ریاضی , علوم پایه 4622 بازدید

پیش‌تر در بلاگ فرادرس در مورد معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، دوم و بعضی از روش‌های مرسوم حل آن‌ها صحبت کردیم. بدیهی است که همواره نمی‌توان با استفاده از روش‌های مذکور معادلات را حل کرد. در این قسمت ابزاری قدرتمند را معرفی می‌کنیم که در حل معادلات دیفرانسیل بسیار پرکاربرد است. این ابزار «تبدیل لاپلاس» (Laplace Transform) است. در این مطلب در ابتدا این تبدیل را معرفی کرده و پس از آن تکنیک‌هایی را در مورد حل آن‌ها معرفی خواهیم کرد. البته در بخشی جدا، در آینده در مورد کاربرد این مفهوم در حل معادلات دیفرانسیل بحث خواهیم کرد.

تعریف تبدیل لاپلاس

(f(t را به‌ عنوان تابعی از متغیر مستقل t در نظر بگیرید. تبدیل لاپلاس (f(t برابر است با تابعی از متغیر جدید s که در حالت کلی می‌تواند مختلط نیز باشد. تبدیل لاپلاس تابع (f(t را با استفاده از فرمول زیر بدست می‌آوریم.

رابطه 1

جهت استفاده از فرمول بالا توجه به نکات زیر ضروری است:

  • لاپلاس برای مقادیری از s قابل قبول است که به ازای ‌‌آن‌ها سمت راست معادله بالا همگرا شود.
  • متغیر s می‌تواند مختلط نیز باشد.
  • حدود انتگرال نشان می‌دهند که تبدیل لاپلاس، فقط عبارت زیر انتگرال را در بازه (∞+,0) مورد توجه قرار می‌دهد.

نماد‌گذاری (F(s

معمولا نوشتن (Lf(s مشکل است، بنابراین مرسوم است که تابع لاپلاس را به‌صورت مستقیم نشان می‌دهند. این نماد‌ها در زیر نشان داده شده‌اند.
laplace-notation

اگر تابعی که می‌خواهیم از آن لاپلاس بگیریم، اسم نداشته باشد، می‌توان مستقیما خود تابع را تحت نماد لاپلاس قرار داد. برای نمونه لاپلاس تابع t2 را می‌توان به صورت (L(t2)(s یا (L(t2 نشان داد.

در بعضی از موارد نیاز به تغییر تابع (f(t است. در این موارد تابع تغییر داده شده را نیز تحت اوپراتو لاپلاس قرار می‌دهیم. برای نمونه اگر بخواهیم لاپلاس تابع (f(t را در حالتی بیابیم که به اندازه a جابجا شده، از نماد ((L(f(t-a استفاده می‌کنیم.

می‌توان گفت که در برخی از موارد، پرانتز‌های به‌کار رفته در نماد لاپلاس کم یا زیاد می‌شوند. در حقیقت تمامی نماد‌های به‌کار رفته در پایین، معادل یکدیگر هستند.

Laplace-notation

مثال‌های اولیه

در حالت کلی، جهت بدست آوردن لاپلاس یک تابع، بایستی از رابطه 1 استفاده کرد. البته در ادامه قوانینی را نیز بیان خواهیم کرد که با استفاده از آن‌ها می‌توان لاپلاس توابع پیچیده‌تر را نیز یافت.

مثال 1

فرض کنید هدف ما بدست آوردن لاپلاس تابع f(t)=1 است. بنابراین با استفاده از رابطه 1 داریم:

constant-function

همان‌طور که در رابطه بالا نیز می‌بینید، پاسخ این حد بسته به این‌که مقدار s مثبت یا منفی باشد، متفاوت خواهد بود. در حقیقت پاسخ آن به ازای دو مقدار مثبت و منفی s، بصورت زیر است:

Laplace-4

در نتیجه لاپلاس تابع ثابت f(t)=1 برابر است با:

Constant-function-2

مثال 2

در این مثال قصد داریم تا لاپلاس تابع eat را بیابیم. با استفاده از تعریف داریم:

مشابه با مثال قبل، در این حالت نیز تابعِ لاپلاس محاسبه شده، وابسته به مقدار s است. در حقیقت می‌توان گفت:

exponential-2

در نتیجه:

Laplace

با توجه به دو مثال 1 و 2 می‌توان گفت:

Laplace-6

تکنیک‌های محاسبه لاپلاس

از نظر مفهومی لاپلاس یک تابع را بایستی با استفاده از رابطه 1 بدست آورد. اما جهت سادگی حل مسائل، تکنیک‌هایی نیز وجود دارد که می‌توان با استفاده از آن‌‌ها لاپلاس را محاسبه کرد. برای نمونه لاپلاس تابع t برابر است با:

laplace-t

به همین صورت لاپلاس تابع t2 به شکل زیر بدست می‌آید.

