مکانیک, مهندسی 6698 بازدید

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به مکانیک کلاسیک همچون نیرو، تکانه، تکانه زاویه‌ای و ژیروسکوپ را توضیح دادیم. در این مطلب نیز قصد داریم تا مفهومی جالب از مکانیک کلاسیک را معرفی کنیم. این مطلب تحت عنوان اثر کوریولیس شناخته شده که در قالب دو مفهومِ نیروی کوریولیس و شتاب کوریولیس مورد بررسی قرار می‌گیرد. البته پیشنهاد می‌شود ابتدا به ساکن مطالب ذکر شده در بالا را مطالعه فرمایید.

اثر کوریولیس

در علم فیزیک، اثر کوریولیس نیرویی مجازی است که در سال ۱۸۳۵ توسط دانشمند و مهندس فرانسوی، «گوستاو کوریولیس» (Gaspard-Gustave de Coriolis) معرفی شد. این اثر بیان کننده انحراف مسیر حرکت جسمی است که از دیدگاه یک دستگاه مختصات در حال دوران، دیده می‌شود. برای درک بهتر انیمیشن زیر را در نظر بگیرید.

Coriolis-effect

همان‌طور که در بخش بالای انیمیشن فوق نیز دیده می‌شود، مهره مشکی رنگ نسبت به دستگاه مختصات لخت حرکتی خطی را انجام می‌دهد. این در حالی است که مهره قرمز رنگ مسیر حرکتِ مهره مشکی رنگ را به صورت منحنی می‌بیند.

حرکت منحنی را می‌توان با استفاده از نیرویی مجازی شبیه‌سازی کرد و تاثیر آن را در نظر گرفت. این نیروی مجازی را نیروی کوریولیس نیز می‌نامند. می‌توان گفت معروف‌ترین دستگاه مختصات متحرک، خودِ زمین است. از این رو جسمی که آزادانه در زمین در حال حرکت است، اثر کوریولیس را احساس می‌کند. بر همین اساس جسم در حال حرکت روی زمین، در نیم‌کره شمالی به سمت راست و در نیم‌کره جنوبی به سمت چپ منحرف می‌شود.

فرمول شتاب و نیروی کوریولیس

به صورتی غیربرداری می‌توان گفت که اندازه شتاب کوریولیس یک جسم، با حاصل‌ضرب خارجی سرعت خطی جسم در بردار دوران ناظر متناسب است. بنابراین به طور دقیق‌تر می‌توان رابطه مربوط به شتاب کوریولیس یک جسم را به صورت زیر بیان کرد:

$$ \large \boldsymbol { a } _ C = – 2 \, \boldsymbol { \omega \times v } $$

در رابطه فوق، $$v$$ نشان دهنده سرعت خطی جسم نسبت به دستگاه مختصات دوران کننده و $$ \omega $$ بردار سرعت زاویه‌ای دستگاه مختصات دوران کننده است. توجه داشته باشید که معمولا اندازه سرعت زاویه‌ای دستگاه مختصات دورانی را با $$ \Omega $$ نشان می‌دهند. هم‌چنین اگر شتاب کوریولیس را در جرم جسم ضرب کنیم، نیروی کوریولیس متناسب با آن بدست خواهد آمد. از این رو نیروی کوریولیس برابر است با:

$$\large \boldsymbol { F } _ C = -2 \, m \, \boldsymbol {\omega \times v} $$

اثبات رابطه کوریولیس

آشنایی با نحوه اثبات شتاب یا نیروی کوریولیس در درک فیزیکی این مفهوم بسیار کمک‌ کننده است. همان‌طور که می‌دانید ما در زمینی زندگی می‌کنیم که روزانه یک بار به دور محورش دوران می‌کند. از این رو بستری که در آن زندگی می‌کنیم نمی‌تواند به عنوان دستگاه مختصاتی لخت در نظر گرفته شود. دستگاه مختصات لخت، دستگاهی است که حرکت آن به صورت شتابدار نباشد. با توجه به این که دستگاه مختصات محل زندگی ما لخت نیست، لذا باید قوانین نیوتن به منظور بررسی پدیده‌ها در آن اصلاح شود.

earth-rotation

در انیمیشن فوق محور دوران زمین، شمال، جنوب، شرق و غرب مشخص شده‌اند. در ابتدا بردار‌های یکه در راستا‌های $$y$$، $$x$$ و $$z$$ را به ترتیب برابر با $$\widehat {j}$$، $$\widehat {i}$$ و $$\widehat {k}$$ در نظر می‌گیریم. در حالت کلی دو دستگاه مختصات در این مسئله وجود دارد. یکی از این دستگا‌ه‌ها که با $$(\widehat { i } , \widehat { j } , \widehat { k } ) $$ نشان داده می‌شود، نماد دستگاه مختصات لخت است. دستگاه مختصات دوم که در حال دوران یا $$rotation$$ است، با نماد $$(\widehat { i } _ r , \widehat { j } _ r , \widehat { k } _ r ) $$ نشان داده می‌شود. بنابراین دستگاه مختصات در حال دوران معادل با دستگاهی است که به زمین متصل بوده و همراه با آن دوران می‌کند.

فرض کنید نقاط روی زمین با استفاده از بردار $$ \widehat { r } $$ نشان داده شوند. در این صورت سرعت این نقاط را می‌توان با مشتق‌گیری از بردار مکان ذره، به صورت زیر بدست آورد.

$$ \large \overrightarrow { v } = \frac { d \overrightarrow { r } } { d t } = \overrightarrow { \omega } \times \overrightarrow { r } $$

در رابطه فوق $$ \overrightarrow { \omega } $$ نشان دهنده بردار سرعت زاویه‌ای است. حال در این رابطه بردار $$ \overrightarrow { r } $$ را برابر با $$(\widehat { i } , \widehat { j } , \widehat { k } ) $$ در نظر می‌گیریم. در حقیقت با این فرض و استفاده از مشتق زیر، سرعت دستگاه مختصات دورانی نسبت به دستگاه مختصات لخت بدست می‌آید.

$$ \large \overrightarrow { v } = \frac{ d \overrightarrow{r} }{ dt } \\ \rightarrow \frac{ d \widehat { i } } { d t } = \overrightarrow { \omega } \times \widehat{i} \ \ , \ \ \frac { d \widehat {j} }{dt} = \overrightarrow{\omega} \times \widehat{ j } \ \ , \ \ \frac { d \widehat { k } } { d t } = \overrightarrow{\omega} \times \widehat{k} $$

به منظور درک بهتر، فرض کنید دستگاه مختصات به میزان $$ \delta \theta $$ حول محور $$ \widehat { k } $$ دوران کند. در شکل زیر این دوران نشان داده شده است.

همان‌طور که در شکل فوق نیز نشان داده شده، جهت جدید محور $$x$$ برابر با $$ \widehat{i} + \delta \widehat{i} $$ در نظر گرفته شده است. به همین صورت جهت جدید محور $$y$$ نیز برابر با $$ \widehat{j} + \delta \widehat{j} $$ خواهد شد. از طرفی با توجه به این که محور دوران، محور $$z$$ است، لذا جهت این محور با زمان تغییر نخواهد کرد. توجه داشته باشید که بردار دوران برابر با $$ \omega \widehat { k } $$ است. بنابراین سرعت دوران محور‌ها مطابق با روابط زیر بدست می‌آیند.

$$ \large \overrightarrow{\omega} \times \widehat{i} = \omega \widehat{j}, \; \; \overrightarrow { \omega } \times \widehat{j} = -\omega \widehat{i}, \; \; \overrightarrow{\omega} \times \widehat { k } =0 $$

حال برداری همچون $$ \overrightarrow { a } $$ را در نظر بگیرید که در دستگاه مختصات دوران‌کننده برابر با مقدار زیر است.

$$ \overrightarrow{a} = a _ { x } \widehat { i} _ { r } + a_{y} \widehat{j}_{r} + a_{z} \widehat{k}_{r} $$

در این قسمت از بردار $$ \overrightarrow {a} $$ در دستگاه مختصات دورانی مشتق می‌گیریم. توجه داشته باشید که در مشتق‌‌گیری‌های انجام شده، اندیس $$r$$ نشان دهنده دستگاه مختصات دورانی و اندیس $$I$$ نشان دهنده دستگاه مختصات لخت است.

$$ \left ( \frac { d \overrightarrow{a} }{dt} \right ) _ { r } = \frac { d} { dt } ( a _ { x} \widehat {i} _ { r } ) + \frac { d } { d t } ( a _ { y } \widehat {j}_{r}) + \frac { d } { d t }( a _ {z } \widehat { k } _ { r }) $$

در دستگاه مختصات دوران کننده، بردار‌های $$ \widehat { i } _ r , \widehat { j } _ r , \widehat { k } _ r $$ با زمان تغییر نمی‌کنند. بنابراین مشتق فوق را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.

$$\large \left ( \frac { d \overrightarrow { a } } { d t } \right ) _ { r } = \frac { d a _ { x } } { d t } \widehat {i}_{r} + \frac{ da_{y} } { d t } \widehat{j} _ { r } + \frac { d a_ { z } } { d t} \widehat { k } _ { r } $$

این در حالی است که در دستگاه مختصات اینرسی، بردار‌های $$ \widehat { i } _ r , \widehat { j } _ r , \widehat { k } _ r $$ حرکت می‌کنند. بنابراین مشتق بردار $$ \overrightarrow { a } $$ را می‌توان در دستگاه اینرسی به صورت زیر بدست آورد.

$$ \left( \frac{d \overrightarrow{a} }{dt} \right) _ { I } = \frac{d}{dt} (a_{x} \widehat{i}_{r}) + \frac { d } { d t } ( a _ { y } \widehat { j} _ { r } ) + \frac{d}{dt} (a_{z} \widehat { k} _ { r }) $$

$$ \left( \frac{d \overrightarrow{a} }{dt} \right)_{I} = \frac{ d a_ { x } } { d t } \widehat{i} _ { r } + \frac { da_{y} }{dt}\widehat{j}_{r} + \frac { da _ { z } }{dt}\widehat{k}_{r} + a_{x} \frac{d \widehat{i} _ { r } } { d t } + a _ { y } \frac{d \widehat{j} _ { r } } { d t } + a _ { z } \frac{d \widehat { k } _{ r } }{dt} $$

از طرفی رابطه تغییرات زمانی بردار‌های یکه به صورت زیر بدست آمدند:

$$ \large \frac { d \widehat{i} _ { r } } { d t} = \overrightarrow{\omega} \times \widehat{i} _ { r } , \; \; \frac{d\widehat{j}_{r} }{dt} = \overrightarrow{\omega} \times \widehat{j} _ { r }, \; \; \frac { d \widehat { k }_ { r } } { d t } = \overrightarrow{\omega} \times \widehat { k } _ { r } $$

بنابراین نهایتا تغییرات زمانی بردار $$ \large \overrightarrow { a } $$ (نسبت به دستگاه مختصات لخت) به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$ \large \left( \frac{d \overrightarrow{a} }{dt} \right)_{I} = \frac{ da _ { x } }{ d t } \widehat{i}_{r} + \frac { d a _ { y } }{ d t } \widehat{j} _ { r } + \frac { d a _ { z } } { d t }\widehat{k}_{r} + \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow { a } $$

بنابراین شکل نهایی تغییرات زمانی بردار $$ \overrightarrow { a } $$ برابر است با:

$$ \boxed { \left ( \frac{d \overrightarrow { a } } { d t } \right) _ { I } = \left( \frac{d \overrightarrow{a} }{dt} \right ) _ { r } + ( \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow { a } ) } $$

نقطه قرار گرفته روی زمین

حال به منظور درک بهتر روابط بدست آمده در بالا، برداری همچون $$ \overrightarrow { a } = \overrightarrow { r } $$ را در نظر بگیرید. این بردار نقطه‌ای ساکن را روی سطح زمین نشان می‌دهد که در حال دوران است. بنابراین جهت این بردار با گذشت زمان تغییر می‌کند. بنابراین با توجه به رابطه بدست آمده در بالا، مشتق در دستگاه مختصات اینرسی را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$ \large \left ( \frac { d \overrightarrow { r } } { d t } \right ) _ { I } = \left ( \frac { d \overrightarrow { r } } { d t} \right)_{r} + (\overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r}) $$

توجه داشته باشید که بردار در نظر گرفته شده به همراه دستگاه مختصات دورانی، می‌چرخد. بنابراین دستگاه مختصات نسبت به بردار، ساکن بوده و ترمِ اول رابطه فوق، صفر می‌شود.

$$ \large \left ( \frac { d \overrightarrow { r } } { d t } \right ) _ { r } = 0 $$

بنابراین مشتق نقطه قرار گرفته روی زمین که دوران می‌کند، برابر خواهد بود با:

$$ \large \left ( \frac { d \overrightarrow { r } } { d t } \right) _ { I } = ( \overrightarrow { \omega} \times \overrightarrow { r } ) = \omega r \sin(\theta) $$

در رابطه فوق $$ \large \theta $$ نشان دهنده زاویه بین محور دوران و بردار نقطه مفروض است. در شکل زیر این زوایه برای نقاط مختلف نشان داده شده است.

coriolis-axis

حال می‌خواهیم شتاب را در دستگاه مختصات اینرسی نسبت به دستگاه مختصات دورانی بدست آوریم. بنابراین فرض کنید نقطه و در نتیجه بردار $$ \large \overrightarrow{r} $$ با گذشت زمان تغییر می‌کند. برای نمونه این بردار می‌تواند نشان دهنده خودرویی باشد که مسیری مشخص را طی می‌کند. در این صورت ترم اول غیر صفر بوده و رابطه عمومی را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$ \large \left ( \frac { d \overrightarrow { r } } { d t } \right ) _ { I } = \left( \frac{d \overrightarrow{r} }{dt} \right ) _ { r } + ( \overrightarrow { \omega } \times \overrightarrow{ r } ) $$

نهایتا اگر سرعت خودرویی برابر با $$ \large \overrightarrow {v} _ r $$ باشد، در این صورت سرعت واقعی آن نسبت به دستگاه مختصات لخت برابر است با:

$$ \large \overrightarrow { v } _ { I } = \overrightarrow { v } _ { r } + (\overrightarrow { \omega } \times \overrightarrow { r } ) $$

توجه داشته باشید که به منظور بدست آوردن شتاب واقعیِ خودرو، باید از سرعت بدست آمده در بالا مشتق گرفت. دوباره می‌توان از مفهوم مشتقِ بردار در دستگاه‌ مختصات دورانی استفاده کرد. با این فرض، مشتقِ سرعت در دستگاه مختصات اینرسی برابر است با:

$$ \large \left ( \frac { d \overrightarrow { v } _ { I } } { d t} \right)_{I} = \frac{d}{dt}(\overrightarrow{v}_{r} + \overrightarrow {\omega} \times \overrightarrow{r})_{r} + \overrightarrow {\omega} \times (\overrightarrow{v}_{r} + \overrightarrow {\omega} \times \overrightarrow{ r }) $$

با باز کردن رابطه فوق داریم:

$$ \large \left( \frac{d \overrightarrow{v}_{I} }{dt} \right)_{I} = \left( \frac{d \overrightarrow{v}_{r} }{dt} \right)_{r} + \frac{d}{dt}(\overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r}_{r}) + \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{v}_{r} + \overrightarrow{\omega} \times (\overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r}_{r}) $$

در نتیجه شتاب در دستگاه مختصات اینرسی یا $$ a _ I $$ را می‌توان بر حسب شتاب خودرو نسبت به زمین یا $$ a _ r $$ به صورت زیر بدست آورد.

$$ \overrightarrow{a}_{I} = \overrightarrow{a}_{r} + 2\overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{v}_{r} + \overrightarrow{\omega} \times (\overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r}_{r}) $$

با ضرب کردن رابطه فوق در $$m$$ نیروی اینرسی نیز برابر می‌شود با:

$$ m \overrightarrow {a }_ { I } = m\overrightarrow{ a} _{ r } + 2m\overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow { v } _ { r } + m\overrightarrow{\omega} \times ( \overrightarrow { \omega } \times \overrightarrow { r } _ { r }) $$

نهایتا رابطه نیرو در دستگاه‌ مختصات دورانی را می‌توان بر حسب نیرو در دستگاه مختصات اینرسی به صورت زیر بیان کرد.

$$ \large \boxed { \overrightarrow { F} _ { r } = \overrightarrow { F } _ {I } – 2 m \overrightarrow {\omega} \times \overrightarrow{v}_{r} – m\overrightarrow{\omega} \times (\overrightarrow{\omega } \times \overrightarrow { r } _ { r }) } $$

هریک از ترم‌های ارائه شده در رابطه فوق معنایی دارند که درک آن‌ها در درک اثر کوریولیس بسیار مهم است.

شتاب کوریولیس

در رابطه فوق ترمِ $$A$$ همان عبارتی است که آن را نیروی کوریولیس می‌نامیم. این ترم به سرعت در دستگاه مختصات دورانی یا همان سرعت خودرو وابسته است $$ (\ v _ r ) $$. این همان نیرویی است که منجر به چرخش پادساعتگرد آب در هنگام وارد شدن به حفره می‌شود! البته این جهت در نیم‌کره جنوبی عکس بوده و به صورت ساعتگرد خواهد بود.

coriolis-effect
به نظر شما سینک فوق در کشوری است که در نیم‌کره جنوبی واقع شده یا در نیم‌کره شمالی؟

این در حالی است که ترم $$B$$ نشان دهنده نیروی مرکزگرایی است که در نتیجه حرکت دایره‌ای زمین ایجاد می‌شود. در حقیقت اگر خودرویی به صورت ساکن روی زمین قرار گرفته باشد، تنها شتاب مرکزگرا را تجربه خواهد کرد.

در مطالب آینده، مثال‌هایی از نیرو و شتاب کوریولیس ارائه خواهیم داد. در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 37 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *