق عمومی تابع $$ {\frac{1}{x}}\normalsize + 2x $$ به صورت زیر است:

$$ \large y = \ln x + {x^2} + C. $$

با استفاده از شرایط اولیه $$ y ( 1 ) = 0 $$، ثابت $$ C $$ را تعیین می‌کنیم:

$$ \large { y \left ( 1 \right ) = 0 , } \; \; \Rightarrow { \ln 1 + { 1 ^ 2 } + C = 0 , } \; \; \Rightarrow { 0 + 1 + C = 0 , } \; \; \Rightarrow { C = – 1 . } $$

در نتیجه، تابع $$ y ( x) $$ به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large y = \ln x + { x ^ 2 } – 1 . $$

بنابراین، مقدار تابع در $$ x = e $$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large { \require {cancel} y \left ( e \right ) = \ln e + { e ^ 2 } – 1 } = { \cancel { 1 } + { e ^ 2 } – \cancel { 1 } } = { { e ^ 2 } . } $$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۹ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.