کاربرد انتگرال سطحی — به همراه مثال

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفهوم انتگرال سطحی را بیان کردیم. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در قالب مثال، کاربرد انتگرال سطحی در مسائل هندسی را توضیح دهیم. البته به منظور آشنایی بیشتر با مفاهیم انتگرال پیشنهاد می‌شود مطالب انتگرال، انتگرال سطحی و انتگرال دوگانه را مطالعه فرمایید.

کاربرد انتگرال سطحی

در حالت کلی بیشترین کاربرد انتگرال سطحی در دو مورد است.

• محاسبه مساحت سطح
• حجم محدود شده توسط یک سطح

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲

اینجا کلیک کنید

در مثال‌هایی که در انتهای این متن ذکر شده هریک از کاربرد‌های فوق را به تفکیک توضیح خواهیم داد.

مساحت سطح

رویه یا سطح $$ S $$ را در نظر بگیرید. این سطح توسط تابعی چندمتغیره قابل توصیف است. در این صورت مساحت سطح $$ S $$ برابر است با:

$$ \large A = \iint \limits _ S { d S } $$

حال این سوال مطرح می‌شود که انتگرال فوق به چه صورت باید محاسبه شود. بدین منظور در ابتدا تابعی برداری یا اصطلاحا پارامتری را در نظر بگیرید که به صورت زیر است.

$$ \large { \mathbf{r}\left( { u , v } \right) }
= { x \left ( { u , v } \right)\mathbf{i} } + { y \left( { u , v } \right)\mathbf{j} }+{ z\left( {u,v} \right)\mathbf{k} } $$

فرض کنید تابع پارامتری فوق توصیف کننده سطح $$ S $$ باشد. در این صورت اگر مساحت آن را با $$ \large A $$ نشان دهیم، خواهیم داشت.

$$ \large {A \text{ = }}\kern0pt { \iint\limits _ { D \left ( { u , v } \right)} {\left| {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}} \times \frac{{\partial \mathbf { r } } } { { \partial v}}} \right|dudv} } $$

توجه داشته باشید که $$ \large {D\left( {u,v} \right)} $$ توصیف کننده دامنه حل است. حالت دوم زمانی است که سطح S با استفاده از تابع دومتغیره $$ \large { z \left ( { x , y } \right)} $$ تعریف شود. در چنین شرایطی مساحت A را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد.

$$ \large { A \text{ = }}\kern0pt{ \iint \limits _ { D \left ( { x , y} \right)} {\sqrt {1 + {{\left( { \frac { { \partial z } }{{\partial x } } } \right ) } ^ 2} + { {\left( {\frac { { \partial z}}{{\partial y}}} \right)}^2}} d x d y }} $$

در رابطه فوق $$ \large {D\left( {x,y} \right)} $$ نشان دهنده تصویر $$ S $$ روی صفحه $$ \large x y $$ است.

حجم محدود شده در سطح بسته

فرض کنید حجمی مشخص توسط یک سطح محدود شده است. در این صورت اندازه این حجم برابر است با:

$$ \large {V \text{ = }}\kern0pt{ \frac{1}{3}\Big| { \iint \limits _ S { x d y d z + y dx d z + z d x d y } } \Big|} $$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین

اینجا کلیک کنید

به مثال‌هایی که در ادامه ارائه شده، توجه فرمایید.

مثال ۱

مساحت بخشی از سهموی $$ \large 2 5 – { x ^ 2 } – { y ^ 2 } $$ که در بالای صفحه $$ \large x y $$ قرار گرفته را محاسبه کنید.

همان‌طور که در بالا نیز عنوان شد مساحت رویه $$ S $$ به صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$ \large { A = \iint \limits _ S { d S } \text{ = }}\kern0pt
{ \iint \limits _ { D \left( { x , y } \right ) } {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial y}}} \right ) } ^ 2 } } d x d y } } $$

در ابتدا مشتقات جزئی را به صورت زیر بدست می‌آوریم.

$$ \large {{\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} = {\frac{{ – x}}{{\sqrt {25 – { x ^ 2} – { y ^ 2 }} }}} \;\;\;} , \ \ \kern0pt
{ { \frac { { \partial z } } { { \partial y } } } = {\frac{{ – y } } { { \sqrt {25 – { x ^ 2 } – { y ^ 2 } } }}}} $$

بنابراین انتگرال دوگانه به صورت زیر در می‌آید.

$$ \large {A \text{ = }}\kern0pt
{\iint\limits _ { D \left( { x , y } \right)} {\frac { { 5 d x d y } } { { \sqrt {25 – {x^2} – { y ^ 2 } } }}} } $$

رابطه فوق را می‌توان به صورت زیر در مختصات قطبی نوشت. نهایتا مقدار مساحت برابر می‌شود با:

$$ \large \begin {align*} {A = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^5 { \frac { { 5 r d r } } { { \sqrt {25 – {r^2}} }}} } & = { 10 \pi \int \limits _ 0 ^ 5 { \frac { { r d r} } { { \sqrt {25 – { r ^ 2 }} }}} }
\\ & = { – 5\pi \int\limits_0^5 {\frac{{d\left( {25 – { r^ 2 }} \right )}}{{\sqrt {25 – {r^2}} }}} }
\\ & = { – 5\pi \left[ {\left. {\left( {\frac{{\sqrt {25 – { r ^ 2}} }}{{\frac{1}{2}}}} \right)} \right|_0^5} \right] }
\\ & = {50 \pi } \end {align*} $$

همان‌طور که مشاهده شد انتخاب نوع مختصات در حل مسئله بسیار حائز اهمیت است.

مثال ۲

مساحت نیمکره‌ای به شعاع $$ R $$ را با استفاده از مفهوم انتگرال سطح بدست آورید.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد

اینجا کلیک کنید

در شکل زیر نیمکره‌ای به شعاع $$ R $$ نشان داده شده است.

هندسه کره نشان می‌دهد بهترین دستگاه مختصات به منظور توصیف سطح آن، دستگاه مختصات کروی است. به منظور توصیف سطح می‌توان از تابع پارامتری زیر استفاده کرد.

$$ \large \begin {align*} { \mathbf { r } \left ( { \psi ,\theta } \right) }
= {R\cos \psi \sin \theta \cdot \mathbf{i} }+{ R\sin \psi \sin \theta \cdot \mathbf{j} }+{ R\cos \theta \cdot \mathbf{ k } , } \end {align*} $$

به منظور پوشش کلِ سطح، بازه‌های $$ \large \psi $$ و $$ \large \theta $$ را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.

$$ \large 0 \le \psi \le 2\pi \ \ , \ \ 0 \le \theta \le {\large\frac{\pi }{2}\normalsize} $$

در ابتدا مشتقات جزئی مورد نیاز را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

$$ \large \begin {align*} {\frac{{\partial \mathbf{ r } } } {{\partial \psi }} }
& = {\frac{\partial }{{\partial \psi }}\left( {R\cos \psi \sin \theta ,R\sin \psi \sin \theta ,R\cos \theta } \right) }
\\ & = {\left( { – R\sin \psi \sin \theta ,R\cos \psi \sin \theta ,0} \right) } \end {align*} $$

$$ \large \begin {align*} {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \theta }} }
& = {\frac{\partial }{{\partial \theta }}\left( {R\cos \psi \sin \theta ,R\sin \psi \sin \theta ,R\cos \theta } \right) }
\\ & = {\left( {R\cos \psi \cos \theta ,R\sin \psi \cos \theta , – R\sin \theta } \right) }
\\ \end {align*} $$

از طرفی دیفرانسیل سطح برابر است با:

$$ \large \begin {align*} {dS = \left| {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \psi }} \times \frac{{\partial \mathbf{ r } } } { { \partial \theta } } } \right|d\psi d\theta }
& = {{R^2}\sqrt {{{\sin }^4}\theta \left( {{{\cos }^2}\psi + {{\sin }^2}\psi } \right) + {{\sin }^2}\theta \,{{\cos }^2}\theta } d\psi d\theta }
\\ & = { { R ^ 2 } \sin \theta \sqrt {{{\sin }^2}\theta + {{\cos }^2}\theta } d\psi d\theta }
\\ & = { { R ^ 2 } \sin \theta d\psi d\theta }
\\ \end {align*} $$

نهایتا مساحت نیمکره برابر می‌شود با:

$$ \large \begin {align*} {A = \iint\limits_S { d S } }
& = {\int\limits_{D\left( {\psi ,\theta } \right)} {{R^2}\sin \theta d\psi d\theta } }
\\ & = { { R ^ 2 } \int\limits_0^{2\pi } {d\psi } \int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\sin \theta d\theta } }
\\ & = {2\pi {R^2} \cdot \left[ {\left. {\left( { – \cos \theta } \right)} \right|_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize}} \right] }
\\ & = { 2 \pi { R ^ 2 } \left( { – \cos \frac{\pi }{2} + \cos 0} \right) }
\\ & = { 2 \pi { R ^ 2 } } \end {align*} $$

مثال ۳

مساحت چنبره‌‌ای با معادله $$ \large \begin {align*} { z ^ 2 } + { \left ( { r – b } \right) ^ 2 } = a ^ 2 , \left( {0 \le a \le b} \right) \end {align*} $$ را بیابید.

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد

اینجا کلیک کنید

با توجه به معادله، شکل این چنبره به صورت زیر خواهد بود.

راحت‌تر آن است که معادله در مختصات استوانه‌ای نوشته شود. بنابراین خواهیم داشت.

$$ \large \begin {align*} \left\{ \begin{array}{l}
& x = \left( {b + a\cos \psi } \right)\cos \varphi \\
\\ & y = \left( {b + a\cos \psi } \right)\sin\varphi \\
\\ & z = a\sin \psi
\end{array} \right. \end {align*} $$

باید ثابت کنیم که رابطه فوق توصیف کننده همین چنبره است. همان‌طور که می‌بینید شکل چنبره به صورت حلقوی است. بنابراین مقادیر $$x$$ و $$y$$ در نظر گرفته شده را در رابطه $$ \large \begin {align*} { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = {r^2} \end {align*} $$ قرار می‌دهیم. با انجام این کار خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*} { { \left ( { b + a \cos \psi } \right ) ^ 2 } { \cos ^ 2 } \varphi + { \left ( { b + a \cos \psi } \right ) ^ 2 } { \sin ^ 2 } \varphi = { r ^ 2 } \;\;} & \Rightarrow
{{\left( {b + a\cos \psi } \right)^2} = {r^2} \;\;} \\ & \Rightarrow
{r = b + a\cos \psi \;\;} \\ & \Rightarrow
{r – b = a\cos \psi \;\;} \\ & \Rightarrow
{{\left( {r – b} \right)^2} + {z^2} = {\left( {a\cos \psi } \right)^2} + {\left( {a\sin \psi } \right)^2} \;\;} \\ & \Rightarrow
{{\left( {r – b} \right)^2} + {z^2} = {a^2} } \end {align*} $$

نهایتا سطح چنبره را می‌توان با استفاده از تابع برداری زیر، به صورت پارامتری بیان کرد.

$$ \large \begin {align*} { \mathbf { r } \left ( { \varphi , \psi } \right ) } = { \left( {b + a\cos \psi } \right)\cos \varphi \cdot \mathbf{i}}
& + {\left( {b + a\cos \psi } \right)\sin\varphi \cdot \mathbf{j}}
\\ & + {a\sin \psi \cdot \mathbf{k} } \end {align*} $$

همان‌طور که در بالا نیز عنوان شد، مساحت یک رویه که به صورت پارامتری بیان شده را می‌توان با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.

$$ \large \begin {align*} {A = \iint\limits_S {dS} }
= {\iint\limits _ { D \left( {\varphi ,\psi } \right)} {\left| {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \varphi }} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \psi }}} \right|d\varphi d\psi } } \end {align*} $$

ضرب خارجی فوق به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large \begin {align*} {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \varphi }} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \psi }} }
& = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
{ – \left( {b + a\cos \psi } \right)\sin \varphi } & {\left( {b + a\cos \psi } \right)\cos\varphi } & 0\\
{ – a\sin \psi \cos \varphi } & { – a\sin \psi \sin \varphi } & {a\cos\psi }
\end{array}} \right| }
\\ & = {a\cos\psi \left( {b + a\cos \psi } \right)\cos\varphi \cdot \mathbf{i} }
\\ & + {a\cos\psi \left( {b + a\cos \psi } \right)\sin\varphi \cdot \mathbf{j} }
\\& + {\left[ {a\sin \psi \,{{\sin }^2}\varphi \left( {b + a\cos \psi } \right) } + {a\sin \psi \,{{\cos }^2}\varphi \left( {b + a\cos \psi } \right)} \right] \cdot \mathbf{k} }
\\ & = {a\cos\varphi \cos \psi \left( {b + a\cos \psi } \right) \cdot \mathbf{i} }
\\ & + {a\sin\varphi \cos \psi \left( {b + a\cos \psi } \right) \cdot \mathbf{j} }
\\ & + {a\sin\psi \left( {b + a\cos \psi } \right) \cdot \mathbf{k}. }
\\ \end {align*} $$

اندازه بردار فوق نیز برابر است با:

$$ \large \begin {align*} {\left| { \frac { { \partial \mathbf{r}}}{{\partial \varphi }} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \psi }}} \right| }
& = { \left[ {{a^2}{\cos^2}\varphi \,{ { \cos } ^ 2 } \psi { { \left ( { b + a \cos \psi } \right ) } ^ 2 } } \right. }
\\ & + {{a^2}{\sin^2}\varphi \,{\cos ^2}\psi {\left( {b + a\cos \psi } \right)^2} }
\\ & + {{\left. {{a^2}{{\sin }^2}\psi {{\left( {b + a\cos \psi } \right)}^2}} \right]^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} }
\\ & = {a{\left[ {{{\cos }^2}\psi { { \left ( { b + a\cos \psi } \right ) } ^ 2 } + {{\sin }^2}\psi {{\left( {b + a\cos \psi } \right)}^2}} \right]^{\large\frac { 1 } { 2 } \normalsize}} }
\\ & = {a\left( {b + a\cos \psi } \right) }
\\ \end {align*} $$

در آخرین گام نیز مساحت رویه به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$ \large \begin {align*} {A = \iint\limits_S {dS} }
& = {\iint\limits_{D\left( {\varphi ,\psi } \right)} {a\left( {b + a\cos \psi } \right)d\varphi d\psi } }
\\ & = {a\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^{2\pi } {\left( {b + a\cos \psi } \right)d\psi } }
\\ & = {2\pi a\int\limits_0^{2\pi } {\left( {b + a\cos \psi } \right)d\psi } }
\\ & = {2\pi a\left[ {\left. {\left( {b\psi + a\sin \psi } \right)} \right|_0^{2\pi }} \right] }
\\ & = {2\pi a \cdot 2\pi b }
\\ & = {4{\pi ^2}ab } \end {align*} $$

مثال ۴

حجم محصور در بیضی‌گون $$ \large \begin {align*} {\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize} + {\large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize} + \frac { z ^ 2 } { c ^ 2 } =0 \end {align*} $$ را بیابید.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله

اینجا کلیک کنید

شکل این بیضی گون به صورت زیر است.

رابطه محاسبه حجم محصور درون رویه به صورت زیر معرفی شد.

$$ \large \begin {align*} {V \text{ = }}\kern0pt{ \frac{1}{3}\Big| {\iint\limits_S { x d y d z + y d x d z + z d x d y} } \Big|} \end {align*} $$

با توجه به مطلب سطوح پارامتری، شکل برداری بیضی‌گون را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$ \large \begin {align*} {\mathbf{r}\left ( { u , v } \right) }
= {a\cos u\sin v \cdot \mathbf{i} } + { b \sin u \sin v \cdot \mathbf{j} }+{ c\cos v \cdot \mathbf{k},\;\;}\kern-0.3pt{\text{where} \;\;}\kern-0.3pt
{0 \le u \le 2\pi ,\;\;}\kern-0.3pt
{0 \le v \le \pi } \end {align*} $$

توجه داشته باشید که کمیت‌های $$ \large u , v $$ مربوط به مختصات‌های کروی $$ \large \begin {align*} \psi , \theta \end {align*} $$ هستند. بنابراین تابع برداری $$ \large \begin {align*} F = ( x , y , z ) \end {align*} $$ توصیف کننده این حجم خواهد بود. در نتیجه مولفه‌‌های این تابع برابرند با:

$$ \large {P = x = a\cos u\sin v,\;\;\;}\kern-0.3pt
{Q = y = b\sin u\sin v,\;\;\;}\kern-0.3pt
{R = z = c\cos v } $$

حال با استفاده از فرمول محاسبه حجم داریم:

$$ \large { \iint \limits _ S { P d y d z + Q d z d x } + { R d x d y } }
= {\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
P & Q & R\\
{ \frac { { \partial x } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial u } } } & { \frac{{\partial z}}{{\partial u } }}\\
{\frac { { \partial x}}{{\partial v}}}&{\frac{{\partial y}}{{\partial v}}}&{\frac{{\partial z}}{{\partial v}}}
\end{array}} \right|d u d v }}
\\ $$

در نتیجه انتگرال سطحی تابع روی $$ \large S $$ به صورت زیر خواهد بود.

$$ \large \begin {align*} { \iint \limits _ S { x d y d z + y d z d x + z d x d y } }
& = { \iint \limits _ { D \left( { u , v } \right ) } { \left| { \begin {array} {*{20} { c } }
{a\cos u\sin v } & { b \sin u\sin v } & { c \cos v}\\
{ – a\sin u\sin v } & { b \cos u \sin v } & 0 \\
{a\cos u \cos v}&{b\sin u\cos v}&{ – c\sin v}
\end{array}} \right|dudv} }
\\ & = {\int\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\left[ {a\cos u\sin v\left( { – bc\cos u\,{{\sin }^2}v} \right)} \right.} }
\\ & – {b\sin u\sin v\left( {ac\sin u\,{{\sin }^2}v} \right) }
\\ & + {\left. {c\cos v\left( { – ab\,{{\sin }^2}u\sin v\cos v – ab\,{{\cos }^2}u\sin v\cos v} \right)} \right]dudv }
\\ & = { – abc\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\left[ {{{\sin }^3}v\left( {{{\cos }^2}u + {{\sin }^2}u} \right) + \sin v\,{{\cos }^2}v} \right]dudv} }
\\ & = { – abc\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\sin v\left( {{{\sin }^2}v + {{\cos }^2}v} \right)dudv} }
\\ & = { – abc\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\sin v dudv} }
\\ & = { – abc\int\limits_0^{2\pi } {du} \int\limits_0^\pi {\sin v dv} }
\\ & = { – abc \cdot 2\pi \cdot \left. {\left( { – \cos v} \right)} \right|_0^\pi }
\\ & = {2\pi abc \cdot \left( {\cos \pi – \cos 0} \right) }
\\ & = { – 4\pi abc.}
\\ \end {align*} $$

بنابراین نهایتا حجم محصور در سطح برابر است با:

$$ \large \begin {align*} {V = \left| {\frac { 1 } { 3 } \left( { – 4\pi abc} \right)} \right| }={ \frac{{4\pi a b c } } { 3 } } \end {align*} $$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضیات
• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• انتگرال سطحی
• سطوح پارامتری — به زبان ساده
• تابع برداری — به زبان ساده

^^