کاربرد انتگرال سطحی — به همراه مثال

۴۵۷ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۶ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۱ دقیقه
کاربرد انتگرال سطحی — به همراه مثال

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفهوم انتگرال سطحی را بیان کردیم. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در قالب مثال، کاربرد انتگرال سطحی در مسائل هندسی را توضیح دهیم. البته به منظور آشنایی بیشتر با مفاهیم انتگرال پیشنهاد می‌شود مطالب انتگرال، انتگرال سطحی و انتگرال دوگانه را مطالعه فرمایید.

997696

کاربرد انتگرال سطحی

در حالت کلی بیشترین کاربرد انتگرال سطحی در دو مورد است.

  • محاسبه مساحت سطح
  • حجم محدود شده توسط یک سطح

در مثال‌هایی که در انتهای این متن ذکر شده هریک از کاربرد‌های فوق را به تفکیک توضیح خواهیم داد.

مساحت سطح

رویه یا سطح S S را در نظر بگیرید. این سطح توسط تابعی چندمتغیره قابل توصیف است. در این صورت مساحت سطح S S برابر است با:

A=SdS \large A = \iint \limits _ S { d S }

حال این سوال مطرح می‌شود که انتگرال فوق به چه صورت باید محاسبه شود. بدین منظور در ابتدا تابعی برداری یا اصطلاحا پارامتری را در نظر بگیرید که به صورت زیر است.

r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k \large { \mathbf{r}\left( { u , v } \right) } = { x \left ( { u , v } \right)\mathbf{i} } + { y \left( { u , v } \right)\mathbf{j} }+{ z\left( {u,v} \right)\mathbf{k} }

فرض کنید تابع پارامتری فوق توصیف کننده سطح S S باشد. در این صورت اگر مساحت آن را با A \large A نشان دهیم، خواهیم داشت.

A = D(u,v)ru×rvdudv \large {A \text{ = }}\kern0pt { \iint\limits _ { D \left ( { u , v } \right)} {\left| {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}} \times \frac{{\partial \mathbf { r } } } { { \partial v}}} \right|dudv} }

توجه داشته باشید که D(u,v) \large {D\left( {u,v} \right)} توصیف کننده دامنه حل است. حالت دوم زمانی است که سطح S با استفاده از تابع دومتغیره z(x,y) \large { z \left ( { x , y } \right)} تعریف شود. در چنین شرایطی مساحت A را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد.

A = D(x,y)1+(zx)2+(zy)2dxdy \large { A \text{ = }}\kern0pt{ \iint \limits _ { D \left ( { x , y} \right)} {\sqrt {1 + {{\left( { \frac { { \partial z } }{{\partial x } } } \right ) } ^ 2} + { {\left( {\frac { { \partial z}}{{\partial y}}} \right)}^2}} d x d y }}

در رابطه فوق D(x,y) \large {D\left( {x,y} \right)} نشان دهنده تصویر S S روی صفحه xy \large x y است.

حجم محدود شده در سطح بسته

فرض کنید حجمی مشخص توسط یک سطح محدود شده است. در این صورت اندازه این حجم برابر است با:

V = 13Sxdydz+ydxdz+zdxdy \large {V \text{ = }}\kern0pt{ \frac{1}{3}\Big| { \iint \limits _ S { x d y d z + y dx d z + z d x d y } } \Big|}

به مثال‌هایی که در ادامه ارائه شده، توجه فرمایید.

مثال ۱

مساحت بخشی از سهموی 25x2y2 \large 2 5 – { x ^ 2 } – { y ^ 2 } که در بالای صفحه xy \large x y قرار گرفته را محاسبه کنید.

همان‌طور که در بالا نیز عنوان شد مساحت رویه S S به صورت زیر محاسبه می‌شود.

A=SdS = D(x,y)1+(zx)2+(zy)2dxdy \large { A = \iint \limits _ S { d S } \text{ = }}\kern0pt { \iint \limits _ { D \left( { x , y } \right ) } {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial y}}} \right ) } ^ 2 } } d x d y } }

در ابتدا مشتقات جزئی را به صورت زیر بدست می‌آوریم.

zx=x25x2y2      ,  zy=y25x2y2 \large {{\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} = {\frac{{ – x}}{{\sqrt {25 – { x ^ 2} – { y ^ 2 }} }}} \;\;\;} , \ \ \kern0pt { { \frac { { \partial z } } { { \partial y } } } = {\frac{{ – y } } { { \sqrt {25 – { x ^ 2 } – { y ^ 2 } } }}}}

بنابراین انتگرال دوگانه به صورت زیر در می‌آید.

A = D(x,y)5dxdy25x2y2 \large {A \text{ = }}\kern0pt {\iint\limits _ { D \left( { x , y } \right)} {\frac { { 5 d x d y } } { { \sqrt {25 – {x^2} – { y ^ 2 } } }}} }

رابطه فوق را می‌توان به صورت زیر در مختصات قطبی نوشت. نهایتا مقدار مساحت برابر می‌شود با:

A=02πdφ055rdr25r2=10π05rdr25r2=5π05d(25r2)25r2=5π[(25r212)05]=50π \large \begin {align*} {A = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^5 { \frac { { 5 r d r } } { { \sqrt {25 – {r^2}} }}} } & = { 10 \pi \int \limits _ 0 ^ 5 { \frac { { r d r} } { { \sqrt {25 – { r ^ 2 }} }}} } \\ & = { – 5\pi \int\limits_0^5 {\frac{{d\left( {25 – { r^ 2 }} \right )}}{{\sqrt {25 – {r^2}} }}} } \\ & = { – 5\pi \left[ {\left. {\left( {\frac{{\sqrt {25 – { r ^ 2}} }}{{\frac{1}{2}}}} \right)} \right|_0^5} \right] } \\ & = {50 \pi } \end {align*}

همان‌طور که مشاهده شد انتخاب نوع مختصات در حل مسئله بسیار حائز اهمیت است.

مثال ۲

مساحت نیمکره‌ای به شعاع R R را با استفاده از مفهوم انتگرال سطح بدست آورید.

در شکل زیر نیمکره‌ای به شعاع R R نشان داده شده است.

کاربرد انتگرال سطحی

هندسه کره نشان می‌دهد بهترین دستگاه مختصات به منظور توصیف سطح آن، دستگاه مختصات کروی است. به منظور توصیف سطح می‌توان از تابع پارامتری زیر استفاده کرد.

r(ψ,θ)=Rcosψsinθi+Rsinψsinθj+Rcosθk, \large \begin {align*} { \mathbf { r } \left ( { \psi ,\theta } \right) } = {R\cos \psi \sin \theta \cdot \mathbf{i} }+{ R\sin \psi \sin \theta \cdot \mathbf{j} }+{ R\cos \theta \cdot \mathbf{ k } , } \end {align*}

به منظور پوشش کلِ سطح، بازه‌های ψ \large \psi و θ \large \theta را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.

0ψ2π  ,  0θπ2 \large 0 \le \psi \le 2\pi \ \ , \ \ 0 \le \theta \le {\large\frac{\pi }{2}\normalsize}

در ابتدا مشتقات جزئی مورد نیاز را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

rψ=ψ(Rcosψsinθ,Rsinψsinθ,Rcosθ)=(Rsinψsinθ,Rcosψsinθ,0) \large \begin {align*} {\frac{{\partial \mathbf{ r } } } {{\partial \psi }} } & = {\frac{\partial }{{\partial \psi }}\left( {R\cos \psi \sin \theta ,R\sin \psi \sin \theta ,R\cos \theta } \right) } \\ & = {\left( { – R\sin \psi \sin \theta ,R\cos \psi \sin \theta ,0} \right) } \end {align*}

rθ=θ(Rcosψsinθ,Rsinψsinθ,Rcosθ)=(Rcosψcosθ,Rsinψcosθ,Rsinθ) \large \begin {align*} {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \theta }} } & = {\frac{\partial }{{\partial \theta }}\left( {R\cos \psi \sin \theta ,R\sin \psi \sin \theta ,R\cos \theta } \right) } \\ & = {\left( {R\cos \psi \cos \theta ,R\sin \psi \cos \theta , – R\sin \theta } \right) } \\ \end {align*}

از طرفی دیفرانسیل سطح برابر است با:

dS=rψ×rθdψdθ=R2sin4θ(cos2ψ+sin2ψ)+sin2θcos2θdψdθ=R2sinθsin2θ+cos2θdψdθ=R2sinθdψdθ \large \begin {align*} {dS = \left| {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \psi }} \times \frac{{\partial \mathbf{ r } } } { { \partial \theta } } } \right|d\psi d\theta } & = {{R^2}\sqrt {{{\sin }^4}\theta \left( {{{\cos }^2}\psi + {{\sin }^2}\psi } \right) + {{\sin }^2}\theta \,{{\cos }^2}\theta } d\psi d\theta } \\ & = { { R ^ 2 } \sin \theta \sqrt {{{\sin }^2}\theta + {{\cos }^2}\theta } d\psi d\theta } \\ & = { { R ^ 2 } \sin \theta d\psi d\theta } \\ \end {align*}

نهایتا مساحت نیمکره برابر می‌شود با:

A=SdS=D(ψ,θ)R2sinθdψdθ=R202πdψ0π2sinθdθ=2πR2[(cosθ)0π2]=2πR2(cosπ2+cos0)=2πR2 \large \begin {align*} {A = \iint\limits_S { d S } } & = {\int\limits_{D\left( {\psi ,\theta } \right)} {{R^2}\sin \theta d\psi d\theta } } \\ & = { { R ^ 2 } \int\limits_0^{2\pi } {d\psi } \int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\sin \theta d\theta } } \\ & = {2\pi {R^2} \cdot \left[ {\left. {\left( { – \cos \theta } \right)} \right|_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize}} \right] } \\ & = { 2 \pi { R ^ 2 } \left( { – \cos \frac{\pi }{2} + \cos 0} \right) } \\ & = { 2 \pi { R ^ 2 } } \end {align*}

مثال ۳

مساحت چنبره‌‌ای با معادله z2+(rb)2=a2,(0ab) \large \begin {align*} { z ^ 2 } + { \left ( { r – b } \right) ^ 2 } = a ^ 2 , \left( {0 \le a \le b} \right) \end {align*} را بیابید.

با توجه به معادله، شکل این چنبره به صورت زیر خواهد بود.

application-of-surface-integral

راحت‌تر آن است که معادله در مختصات استوانه‌ای نوشته شود. بنابراین خواهیم داشت.

{x=(b+acosψ)cosφy=(b+acosψ)sinφz=asinψ \large \begin {align*} \left\{ \begin{array}{l} & x = \left( {b + a\cos \psi } \right)\cos \varphi \\ \\ & y = \left( {b + a\cos \psi } \right)\sin\varphi \\ \\ & z = a\sin \psi \end{array} \right. \end {align*}

باید ثابت کنیم که رابطه فوق توصیف کننده همین چنبره است. همان‌طور که می‌بینید شکل چنبره به صورت حلقوی است. بنابراین مقادیر xx و yy در نظر گرفته شده را در رابطه x2+y2=r2 \large \begin {align*} { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = {r^2} \end {align*} قرار می‌دهیم. با انجام این کار خواهیم داشت:

(b+acosψ)2cos2φ+(b+acosψ)2sin2φ=r2    (b+acosψ)2=r2    r=b+acosψ    rb=acosψ    (rb)2+z2=(acosψ)2+(asinψ)2    (rb)2+z2=a2 \large \begin {align*} { { \left ( { b + a \cos \psi } \right ) ^ 2 } { \cos ^ 2 } \varphi + { \left ( { b + a \cos \psi } \right ) ^ 2 } { \sin ^ 2 } \varphi = { r ^ 2 } \;\;} & \Rightarrow {{\left( {b + a\cos \psi } \right)^2} = {r^2} \;\;} \\ & \Rightarrow {r = b + a\cos \psi \;\;} \\ & \Rightarrow {r – b = a\cos \psi \;\;} \\ & \Rightarrow {{\left( {r – b} \right)^2} + {z^2} = {\left( {a\cos \psi } \right)^2} + {\left( {a\sin \psi } \right)^2} \;\;} \\ & \Rightarrow {{\left( {r – b} \right)^2} + {z^2} = {a^2} } \end {align*}

نهایتا سطح چنبره را می‌توان با استفاده از تابع برداری زیر، به صورت پارامتری بیان کرد.

r(φ,ψ)=(b+acosψ)cosφi+(b+acosψ)sinφj+asinψk \large \begin {align*} { \mathbf { r } \left ( { \varphi , \psi } \right ) } = { \left( {b + a\cos \psi } \right)\cos \varphi \cdot \mathbf{i}} & + {\left( {b + a\cos \psi } \right)\sin\varphi \cdot \mathbf{j}} \\ & + {a\sin \psi \cdot \mathbf{k} } \end {align*}

همان‌طور که در بالا نیز عنوان شد، مساحت یک رویه که به صورت پارامتری بیان شده را می‌توان با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.

A=SdS=D(φ,ψ)rφ×rψdφdψ \large \begin {align*} {A = \iint\limits_S {dS} } = {\iint\limits _ { D \left( {\varphi ,\psi } \right)} {\left| {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \varphi }} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \psi }}} \right|d\varphi d\psi } } \end {align*}

ضرب خارجی فوق به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large \begin {align*} {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \varphi }} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \psi }} }<br /> & = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\<br /> { – \left( {b + a\cos \psi } \right)\sin \varphi } & {\left( {b + a\cos \psi } \right)\cos\varphi } & 0\\<br /> { – a\sin \psi \cos \varphi } & { – a\sin \psi \sin \varphi } & {a\cos\psi }<br /> \end{array}} \right| }<br /> \\ & = {a\cos\psi \left( {b + a\cos \psi } \right)\cos\varphi \cdot \mathbf{i} }<br /> \\ & + {a\cos\psi \left( {b + a\cos \psi } \right)\sin\varphi \cdot \mathbf{j} }<br /> \\& + {\left[ {a\sin \psi \,{{\sin }^2}\varphi \left( {b + a\cos \psi } \right) } + {a\sin \psi \,{{\cos }^2}\varphi \left( {b + a\cos \psi } \right)} \right] \cdot \mathbf{k} }<br /> \\ & = {a\cos\varphi \cos \psi \left( {b + a\cos \psi } \right) \cdot \mathbf{i} }<br /> \\ & + {a\sin\varphi \cos \psi \left( {b + a\cos \psi } \right) \cdot \mathbf{j} }<br /> \\ & + {a\sin\psi \left( {b + a\cos \psi } \right) \cdot \mathbf{k}. }<br /> \\ \end {align*} $$

اندازه بردار فوق نیز برابر است با:

rφ×rψ=[a2cos2φcos2ψ(b+acosψ)2+a2sin2φcos2ψ(b+acosψ)2+a2sin2ψ(b+acosψ)2]12=a[cos2ψ(b+acosψ)2+sin2ψ(b+acosψ)2]12=a(b+acosψ) \large \begin {align*} {\left| { \frac { { \partial \mathbf{r}}}{{\partial \varphi }} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \psi }}} \right| } & = { \left[ {{a^2}{\cos^2}\varphi \,{ { \cos } ^ 2 } \psi { { \left ( { b + a \cos \psi } \right ) } ^ 2 } } \right. } \\ & + {{a^2}{\sin^2}\varphi \,{\cos ^2}\psi {\left( {b + a\cos \psi } \right)^2} } \\ & + {{\left. {{a^2}{{\sin }^2}\psi {{\left( {b + a\cos \psi } \right)}^2}} \right]^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} } \\ & = {a{\left[ {{{\cos }^2}\psi { { \left ( { b + a\cos \psi } \right ) } ^ 2 } + {{\sin }^2}\psi {{\left( {b + a\cos \psi } \right)}^2}} \right]^{\large\frac { 1 } { 2 } \normalsize}} } \\ & = {a\left( {b + a\cos \psi } \right) } \\ \end {align*}

در آخرین گام نیز مساحت رویه به صورت زیر بدست خواهد آمد.

A=SdS=D(φ,ψ)a(b+acosψ)dφdψ=a02πdφ02π(b+acosψ)dψ=2πa02π(b+acosψ)dψ=2πa[(bψ+asinψ)02π]=2πa2πb=4π2ab \large \begin {align*} {A = \iint\limits_S {dS} } & = {\iint\limits_{D\left( {\varphi ,\psi } \right)} {a\left( {b + a\cos \psi } \right)d\varphi d\psi } } \\ & = {a\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^{2\pi } {\left( {b + a\cos \psi } \right)d\psi } } \\ & = {2\pi a\int\limits_0^{2\pi } {\left( {b + a\cos \psi } \right)d\psi } } \\ & = {2\pi a\left[ {\left. {\left( {b\psi + a\sin \psi } \right)} \right|_0^{2\pi }} \right] } \\ & = {2\pi a \cdot 2\pi b } \\ & = {4{\pi ^2}ab } \end {align*}

مثال ۴

حجم محصور در بیضی‌گون x2a2+y2b2+z2c2=0 \large \begin {align*} {\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize} + {\large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize} + \frac { z ^ 2 } { c ^ 2 } =0 \end {align*} را بیابید.

شکل این بیضی گون به صورت زیر است.

بیضی گون

رابطه محاسبه حجم محصور درون رویه به صورت زیر معرفی شد.

V = 13Sxdydz+ydxdz+zdxdy \large \begin {align*} {V \text{ = }}\kern0pt{ \frac{1}{3}\Big| {\iint\limits_S { x d y d z + y d x d z + z d x d y} } \Big|} \end {align*}

با توجه به مطلب سطوح پارامتری، شکل برداری بیضی‌گون را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

r(u,v)=acosusinvi+bsinusinvj+ccosvk,    where    0u2π,    0vπ \large \begin {align*} {\mathbf{r}\left ( { u , v } \right) } = {a\cos u\sin v \cdot \mathbf{i} } + { b \sin u \sin v \cdot \mathbf{j} }+{ c\cos v \cdot \mathbf{k},\;\;}\kern-0.3pt{\text{where} \;\;}\kern-0.3pt {0 \le u \le 2\pi ,\;\;}\kern-0.3pt {0 \le v \le \pi } \end {align*}

توجه داشته باشید که کمیت‌های u,v \large u , v مربوط به مختصات‌های کروی ψ,θ \large \begin {align*} \psi , \theta \end {align*} هستند. بنابراین تابع برداری F=(x,y,z) \large \begin {align*} F = ( x , y , z ) \end {align*} توصیف کننده این حجم خواهد بود. در نتیجه مولفه‌‌های این تابع برابرند با:

P=x=acosusinv,      Q=y=bsinusinv,      R=z=ccosv \large {P = x = a\cos u\sin v,\;\;\;}\kern-0.3pt {Q = y = b\sin u\sin v,\;\;\;}\kern-0.3pt {R = z = c\cos v }

حال با استفاده از فرمول محاسبه حجم داریم:

$$ \large { \iint \limits _ S { P d y d z + Q d z d x } + { R d x d y } }<br /> = {\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> P & Q & R\\<br /> { \frac { { \partial x } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial u } } } & { \frac{{\partial z}}{{\partial u } }}\\<br /> {\frac { { \partial x}}{{\partial v}}}&{\frac{{\partial y}}{{\partial v}}}&{\frac{{\partial z}}{{\partial v}}}<br /> \end{array}} \right|d u d v }}<br /> \\ $$

در نتیجه انتگرال سطحی تابع روی S \large S به صورت زیر خواهد بود.

$$ \large \begin {align*} { \iint \limits _ S { x d y d z + y d z d x + z d x d y } }<br /> & = { \iint \limits _ { D \left( { u , v } \right ) } { \left| { \begin {array} {*{20} { c } }<br /> {a\cos u\sin v } & { b \sin u\sin v } & { c \cos v}\\<br /> { – a\sin u\sin v } & { b \cos u \sin v } & 0 \\<br /> {a\cos u \cos v}&{b\sin u\cos v}&{ – c\sin v}<br /> \end{array}} \right|dudv} }<br /> \\ & = {\int\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\left[ {a\cos u\sin v\left( { – bc\cos u\,{{\sin }^2}v} \right)} \right.} }<br /> \\ & – {b\sin u\sin v\left( {ac\sin u\,{{\sin }^2}v} \right) }<br /> \\ & + {\left. {c\cos v\left( { – ab\,{{\sin }^2}u\sin v\cos v – ab\,{{\cos }^2}u\sin v\cos v} \right)} \right]dudv }<br /> \\ & = { – abc\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\left[ {{{\sin }^3}v\left( {{{\cos }^2}u + {{\sin }^2}u} \right) + \sin v\,{{\cos }^2}v} \right]dudv} }<br /> \\ & = { – abc\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\sin v\left( {{{\sin }^2}v + {{\cos }^2}v} \right)dudv} }<br /> \\ & = { – abc\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\sin v dudv} }<br /> \\ & = { – abc\int\limits_0^{2\pi } {du} \int\limits_0^\pi {\sin v dv} }<br /> \\ & = { – abc \cdot 2\pi \cdot \left. {\left( { – \cos v} \right)} \right|_0^\pi }<br /> \\ & = {2\pi abc \cdot \left( {\cos \pi – \cos 0} \right) }<br /> \\ & = { – 4\pi abc.}<br /> \\ \end {align*} $$

بنابراین نهایتا حجم محصور در سطح برابر است با:

V=13(4πabc)=4πabc3 \large \begin {align*} {V = \left| {\frac { 1 } { 3 } \left( { – 4\pi abc} \right)} \right| }={ \frac{{4\pi a b c } } { 3 } } \end {align*}

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *