ریاضی , علوم پایه 5426 بازدید

در مطالب قبلی وبلاگ، مفاهیم انتگرال و نحوه محاسبه آن‌ توضیح داده شد. در مطالب مذکور عنوان شد که با انتگرال‌گیری از تابع $$ \large f ( x , y ) $$ در بازه‌ای از $$x$$، مساحت سطح زیر تابع $$ \large f ( x , y ) $$ در آن بازه محاسبه می‌شود. حال تابع دومتغیره‌ی $$ \large f ( x , y ) $$ را در نظر بگیرید؛ اگر بخواهیم از این تابع انتگرال بگیریم، x ،y یا هردوی آن‌ها متغیر هستند؟ این جا است که مفهوم انتگرال دوگانه مطرح می‌شود. البته انتگرال دوگانه در مسائل فیزیک و مهندسی نیز کاربرد بسیاری دارد.

تعریف انتگرال دوگانه

ناحیه‌ای را مطابق با شکل زیر به‌ نام R تصور کنید. هم‌چنین تابعی دومتغیره تحت عنوان (f(x,y را در نظر بگیرید.

Double-integral

با این فرضیات انتگرال دوگانه تابع f روی ناحیه‌ی R مطابق با رابطه زیر نشان داده می‌شود.

Double-integral

جهت درک مفهوم انتگرالِ فوق، در ابتدا ناحیه‌ی R را مطابق با شکل زیر تقسیم‌بندی و هرکدام از سلول‌ها را با اعداد $$i=1,2,3,…,n$$ نام‌گذاری می‌کنیم. مساحت آن‌ها نیز برابر با $$\Delta A_i$$ در نظر گرفته می‌شوند. توجه داشته باشید که مرکز سلول iام در نقطه (xi,yi) قرار گرفته است.

Double-integral

همان‌طور که می‌دانید تابع f نشان دهنده سطحی سه‌بعدی است که در بالای ناحیه R قرار گرفته است. در شکل زیر تابع f و ناحیه‌ی R نشان داده شده‌اند.

Double-integral

اگر ناحیه R را بخش‌های کوچک تقسیم کنیم و مساحت‌ها بخش‌ها را در مقدار تابع f ضرب کنیم، حجم ناحیه‌ی محصور بدست می‌آید. حال مقدار (f(xi,yi را در مساحت $$\Delta A_i$$ ضرب می‌کنیم. هریک از این ضرب‌ها،‌ نشان دهنده حجم اندکی است که بین ناحیه R و سطح f بوجود آمده است. این حجم‌ها را به عنوان «حجم‌های دیفرانسیلی» می‌شناسیم. نهایتا با جمع زدن تمامی عبارت‌ها، خواهیم داشت:

Double-integral

حاصل جمع بالا در صورتی که مساحت‌های $$\Delta A_i$$ را به سمت صفر میل دهیم، همان مفهوم انتگرال دوگانه تابع f روی ناحیه R بدست می‌آید. به این ترتیب می‌توان تساوی زیر را نوشت:

Double-integral

در حقیقت رابطه بالا حجم محصور شده بین ناحیه R و تابع f را نشان می‌دهد. در شکل زیر حجم‌های دیفرانسیلی، به خوبی نشان داده شده‌اند.

Double-integral

محاسبه انتگرال دوگانه

به‌منظور محاسبه انتگرال دوگانه بایستی:

  1. ناحیه‌ای که روی آن‌ انتگرال گرفته می‌شود، مشخص شود.
  2. تابع f که هدف محاسبه انتگرال آن است، نیز معلوم باشد.
  3. متناسب با ناحیه، بازه‌‌های انتگرال معلوم شوند.

در شکل زیر ناحیه تحت انتگرال و تابع f نشان داده شده‌اند.

Double-integral

اما چگونه باید ناحیه‌ی تحت انتگرال را مشخص کرد؟ این ناحیه به صورت بازه‌هایی در انتگرال اول و دوم تعریف می‌شود. برای نمونه در شکل فوق ناحیه R در بازه‌ی c<y<d و a<x<b قرار گرفته؛‌ بنابراین انتگرال تابع f را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

Double-integral

در برخی از موارد ناحیه توصیف شده دقیقا به‌صورت مربع یا مستطیل نیست. برای نمونه فرض کنید ناحیه تحت انتگرال به‌صورت زیر باشد.

Double-integral

ناحیه فوق را می‌توان به دو صورت بیان کرد:

  1. ناحیه x از صفر تا 2 تغییر می‌کند. از طرفی متغیر y بین ۰ تا x/2 تغییر می‌کند. بنابراین در این حالت $$0<x<2$$ و $$0<y<x/2$$ فرض می‌شوند.
  2. متغیرِ y از صفر تا 1 تغییر کرده و x از 2y تا 2 تغییر می‌کند. بنابراین در این حالت $$0<y<1$$ و $$2y<x<2$$ است.

در مثال 2 نحوه بیان کران‌های این انتگرال توضیح داده شده است. جهت محاسبه انتگرال، در ابتدا نسبت به متغیر داخلی انتگرال گرفته و سپس نسبت به متغیر خارجی انتگرال بگیرید. به‌منظور درک بهتر مفاهیم بیان شده، مطالعه مثال‌های زیر توصیه می‌شود.

مثال 1: کران‌های مستقل

حاصل انتگرال زیر را روی سطح نشان داده شده بدست آورید.

Double-integral

هم‌چنین سطحی که روی آن‌ انتگرال گرفته می‌شود، مستطیلی با ابعاد نشان داده شده است.

انتگرال دوگانه

توجه داشته باشید که تفاوتی نمی‌کند dA را به‌صورت dxdy یا dydx در نظر بگیرید. در این جا dA را به ‌شکل dxdy در نظر می‌گیریم. در این صورت انتگرال به‌شکل زیر در خواهد آمد.

انتگرال دوگانه

متغیر dx در داخل قرار گرفته، بنابراین در ابتدا نسبت به x انتگرال گرفته و y را هم‌چون یک ثابت در نظر بگیرید. با انتگرال‌گیری از تابع f نسبت به متغیر x داریم:

انتگرال دوگانه

توجه داشته باشید که در هر مرحله از انتگرال‌گیری، متغیری که نسبت به آن انتگرال گرفته شده،‌ بایستی حذف شود. در رابطه بالا نیز می‌بینید که در 2y2 متغیر xای وجود ندارد. در مرحله بعد، از عبارت باقیمانده نسبت به y انتگرال گرفته می‌شود. نهایتا پاسخ انتگرال برابر است با:

انتگرال دوگانه

حال dA را به‌صورت dydx در نظر گرفته و انتگرال می‌گیریم. در این حالت پاسخ زیر بدست می‌آید.

Double-integral

هما‌ن‌طور که می‌بینید در این حالت نیز پاسخ مشابه با روش قبلی است. انتگرال‌گیری دوگانه روی سطوح مستطیلی بسیار آسان است، چراکه در آن‌ها متغیر‌های x و y به هم‌ وابسته نیستند.

مثال 2: کران‌های وابسته

حاصل انتگرال تابع دوگانه‌ی xy2 را روی سطح زیر بیابید.

انتگرال دوگانه

در سطوحی هم‌چون شکل فوق، تغییرات یکی از متغیرها به تغییرات متغیر دوم وابسته است. در این مثال تغییرات x را به‌صورت $$0<x<2$$ و تغییرات y را به‌صورت $$0<y<x/2$$ در نظر می‌گیریم. با توجه به این‌که y به‌صورت متغیر در نظر گرفته شده بنابراین dy بایستی داخل قرار گیرد. بایستی توجه داشته باشید که همواره بازه مربوط به متغیر خارجی بایستی به‌صورت عدد ثابت باشد.

انتگرال دوگانه

البته همین مسئله را می‌توانستیم به‌صورتی حل کنیم که در آن متغیر داخلی برابر با x و متغیر خارجی برابر با y باشد. در این حالت بازه‌ی x نیز بایستی وابسته به y بیان شود. جهت محاسبه انتگرالِ مذکور، بازه‌ها را بایستی به‌صورت $$0≤y≤1$$ و $$2y \le x \le 2$$ تعریف کرد. در این حالت، حاصل انتگرال برابر است با:

انتگرال دوگانه

همان‌طور که می‌بینید پاسخِ‌ انتگرال در این حالت برابر با روش اول است.

مثال 3

انتگرال دوگانه زیر را در نظر بگیرید.

انتگرال دوگانه

انتگرال فوق را به شکلی بیان کنید که در آن متغیر x داخل قرار گرفته و متغیر y بیرون قرار گرفته باشد.

همان‌طور که در رابطه فوق نیز نشان داده شده، باز‌ه‌های انتگرال‌گیری به‌صورت زیر تعریف شده‌اند.

انتگرال دوگانه

در ابتدا نمودار‌های y=sin x و y=1 را رسم کرده و ناحیه‌ی بین آن‌ها را برابر با ناحیه انتگرال‌گیری در نظر می‌گیریم. بازه‌ی x نیز بین x=π/2 تا x=5π/2 در نظر گرفته می‌شود. در نتیجه ناحیه‌ی انتگرال‌گیری به‌صورت زیر است.

Double-integral

در حالتی که بخواهیم بازه انتگرال‌ را عوض کنیم، بایستی مقادیر ماکزیمم و مینیمم y را مشخص کنیم. نقاط مینیمم و ماکزیمم به‌ترتیب برابر با 1- و 1 هستند. بنابراین بازه y به‌صورت $$-1<y<1$$ است.

به‌منظور بدست آوردن بازه‌ی x، منحنی پایین را مطابق با شکل زیر به دو بخش تقسیم‌ می‌کنیم.

انتگرال دوگانه

با توجه به مفاهیم تابع معکوس، منحنی سمت چپ برابر با (x=π-arcsin(y و منحنی سمت راست برابر با (x=2π+arcsin(y است. در نتیجه بازه‌ی x نیز به‌صورت زیر بدست می‌آید.

در نتیجه انتگرال را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد.

Double-integral

تغییر متغیر‌های داخلی و خارجی انتگرال، زمانی مورد نیاز می‌شود که محاسبه انتگرالِ یک تابع نسبت به یک متغیر مشکل باشد. از این رو با تغییر بازه‌های انتگرال، می‌توان محاسبه را آسان‌تر کرد. در آینده در مورد کاربرد انتگرال دوگانه در فیزیک و دیگر کاربرد‌های آن صحبت خواهیم کرد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات و مهندسی آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

2 نظر در “انتگرال دوگانه — به زبان ساده

  1. خیلی عالی بود مقالتون فقط سوالی داشتم و اون اینه که مساحت رو میشه با انتگرال دوگانه و انتگرال عادی محاسبه کرد. تفاوت اونا تو چیه؟

    1. با سلام و تشکر از توجه شما.
      ابتدا به ساکن پیشنهاد می‌کنیم جهت درک بهتر، مطلب مجموعه مقالات انتگرال را مطالعه فرمایید. اما در حالت کلی می‌توان گفت برای محاسبه مساحت با استفاده از انتگرال دوگانه، حاصل ضرب دو دیفرانسیل برابر با مساحت بوده و این در حالی است که در انتگرال یگانه حاصل ضرب تابع در دیفرانسیل، دیفرانسیل مساحت را تشکیل می‌دهد. به همین دلیل به منظور محاسبه مساحت با انتگرال دوگانه تابعی تحت آن وجود ندارد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *