کانولوشن، یک تکنیک بسیار قدرتمند و کارآمد برای محاسبه پاسخ حالت صفر (یعنی پاسخ به ورودی هنگام شرایط اولیه صفر) یک سیستم به هر ورودی دلخواه با استفاده از پاسخ ضربه است. کانولوشن، خاصیت خطی و جمع آثار یا برهم‌نهی دارد. در این آموزش، درباره «انتگرال کانولوشن» (Convolution Integral) بحث خواهیم کرد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

برای درک این روش، سیستمی را در نظر بگیرید که با معادله دیفرانسیل زیر توصیف شده است:

معادله دیفرانسیل

که در آن، $$y(t)$$ خروجی و $$f(t)$$ ورودی است. پاسخ ضربه ($$h(t)$$) این سیستم را می‌توان به‌صورت زیر محاسبه کرد:

پاسخ ضربهشکل پاسخ ضربه به‌صورت زیر است:

پاسخ ضربه سیستماگر ورودی $$f(t)$$ یک سیگنال شناخته شده مانند پله، ضربه یا سینوسی باشد، پیدا کردن خروجی $$y(t)$$ کار آسانی است. اما اگر ورودی کمی پیچیده‌تر باشد، برای محاسبه خروجی باید چه‌کار کنیم؟ با استفاده از کانولوشن، می‌توان پاسخ ورودی‌های پیچیده‌تر مانند شکل زیر را تعیین کرد. در واقع، با استفاده از کانولوشن می‌توان خروجی هر سیگنال ورودی را با دانستن پاسخ ضربه محاسبه کرد.

فرض کنید می‌خواهیم ورودی زیر را به سیستمی اعمال کنیم.

ورودی پیچیده

برای درک بهتر نحوه عملکرد کانولوشن، تابع پیوسته بالا را به‌عنوان یک تابع گسسته نشان می‌دهیم که هر 0.8 ثانیه از ورودی نمونه‌برداری شده است. شکل زیر ورودی گسسته تقریبی را نشان می‌دهد.

ورودی گسسته

تقریب شکل بالا را می‌توان یک گام جلوتر برد و هر مستطیل را مطابق شکل زیر با یک ضربه نشان داد. مساحت هر ضربه، برابر با مساحت مستطیل متناظر است.

ضربه

اصل جمع آثار بیان می‌کند که پاسخ سیستم به رشته‌ای از ضربه‌ها برابر با مجموع پاسخ به تک تک آن‌ها است. پاسخ سیستم به هریک از این ضربه‌ها در شکل زیر قابل مشاهده است:

پاسخ ضربه

با توجه به شکل بالا، می‌توان نکات زیر را بیان کرد:

  • $$h(t)$$، پاسخ سیستم به ضربه واحد $$\delta (t)$$ است.
  • $$h(t-i.\Delta T)$$، پاسخ سیستم به ضربه واحد تاخیریافته $$\delta(t-i.\Delta T)$$ به اندازه $$i.\Delta T$$ است.
  • $$A.h(t-i. \Delta  T)$$، پاسخ سیستم به ضربه‌ای با مساحت A است که به اندازه $$i.\Delta T$$ تاخیر یافته است.
  • $$f(i.\Delta T)$$، ارتفاع تابع در زمان $$t=i.\Delta T$$ است.
  • $$f(i.\Delta T).\Delta T$$، مساحت ضربه در $$t=i.\Delta T$$ است.
  • پاسخ ضربه تاخیر یافته و جابه‌جا شده، با $$f(i.\Delta T).\Delta T. h(t-i. \Delta T)$$ نشان داده می‌شود.

بنابراین، پاسخ سیستم به مجموعه ضربه‌های تاخیر یافته را می‌توان با رابطه زیر نوشت:

پاسخ ضربه

در معادله بالا، $$y(t)$$ خروجی، $$i.\Delta T$$ تاخیر زمانی هر ضربه و $$(f(i.\Delta T).\Delta T)$$ مساحت ضربه iاُم است.

اگر حد $$\Delta T \to0$$‌ را اعمال کنیم، مجموع به انتگرال کانولوشن (با $$i.\Delta T=\lambda$$ و $$\Delta T=d\lambda$$) تبدیل می‌شود:

انتگرال کانولوشن

این دقیقاً همان قضیه کانولوشن است.

رابطه بالا را اغلب با حدود منفی و مثبت بی‌نهایت تعریف می‌کنند:

انتگرال کانولوشن

البته در مبحث مورد نظر ما، این دو انتگرال با هم برابر هستند، زیرا برای $$\lambda <0$$،  $$f(\lambda)=0$$ است.

آرگومان انتگرال را می‌توان به فرم زیر نوشت:

انتگرال کانولوشن

کانولوشن را با نماد ستاره (*) نشان می‌دهند:

کانولوشن

معادله اخیر بیان می‌کند که خروجی برابر با مجموع پاسخ‌ ضربه‌ها است.

هریک از پاسخ‌های ضربه به همراه مجموع آن‌ها در شکل زیر نشان داده شده است.

پاسخ ضربه

اگر $$\Delta T$$ کوچک‌تر شود، دقت تقریب بهبود پیدا می‌کند. برای مثال، اگر $$\Delta T=0.8$$ را به $$\Delta T=0.3$$ تبدیل کنیم، می‌بینیم که پاسخ تقریبی به پاسخ دقیق نزدیک‌تر می‌شود. شکل زیر این موضوع را نشان می‌دهد (نتایج با نرم‌افزار متلب رسم شده‌اند).

پاسخ دقیق و تقریبی

محاسبه کانولوشن با متلب

شکل زیر، مقایسه پاسخ «دقیق» و پاسخ محاسبه شده با تابع «conv» متلب را نشان می‌دهد.

مقایسه کانولوشن

با نوشتن دستور «help conv» در متلب می‌توانید نحوه کار با این تابع را ببینید. برنامه متلب مربوط به شکل‌های بالا به شرح زیر است:

بررسی شهودی انتگرال کانولوشن

برای بررسی شهودی انتگرال کانولوشن، تعریف کانولوشن یا معادل آن را در نظر بگیرید:

انتگرال کانولوشن

انتگرال کانولوشن

پاسخ ضربه سیستمی را که ابتدای این آموزش بررسی کردیم، مجدداً در نظر بگیرید:

پاسخ ضربه

برای یافتن پاسخ $$y(t)$$ سیستم به ورودی $$f(t)$$ در $$t=1$$، باید انتگرال زیر را برای $$t=1$$‌ محاسبه کنیم:

انتگرال کانولوشن

برای درک شهودی انتگرال کانولوشن، ضرب $$f(\lambda)h(t- \lambda)$$ را در نظر بگیرید. شکل $$f(\lambda)$$ که همان ورودی است. شکل $$h(t-\lambda)$$ نیز یک نسخه معکوس شده از پاسخ ضربه را با تاخیر زمانی t (در این مثال 1 ثانیه) نشان می‌دهد. این دو نمودار همراه با حاصل‌ضرب‌شان (خط سیاه ممتد) در شکل زیر نشان داده شده‌اند. تابع $$h(t-\lambda)$$، به رنگ ارغوانی رسم شده است.

پاسخ ضربه

شکل زیر نتیجه انتگرال را برای کل محدوده زمانی نشان می‌دهد.

انتگرال کانولوشن

اگر t زیاد شود، تابع $$h(t-\lambda)$$ بیشتر به سمت راست جابه‌جا می‌شود. ضرب و انتگرال را می‌توان برای هر مقدار t به‌منظور به‌دست آوردن پاسخ $$y(t)$$ سیستم انجام داد. نمودارهای زیر، مشابه شکل‌های قبلی هستند، با این تفاوت که در آن‌ها $$t=4$$ است.

انتگرال کانولوشن

با استفاده از انتگرال کانولوشن، می‌توان خروجی هر سیستم خطی را با ورودی و پاسخ ضربه آن محاسبه کرد. هرچند، انتگرال‌گیری اغلب دشوار است و نمی‌توان آن را صریحاً محاسبه کرد.

کانولوشن از دیدگاه سیستم

یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI) را در نظر بگیرید. ورودی سیستم $$x(t)$$ و خروجی آن، $$y(t)$$ است.

سیستم LTI

اگر به سیستم بالا، ورودی ضربه $$\delta$$ را اعمال کنیم، خروجی، پاسخ ضربه خواهد بود.

پاسخ ضربه

اگر ضربه ورودی، تاخیر داشته باشد، پاسخ نیز تاخیر خواهد داشت.

پاسخ سیستم

به دلیل خاصیت خطی سیستم، اگر ورودی را در هر عاملی ضرب کنیم، خروجی نیز در همان عامل ضرب خواهد شد. بنابراین، می‌توانیم ورودی و در نتیجه خروجی را در $$x(\lambda) d \lambda$$ ضرب کنیم.

سیستم LTI

اگر از ورودی انتگرال بگیریم، از خروجی نیز انتگرال گرفته می‌شود. در این حالت، حد بالای انتگرال را +t در نظر می‌گیریم. این مقدار می‌تواند $$+\infty$$‌ نیز باشد. همچنین، حد پایین را نیز می‌توانیم برابر $$-\infty$$ قرار دهیم.

سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان

با توجه به خاصیت جابه‌جایی تابع ضربه (اگر $$\lambda>0$$ و $$t.0$$)، داریم:

انتگرال

در نتیجه، با اعمال ورودی $$x(t)$$‌به سیستم، خروجی به‌صورت زیر خواهد بود:

پاسخ به ورودی

خروجی سیستم

مثال

می‌خواهیم حل دقیق انتگرال کانولوشن سیستمی با پاسخ ضربه و ورودی زیر را محاسبه کنیم:

مشخصات سیستم

خروجی با رابطه انتگرال کانولوشن زیر به‌دست می‌آید:

انتگرال کانولوشن

از آن‌جایی که تابع ورودی، سه ناحیه مجزا دارد، باید انتگرال را به سه بخش جدا تقسیم کنیم.

بازه اول: $$t<0$$

برای $$t<0$$‌، آرگومان $$(t-\lambda)$$ تابع ضربه همواره منفی است. از آن‌جایی که در این حالت، $$h(t-\lambda)=0$$، نتیجه انتگرال صفر است. این وضعیت، در شکل زیر نشان داده شده است ($$t=-0.2$$).

کانولوشن

بنابراین، نتیجه انتگرال بازه اول به‌صورت زیر خواهد بود:

خروجی بخش اول

بازه دوم: $$0<t<1$$

در بازه $$0<t<1$$، باید انتگرال را فقط از $$\lambda =0$$ تا $$\lambda =t$$ حساب کنیم. شکل زیر، این وضعیت را نشان می‌دهد.

کانولوشن

اکنون می‌توانیم خروجی را محاسبه کنیم:

شکل خروجی

خروجی در این بازه به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

خروجی بازه دوم

بازه سوم: $$t>1$$

در این بازه، باید انتگرال را از $$\lambda =0$$ تا $$\lambda =1$$ محاسبه کنیم، زیرا وقتی $$\lambda <0$$ و $$\lambda>1$$ باشد، $$f(\lambda)=0$$ است:

انتگرال کانولوشن

این وضعیت در شکل زیر نشان داده شده است ($$t=1.2$$).

کانولوشن

خروجی در این حالت، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

محاسبه خروجی

در نتیجه:

خروجی بازه سوم

در نهایت، پاسخ سیستم به ورودی، خروجی زیر خواهد بود:

خروجی نهایی

شکل خروجی نهایی، به‌صورت زیر است:

خروجی کانولوشن

محاسبه کانولوشن با تبدیل لاپلاس

برای شرح استفاده از تبدیل لاپلاس در محاسبه کانولوشن، از یک مثال استفاده می‌کنیم. فرض کنید پاسخ ضربه یک سیستم، به‌صورت زیر باشد:

پاسخ ضربه

می‌خواهیم خروجی را به‌ازای ورودی زیر محاسبه کنیم:

ورودی

می‌دانیم خروجی با رابطه کانولوشن $$y(t)=f(t)*h(t)$$ محاسبه می‌شود. ویژگی کانولوشن تبدیل لاپلاس به‌صورت زیر است:

لاپلاس کانولوشن

بنابراین، باید $$f(t)$$ و $$h(t)$$ را با کمک جدول محاسبه تبدیل لاپلاس به‌دست آوریم که نتیجه آن به‌شکل زیر است:

تبدیل لاپلاس

بنابراین:

خروجی

با استفاده از فرمول‌های تبدیل لاپلاس معکوس، داریم:

عکس لاپلاس

اکنون می‌توانیم $$y(t)$$ را محاسبه کنیم:

خروجی

در عبارات بالا $$\gamma (t)$$ همان پله واحد است.

خروجی کانولوشن

اگر مطالب بیان شده برای شما مفید بوده و علاقه‌مند به یادگیری مباحث مرتبط با آن هستید، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش‌های زیر مراجعه کنید:

^^

فیلم‌ های آموزش انتگرال کانولوشن و محاسبه آن — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی تحلیل سیستم با انتگرال کانولوشن

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی محاسبه ترسیمی انتگرال کانولوشن

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی محاسبه کانولوشن با تبدیل لاپلاس

دانلود ویدیو

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 28 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

یک نظر ثبت شده در “انتگرال کانولوشن و محاسبه آن — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *