ریاضی, علوم پایه 23025 بازدید

در ریاضیات توابع زود و فرد به توابعی گفته می‌شود که نسبت به محور y یا مبدا متقارن باشد. این نامگذاری به این دلیل است که اگر n در تابع f(x)=xn زوج باشد، تابع f زوج و در صورت فرد بودن n،  تابع f فرد خواهد بود.

فیلم آموزش توابع زوج و فرد — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

دانلود ویدیو

توابع زوج

فرض کنید با تابع (f(x مواجه‌ هستیم. زمانی به این تابع، زوج گفته می‌شود که رابطه زیر در آن برقرار باشد.

even-odd

رابطه بالا بیان می‌کند که تابع زوج نسبت به محور y متقارن است. نمودار ارائه شده در شکل زیر نمونه‌ای از یک تابع زوج را نشان می‌دهد.

even-odd

نمودار بالا تابع زیر را نشان می‌دهد.

even-odd

بدیهی است که توابعی همچون x2 ،x4 ،x6 ،x8 زوج هستند. توان تمامی این توابع زوج هستند؛ به همین‌ دلیل به چنین توابعی زوج گفته می‌شود. توابع دیگری نیز وجود دارند که رفتار آن‌ها زوج است. برای نمونه شکل زیر نمودار تابع (Cos (x را نشان می‌دهد.

even-odd

البته دقت داشته باشید که همواره توان زوج، منجر به تابع زوج نخواهد شد. برای نمونه تابع x+1)2)، تابعی زوج محسوب نمی‌شود.

توابع فرد

به تابعی فرد گفته می‌شود که رابطه زیر در آن برقرار باشد.

even-odd-4

در رابطه بالا به علامت منفی پشت پرانتز توجه داشته باشید. این علامت همان عاملی است که نشان دهنده فرد بودن تابع است. رابطه بالا بیان می‌کند که یک تابع فرد نسبت به مبدا مختصات متقارن است. برای نمونه تابع f(x)=x3-x را در نظر بگیرید. با محاسبه تابع (f(-x متوجه می‌شویم که این تابع فرد است. در حقیقت:

even-odd

بنابراین رابطه (f(-x)=-f(x برقرار بوده و تابع مذکور فرد است. البته با استفاده از نمودار این تابع نیز می‌توان فهید که (f(x فرد است.

even-odd

با رسم نمودار یا محاسبه تابع (f(-x، می‌توان فهمید که توابع x ،x3 ،x5 ،x7 فرد است. به همین دلیل به چنین توابعی فرد گفته می‌شود. البته توابع دیگری نیز هستند که فرد محسوب می‌شوند. برای نمونه تابع (sin (x که در شکل زیر رسم شده نیز فرد است.

even-odd

البته توجه داشته باشید که همواره توان فرد منجر به شکل‌گیری تابع فرد نخواهد شد.

توابع غیرفرد و غیرزوج

بایستی بدانید که فرد و زوج عباراتی هستند که دسته‌ای خاص از توابع را نشان می‌دهند. در حقیقت این‌طور نیست که یک تابع حتما زوج یا فرد باشد. به بیانی صحیح‌تر اکثر توابع، نه فرد و نه زوج هستند. برای نمونه تابع f(x)=x3-x+1 را در نظر بگیرید. شکل چنین تابعی در نمودار زیر ارائه شده است.

even-odd

با توجه به این نمودار، تابع f نسبت مرکز مختصات و نسبت به محور y متقارن نیست. از این رو این تابع نه زوج و نه فرد است. با این توصیفات تنها تابعی که هم زوج و هم فرد محسوب می‌شود، تابع f(x)=0 است.

مثال: تابع $$f(x) \enspace =\enspace {{x} \over {x^2-1}}$$ زوج، فرد یا تابعی عادی است؟

جهت مشخص کردن زوج یا فرد بودن یک تابع، در قدم اول بایستی تابع (f(-x را محاسبه کرد. از این رو با قرار دادن x- به‌جای x در تابع f داریم:

even-odd

بنابراین (f(−x) = −f(x است. از این رو (f(x تابعی فرد محسوب می‌شود.

ویژگی‌های توابع زوج و فرد

ویژگی‌های توابع زوج و فرد دلیل جداسازی آن‌ها از بقیه توابع است. از این ویژگی‌ها در مباحث مختلف ریاضیات می‌توان بهره برد. در ادامه برخی از مهم‌ترین ویژگی‌های توابع زوج و فرد معرفی شده‌اند.

  • حاصل جمع دو تابع زوج، تابعی زوج است.
  • حاصل جمع دو تابع فرد نیز تابعی فرد خواهد بود.
  • با جمع کردن دو تابع زوج و فرد، به تابعی می‌رسیم که نه فرد و نه زوج است.
  • حاصل ضرب دو تابع زوج نیز زوج خواهد بود.
  • حاصل ضرب دو تابع فرد،‌ تابعی زوج است.
  • حاصل ضرب یک تابع زوج و یک تابع فرد، تابعی فرد خواهد بود.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات،‌ آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

مجید عوض زاده (+)

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 40 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

3 نظر در “توابع زوج و فرد — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

  1. من خیلی سپاسگزام از شما که خیلی مطالب خوبی را در بخش فرادرس ارائه می کنید الله متعال در برابر این کارتان اجر نامتناهی دهد

  2. مقسی مقسی بخاطر تموم پیگیریات مقسی

  3. خیلی متشکر از مطالب فوق العاده توووووون

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *