شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
پیشتر در بلاگ فرادرس نحوه محاسبه انتگرال خطی روی میدان اسکالر را توضیح دادیم. در این بخش قصد داریم تا نحوه محاسبه انتگرال خطیِ توابع برداری را توضیح دهیم.
توجه داشته باشید که میدان یا تابع برداری به رابطهای اشاره دارد که در هر نقطه از یک ناحیه دارای اندازه و جهت است. برای نمونه شکل زیر میتواند بیانگر میدان سرعت آب در یک ناحیه باشد.
سرعت و جهت جریان آب در هر نقطه را میتوان با استفاده از تابعی برداری توصیف کرد.
در ادامه مثالهایی ارائه شده که پیشنهاد میشود آنها را مطالعه فرمایید.
مثال ۱
حاصل انتگرالِ خطی تابع F یا همان C∫F∙dr را روی خم C بدست آورید.
در قدم بعدی مشتق تابع برداری r را به صورت زیر بدست میآوریم.
r′(t)=i+2tj+3t2k
در مرحله بعد حاصل ضرب داخلی دو برابر F و r′ برابر میشود با:
F(r(t))∙r′(t)=8t7+10t4−12t5
نهایتا حاصل انتگرال خطی برابر میشود با:
C∫F∙dr=∫018t7+10t4−12t5dt=(t8+2t5−2t6)01=1
مثال ۲
حاصل انتگرالِ خطیِ C∫F∙dr را در حالتی محاسبه کنید که تابع F برابر با F(x,y,z)=xzi−yzk بوده و خم C برابر با خطی از نقطه (−1,2,0) به نقطه (3,0,1) در نظر گرفته شده است.
با توجه به نقاط ابتدایی و انتهایی خط، شکل پارامتری r را میتوان به صورت زیر بیان کرد:
r(t)=(1−t)⟨−1,2,0⟩+t⟨3,0,1⟩=⟨4t−1,2−2t,t⟩,0≤t≤1
بنابراین مشتق بردار r نیز به صورت زیر بدست میآید.
r′(t)=⟨4,−2,1⟩
با داشتن F و محاسبه مشتق r، حاصلضرب داخلی این دو بردار را میتوان به صورت زیر بدست آورد.
F(r(t))∙r′(t)=4(4t2−t)−(2t−2t2)=18t2−6t
در نتیجه حاصل انتگرال خطی روی این میدان نیز به صورتی که در ادامه آمده، بدست خواهد آمد.
C∫F∙dr=∫0118t2−6tdt=(6t3−3t2)01=3
این مطلب را با بدست آوردن رابطهای کوتاهتر به منظور محاسبه انتگرال خطی روی تابع برداری به پایان میبریم. به این منظور در ابتدا تابع برداری F را به صورت F(x,y,z)=Pi+Qj+Rk در نظر بگیرید. همچنین فرض کنید خم C با استفاده از تابعی پارامتری مطابق با رابطه r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k در بازه a≤t≤b توصیف میشود. در این صورت حاصل انتگرالِ خطی تابع F روی خم C برابر است با:
در نتیجه میتوان رابطه کلی زیر را برای انتگرال خطی یک تابع ارائه داد.
C∫F∙dr=C∫Pdx+Qdy+Rdz
بنابراین رابطه فوق روشی متفاوت را برای بدست آوردن انتگرال خطی بیان میکند. البته رابطه مذکور این مفهوم را نیز بیان میکند که انتگرال روی دو مسیری که عکس هم باشند، قرینه یکدیگر هستند. بنابراین رابطه زیر را میتوان برای انتگرالِ روی مسیری عکس بیان کرد.
فرض کنید تابع برداریِ F برابر با F(x,y)=y2i+(x2−4)j بوده و مسیر انتگرالگیری، تابع y=(x−1)2 از نقطه x=0 تا x=3 است.
در این مثال، مسیر C به صورت پارامتری بیان نشده. بنابراین لازم است ابتدا تصویری از مسیر انتگرالگیری را در ذهن خود داشته باشید. در ادامه مسیر انتگرالگیری ترسیم شده است.
اگر x=t در نظر گرفته شود، y=(t−1)2 شده و شکل پارامتری خم بالا، به صورت زیر بدست میآید.
r(t)=⟨t,(t−1)2⟩0≤t≤3
به منظور محاسبه انتگرال تابع، در ابتدا بایستی حاصلضرب داخلی دو بردار F و r′ را بدست آوریم. بدین منظور توابع F و r′ برابر با عبارتهای زیر بدست میآیند.
F(r(t))=[(t−1)2]2i+((t)2−4)j=(t−1)4i+(t2−4)j
همچنین r′ برابر است با:
r′(t)=⟨1,2(t−1)⟩
بنابراین حاصلضرب داخلی دو بردارِ فوق برابر است با:
«مجید عوضزاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آنها تولید محتوا میکند.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
ممنون خیلی خوب توضیح داده شده است
عالی بود
سپاسگزارم
دستتون درد نکنه خیلی خوب بود