پیش‌تر در بلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به مختصات استوانهای و انتگرال سه گانه معرفی شدند. حال می‌خواهیم مفهومی را معرفی کنیم که به نوعی ترکیبی از این مفاهیم محسوب می‌شود. در حقیقت هدف ما در این مطلب معرفی انتگرال در مختصات استوانه ای است.
فرمول انتگرال در مختصات استوانهای
همان‌طور که در پیش‌تر نیز بیان شد، مختصات استوانهای چیزی جز توسعه مختصات قطبی در سه بعد نیست. با استفاده از تبدیل زیر می‌توان مختصات دکارتی و استوانهای را به یکدیگر تبدیل کرد.
$$\large x = r \cos \theta \hspace {0.25in} y = r \sin \theta \hspace {0.25in} z = z $$
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.
رابطه ۱
به منظور محاسبه انتگرال در مختصات استوانهای بایستی در ابتدا دیفرانسیل حجم (dv) را در این مختصات بدست آوریم. در شکل زیر دیفرانسیل حجم در دستگاه استوانهای نشان داده شده است.
با توجه به شکل فوق دیفرانسیل حجم برابر است با:
$$ \large d V= r d \theta d r d z $$
فرض کنید ناحیه انتگرال‌گیری بین دو تابع $$ u _ 1 \ , \ u _ 2 $$ باشد؛ در این صورت ناحیه مذکور را می‌توان به صورت زیر در مختصات استوانهای نوشت:
$$\large \begin {align*} E & = \left \{ { \left ( { x , y , z } \right ) |\left ( { x , y } \right ) \in D , \, \, \, { u _ 1 } \left ( { x , y } \right ) \le z \le { u _ 2 } \left ( { x , y } \right ) } \right \} \\ & = \left \{ {\left( { r , \theta , z } \right) |\alpha \le \theta \le \beta ,\, \, { h _ 1 } \left ( \theta \right) \le r \le {h_2}\left( \theta \right),\,\,\,{u_1}\left( { r \cos \theta ,r \sin \theta } \right ) \le z \le { u _ 2 } \left( { r \cos \theta ,r \sin \theta } \right)} \right \} \end {align*} $$
توجه داشته باشید که ناحیه توصیف شده بالا برای حالتی است که در آن تصویر E روی صفحه x-y قرار داشته باشد. در دیگر حالات کافی است از تبدیل ارائه شده در رابطه ۱ استفاده شود.
نهایتا حاصل انتگرال در مختصات استوانهای برابر است با:
$$ \large \iiint \limits _ { E } { { f \left ( { x , y , z } \right ) \, d V } } = \int _ { { \, \alpha } } ^ { { \, \beta } } { { \int _ { { { h _ 1 } \left ( \theta \right ) } } ^ { { { h _ 2 } \left ( \theta \right ) } } { { \int _ { { { u _ 1 } \left ( { r \cos \theta , r \sin \theta } \right ) } } ^ { { { u _ 2 } \left ( { r \cos \theta , r \sin \theta } \right ) } } { { r \, f \left ( { r \cos \theta , r \sin \theta , z } \right ) \, d z } } \, d r } } \, d \theta } } $$
توجه داشته باشید که تمامی xها و yها در رابطه فوق بایستی به r و θ تبدیل شوند. در ادامه مثال‌هایی مطرح شده که با استفاده از آن‌ها می‌توانید به موضوع مسلط شوید.
مثال ۱
حاصل انتگرال $$ \displaystyle \iiint \limits _ { E } { { y \, d V } }$$ را در حالتی بیابید که E ناحیه بین دو استوانه $$ { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = 1 $$ و $$ { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = ۴ $$ در زیر صفحه $$ z = x + 2 $$ و بالای صفحه x-y است. در شکل زیر ناحیه E نشان داده شده است.
با توجه به شکل فوق z در فاصله ۰ تا x+2 تغییر می‌کند. بنابراین بازه تغییرات z را می‌توان بر حسب r و θ به صورت زیر بیان کرد.
$$\large 0 \le z \le x + 2 \hspace {0.25in} \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} \hspace {0.25in} 0 \le z \le r \cos \theta + 2 $$
نهایتا ناحیه D (تصویر E روی صفحه x-y) منطقه‌ای بین دو دایره $$ { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = 1 $$ و $$ { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = ۴ $$ در زیر صفحه $$ z = x + 2 $$ قرار می‌گیرد. در نتیجه بازه توصیف کننده این ناحیه به صورت زیر قابل ارائه است.
$$ \large 0 \le \theta \le 2 \pi \hspace {0.25in} \hspace {0.25in} 1 \le r \le 2 $$
در آخر حاصل انتگرال برابر است با:
$$ \large \begin {align*} \iiint \limits _ { E } { { y \, d V } } & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \int _ { 1 } ^ { 2 } { { \int _ { 0 } ^ { { r \cos \theta + 2 } } { { \left ( { r \sin \theta } \right ) r \, d z } } \, d r } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \int _ { 1 } ^ { 2 } { { { r ^ 2 } \sin \theta \left ( { r \cos \theta + 2 } \right ) \, d r } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \int _ { 1 } ^ { 2 } { { \frac { 1 } { 2 } { r ^ 3 } \sin \left ( { 2 \theta } \right ) + 2 { r ^ 2 } \sin \theta \, d r } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \left. { \left ( {\frac { 1 } { 8 } { r ^ 4 } \sin \left( { 2 \theta } \right ) + \frac { 2 } { 3 } { r ^ 3 } \sin \theta } \right ) } \right|_1 ^ 2 \, d \theta } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } }{ { \frac { { 1 5 } } { 8 } \sin \left ( { 2 \theta } \right ) + \frac { { 1 4 } } { 3 } \sin \theta \, d \theta } } \\ & = \left. { \left ( { – \frac { { 1 5 } } { { 1 6 } } \cos \left ( {2 \theta } \right) – \frac{{14}} { 3 } \cos \theta } \right ) } \right|_ 0 ^ { 2 \pi } \\ & = 0 \end {align*} $$
توجه داشته باشید که در عبارت فوق به جای y نیز از $$ r \sin \theta $$ استفاده شده است.
مثال ۲
حاصل انتگرال $$ \displaystyle \iiint \limits _ { E } { { 4 x y \, d V } } $$ را در حالتی بیابید که E ناحیه بین دو صفحه $$ z = 2 { x ^ 2 } + 2 { y ^ 2 } – 7 $$ و $$ z = 1 $$ است.
همان‌طور که در مطلب انتگرال سه‌گانه نیز عنوان شد، در هر حالتی که می‌خواهید پاسخ انتگرال سه گانه را محاسبه کنید، در ابتدا بایستی تصویری از ناحیه انتگرال‌گیری در ذهن خود داشته باشید. در این مثال نیز ناحیه انتگرال‌گیری در شکل زیر نشان داده شده است.
با توجه به این‌که تصویر ناحیه انتگرال‌گیری روی صفحه x-y است، بنابراین در ابتدا بایستی انتگرال را نسبت به z محاسبه کرد. بدیهی است که ناحیه انتگرال‌گیری بین دو سطح قهوه‌ای رنگ و آبی رنگ تغییر می‌کند. لذا بازه تغییرات z را می‌توان به‌صورت زیر در نظر گرفت.
$$\large 2 { x ^ 2 } + 2 { y ^ 2 } – 7 \le z \le 1 $$
D ناحیه‌ای دیسکی شکل بوده که از تقاطع دو سطح z=1 و $$ z = 2 { x ^ 2 } + 2 { y ^ 2 } – 7 $$ بدست می‌آید. بنابراین معادله سطح D را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.
$$ \large 2 { x ^ 2 } + 2 { y ^ 2 } – 7 = 1 \hspace {0.25in} \to \hspace {0.25in} 2 { x ^ 2 } + 2 { y ^ 2 } = 8 \hspace {0.25in} \to \hspace {0.25in} { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = 4 $$
در نتیجه D ناحیه‌ای دیسکی شکل بوده که در بازه $$ { x ^ 2 } + { y ^ 2 } \le 4 $$ قرار گرفته و می‌توان از مختصات استوانهای به منظور توصیف آن استفاده کرد. نهایتا بازه انتگرال‌گیری را می‌توان به شکلی که در ادامه آمده بیان کرد:
$$\large \begin {array} { c } 0 \le \theta \le 2 \pi \\ 0 \le r \le 2 \\ 2 { r ^ 2 } – 7 \le z \le 1 \end {array} $$
با استفاده از رابطه ۱، حاصل انتگرال سه گانه در مختصات استوانهای برابر می‌شود با:
$$ \large \begin {align*} \iiint \limits _ { E } { { 4 x y \, d V } } & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } }{ { \int _ { 0 } ^ { 2 } { { \int _ { { 2 { r ^ 2 } – 7 } } ^ { 1 } { { 4 \left ( { r \cos \theta } \right ) \left ( { r \sin \theta } \right ) r \, d z } } \, d r } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \int _ { 0 } ^ { 2 }{ { \int _ { { 2 { r ^ 2 } – 7 } } ^ { 1 } { { 4 { r ^ 3 } \cos \theta \sin \theta \, d z } } \, d r } } \, d \theta } } \end {align*} $$
حاصل انتگرال روی z به شکل زیر قابل محاسبه است.
$$ \large \begin {align*} \iiint \limits _ { E } { { 4 x y \, d V } } & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } }{ { \int _ { 0 } ^ { 2 } { { \left. { \left ( { 4 { r ^ 3 } \cos \theta \sin \theta z } \right ) } \right| _ { 2 { r ^ 2 } – 7 } ^ 1 \, d r } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \int _ { 0 } ^ { 2 } { { 4 { r ^ 3 } \left ( { 8 – 2 { r ^ 2 } } \right ) \cos \theta \sin \theta \, d r } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \int _ { 0 } ^ { 2 } { { \left ( { 3 2 { r ^ 3 } – 8 { r ^ 5 } } \right ) \cos \theta \sin \theta \, d r } } \, d \theta } } \end {align*} $$
در مرحله بعد حاصل انتگرال روی r نیز به صورت زیر بدست می‌آید.
$$ \large \begin {align*} \iiint \limits _ { E } { { 4 x y \, d V } } & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \left. { \left ( { 8 { r ^ 4 } – \frac { 4 } { 3 } { r ^ 6 } } \right ) \cos \theta \sin \theta } \right| _ 0 ^ 2 \,d \theta } }\\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \frac { { 1 2 8 } } { 3 } \cos \theta \sin \theta \, d \theta } } \end{align*} $$
نهایتا با محاسبه انتگرال روی θ، پاسخ نهایی انتگرال روی ناحیه E به صورت زیر بدست می‌آید.
$$ \large \iiint\limits _ { E } { { 4 x y \, d V } } = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \frac { { 6 4 } } { 3 } \sin \left ( { 2 \theta } \right) \, d \theta } } = \left. { – \frac { { 3 2 } } { 3 } \cos \left ( { 2 \theta } \right ) } \right| _ 0 ^ { 2 \pi } = \require {bbox} { 0 } $$
در این مطلب نحوه محاسبه انتگرال سه گانه در دستگاه مختصات استوانهای توضیح داده شد. در آینده بدست آوردن این انتگرال را در دستگاه مختصات کروی توضیح خواهیم داد.
در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
- مجموعه آموزش‌های ریاضیات
- مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
- مختصات استوانه ای – به زبان ساده
- انتگرال سه گانه — از صفر تا صد
- مختصات قطبی — از صفر تا صد
^^