Laplace

در حقیقت لاپلاس تابع tn را می‌توان با رابطه زیر بدست آورد.

$$L(t^n)= {n! \over s^{n+1}}$$

قوانین مشابه بسیاری در مورد محاسبه لاپلاس وجود دارد. در ادامه قصد داریم تا لاپلاس تابع sin ωt را بیابیم. بر مبنای رابطه 1، لاپلاس تابع مذکور برابر است با:

laplae-sin

به منظور استفاده از روش انتگرال‌گیری جزء به جزء بایستی فرض زیر را انجام داد.

laplace-by-part

در نتیجه با فرض توابع در نظر گرفته شده در بالا داریم:

Integration-by-parts

در این مرحله دوباره از انتگرال جزء به جزء استفاده می‌کنیم. توابع جدید u و v را به‌صورت زیر در نظر می‌گیریم:

parts

با این فرضیات نهایتا لاپلاس تابع sin ωt برابر می‌شود با:

sin-laplace

دقیقا با استفاده از همین روش لاپلاس تابع Acos ωt برابر با تابع زیر بدست خواهد آمد.

cosine-laplace

یکی از توابعی که لاپلاس آن در مسائل مهندسی بسیار پرکاربرد است، لاپلاس مشتق تابع است؛ بنابراین فرض کنید می‌خواهیم لاپلاسِ تابع f(t)=df(t)/dt را بیابیم. در ابتدا فرض شده که لاپلاس تابع (f(t معلوم و برابر با تابع زیر است.

derivative-laplace

جهت محاسبه این لاپلاس نیز از مفهوم انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌شود. در حقیقت در این مسئله (u=f(t و dv=e-stdt فرض می‌شود. در حقیقت:

derivative-Laplace

با اعمال انتگرال‌گیری جزء به جزء داریم:

derivative-Laplace

در رابطه بالا عبارت اول، مقدار تابع در صفر و عبارت دوم لاپلاس تابع (f(t را نشان می‌دهد. بنابراین:

derivative-Laplace-4

در نتیجه نهایتا لاپلاس مشتق (f(t برابر می‌شود با:

derivative-Laplace-8

در بالا چند نمونه لاپلاس را بدست آوردیم؛ در جدول زیر لاپلاس توابع شناخته شده ذکر شده که جهت محاسبه سریع‌تر مسائل می‌توانید از آن‌ها استفاده کنید.

functions-Laplace

البته جهت استفاده از لاپلاس قوانینی نیز وجود دارند که به‌منظور محاسبه لاپلاس می‌توانند مفید باشند. برای نمونه فرض کنید با داشتن لاپلاس تابع (f(t، می‌خواهیم لاپلاس (f(t-a را بیابیم. از تعریف لاپلاس می‌دانیم که لاپلاس تابع (f(t-a برابر است با:

shifted-function-laplace

با استفاده از تغییر متغیر u=t-a و نوشتن آن به‌صورت t=u+a داریم:

du=dt

laplace

 

بدیهی است که پاسخ انتگرال بالا برابر با تابع زیر است:

laplace-12.png

در نتیجه لاپلاس این تابع برابر است با:

Laplace-transformed-fucntion

با استفاده از این قانون نیاز نیست جهت محاسبه لاپلاس، همواره از تعریف استفاده کرد.

قوانین بسیاری در لاپلاس‌ها وجود دارند که می‌توان از آن‌ها جهت محاسبه راحت‌تر لاپلاس توابع مختلف استفاده کرد. در جدول زیر برخی از مهم‌ترین این قوانین ذکر شده است.

تبدیل لاپلاس

برای نمونه فرض کنید می‌خواهیم تبدیل لاپلاس تابع $$t^2sin(2t)$$ بیابیم. یکی از روابط ارائه شده در جدول بالا به‌صورت زیر است.

L(tnf(t))=(-1)nFn(s)

با فرض این‌که تابع H، نشان دهنده تبدیل تابع باشد، داریم:

Laplace-derivative

بنابراین پاسخ لاپلاسِ مدنظر برابر با مشتق دوم تابع $$\Large {1 \over {s^2+1}}$$ است. در نتیجه با محاسبه مشتق دوم تابع مذکور داریم:

example

البته همین مثال را می‌توانستیم با فرض tsin 2t به عنوان تابع اصلی و با یک‌ بار مشتق‌گیری از لاپلاس مربوطه آن، حل کنیم. به‌منظور تسلط کامل‌تر به مبحث لاپلاس، آموزش ویدئویی قرار گرفته در این لینک توصیه می‌شود. در بخش‌های آینده در مورد مفاهیم لاپلاس معکوس صحبت خواهیم کرد. لاپلاس معکوس یکی از مباحث کاربردی در حل معادلات دیفرانسیل است.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

یک نظر ثبت شده در “تبدیل لاپلاس — به زبان ساده

  1. سلام و دورد متلب عالی بود ولی ایکاش این قوانین بدست آمده از مسائل مختلف را بدست آوردید در نهایت داخل یک جدول قرار دهید

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *