فرادرسمفاهیم، روش های محاسبه و کاربردهای انتگرال — مجموعه مقالات وبلاگ فرادرس
انتگرال یکی از مفاهیم پایه‌ای و اصلی در ریاضیات است. به جرات می‌توان گفت که یک دانشجوی مهندسی یا علوم پایه بدون آشنایی با مفاهیم ابتدایی انتگرال نمی‌تواند به حیات علمی خود ادامه دهد. از این رو با توجه به اهمیت این موضوع، در وبلاگ فرادرس اصول انتگرال و در ادامه کاربردها و انواع مختلف انتگرال‌ها در قالب مقالاتی توضیح داده شده. در این مطلب قصد داریم تا این مقالات را به صورت فهرست‌وار مرور کنیم.
انتگرال چیست؟
در یک جمله کوتاه می‌توان گفت، انتگرال برابر با حاصل جمعِ ضربِ دو یا چند عبارت است. یک انتگرال به صورت زیر نشان داده می‌شود:
$$ \large \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x $$
انتگرال فوق، مساحت زیر نمودار تابع (f(x را در بازه (a,b) محاسبه می‌کند.
به منظور درک عمیق‌تر این مفهوم، پیشنهاد می‌شود، مطالب زیر را مطالعه فرمایید. در دو مورد از مطالب ارائه شده، مفاهیم پایه‌ای انتگرال یگانه و دوگانه توضیح داده شده. البته در روز‌های آینده انتگرال سه‌گانه نیز به این لیست اضافه خواهد شد. توجه داشته باشید که به‌منظور درک بهتر مفهوم انتگرال، بایستی با مفاهیم مشتق و حد نیز آشنا باشید؛ از این رو لینک این مطالب نیز در ادامه ارائه شده است.
- حد در ریاضی — به زبان ساده
- مشتق — به زبان ساده
- انتگرال معین — از صفر تا صد
- نماد انتگرال — با سرگذشت جالب این علامت ریاضی آشنا شوید
- انتگرال — به زبان ساده
- انتگرال دوگانه — به زبان ساده
- انتگرال سه گانه — از صفر تا صد
روش‌های محاسبه انتگرال
در حالت کلی یک انتگرال می‌تواند معین یا نامعین باشد. بدست آوردن انتگرال نامعین به معنای بدست آوردن یک تابع و محاسبه انتگرال معین به معنای آن است یک بایستی یک عدد بدست آید. برای نمونه حاصل انتگرال $$ \int x ^ 3 d x $$ برابر است با:
$$\large \int x ^ 3 d x = { x ^ 4 \over 4 } + C $$
همین انتگرال می‌تواند معین و به‌صورت زیر باشد.
$$\large \int_ 0 ^ 2 x^3 d x = 4 $$
در هر دو حالتِ انتگرال نامعین و معین بایستی با روش‌های انتگرال‌گیری آشنا باشید. تصور کنید در جلسه کنکور یا امتحان مدرسه یا دانشگاه با سوالی از جنس انتگرال مواجه شده‌اید. به یاد داشته باشید که برای یافتن انتگرالِ مورد سوال، تکنیک‌های مشخصی وجود دارد که می‌توانید با مطالعه آن‌ها به روش‌های حل انتگرال مسلط شوید. نیاز نیست روشی جدید ابداع کرد! در ادامه مجموعه‌ای از این تکنیک‌ها برای حل انتگرال‌های مختلف ارائه شده است.
- انتگرال و روش های محاسبه — به زبان ساده
- انتگرال گیری جزء به جزء — به زبان ساده
- روش تغییر متغیر برای حل انتگرال — به زبان ساده
- انتگرال توابع مثلثاتی — از صفر تا صد
- انتگرال توابع گنگ — از صفر تا صد
- انتگرال گیری به روش کسرهای جزئی — از صفر تا صد
- انتگرال توابع هیپربولیک — از صفر تا صد
- انتگرال دوگانه در مختصات قطبی — به زبان ساده
- انتگرال سه گانه در مختصات کروی — به زبان ساده
- تغییر متغیر در انتگرال سه گانه — به زبان ساده
- حل انتگرال دوگانه با استفاده از تغییر متغیر — به زبان ساده
- انتگرال به روش تغییر متغیر مثلثاتی — به زبان ساده
- انتگرال در مختصات استوانه ای — به زبان ساده
- انتگرال توابع برداری — از صفر تا صد
انتگرال سطحی، خطی و حجمی
در فیزیک مفهوم انتگرال روی یک خط یا سطح بسیار پرکاربرد است.
برای نمونه فرض کنید تابع تحت انتگرال نشان دهنده چگالی یک ورق فلزی باشد. اگر انتگرال این تابع روی سطح مذکور گرفته شود، جرم آن بدست خواهد آمد. در ادامه به ترتیبِ پیش‌نیاز، مقالات مرتبط با انتگرال در ابعاد بالاتر از دو بعد ارائه شده است.
- انتگرال دوگانه — به زبان ساده
- انتگرال خطی — به زبان ساده
- انتگرال سطحی — از صفر تا صد
- انتگرال ریمان استیلتیس (Riemann Stieltjes) — مفاهیم و کاربردها
کاربردهای انتگرال
شاید شما خواننده گرامی با مفهوم و روش محاسبه انتگرال آشنا باشید اما این سوال در ذهن شما باشد که به راستی انتگرال در کدام مفاهیم ریاضیات و فیزیک کاربرد دارد؟ برای نمونه انتگرال کانولوشن، مفهومی است که در مهندسی برق بسیار استفاده می‌شود. در هر دوی این علوم، انتگرال نقشی پر رنگ را ایفا می‌کند. در ادامه مقالاتی ارائه شده که در آن‌ها از مفهوم انتگرال استفاده شده است.
- قضیه گرین (Green Theorem) — به زبان ساده
- قضیه استوکس — به زبان ساده
- انتگرال کانولوشن — به زبان ساده
- قضیه مقدار میانگین (Mean Value Theorem) — به زبان ساده
- تبدیل فوریه (Fourier Transform) — به زبان ساده
- تبدیل لاپلاس — به زبان ساده
- کاربرد انتگرال سطحی — به همراه مثال
- انتگرال فوریه — به زبان ساده
- انتگرال دوگانه در فیزیک — به زبان ساده
- مشتق و انتگرال سری توانی — به زبان ساده
- آزمون انتگرال — به زبان ساده
- انتگرال سه گانه در فیزیک — به زبان ساده
با توجه به گستردگیِ کاربرد انتگرال، نمی‌توان ادعا کرد که مقالات فوق تمامی موضوعات مرتبط با آن را پوشش داده است؛ لذا مطالب مرتبط با انتگرال مرتبا به روزرسانی شده و در تلاش هستیم تا شعاع بیشتری از کاربردها و مفاهیم این مفهوم اساسی در ریاضیات را خدمت شما خواننده گرامی ارائه دهیم.
در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شود:
- مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
- مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان
- آموزش ریاضی عمومی ۱
- انتگرال و روش‌های محاسبه — به زبان ساده
- انتگرال دوگانه — به زبان ساده
^^
